破解椭圆中最值问题的常见策略名师制作优质教学资料

高中数学椭圆中的最值问题邓卫和函数的最值、值域问题是高二数学的一个热点问题，它常和其他数学知识结合，增加了题目的难度。

本文就椭圆中的一些最值问题作一些简单的探讨。

一、已知椭圆的方程，求线段或线段和的最值例1. 已知椭圆1y 4x 22=+上的一动点P 和一定点)0,a (A ，试求线段|PA|的最小值。

分析：如图1所示，P 为椭圆1y 4x 22=+上的点，则点P 的坐标有一定的X 围限制，因此，求线段|PA|的最小值时要对a 进行讨论。

图1解：设点P （x ，y ）是椭圆1y 4x 22=+上的一点，则由两点公式可知 13a 3a 4x 43a 1ax 24x 34x a )a x (y )a x (|PA |22222222+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++-=-+-=+-= []2,2x -∈ 当23a 4-<，即23a -<时，x 取2-，|2a |a a 44|PA |2min +=++= 当23a 42≤≤-，即23a 23≤≤-时，x 取3a 4，3a 1|PA |2min -= 当23a 4>，即23a >时，2x =，|2a |a a 44|PA |2min -=+-= 点评：这里字母a 是常量，但是不知道它的具体值，因此要加以讨论，许多同学会忽视这一情况。

例2. 已知椭圆116y 25x 22=+的左焦点为F ，椭圆内有一个定点A （4，1），P 为椭圆上的任意一点，试求|PA ||PF |+的最大值。

分析：如图2所示，设右焦点为C ，式子|PF|+|PA|涉及到了焦半径|PF|，所以可利用椭圆的定义，将|PA ||PF |+转化为|PC ||PA |a 2-+，然后应用三角形中两边之和大于第三边这个性质求得最大值。

图2解：设椭圆的右焦点为C 则|)PC ||PA (|a 2|PA ||PC |a 2|PF ||PA |-+=+-=+ |AC ||PC ||PA |≤-（当点P 在线段AC 的延长线上时取“=”），所以|PF ||PA |+=210|AC |a 2|PA ||PC |a 2+=+≤+-。

【答案】2
3．【解析】设椭圆方程为 ＋ ＝1(a>b>0)，半焦距为c，则由条件，得b＝c，b2＋c2＝4，解得b＝c＝ ，于是a＝2，从而C、D就是椭圆的焦点，于是PC＋PD＝2a＝4，由基本不等式得PC·PD≤ 2＝4，即PC·PD的最大值为4．
【答案】4
4．【解析】设M(x0，y0)，A(x1，y1)，则B(－x1，－y1)，从而k1·k2＝ · ＝ ，
(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；
(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；
(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径．
1．已知椭圆C： ＋ ＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(1，0)，右顶点为A，且|AF|＝1．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若动直线l：y＝kx＋m与椭圆C有且只有一个交点P，且与直线x＝4交于点Q，问：是否存在一个定点M(t，0)，使得 · ＝0．若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
【知识导图】
【教学建议】
1．定点、定值、探索性问题是椭圆中的综合题，一直是高考考查的重点和热点问题．
2．本部分在高考试题中多为解答题，是中高档题．
Ey＋F＝0交点的圆的方程．
(3)与椭圆有关的参数的定值问题．
(1)参数的取值范围：
由直线和椭圆的位置关系或几何特征引起的参数如k，a，b，c，(x，y)的值变化．此类问题主要是根据几何特征建立关于参数的不等式或函数进行求解．
答案与解析
1．【解析】直线方程即为y－2＝a(x－3)，因此当x－3＝0且y－2＝0时，这个方程恒成立，故直线系恒过定点(3，2)．
【答案】(3，2)
2．【解析】因直线与圆没有公共点，所以圆心到直线的距离 >2，则m2＋n2<4，可以判断出点(m，n)在椭圆的内部，故过点(m，n)的直线与椭圆的交点个数为2．

