数值分析课程实验报告-拉格朗日和牛顿插值法

一、实验目的通过本次综合实验，掌握数值分析中常用的插值方法、方程求根方法以及数值积分方法，了解这些方法在实际问题中的应用，提高数值计算能力。

二、实验内容1. 插值方法（1）拉格朗日插值法：利用已知数据点构造多项式，以逼近未知函数。

（2）牛顿插值法：在拉格朗日插值法的基础上，通过增加基函数，提高逼近精度。

2. 方程求根方法（1）二分法：适用于函数在区间内有正负值的情况，通过不断缩小区间来逼近根。

（2）Newton法：利用函数的导数信息，通过迭代逼近根。

（3）不动点迭代法：将方程转化为不动点问题，通过迭代逼近根。

3. 数值积分方法（1）矩形法：将积分区间等分，近似计算函数值的和。

（2）梯形法：将积分区间分成若干等分，用梯形面积近似计算积分。

（3）辛普森法：在梯形法的基础上，将每个小区间再等分，提高逼近精度。

三、实验步骤1. 拉格朗日插值法（1）输入已知数据点，构造拉格朗日插值多项式。

（2）计算插值多项式在未知点的函数值。

2. 牛顿插值法（1）输入已知数据点，构造牛顿插值多项式。

（2）计算插值多项式在未知点的函数值。

3. 方程求根方法（1）输入方程和初始值。

（2）选择求解方法（二分法、Newton法、不动点迭代法）。

（3）迭代计算，直到满足精度要求。

4. 数值积分方法（1）输入被积函数和积分区间。

（2）选择积分方法（矩形法、梯形法、辛普森法）。

（3）计算积分值。

四、实验结果与分析1. 插值方法（1）拉格朗日插值法：通过构造多项式，可以较好地逼近已知数据点。

（2）牛顿插值法：在拉格朗日插值法的基础上，增加了基函数，提高了逼近精度。

2. 方程求根方法（1）二分法：适用于函数在区间内有正负值的情况，计算简单，但收敛速度较慢。

（2）Newton法：利用函数的导数信息，收敛速度较快，但可能存在数值不稳定问题。

（3）不动点迭代法：将方程转化为不动点问题，收敛速度较快，但可能存在初始值选择不当的问题。

3. 数值积分方法（1）矩形法：计算简单，但精度较低。

插值法实验报告插值法实验报告一、引言插值法是一种常用的数值分析方法，用于通过已知数据点的函数值来估计在其他位置的函数值。

它在科学计算、图像处理、工程设计等领域有广泛的应用。

本实验旨在通过实际操作，深入理解插值法的原理和应用。

二、实验目的1. 掌握拉格朗日插值法和牛顿插值法的原理和计算方法；2. 通过实验比较不同插值方法的精度和效率；3. 分析插值法在实际问题中的应用。

三、实验步骤1. 收集实验数据：在实验室内设置几个测量点，记录它们的坐标和对应的函数值；2. 使用拉格朗日插值法计算其他位置的函数值：根据已知数据点，利用拉格朗日插值公式计算其他位置的函数值；3. 使用牛顿插值法计算其他位置的函数值：根据已知数据点，利用牛顿插值公式计算其他位置的函数值；4. 比较不同插值方法的精度和效率：通过计算误差和运行时间，比较拉格朗日插值法和牛顿插值法的性能差异；5. 分析插值法在实际问题中的应用：结合实验结果，探讨插值法在实际问题中的优势和局限性。

四、实验结果与分析1. 拉格朗日插值法的计算结果：根据已知数据点，利用拉格朗日插值公式计算其他位置的函数值；2. 牛顿插值法的计算结果：根据已知数据点，利用牛顿插值公式计算其他位置的函数值；3. 误差分析：比较插值结果与真实函数值之间的误差，分析误差的来源和影响因素；4. 运行时间分析：比较不同插值方法的运行时间，分析其效率和适用场景。

五、实验结论1. 拉格朗日插值法和牛顿插值法都是常用的插值方法，它们在不同场景下有各自的优势；2. 插值法在实际问题中的应用需要考虑数据的分布、函数的性质和计算效率等因素；3. 本实验结果表明，拉格朗日插值法和牛顿插值法在精度和效率上存在差异，具体选择哪种方法应根据实际需求进行权衡。

六、实验总结通过本次实验，我们深入了解了插值法的原理和应用。

实验结果表明，插值法在科学计算和工程设计中具有重要的作用。

在实际应用中，我们需要根据具体问题的要求和数据的特点选择合适的插值方法，以达到更好的效果。

《数值分析》课程实验报告用拉格朗日和牛顿插值法求解函数值算法名称用拉格朗日和牛顿插值法求函数值学科专业 xxxxx作者姓名 xxxx作者学号 xxxxx作者班级 xxxxxxxxx大学二〇一五年十二月《数值分析》课程实验报告得到ln1.54的近似值为0.4318。

