2019新版考研数学模拟测试试题(含参考答案)

2019最新考研数学模拟试题（含答案）学校：__________ 考号：__________一、解答题1．求对数螺线a r e θ=相应θ=0到θ=φ的一段弧长． 解：l =⎠⎛0φr 2+r ′2d θ =⎠⎛0φe 2a θ+a 2e 2a θd θ=1+a 2a ()e a φ-1．2．计算下列向量场A 的散度与旋度：(1)()222222,,y z z x x y =+++A ；解：()0,2,,y z z x x y ---(2)()222,,x yz x y z x yz =A ；解：()()()()2222226,,,xy x z y y x z z y x ---(3),,y x z yz z x x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭A . 解：111yz zx xy ++，2222221,,y y z z x x xyz z y x z y x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭3．利用四阶泰勒公式，求ln1.2的近似值，并估计误差.解：23455ln(1) (01)2345(1)x x x x x x x θθ+=--+-<<+ 234(0.2)(0.2)(0.2)ln1.2ln(10.2)0.20.18227234∴=+≈-++= 5555(0.2)(0.2)(0.2)7105(10.2)5n R θ-=<≈⨯+4．某人走过一桥的速度为4km ·h -1，同时一船在此人底下以8 km ·h -1的速度划过，此桥比船高200m ，求3min 后，人与船相离的速度.解：设t 小时后，人与船相距s 公里，则d d s s t === 且120d 8.16d t s t ==≈ (km ·h －1)5．计算曲线y =cosh x 上点(0，1)处的曲率.解：sinh ,cosh .y x y x '''==当x =0时，0,1y y '''== ，故 23/21.(1)y k y ''=='+ 6．验证：拉格朗日定理对函数3()2f x x x =+在区间[0，1]上的正确性.验证：因为()f x 在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，满足拉格朗日定理的条件. 由(1)(0)()(10)f f f ξ'-=-得2322ξ=+解得ξ=，即存在ξ=使得拉格朗日定理的结论成立.7．⑴ 证明：不等式ln(1) (0)1x x x x x<+<>+ 证明：令()ln(1)f x x =+在[0，x]上应用拉格朗日定理，则(0,),x ξ∃∈使得 ()(0)()(0)f x f f x ξ'-=- 即ln(1)1x x ξ+=+,因为0x ξ<<，则11x x x x ξ<<++ 即ln(1) (0)1x x x x x<+<>+ ⑵ 设0, 1.a b n >>>证明：11()().n n n n nb a b a b na a b ---<-<-证明：令()nf x x =,在[b ，a]上应用拉格朗日定理，则(,).b a ξ∃∈使得 1(), (,)n n n a b n a b b a ξξ--=-∈因为b a ξ<<,则111()()()n n n nba b n a b na a b ξ----<-<-, 即11()().n n n n nb a b a b na a b ---<-<-⑶ 设0a b >>证明：ln .a b a a b a b b --<<。

2019最新考研数学模拟试题（含答案）学校：__________ 考号：__________一、解答题1．证明：无穷积分敛散性的比较判别法的极限形式，即节第六节定理2.证明：如果|()|lim 0()x f x g x ρ→+∞=≠，那么对于ε(使0ρε->),存在x 0，当0x x ≥时 |()|0()f xg x ρερε<-<<+ 即 ()()|()|()()g x f x g x ρερε-<<+ 成立，显然()d a g x x +∞⎰与|()|d af x x +∞⎰同进收敛或发散. 如果0ρ=，则有|()|()f xg x ε<, 显然()d a g x x +∞⎰收敛, 则|()|d a f x x +∞⎰亦收敛. 如果ρ=+∞，则有|()|()()f x g x ρε>-，显然()d a g x x +∞⎰发散，则|()|d a f x x +∞⎰亦发散.习题五2．求下列欧拉方程的通解：2(1)0x y xy y '''+-=解：作变换e tx =，即t =ln x ,原方程变为 (1)0D D y Dy y -+-= 即 22d 0d y y t-= 特征方程为 210r -=121,1r r =-=故 12121e e t t y c c c c x x-=+=+. 23(2)4x y xy y x '''+-=.解：设e t x =，则原方程化为3(1)4e t D D y Dy y -+-=232d 4e d t y y t-= ① 特征方程为 240r -=122,2r r =-=故①所对应齐次方程的通解为2212e e t t y c c -=+又设*3e t y A =为①的特解，代入①化简得941A A -=15A =, *31e 5t y = 故 223223121211e e e .55t t t y c c c x c x x --=++=++3．求下列函数的微分：⑴ e x y x =； ⑵ ln x y x=； ⑶y = ⑷ ln tan 5x y =；⑸ 286e x xy x =-； ⑹2(arctan )y x =.解：⑴ d (e )d e (1)d x x y x x x x '==+； ⑵ 221ln ln 1ln d ()d ()d d x x x x xy x x x x x x⋅--'===； ⑶d d (y x x x '==-=； ⑷ ln tan ln tan 21d (5)d (ln 55sec )d tan x x y x x x x '==⋅⋅⋅ ln tan 12ln 55d sin 2x x x=⋅⋅； ⑸ 22d (86e )d [8(1ln )12e ]d x x x x y x x x x x '=-=+-；⑹221d (arctan )]d 2arctan ]d .1y x x x x x '==+⋅+；4．利用四阶泰勒公式，求ln1.2的近似值，并估计误差.。