椭圆中的常见最值问题1、椭圆上的点P 到二焦点的距离之积||||21PF PF 取得最大值的点是椭圆短轴的端点，取得最小值的点在椭圆长轴的端点。

例1、椭圆192522=+y x 上一点到它的二焦点的距离之积为m ，则m 取得的最大值时，P 点的坐标是 。

P （0，3）或（0，-3）例2、已知椭圆方程12222=+by a x （222,0c b a b a +=>>）p 为椭圆上一点，21,F F 是椭圆的二焦点，求||||21PF PF 的取值范围。

分析：22221))((||||x e a ex a ex a PF PF -=-+=，)|(|a x ≤当a x ±=时，min 21||||PF PF =222b c a =-，当0=x 时，2max 21||||a PF PF = 即≤2b ||||21PF PF 2a ≤2、椭圆上到的椭圆内一个定点的距离与它到焦点距离之差取得最大值或最小值的点是这个定点与焦点连线延长线或反向延长线与椭圆的交点,最大值、最小值分别是定点到该焦点的距离和其相反数。

例3、已知)1,1(A ，1F 、2F 是椭圆15922=+y x 的左右焦点，P 为椭圆上一动点，则||||2PF PA -的最大值是 ，此时P 点坐标为 。

||||2PF PA -的最小值是 ，此时P 点坐标为 。

3、椭圆上到椭圆内定点的距离与它到椭圆的一个焦点的距离之和取得最小值或最大值的点是另一焦点与定点连线的延长线或反向延长线与椭圆的交点。

例4、已知)1,1(A ，1F 是椭圆15922=+y x 的左焦点，P 为椭圆上一动点，则||||1PF PA +的最小值是 ，此时P 点坐标为 。

||||1PF PA +的最大值是 ，此时P 点坐标为 。

分析：||||||||||2121AF PF PF PF PA ++≤+，当P 是2AF 的延长线与椭圆的交点时取等号。

||||||||||2121AF PF PF PF PA -+≥+，当P 是2AF 的反向延长线与椭圆的交点时取等号。

苏教高中数学高考二轮复习专题椭圆 中面积 最值问 题ppt（ 精品系 列PPT ）
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典例剖析
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先画图 线参数
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先画图
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典例剖析
线参数
D
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参数m, n的关系
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典例剖析
D
典例剖析
点参数
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建立面积关于坐标分量 的二元(或一元)函数
也可以三角换元 求此最值
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典例剖析
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建立面积函数
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解法提炼
求椭圆中三角形面积的最值： (1)解题方向：建立面积关于某个(某些)变量的函数． (2)实现策略
选择参数：斜率参数，点参数，线参数，角参数等． 计算要点：①选择恰当的三角形面积计算公式；②选择点参 数(或线参数)时要善于利用等式消元；③关注参数的范围(定义 域)；④求最值的方法：导数法，基本不等式法，几何法等．

破解椭圆中最值问题的常见策略
武晨
【期刊名称】《数学学习与研究：教研版》
【年(卷),期】2016(000)003
【摘要】椭圆是圆锥曲线中最重要的内容,不管是在高考还是对口单招的考生中都占有重要比重,考察内容基本都以解答题为主,是考察的一个重点同时也是一个难点.本文通过典型例题的剖析与解答,旨在探索一般的解题策略.
【总页数】2页(P97-98)
【作者】武晨
【作者单位】江苏联合职业技术学院南京分院,210019
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.例析处理椭圆中的最值问题的方法与策略
2.破解函数最值问题的常见策略
3.巧用数形结合法破解二次函数在闭区间上的最值问题——高中数学教学中对解题方法和解题策略的探究
4.破解“椭圆中的范围或最值问题”
5.破解“椭圆中的范围或最值问题”
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9 (t 8)2 36 24 16
A（x,y)
x
D
练习:已知 F1、F2
分别为椭圆E:
+ x2
y2
25 9
= 1的左右焦点
直线 l : x - y +8 = 0 上一动点P，求 PF1 + PF2 的最小值。
y
P
F1 O F2
x
动画演示
1. 求圆锥曲线中的最值的基本方法：定义法、几何法、参数 法、换元法、不等式法、构造函数法、配方法等。
y
（2）定点A（1，4），求PA+PF的最小值 ；
.A
P
（3）定点B（2，1），求PB+PF的最值； P1
（4）求的PB 5 PF最小值。 4
O
F P2 x
y
P
B
O
F
Q N
x
y
P
B
P2
P1 F1 O
F
x
利用圆锥曲线的定义将折线段和的问题化归为平面上直线段最短来解决.
例1.设 实 数x，y满 足 x2 y2 1 16 9
面 积 的 最 大 值 是_1_2___2___.
O
D
C x
A
你
y
来
y B
迁
P
P
移
O
x
O
x
l
求抛物线上一动点P到 定直线l的距离的最小值
A
求SPAB的最大值
练习:矩形ABCD内接于椭圆E:
x2 16
+ y2 9
=1
中,求矩形
面积的最大值.
法一（参数法）设 A(4cos,3sin), SABCD 4 4cos 3sin 24sin 2 24.