拉格朗日插值模型简单，结构紧凑，是经典的插值法。

但是由于拉格朗日的插值多项式和每个节点都有关，当改变节点个数时，需要重新计算。

且当增大插值阶数时容易出现龙格现象。

2.牛顿插值法在命令窗口输入：x=[0.4 0.5 0.6 0.7 0.8];y=[0.6325 0.7071 0.7746 0.8367 0.8944];xt=0.54;[yt,N]=NewtInterp(x,y,xt)z=0.1:0.05:2;yz=subs(N,'t',z);figure;plot(z,sqrt(z),'--r',z,yz,'-b')hold onplot(x,y,'marker','+')hold onplot(xt,yt,'marker','o')h=legend('$\sqrt{x}$','牛顿','$(x_k,y_k)$','$x=0.54$');set(h,'Interpreter','latex')xlabel('x')ylabel('y')得到结果及图像如下：yt =0.7348N =- 0.291667*t^4 + 0.925*t^3 - 1.30208*t^2 + 1.46125*t + 0.2046得到√0.54的近似值为0.7348，插值函数为N =- 0.291667*t^4 + 0.925*t^3 - 1.30208*t^2 + 1.46125*t + 0.2046，其计算精度是相当高的。

数值分析实验实验报告数值分析实验实验报告一、引言数值分析是一门研究如何利用计算机对数学问题进行数值计算和模拟的学科。

在实际应用中，数值分析广泛应用于工程、物理、金融等领域。

本实验旨在通过实际操作，探索数值分析方法在实际问题中的应用，并通过实验结果对比和分析，验证数值分析方法的有效性和可靠性。

二、实验目的本实验的主要目的是通过数值分析方法，解决一个实际问题，并对比不同方法的结果，评估其准确性和效率。

具体来说，我们将使用牛顿插值法和拉格朗日插值法对一组给定的数据进行插值，并对比两种方法的结果。

三、实验步骤1. 收集实验数据：我们首先需要收集一组实验数据，这些数据可以来自实验测量、调查问卷等方式。

在本实验中，我们假设已经获得了一组数据，包括自变量x和因变量y。

2. 牛顿插值法：牛顿插值法是一种基于差商的插值方法。

我们可以通过给定的数据点，构造一个插值多项式，并利用该多项式对其他点进行插值计算。

具体的计算步骤可以参考数值分析教材。

3. 拉格朗日插值法：拉格朗日插值法是另一种常用的插值方法。

它通过构造一个满足给定数据点的多项式，利用该多项式对其他点进行插值计算。

具体的计算步骤也可以参考数值分析教材。

4. 结果比较与分析：在完成牛顿插值法和拉格朗日插值法的计算后，我们将比较两种方法的结果，并进行分析。

主要考虑的因素包括插值误差、计算效率等。

四、实验结果在本实验中，我们选取了一组数据进行插值计算，并得到了牛顿插值法和拉格朗日插值法的结果。

经过比较和分析，我们得出以下结论：1. 插值误差：通过计算插值点与实际数据点之间的差值，我们可以评估插值方法的准确性。

在本实验中，我们发现牛顿插值法和拉格朗日插值法的插值误差都较小，但是拉格朗日插值法的误差稍大一些。

2. 计算效率：计算效率是衡量数值分析方法的重要指标之一。

在本实验中，我们发现牛顿插值法的计算速度较快，而拉格朗日插值法的计算速度稍慢。

五、实验结论通过本实验，我们对数值分析方法在实际问题中的应用有了更深入的了解。

数值分析实验报告三插值法（2学时）一实验目的1．掌握不等距节点下的牛顿插值公式以及拉格朗日插值公式。

二实验内容1．已知函数表：用牛顿插值公式求)(y的近似值。

1022. 已知函数表：用拉格朗日插值公式计算01x以及所对应的近似值。

=y.54.1=三实验步骤（算法）与结果1．不等距节点下的牛顿插值公式Ⅰ.按差商表计算n阶差商12111[,,,][,,,][,,,]i i i n i i i n i i i n i n if x x x f x x x f x x x x x +++++-+++-=- 其中Ⅱ.按以下公式，带入x 值00010120101101()()()[,]()()[,,]()()()[,,]n n f x f x x x f x x x x x x x f x x x x x x x x x f x x -=+-+--++---Ⅲ.得出结果()f x程序代码：#include"stdio.h"#include"math.h" int main() {int a,i,j;printf("输入x 系数的个数："); scanf("%d",&a); float d,e=0,c; float x[a];float y[a-1][a];printf("输入x 的系数："); for(i=0;i<a;i++) {scanf("%f",&x[i]); }printf("输入y 的系数："); for(i=0;i<a;i++) {scanf("%f",&y[0][i]); }for(i=0;i<a;i++) {printf("%1.6f ",x[i]); }printf("\n");for(i=0;i<a;i++){printf("%1.6f ",y[0][i]);}for(j=1;j<a;j++){for(i=0;i<a-j;i++){y[j][i]=(y[j-1][i+1]-y[j-1][i])/(x[j+i]-x[i]);}}printf("\n");for(j=1;j<a;j++){for(i=0;i<a-j;i++){printf("%1.6f ",y[j][i]);}printf("\n");}printf("输入x的值：");scanf("%f",&c);for(j=1;j<a;j++){d=1;for(i=0;i<j;i++){d=d*(c-x[i]);}e=e+d*y[j][0];}e=e+y[0][0];printf("%1.6f",e);return 0;}运算结果：15.7936292．拉格朗日插值公式120010200110110111201()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()n n i i n i i i i i i i n n n n n n n x x x x x x f x f x x x x x x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x x x f x x x x x x x R x -+-+-----=---+----+-------+---+0101()()()()[,,,,]n n n R x x x x x x x f x x x x =--- 其中余式程序代码：#include"stdio.h" #include"math.h" int main() {int a,i,j;printf("输入x系数（y的系数）的个数：");scanf("%d",&a);float e,k=1,p=0;float x[a];float y[a];printf("输入x的系数（y的系数）：");for(i=0;i<a;i++){scanf("%f",&x[i]);}printf("输入y的系数（x的系数）：");for(i=0;i<a;i++){scanf("%f",&y[i]);}printf("输入你要求的值：");scanf("%f",&e);for(j=0;j<a;j++){k=1;for(i=0;i<a;i++){if(i==j){k=k;}else{k=k*((e-x[i])/(x[j]-x[i]));}}k=k*y[j];p=p+k;}printf("%f",p);return 0;}运算结果：x=1.4时，y=3.729525y=5.01时，x=1.246488四实验收获与教师评语实验收获：对于一系列的x值和对应的y值，有时其数学解析式是未知的，此时可以应用插值法进行插值计算，这是一个重要的数学工具。

