(整理)反常二重积分.
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反常二重积分
一、无界区域上的二重积分
与一元函数在无限区间上的反常积分类似,对无界区域上的反常二重积分作如下定义.
定义 1 设是平面上一无界区域,函数在上有定义,用任意光滑或分段光滑曲线在中划出有界区域, 如图1所示.若二重积分存在,
且当曲线连续变动,使区域以任意过程 无限扩展而趋于区域时,极限
图1
都存在且取相同的值,则称反常二重积分收敛于,即
=
=
否则,称发散.
对于一些特殊的无界区域,其上的二重积分如果存在,则它们有特殊的计算途径和表示方式.
1.
=
=
或
=
=
2.
D ),(y x f D C D C D ⎰⎰σ
C
D
d y x f ),(C C D D ⎰⎰σ
→C
C D D
D d y x f ),(lim
I ⎰⎰σ
D
d y x f ),(I ⎰⎰σ
D
d y x f ),(⎰⎰σ
→C
C D D
D d y x f ),(lim
I ⎰⎰σ
D
d y x f ),(D },|),{(+∞<≤≤≤=y c b x a y x D ⎰⎰
D
dxdy
y x f ),(dy
y x f dx M
c b a
M ),(lim
⎰⎰
+∞
→dy
y x f dx c
b a
),(⎰
⎰+∞⎰⎰
D
dxdy
y x f ),(dx
y x f dy b
a
M c
M ),(lim
⎰⎰
+∞
→dx
y x f dy b
a
c
),(⎰⎰+∞},|),{(+∞<≤+∞≤≤=y c x a y x D
=
=
或
=
=
3.
=
=
或
=
=
也可在极坐标系下计算
=
=
定理一 设D 是平面R 2中无界区域, ()y x f ,在D 上的可积函数的充分必要条件是()|,|y x f 在D 上的可积.
定理 2 (比较判别法) 设D 是平面R 2中无界区域,()y x f ,, ()y x g ,是D 上的函数, 在D 的任何有界可求面积的子区域上可积,并且
()),(,0y x g y x f ≤≤.那么
(1)当⎰⎰D
dxdy y x g ),(收敛时,
⎰⎰D
dxdy y x f ),(收敛;
(2)当⎰⎰D
dxdy y x f ),(发散时,
⎰⎰D
dxdy y x g ),(发散.
推论 设D 是平面R 2中无界区域, ()y x f ,是D 上的函数, 并且在D 的任意有界可求面积的子集上可积, 那么 (1) 当22y x +足够大时, α
)
(),(22
y x c y x f +≤
(c 是常数),如果 α>2,
⎰⎰
D
dxdy
y x f ),(dy
y x f dx N c
M a
M N ),(lim
⎰⎰+∞
→+∞→dy
y x f dx c
a
),(⎰
⎰+∞+∞⎰⎰
D
dxdy
y x f ),(dx
y x f dy M a
N c
N M ),(lim
⎰⎰+∞
→+∞
→dx
y x f dy a
c
),(⎰
⎰+∞+∞},|),{(+∞<≤-∞+∞≤≤-∞=y x y x D ⎰⎰
D
dxdy
y x f ),(dy
y x f dx M M
N N
N M ),(lim
⎰
⎰
--+∞
→+∞
→dy
y x f dx ),(⎰
⎰+∞∞
-+∞
∞
-⎰⎰
D
dxdy
y x f ),(dx
y x f dy N N
M
M
M N ),(lim
⎰
⎰
--+∞
→+∞
→dx
y x f dy ),(⎰
⎰+∞∞
-+∞
∞
-⎰⎰
D
dxdy
y x f ),(rdr
r r f d R
R )sin ,cos (lim
020
θθθ⎰⎰
π+∞
→rdr
r r f d )sin ,cos (0
20
θθθ⎰
⎰+∞π
则反常二重积分⎰⎰D
dxdy y x f ),(收敛;
(2)当22y x +足够大时, α
)
(),(22
y x c y x f +≥(c 是常数),如果 α≤2,
则反常二重积分⎰⎰D
dxdy y x f ),(发散.
例1 设=,计算
解 方法一
方法二
例2 计算二重积分
,其中D 是由曲线在
第一象限所围成的区域.
分析:区域D 是无界区域,且从下列图形可以看出,D 是型区域,化成累次积分时应先对积分. 解法一:
= 图8.26
D }0,0|),{(+∞≤≤+∞≤≤y x y x dxdy y x D ⎰⎰++)1)(1(1
22dy y dx x dxdy y x M M M D 2020221111lim )1)(1(1++=++⎰⎰⎰⎰+∞→M M M y
x 0
arctan arctan lim +∞
→=4)2()(arctan lim 2
22
π=π==+∞→M M dy y dx x dxdy y x D 20202211
11)1)(1(1++=++⎰⎰⎰⎰+∞+∞+∞+∞=0
arctan arctan y
x 4)2(2
2π=π=⎰⎰-D
y
dxdy xe 2
,42
x y =29x y =y x }0,23|
),{(+∞≤≤≤≤=y y
x y y x D ⎰⎰-D
y
dxdy
xe
2
dx
xe dy y y
y 2
23
-∞+⎰
⎰
=
dy e y y y ⎰-+∞-2
)9141(21