解答椭圆中最值问题策略椭圆是圆锥曲线这一章节中的重要内容，而与椭圆有关的最值问题则是解析几何中最值问题的一个组成部分.与椭圆有关的最值问题具有综合性强、涉及知识面广等特点，是学习中的一个难点.要解决这类问题往往利用函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归等数学思想方法，将它转化为解不等式或求函数值域，以及利用函数单调性、各种平面几何中最值的思想来解决.一、建立目标函数，利用函数性质例1　设P(x ，y)是椭圆＋＝1上的一点，F 1为椭圆的左焦点，求|PF 1|的最大值和x264y228最小值.分析：由于点F 的坐标为(－6，0)，因此只须设出点P 的坐标(x ，y)，结合椭圆方程即可建立|PF 1|关于横坐标x 的目标函数，再结合函数的即可求解.解：椭圆的左焦点F 1坐标为(－6，0)，根据两点的距离公式，得|PF 1|＝＝＝＝|x ＋|，(x ＋6)2＋y234323由已知，得x ∈[－8，8]，函数|x ＋|在[－8，8]上为增函数，34323故|PF 1|max ＝|8＋|＝14，|PF 1|min ＝|－8＋|＝2.3432334323点拨：函数法是探求最值问题的常用方法，尤其是二次函数，值得注意的是函数自变量取值范围的确定不容忽视.同时通过本题的解答，可得结论：椭圆上的点到焦点的距离取得最大值和最小值的点就是椭圆的两个端点.二、利用定义转化，结合平面几何性质例2　已知A (4，0)、B (2，2)，M 是椭圆9x 2＋25y 2＝225上的动点，求|MA |＋|MB |的最大与最小值.分析：由于A(4，0)是椭圆的焦点，因此可以利用椭圆的定义对|MA |＋|MB |转化，转化为求解椭圆上一动点到定直线上两定点的距离之差的最值问题.解析：如图所示，由题意，知点A (4，0)恰为椭圆右焦点，则A 关于O 的对称点A 1(－4，0)(左焦点)，由椭圆的第一定义，得|MA |＋|MA 1|＝2a ，|MA |＝2a －|MA 1|，∴|MA |＋|MB |＝(2a －|MA 1|)＋|MB |=2a ＋(|MB －|MA 1|)，在△A 1BM 中，||MB |－|MA 1||≤|A 1B |＝2，－2≤|MB |－|MA 1|≤2，101010又2a ＝10.故|MA |＋|MB |的最大值是10＋2，最小值为10－2.1010点评：(1)涉及椭圆的焦点问题，一般都可以利用定义引导思维，同时常起着转化的作用；(2)注重使用平面几何知识“三角形中的三边关系”，三点共线为特例，从而确定最值.三、巧妙设角，利用三角函数有界性例3　已知椭圆C ：＋＝1(a ＞b ＞0)两个焦点为F 1，F 2，如果曲线C 上存在一点x2a2y2b2Q ，使F 1Q ⊥F 2Q ，求椭圆离心率的最小值。