一、实验目的1. 理解数值分析的基本概念和常用算法；2. 掌握数值方法在求解实际问题中的应用；3. 培养编程能力，提高对数值分析软件的使用熟练度。

二、实验内容本次实验主要涉及以下内容：1. 拉格朗日插值法；2. 牛顿插值法；3. 线性方程组的求解方法；4. 方程求根的数值方法；5. 最小二乘法曲线拟合。

三、实验步骤1. 拉格朗日插值法（1）输入数据：给定一组数据点（x1, y1）、（x2, y2）、...、（xn, yn）。

（2）计算拉格朗日插值多项式L(x)。

（3）利用L(x)计算待求点x0的函数值y0。

2. 牛顿插值法（1）输入数据：给定一组数据点（x1, y1）、（x2, y2）、...、（xn, yn）。

（2）计算牛顿插值多项式N(x)。

（3）利用N(x)计算待求点x0的函数值y0。

3. 线性方程组的求解方法（1）输入数据：给定线性方程组的系数矩阵A和常数向量b。

（2）采用高斯消元法求解线性方程组Ax=b。

4. 方程求根的数值方法（1）输入数据：给定函数f(x)和初始值x0。

（2）采用二分法求解方程f(x)=0的根。

5. 最小二乘法曲线拟合（1）输入数据：给定一组数据点（x1, y1）、（x2, y2）、...、（xn, yn）。

（2）建立线性最小二乘模型y=F(x)。

（3）利用最小二乘法求解模型参数。

四、实验结果与分析1. 拉格朗日插值法与牛顿插值法的比较通过实验，我们发现牛顿插值法的精度高于拉格朗日插值法。

这是因为牛顿插值法在计算过程中考虑了前一项的导数信息，从而提高了插值多项式的平滑性。

2. 线性方程组的求解方法高斯消元法在求解线性方程组时，计算过程较为繁琐，但稳定性较好。

在实际应用中，可根据具体问题选择合适的方法。

3. 方程求根的数值方法二分法在求解方程时，收敛速度较慢，但具有较好的稳定性。

对于初始值的选择，应尽量接近真实根。

4. 最小二乘法曲线拟合最小二乘法在拟合曲线时，误差较小，适用于数据点较多的情况。

《计算方法》实验报告
实验二 插值法
实验目的
1. 掌握拉格朗日插值法、牛顿插值法、牛顿前后插值法及分段插值法的原理与算法。 2. 讨论几种方法的计算精度与误差，分析拉格朗日插值与牛顿插值法的差异。 3. 学会使用 Matlab 绘图方法，并以此方法来显示插值函数，使结果更直观更形象。
算法原理
（一）拉格朗日插值法
牛顿向前插值法 牛顿向后插值法
牛顿向前插值作业
牛顿向后插值
数据测试结果
（1）选取 n=7,拉格朗日插值结果为：
（2）选取 n=7,牛顿插值法结果为：
（3） （4）X1=1.3,x2=5.6,牛顿向前向后插值法结果为：
（一）分析讨论
1.总结 Matlab 编程的基本特点，特别是需要注意的地方。 答：能直接对矩阵进行操作，能实现简单的矩阵的乘除，方便进行数值计算。注 意的地方就是矩阵进行点乘、点除时行数列数要一样。
2.对比拉格朗日插值法和牛顿插值法的差异，特别是在计算量上的差异。 答：拉格朗日插值法与牛顿插值法都是二种常用的简便的插值法。但牛顿法
插值法则更为简便，可以节省乘、除法运算次数。拉格朗日插值法计算过程没有 继承性，每增加一个节点，整个计算过程要重新进行，牛顿插值法避免了这个问 题，减少了计算的步数。
3.对比牛顿前插和牛顿后插两种方法的差异，讨论分析同一个数值两种方法的计 算结果。
答：如果插值点 x 离 x0。比较近，则一般使用牛顿前差公式;如果插值点 x
离 x0。比较远，则一般使用牛顿后差公式。但对于同一个插值点 x 来说，不管 用牛顿前差公式还是用牛顿后差公式，得到的结果是一-样的，这两种插值公式 只是形式上的差别。 4.讨论分段插值法的意义。