2019最新考研数学模拟试题（含答案）学校：__________考号：__________一、解答题1．计算底面是半径为R 的圆，而垂直于底面一固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积.见图17.(17)解：以底面上的固定直径所在直线为x 轴，过该直径的中点且垂直于x 轴的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则底面圆周的方程为：x 2+y 2=R 2．过区间[-R ，R ]上任意一点x ，且垂直于x 轴的平面截立体的截面为一等边三角形，若设与x 对应的圆周上的点为(x ，y )，则该等边三角形的边长为2y ，故其面积等于A ()x =34()2y 2=3y 2=3()R 2-x 2 ()-R ≤x ≤R 从而该立体的体积为 V =⎠⎛-R R A ()x d x =⎠⎛-R R 3()R 2-x 2d x=433R 3．2．求下列函数在所示点的导数：(1)()sin cos t f t t ⎛⎫= ⎪⎝⎭，在点π4t =； 解：()π4f ⎛⎫⎪'= ⎝ (2)()22,x y g x y x y +⎛⎫= ⎪ ⎪+⎝⎭，在点()(),1,2x y =；解：()111,224g ⎛⎫= ⎪⎝⎭(3)sin cos u v u T u v v v ⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，在点π1u v ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；解：1010101T -⎛⎫⎛⎫ ⎪'=- ⎪ ⎪π⎝⎭ ⎪⎝⎭(4)2222232u x y v x x y w x y y ⎧=-⎪=-⎨⎪=-⎩在点()3,2-.解：6266362-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭3．当x =0时，下列函数无定义，试定义(0)f 的值，使其在x =0处连续:1tan 2(1)()(2)();1(3)()sin sin ;(4)()(1).x x f x f x x f x x f x x x ====+解：03(1)lim ()2x x x f x →→→=== ∴补充定义3(0),2f =可使函数在x =0处连续. 000tan 22(2)lim ()limlim 2.x x x x x f x xx →→→=== ∴补充定义(0)2,f =可使函数在x =0处连续. 01(3)limsin sin0x x x→= ∴补充定义(0)0,f =可使函数在x =0处连续. 100(4)lim ()lim(1)e xx x f x x →→=+= ∴补充定义(0)e,f =可使函数在x =0处连续.4．设()f x 在[0,1]上连续，且0()1f x ≤≤，证明：至少存在一点[0,1]ξ∈，使()f ξξ=.证：令()()F x f x x =-,则()F x 在[0,1]上连续，且(0)(0)0,(1)(1)10,F f F f =≥=-≤。

2019最新考研数学模拟试题（含答案） 学校：__________ 考号：__________一、解答题1．求下列函数的极值:(1) 223y x x =-+；解: 22y x '=-,令0y '=，得驻点1x =.又因20y ''=>，故1x =为极小值点，且极小值为(1)2y =. (2) 3223y x x =-；解: 266y x x '=-,令0y '=，得驻点120,1x x ==,126y x ''=-,010,0x x y y ==''''<>,故极大值为(0)0y =，极小值为(1)1y =-.(3) 3226187y x x x =--+； 解: 2612186(3)(1)y x x x x '=--=-+,令0y '=，得驻点121,3x x =-=. 1212y x ''=-,130,0x x y y =-=''''<>,故极大值为(1)17y -=，极小值为(3)47y =-.(4) ln(1)y x x =-+；解: 1101y x'=-=+，令0y '=，得驻点0x =. 201,0(1)x y y x =''''=>+,故(0)0y =为极大值. (5) 422y x x =-+；解: 32444(1)y x x x x '=-+=-，令0y '=，得驻点1231,0,1x x x =-==. 210124, 0,0,x x y x y y =±=''''''=-+<>故(1)1y ±=为极大值，(0)0y =为极小值.(6) y x =解: 1y '=-,令0y '=，得驻点13,4x =且在定义域(,1]-∞内有一不可导点21x =，当34x >时， 0y '<;当34x <时， 0y '>,故134x =为极大值点，且极大值为35()44y =. 因为函数定义域为1x ≤，故1x =不是极值点. (7)y =； 解:y '=,令0y '=，得驻点125x =.当125x >时， 0y '<；当125x <，0y '>,故极大值为12()5y =(8) 223441x x y x x ++=++； 解: 2131x y x x +=+++,22(2)(1)x x y x x -+'=++, 令0y '=，得驻点122,0x x =-=.2223(22)(1)2(21)(2)(1)x x x x x x y x x --+++++''=++ 200,0x x y y =-=''''><,故极大值为(0)4y =，极小值为8(2)3y -=. (9) e cos x y x =；解: e (cos sin )x y x x '=-,令0y '=，得驻点ππ (0,1,2,)4k x k k =+=±±. 2e sin x y x ''=-，ππ2π(21)π440,0x k x k y y =+=++''''<>，故2π2π 4k x k =+为极大值点，其对应的极大值为π2π42()k k y x +=;21π(21)π 4k x k +=++为极小值点，对应的极小值为π(21)π421()k k y x +++=. (10) 1x y x =；解: 11211ln (ln )x x x y x x x x x -''==,。