|
y2 -2 2(
=3
|
8-4
s
i
n(
α+
π
)
|≥3|8-4|=1
2,
4
π
当且仅当 α= 时 取 等 号。 故 3|x2 -x1|+
4
6
|
2。
y2 -y1|的最小值为 1
例 4
已 知 椭 圆 C 的 焦 点 分 别 为 F1 、
若 椭 圆 C 上 存 在 点 M ,使 得
F2 ,
|F1F2|=2,
∠F1MF2 =9
逻 辑 推 理、
数学运算等核心素养。解 决 这 类 问 题 可 采 用
函数 f (
y)
max = f
1
2
1-a
2
1
2
=(
1- a )·
2
1-a
2
1
2
2
=
2 +a +1=a +1+ 2
1-a
a -1
。
解得 a= 2(
舍去)
4,
综上所述,
1<a≤ 2。故选 A。
以下几种解题策略,
下面分类进行例析。
策略一、
|ME|-|MN|取 最 大 值,且 最
(
责任编辑
徐利杰)
33
要求|MF|+|MN|的 最 小 值,只 需 求
相关 数 学 知 识、思 想 方 法、综 合 运 用 能 力,能
。
|MN|=6- (
|ME|-|MN|)
有效提升学习备考的 针 对 性、
有 效 性,
提高对
|ME|-|MN|的 最 大 值。 显 然,当 M ,

（三）合作探究，强化运用意识
（1）解：由题意，可设直线 AB 的方程为 x=﹣ky+n，代入椭圆方程
，
可得（k2+2）y2﹣2kny+n2﹣2=0， 设 A（x1，y1），B（x2，y2）． 由题意，△=4k2n2﹣4（k2+2）（n2﹣2）=8（k2﹣n2+2）＞0，
由韦达定理得
设线段 AB 的中点 P（x0，y0），
解：︱MP︱+︱MF2︱=︱MP︱+2a-︱MF1︱ 连接 PF1 延长 PF1 交椭圆于点 M1,延长 F1P 交椭圆于点 M2 由三角形三边关系知–︱PF1︱ ︱MP︱-︱MF1︱ ︱PF1︱ 当且仅当 M 与 M1 重合时取右等号、M 与 M2 重合时取左等号。 因为 2a=10, ︱PF1︱=2 所以（︱MP︱+︱MF2︱）max=12, （︱MP︱+︱MF2︱）min=8
（一）知识回顾，聚焦核心考点
2.椭圆的标准方程 和简单几何性质
|x|≤a，|y|≤b (±a，0)，(0，±b)
|y|≤a，|x|≤b (0，±a)，(±b，0)
x＝0，y＝0 (0，0)
（一）知识回顾，聚焦核心考点
3.弦长公式
设斜率为 k(k≠0)的直线 l 与圆锥曲线 C 的两个交点为 A(x1,y1),B(x2,y2),则
1、 椭圆中的最值问题类型较多, 距离、离心率、弦长、面积，斜率等等， 解法灵活多变, 有函数法、不等式法、定义法、几何法、三角代换 法，设而不求法，等，但总体上主要有两种角度: 一是几何角度,即利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定 理、性质等进行求解; 二是代数角度,即把几何条件转化为代数表达,然后利用方程法，函
丰富学生思维活动，提升数学核心素养

【课堂小结】
【巩固练习】
1.F1是椭圆 的左焦点，P是椭圆上的动点，A（1,1）为定点，则︱PA︱+︱PF1︱的最小值是（）A.9-√2 B.6-√2 C.3+√2 D.6+√2
2.若P(x,y)为椭圆 上任意一点，求2x+3y的最值
3.已知椭圆x2+8y2=8,在椭圆上求一点P，使P到直线l:x-y+4=0的距离最小，并求最小值。
二、自主学习
1.复习点与圆的位置关系
2．阅读教材第95到96内容
三、合作探究：
探究1
1、操作：请你画一个圆，上、下移动直尺。
(1)观察、思考：在移动过程中，把直尺的一边看作直线，它与圆的公共点个数出现了几
种情况？
(2)通过上述操作说出直线与圆有几种位置关系
(3)画出直线与圆的位置关系的图形
2、填空：直线与圆有种位置关系：ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4.已知椭圆4x2+5y2=20内有一点P(1，-1),F是椭圆右焦点，在椭圆上求一点M,使︱MP︱+√5︱MF︱的值最小。
5.在直线 上任意取一点P，经过P点且以椭圆 的焦点为焦点作椭圆，问当P在何处时，所作椭圆的长轴最短？并求出长轴最短时的椭圆方程。
6.已知点P是椭圆 上的动点，Q(0，),求︱PQ︱的最大值
注意：从左向右是直线与圆的位置关系的性质，反过来是它的判定。
设计人：时间：2015年10月23日班级：二年二班
课题
椭圆中的最值问题
五、利用两点关于直线对称，确定长轴最短的椭圆方程。
例5.在直线l:x+y-4=0上任取一点M，过点M且以椭圆 的焦点为焦点作椭圆，当点M在何处时所作的椭圆长轴最短？并求出此时椭圆方程。