答：高次插值的收敛性没有保证，实际计算稳定性也没有保证，所以当插值结 点 n 较大时，通常不采用高次多项式插值，用低次多项式插值，它能保证收敛性， 得到的结果也相对稳定。

第1篇一、实验目的1. 理解并掌握插值法的基本原理和常用方法。

2. 学习使用拉格朗日插值法、牛顿插值法等数值插值方法进行函数逼近。

3. 分析不同插值方法的优缺点，并比较其精度和效率。

4. 通过实验加深对数值分析理论的理解和应用。

二、实验原理插值法是一种通过已知数据点来构造近似函数的方法。

它广泛应用于科学计算、工程设计和数据分析等领域。

常用的插值方法包括拉格朗日插值法、牛顿插值法、样条插值法等。

1. 拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一种基于多项式的插值方法。

其基本思想是：给定一组数据点，构造一个次数不超过n的多项式，使得该多项式在这些数据点上的函数值与已知数据点的函数值相等。

2. 牛顿插值法牛顿插值法是一种基于插值多项式的差商的插值方法。

其基本思想是：给定一组数据点，构造一个次数不超过n的多项式，使得该多项式在这些数据点上的函数值与已知数据点的函数值相等，并且满足一定的差商条件。

三、实验内容1. 拉格朗日插值法（1）给定一组数据点，如：$$\begin{align}x_0 &= 0, & y_0 &= 1, \\x_1 &= 1, & y_1 &= 4, \\x_2 &= 2, & y_2 &= 9, \\x_3 &= 3, & y_3 &= 16.\end{align}$$（2）根据拉格朗日插值公式，构造插值多项式：$$P(x) = \frac{(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)(x_0-x_3)}y_0 + \frac{(x-x_0)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)(x_1-x_3)}y_1 + \frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_3)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)(x_2-x_3)}y_2 + \frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)}{(x_3-x_0)(x_3-x_1)(x_3-x_2)}y_3.$$（3）计算插值多项式在不同点的函数值，并与实际值进行比较。

武汉理工大学学生实验报告书实验课程名称数值分析开课学院计算机科学与技术学院指导老师姓名学生姓名学生专业班级2010—2010学年第一学期实验课程名称：数值分析第二部分：实验调试与结果分析（可加页）一、调试过程（包括调试方法描述、实验数据记录，实验现象记录，实验过程发现的问题等）（1）用拉格朗日插值法计算时，输入及运行结果如下：拉格朗日插值法牛顿插值法（2）利用二次插值计算时，输入及运行结果如下：拉格朗日插值法牛顿插值法（3）用艾尔米特插值法计算时,f(x)的插值多项式H5(x)=(1+4*x)*(x-0.5)*(x-0.5)*(x-2)*(x-2)+(3.90807-6.03838*x)*(x-2)*(x-2)*x*x+(2.34573-4.16674*x)*x*x*(x-0.5)*(x-0.5)（4）各插值算法的精度差异比较经过比较，拉格朗日插值法要比牛顿插值法算法的计算量多一些，拉格朗日插值法后一次计算时用到了前一次计算的结果，提高了运算的效率，但拉格朗日插值法在构造艾尔米特插值法时很方便，将坐标点和对应的导数结合起来的精度比线性插值的精度又要高一些。

但从实验数据来看，在坐标不是很多的情况下，已知的点越多精度也就相对较高。

对于实验要求的第二组数据用拉格朗日插值法（或者牛顿插值法）实验结果如下：一下分别是二阶、三阶、四阶、五阶插值得到的结果以上只是实验结果的一部分，改变插值的位置时，得到的实验结果精度也是有所不同的。

由以上结果分析可知，插值次数并不是越多越好，多了反而会让结果更加偏离真实结果，这充分说明了高次插值存在“病态性质”，在已知点很多的情况下应该采用分段低次插值，将拉格朗日插值法和牛顿插值法运用到分段低次插值法当中，这样得到的结果可能胡更加精确。

数值分析插值实验报告引言插值是数值分析中常用的一种技术，通过已知点的函数值来推测未知点的函数值。

在实际应用中，我们经常需要根据有限的数据点来估计连续函数的值，这时插值就起到了关键作用。

本实验旨在通过插值方法来推测未知数据点的函数值，并对比不同插值方法的精度和效果。

实验目的1.了解插值的基本概念和方法；2.掌握常见的插值方法，如拉格朗日插值、牛顿插值等；3.对比不同插值方法的精度和效果，分析其优缺点。

实验步骤1.数据采集：选取一组已知数据点，作为插值的基础。

这些数据点可以是从实际场景中测量得到的，也可以是人为设定的。

2.插值方法选择：根据实验要求和数据特点，选择适合的插值方法。

常见的插值方法包括拉格朗日插值、牛顿插值、分段线性插值等。

3.插值计算：根据选定的插值方法，利用已知数据点进行计算，并得到插值结果。

4.结果分析：比较插值结果与实际数据的差异，并评估插值方法的精度和效果。

可以使用误差分析等方法进行评估。

5.优化调整：根据实验结果和需求，对插值方法进行优化调整，以提高插值的准确性和可靠性。

实验结果与讨论通过实验，我们得到了不同插值方法的结果，并进行了对比和分析。

根据实验数据和误差分析，我们可以得出以下结论：1.拉格朗日插值方法具有较高的插值精度，在一定程度上能够准确地模拟实际数据。

2.牛顿插值方法相对于拉格朗日插值方法而言，对于大量数据点的计算速度更快，但在少量数据点的情况下，两者的精度差异较小。

3.分段线性插值方法适用于数据点较为离散的情况，能够提供较为平滑的插值结果。

4.插值方法的选择应根据具体需求和数据特点进行，没有一种插值方法适用于所有情况。

实验总结通过本次实验，我们对插值方法有了更深入的了解，并掌握了常见的插值方法的原理和应用。

实验结果表明，插值方法在数值分析中起到了重要的作用，能够准确地推测未知点的函数值。

然而，在实际应用中，我们还需要考虑数据的特点、插值方法的适用性以及计算效率等因素。

数值分析实验报告（插值法）武汉理⼯⼤学学⽣实验报告书实验课程名称数值分析开课学院计算机科学与技术学院指导⽼师姓名学⽣姓名学⽣专业班级2010—2010学年第⼀学期实验课程名称：数值分析第⼆部分：实验调试与结果分析（可加页）⼀、调试过程（包括调试⽅法描述、实验数据记录，实验现象记录，实验过程发现的问题等）（1）⽤拉格朗⽇插值法计算时，输⼊及运⾏结果如下：拉格朗⽇插值法⽜顿插值法（2）利⽤⼆次插值计算时，输⼊及运⾏结果如下：拉格朗⽇插值法⽜顿插值法（3）⽤艾尔⽶特插值法计算时,f(x)的插值多项式(x)=(1+4*x)***(x-2)*(x-2)+（4）各插值算法的精度差异⽐较H5经过⽐较，拉格朗⽇插值法要⽐⽜顿插值法算法的计算量多⼀些，拉格朗⽇插值法后⼀次计算时⽤到了前⼀次计算的结果，提⾼了运算的效率，但拉格朗⽇插值法在构造艾尔⽶特插值法时很⽅便，将坐标点和对应的导数结合起来的精度⽐线性插值的精度⼜要⾼⼀些。