破解椭圆中最值问题的常见策略有关圆锥曲线的最值问题，在近几年的高考试卷中频频出现，在各种题型中均有考查，其中以解答题为重，在平时的高考复习需有所重视。

圆锥曲线最值问题具有综合性强、涉及知识面广而且常含有变量的一类难题，也是教学中的一个难点。

要解决这类问题往往利用函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归等数学思想方法，将它转化为解不等式或求函数值域，以及利用函数单调性、各种平面几何中最值的思想来解决。

第一类：求离心率的最值问题破解策略之一：建立c b a ,,的不等式或方程例1：若B A ,为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的长轴两端点，Q 为椭圆上一点，使0120=∠AQB ，求此椭圆离心率的最小值。

分析：建立c b a ,,之间的关系是解决离心率最值问题常规思路。

此题也就要将角转化为边的思想，但条件又不是与焦点有关，很难使用椭圆的定义。

故考虑使用到角公式转化为坐标形式运用椭圆中y x ,的取值进行求解离心率的最值。

解：不妨设),(),0,(),0,(y x Q a B a A -，则ax yk a x y k BQ AQ -=+=,， 利用到角公式及0120=∠AQB 得：0120tan 1=-++--+ax y a x y a x ya x y （a x ±≠），又点A 在椭圆上，故22222y b a a x -=-，消去x ， 化简得2232c ab y =又b y ≤即b c ab ≤2232 则42223)(4c c a a ≤-，从而转化为关于e 的高次不等式 044324≥-+e e 解得136<≤e 。

故椭圆离心率的最小值为36。

（或2222)ab a b ≤=-，得：0b a <≤，由e =，故136<≤e ）（注：本题若是选择或填空可利用数形结合求最值） 点评：对于此类最值问题关键是如何建立c b a ,,之间的关系。

AB - AC BC
y
Mmax
M
o
F1
PMmin
x
例6
如运图动，，已点Q知在点椭P在圆圆xA2 :yx22+(1y上-2运)2=动，14 试上
求 PQ 旳最大值。4
y
P
点p在圆A上运动时
A
总有 PQ PA AQ
AQ 1 2
o
x
Q
∴只需求 AQ 旳最大值
规律措施：
1、P，Q均为动点，可先借助图形，利 用圆旳性质：平面上点到圆上最大最小值 过圆心。把其中一点看作定点，使其一定 一动，把问题转移到熟悉旳情境中来。
3、利用不等式，尤其是均值不等式求最 值与取值范围。
4、利用鉴别式求最值与取值范围。
• 与椭圆有关旳最值问题 • ——常看法决方法
回想下 :
若P 是椭圆上
x2 a2
+
y2 b2
=
1的点,F1,F2是椭圆的焦点,
则 PF2 max
, PF2 min
。
则 PO max
, PO min
函数思想
-6
-4
。
4
y3
2 1
-2
o
-1
-2
-3
-4
2
F2
x4
例1
若
AB
是过椭圆
x2 25
y2 16
2、利用三角形中两边之和不小于第三 边，逐一击破难点。
y
P A
o Qx
课堂小结：
解析几何中旳最值与取值范围问题涉及旳 知识面较广，但主要利用数形结合、函数两 大数学思想，详细措施有下列几种：
1、利用数形结合、几何意义，尤其是以 圆与椭圆旳性质求最值与取值范围。