但从实验数据来看，在坐标不是很多的情况下，已知的点越多精度也就相对较⾼。

对于实验要求的第⼆组数据⽤拉格朗⽇插值法（或者⽜顿插值法）实验结果如下：⼀下分别是⼆阶、三阶、四阶、五阶插值得到的结果以上只是实验结果的⼀部分，改变插值的位置时，得到的实验结果精度也是有所不同的。

由以上结果分析可知，插值次数并不是越多越好，多了反⽽会让结果更加偏离真实结果，这充分说明了⾼次插值存在“病态性质”，在已知点很多的情况下应该采⽤分段低次插值，将拉格朗⽇插值法和⽜顿插值法运⽤到分段低次插值法当中，这样得到的结果可能胡更加精确。

对于分段低次插值本实验没有给出实验结果，但从实践上来看，分段低次插值的精度要⽐线性插值精度⾼，但当插值阶数⽐较少的时候没有必要采⽤分段低次插值。

⼆、实验⼩结、建议及体会各种插值法都有⾃⼰的利与弊，拉格朗⽇插值法运算过程相对复杂，但当和导数结合起来，组成抛物插值的时候，精度就可以提⾼很多。

⽜顿插值法、拉格朗⽇插值法等线性插值法只能适合在已知点不多的情况下使⽤，当已知的坐标点很多时候应该将区间分成⼩段进⾏分段线性插值或者分段抛物插值。

拉格朗日牛顿插值法实验报告-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN标题：实验一拉格朗日插值法算法与牛顿插值算法一、实验目的：1.体会并了解拉格朗日插值法，用计算机插入x值，输出相应的y值。

2.体会并了解牛顿插值法，用计算机插入x值，输出相应的y值。

二、实验原理：1.拉格朗日插值法的插值公式：L n(x)=∑y knk=0(x−x0)(x−x1)?(x−x n)(x−x k)(x k−x0)?(x k−x k−1)(x k−x k+1)?(x k−x n)2．牛顿插值法的插值公式：P n(x)=f(x0)+f[x0,x1](x−x0)+f[x0,x1,x2](x−x0)(x−x1)+?+f[x0,x1,?,x n](x−x0)?(x−x n−1)f[x0,x1,?,x k]=∑f(x j)(x j−x0)?(x j−x j−1)(x j−x j+1)?(x j−x k)kj=0三、算法设计与程序流程图：1.拉格朗日插值法算法分析：a.输入节点的个数j。

b.输入节点的横纵坐标。

c.输入新插入的节点的横坐标。

d.通过两次循环求得新插入节点的纵坐标。

程序流程图：2.牛顿插值算法分析：a.输入节点的个数j。

b.输入节点的横纵坐标。

c.输入新插入的节点的横坐标。

d.通过两次循环求得新插入节点的纵坐标。

程序流程图：四、源程序：#include ""#include ""int main(){float x[20],y[20];int k,j,i,flag;float a,b1,b2,c,d,e,f,w1,w2,l,L,newx,P;w1=1;w2=1;L=0;P=0;printf("请输入数据，不得超过20组。

\n");printf("输入的数据为几组:");scanf("%d",&j);for(i=0;i<=j-1;i++){printf("第%d组为:\n",i+1);printf("x=");scanf("%f",&x[i]);printf("y=");scanf("%f",&y[i]);}printf("请选择:1,拉格朗日插值。

实验一报告拉格朗日插值法一、实验目的1、学习和掌握拉格朗日插值多项式2、运用拉格朗日插值多项式进行计算二、实验原理根据x0,x1,…xn；y0,y1,…yn构造插值多项式其表达式为：将插值点x代入上式，就可得到函数f(x)在点x处的函数值的近似值。

三、运行结果四、代码using System;using System.Collections.Generic;using System.Linq;using System.Text;namespace ConsoleApplication3{class Program{static double lglr(double[] x, double[] y, double x1, int n) {double result = 0.0;for (int i = 0; i <n; i++){double temp = y[i];for (int j = 0; j < n; j++){if (j == i)continue;temp = temp * (x1 - x[j]);temp = temp / (x[i] - x[j]);}result = result + temp;}return result;}static void Main(string[] args){double[] x;double[] y;Console.WriteLine("请输入插值点数：");int length = Convert.ToInt32(Console.ReadLine());x = new double[length];y = new double[length];for (int i = 0; i < length; i++){Console.Write("请输入第{0}个点的x值：", i + 1);x[i] = Convert.ToDouble(Console.ReadLine());Console.Write("请输入第{0}个点的y值：", i + 1);y[i] = Convert.ToDouble(Console.ReadLine());}Console.WriteLine("请输入x1值：");double x1 = Convert.ToDouble(Console.ReadLine());double result=lglr(x,y,x1,length);Console.Write("插值计算结果为：{0}：", result);Console.ReadLine();}牛顿插值法一、实验目的体会并了解牛顿插值法，用计算机插入x值，输出相应的y值。

数值分析上机实验实验一一．上机题目：已知： 4 =2,9 =3,16 =4分别用二次Lagrange和Newton插值法求7 的近似值。

二．解题方法：1．lagrange方法：设x0=4，y0=2，x1=9，y1=3，x2=16，y2=4代入方程:(x1-X)(x2-X)/(x1-x0)(x2-x0)*y0+(x0-X)(x2-X)/(x0-x1)(x2-x1)*y1+(x1-X)(x0-X)/(x1-x2)(x0-x2)*y2令X=7代入方程得 Y=2.628572．Newton方法：设x0=4，y0=2，x1=9，y1=3，x2=16，y2=4建表4 29 3 0.216 4 0.14286 -0.00476f(x)=f(x0)+f[x0,x1](X-x0)+f[x0,x1,x2](X-x0)(X-x1)(X-x2)令X=7代入方程得Y=2.62857三．算法公式步骤：grange方法：通过公式写出算法并得出最后的值Y：for(b=0;b<m;b++)//完成公式f(Xn)外层嵌套循环f[b]=i//{double l=1;//保证每次跳出内层循环将L置1 不会将第一项的值带入下一项//for(a=0;a<m;a++)//完成公式f(Xn)内层嵌套循环f[a]=j//{if(a!=b)//完成定义i=1,i!=j//l=(f[a]-F)/(f[a]-f[b])*l;//完成(j-m)/(j-i)//la=l*g[b];//完成公式的F(X0)=f(X0)*Y0并累乘输出结果// }Y=la+Y;//累加x0y0+x1y1+...得最后结果//}2．Newton方法：先建表，通过二维数组的思想建表for(l=2;l<m+2;l++)//外层循环控制y阶数//{for(k=1;k<m+1;k++)//内层循环控制x个数//{a[k][l]=(a[k][l-1]-a[k-1][l-1])/(a[k][0]-a[k-l+1][0]);//完成f(x0,x1,...,xn)并存表//}}填表。

数值实验报告二班级：计通学院学号：姓名：2016-10-171.数值实验问题运用matlab编写*.m文件，编写两种差值函数。

根据给定的样本点：计算所需差值节点及差值函数。

具体要求：1）用拉格朗日差值函数、牛顿差值算法分别计算差值多项式；2）在差值区间取间断点，分别用拉格朗日及牛顿差值算法计算出差值函数是多少；3）利用要求2的基本点画出图像。

2.数值方法分别采用拉格朗日差值算法以及牛顿差值算法；3.数值结果给出程序运行结果1）通过拉格朗日算法，求得多项式为yh=L(xh)=lagrange(x,y,xh);通过牛顿差值算法，求得多项式为yh=N（xh）=newton（x，y，xh）2）在区间（-4,5）上取步长为1的区间点并求值：x2=xh=（-4:1:5）3)做出图像a)拉格朗日差值点做图：plot(x2,lagrange1(x,y,x2),'ro--')b)牛顿差值点做图：plot(x2,newtown(x,y,x2),'g*-')4．讨论例如：总结数值实验中出现的问题，分析数值实验结果等。

首次实际应用MATLAB编写应用程序，感觉到了许多不一样的地方和方便但是也需要加深熟悉的地方：a)matlab不像C++等过程化代码，强调变量类型，变量格式。

可以方便申请及运算。

但是有点搞不明白数值和数组之间的构造及转换。

比如zeros(）及ones（）这些函数和直接赋值0 1的区别；b)输出语句的格式控制不能掌握，如同样的运算结果拉格朗日程序结果用了科学计数法，而牛顿差值却直接给了算数结果；c)在数学公式转换成程序语句时，构造能力有所欠缺。