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要点热点探究
► 探究点一 与椭圆有关的定值问题
在椭圆中出现的定值问题中，椭圆本身一般为固定的椭 圆，主要是椭圆上的动点构成的直线或与准线有关的动直线 过定点的问题．
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例 2 椭圆的两焦点坐标分别为 F1(－ 3，0)和 F2( 3，0)， 且椭圆过点1，－ 23.
(1)求椭圆方程； (2)过点－65，0作不与 y 轴垂直的直线 l 交该椭圆于 M、N 两点，A 为椭圆的左顶点，试判断∠MAN 的大小是否为定值， 并说明理由．
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【解答】 (1)由题意，即可得到椭圆方程为x42＋y2＝1. (2)设直线 MN 的方程为：x＝ky－65，
x＝ky－65， 联立直线 MN 和椭圆的方程x42＋y2＝1，
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主干知识整合
一、椭圆中的定值问题 由于椭圆只研究中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆问题，故动 态椭圆过定点问题一般不会出现，故椭圆中的定值问题主要包括以下 几个方面： 1．与椭圆有关的直线过定点 (1)y－y0＝k(x－x0)表示过定点(x0，y0)的直线的方程； (2)(A1x＋B1y＋C1)＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0 表示过直线 A1x＋B1y＋ C1＝0 和 A2x＋B2y＋C2＝0 交点的直线的方程． 2．与椭圆有关的圆过定点 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(A1x＋B1y＋C1)＝0 表示的是过直线 A1x ＋B1y＋C1＝0 和圆 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 交点的圆的方程． 3．与椭圆有关的参数的定值问题

椭圆中的最值问题与定点、定值问题解决与椭圆有关的最值问题的常用方法 （1）利用定义转化为几何问题处理；（2）利用数形结合，挖掘数学表达式的几何特征进而求解；利用函数最值得探求方法，将其转化为区间上的二次 函数的最值来处理，此时应注意椭圆中x 、y 的取值范围；精品财会，给生活赋能 （3）（4）利用三角替代（换元法）转化为 三角函数的最值问题处理。

一 、椭圆上一动点与焦点的距离的最值问题 椭圆上一动点与焦点的距离称为焦半径，椭圆上一动点与长轴的两端点重合时，动点与焦点取得最大值a+c （远日点）、最小值a-c （近日点）。

推导：设点),(00y x P 为椭圆)0( 12222>>=+b a by a x 上的任意一点，左焦点为)0,(1c F -，2201)(||y c x PF ++=，由 1220220=+b y a x 得)1(22020ax b y -=，将其代入20201)(||y c x PF ++=并化简得a x acPF +=01||。

所以，当点),(00y x P 为长轴的右端点)0,(2a A 重合时，a c a a acPF +=+⋅=max 1||；当点),(00y x P 为长轴的左端点)0,(1a A -重合时。

c a a a acPF -=+-⋅=)(||min 1。

当焦点为右焦点)0,(2c F 时，可类似推出。

1. （2015浙江卷）如图，已知椭圆 1222=+y x不同的点A 、B 关于直线21+=mx y 对称。

（1）求实数m 的取值范围；（2）求AOB ∆面积的最大值（O 为坐标原点）。

解：（1）由题意知0≠m ，可设直线AB 的方程为y =联立⎪⎩⎪⎨⎧+-==+bx m y y x 11222，消y 去，得012)121(222=-+-+b x m bx m 。

因为直线b x m y +-=1与椭圆1222=+y x 有两个不同的交点， 所以042222>++-=∆m b 。

解决与椭圆有关的最值问题除可利用椭圆的参数方程外，以下几种方法也是常用的.［例5］已知x ,y ∈R ,且x ,y 满足方程x 2+4y 2=1，试求f (x ,y )=3x +4y 的最大值、最小值.分析：将所求f (x ,y )=3x +4y 经过令z =f (x ,y )变形为y =443z x +-，而4z 是直线在y 轴上的截距，再根据A (x ,y )是x 2+4y 2=1上的点，故可采用判别式法去解决. 解：⎪⎩⎪⎨⎧=++-=1444322y x z x y ①代入②中，得13x 2-6zx +z 2-4=0∴Δ=36z 2-4×13(z 2-4)≥0∴-13≤z ≤13∴3x +4y 的最大值为13，最小值为-13.注意：直线-3x ±13=4y 是椭圆的斜率为-43的两条切线. ［例6］已知椭圆x 2+2y 2=98及点P （0，5），求点P 到椭圆距离的最大值与最小值.分析：以（0，5）为圆心，内切于椭圆的圆半径为r 1，即点P 到椭圆的最小值，以（0，5）为圆心外切于椭圆的圆的半径为r 2,即点P 到椭圆的最大值.解：∵02+2×52＜98∴点（0，5）在椭圆内部设以（0，5）为圆心和椭圆相切圆的方程为：x 2+(y -5)2=r 2 ①将椭圆方程x 2+2y 2=98代入①中，得r 2=-(y +5)2+148(-7≤y ≤7)∴当y =-5时，r max 2=148即：r max =237当y =7时，r min 2=4，即r min =2注意：本题的解法称为辅助圆法. ［例7］求定点A （a ,0）到椭圆1222=+y x 上的点之间的最短距离. 解：设B （x ,y ）为椭圆上任意一点.∴|AB |2=（x -a ）2+y 2=(x -a )2+1-22x ∴|AB |2=21(x -2a )2+1-a 2 ∵x ∈［-2,2］① ②若|a |≤22,则x =2a 时， |AB |min =21a若a ＞22,则x =2时， |AB |min =|a -2|若a ＜-22,则x =-2时， |AB |min =|a +2|注意：本题解法是函数法.。

课题：椭圆中的最值问题编制人： 审核人：一、使用说明：1、课前完成预习学案，牢记基础知识，掌握基本题型；2、认真限时完成，规范书写；课上小组合作探讨，答疑解惑。

二、学习目的：1、巩固椭圆的相关知识2、会将椭圆的知识与其它知识整合，如活用定义、性质等3、训练计算能力和计算技巧，合理选择计算途径和计算方法三、课前热身1、已知P 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的任意一点，F 为椭圆的一个焦点，则|PF|的最大值为_________，最小值为________.2、若椭圆C ：1122=++y m x （m >0）的一条准线方程为2-=x ，定点A （21，0）与椭圆上动点P 距离的最小值为 。

3、已知椭圆221259x y +=，A （4，0），B （2，2）是椭圆内的两点，P 是椭圆上任一点，（1）5||||4PA PB +的最小值为_________；（2）|PA|+|PB|的最小值为__________，最大值为____________。

4、已知椭圆2214x y +=，F 1，F 2为其两焦点，P 为椭圆上任一点，则（1）12||||PF PF ⋅的最大值为_______；（2）2212||||PF PF +的最小值为_______四、典例剖析例1、已知实数,x y 满足2241x y +=，求34x y +的最值。

例2、设椭圆的中心在原点，长轴在x轴上，离心率为e =P （0，32）到这个椭圆上的点的最远P例3、已知椭圆E ：12222=+by a x )0(>>b a ，其左、右焦点为)0,(),0,(21c F c F - )0(>c .（Ⅰ）若)0,2(2F 关于直线125516y x =+的对称点在椭圆E 上，求该椭圆E 的方程； （Ⅱ）若椭圆E 的内接平行四边形的一组对边分别经过它的两个焦点，求这个平行四边形面积的最大值.五、巩固提高1、已知椭圆E ：2212516x y +=，P (,)x y 是其上任意一点，求22x y +的最值；2、如图，已知A 是椭圆221169x y +=长轴上的一个顶点，B 是其短轴上的一个顶点， C 、D 是椭圆上两点，且分别在AB 两侧，则四边形ACBD 面积的最大值是_______3、一直线与椭圆相交于A 、B 两点，M 为AB 的中点，O 为坐标原点，若|OM|=1，求|AB|的最大值。