面对牛顿差值公式的转换，两个for循环的嵌套运算深感头皮发麻，试着改着才能把最后的结果算好。

程序代码：在此复制——数值实验中所写的Matlab程序代码a)拉格朗日差值函数：function yh=lagrange1(x,y,xh)n=length(y);yh=zeros(size(xh)); %构造差值点数据for k=1:n,pt=1;for j=[1:k-1 k+1:n],pt=pt.*(xh-x(j))/(x(k)-x(j));endyh=yh+y(k)*pt;endb)牛顿差值函数：%先计算茶商，然后再调用差商运算结果计算牛顿差值function [p,q]=chashang(x,y)n=length(x);p(:,1)=x;p(:,2)=y;for j=3:n+1N=diff(p(1:n+3-j,j-1));M=x(j-1:n)-x(1:n+2-j);p(1:n+2-j,j)=N'./M;endq=p(1,2:n+1)'; %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% function yh=newtown(x,y,xh)[p q]=chashang(x,y);n=length(y);% yh=zeros(size(xh)); %构造差值点数据yh=0; %搞不懂zeros（）和直接等于零的差别for k=1:npt=1;for j=1:k-1,pt=pt.*(xh-x(j));endyh=yh+q(k)*pt;end。

《数值分析》实验报告学院：计算机科学与软件学院姓名：XXX班级：计算机XX班学号：XXXXXX实验一：舍入误差与数值稳定性实验目的：1、 通过上机编程，复习巩固以前所学程序设计语言；2、 通过上机计算，了解舍入误差所引起的数值不稳定性。

3、 通过上机计算，了解运算次序对计算结果的影响，从而尽量避免大数吃小数的现象。

实验内容：用两种不同的顺序计算644834.11000012≈∑=-n n ，分析其误差的变化。

实验流程图：实验源程序:#include <stdio.h>#include <math.h>void main(){ int i;float s1=0,s2=0,d1,d2;for (i=1;i<=10000;i++)s1=s1+1.0f/(i*i);for (i=10000;i>=1;i--)s2=s2+1.0f/(i*i);d1=(float)(fabs(1.644834-s1));d2=(float)(fabs(1.644834-s2));printf("正向求和结果为%f\n 误差为%f\n\n",s1,d1);printf("反向求和结果为%f\n 误差为%f\n\n",s2,d2);if(d1<d2)printf("正向求和误差小于负向求和误差\n");else if(d1==d2)printf("正向求和误差等于负向求和误差\n"); elseprintf("正向求和误差大于负向求和误差\n");}实验结果：实验分析：第一次做数值实验，又一次使用C语言编程，没有了刚学习C语言的艰难，能够将实验步骤转换成流程图并编写出完整的实验代码，在经过多次调试、改正后得到正确的程序和结果。

这个实验较简单，计算误差时如果输入数据有误差，而在计算过程中舍入误差不增长，则称此算法是稳定的，否则称此算法是数值不稳定的，减少运算次数可以减小舍入误差。

数值分析实验报告一、实验目的数值分析是一门研究用计算机求解数学问题的数值方法及其理论的学科。

本次实验的目的在于通过实际操作和编程实现，深入理解和掌握数值分析中的常见算法，提高运用数值方法解决实际问题的能力，并对算法的精度、稳定性和效率进行分析和比较。

二、实验环境本次实验使用的编程语言为 Python，使用的开发工具为 PyCharm。

实验所依赖的主要库包括 NumPy、Matplotlib 等。

三、实验内容（一）函数逼近与插值1、拉格朗日插值法通过给定的离散数据点，构建拉格朗日插值多项式，对未知点进行函数值的估计。

2、牛顿插值法与拉格朗日插值法类似，但采用了不同的形式和计算方式。

（二）数值积分1、梯形公式将积分区间划分为若干个梯形，通过计算梯形面积之和来近似积分值。

2、辛普森公式基于抛物线拟合的方法，提高积分近似的精度。

（三）线性方程组求解1、高斯消元法通过逐行消元将线性方程组化为上三角形式，然后回代求解。

2、 LU 分解法将系数矩阵分解为下三角矩阵 L 和上三角矩阵 U，然后通过两次前代和回代求解。

（四）非线性方程求解1、二分法通过不断将区间一分为二，逐步缩小根所在的区间，直到满足精度要求。

2、牛顿迭代法利用函数的切线来逼近根，通过迭代逐步收敛到根的近似值。

四、实验步骤（一）函数逼近与插值1、拉格朗日插值法定义计算拉格朗日基函数的函数。

根据给定的数据点和待求点，计算插值多项式的值。

输出插值结果，并与真实值进行比较。

2、牛顿插值法计算差商表。

构建牛顿插值多项式。

进行插值计算和结果分析。

（二）数值积分1、梯形公式定义积分区间和被积函数。

按照梯形公式计算积分近似值。

分析误差。

2、辛普森公式同样定义积分区间和被积函数。

运用辛普森公式计算积分近似值。

比较与梯形公式的精度差异。

（三）线性方程组求解1、高斯消元法输入系数矩阵和右端项向量。

进行消元操作。

回代求解方程。

输出解向量。

2、 LU 分解法对系数矩阵进行 LU 分解。