《复合函数的导数》PPT课件

f (x)

g(x)


f
(
x)
g
(x) f (
g ( x)2
x)
g
(
x)
(
g
(
x)

0)
[cf(x)]’= Cf‘(x)(c为常数)

1
g
(
x)


?

g(x) g 2 ( x)

?
探 究：
想一想 ???
1). 求函数y=(3x-2)2的导数. 把平方式展开,利用导数的四则运算法则求导. 是否还有用其它的办法求导呢?
1.2.2复合函数的导数
复习： 基本初等函数的导数公式
1.若f(x)=c，则f'(x)=0
2.若f(x)=xn，则f'(x)=nxn-1(n R)
3.若f(x)=sinx，则f'(x)=cosx
4.若f(x)=cosx，则f'(x)=-sinx
5.若f(x)=ax，则f'(x)=ax ln a
例1：求下列函数的导数： （1）y=(5x-6)2; （2）y=e-0.05x+1; (3)y=ln(x+2)
（4）y=sin(πx+φ);(π,φ为常数)
复合函数求导的基本步骤： 分解——求导——相乘——回代
练 习：
函数 y sin 2x cos 2x 的导数是( A )
A.y 2 2 cos(2x ) B.y cos 2x sin 2x
u=g(x) x∈A y=f(u) U∈D
值域 y∈B
U∈D y∈B
问题1:指出下列函数的复合关系：
1) y (a bx n )m
2) y

sin(x

1)
x
解:1)y u m , u a bx n
2)y
sin u
,u
x
1
x
3) y ln 3 e x 2
y 4) 3log2(x 2 2x 3)
2).如何求函数y=ln(x+2)的导数呢？
二、新课——复合函数的导数：
1.复合函数的概念:
对于函数y=f(u)和u=g(x),如果通过变量u,y可以示 成x的函数,那么称这个函数为函数y=f (u)和u=g(x) 的复合函数. 记作y=f(g(x))
复合函数 内层函数 外层函数
函 数 定义域
y=f(g(x)) x∈A
3)y ln u ,u 3 v ,v e x 2
4)y 3u ,u log2 v ,v x 2 2x 3
2.求复合函数的导数
复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)
的导数间关系为 yx yu ux; 或 fx[ (x)] f (u) (x). 注:1)y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数
的乘积.
如:求函数y=(3x-2)2的导数,
令y=u2,u=3x-2,
则 yu 2u , ux 3, 从而 yx yu ux 18x 12
2)法则可以推广到两个以上的中间变量.
y f ( g (u(x )))
y'
fg'
g
'
u
ux '
3)在书写时不要把 fx[(x)]写成 f [(x)],两者是 不完全一样的,前者表示对自变量x的求导,而
后者是对中间变量( x)的求导.
3.复合函数的求导法则 (1) y f [g(x)] y f (u),u g(x). 那么
yx yu ux .
(2) y f (u),u g(v), v h(x). 那么
yx yu uv vx' .
应用举例
6.若f(x)=ex，则f'(x)=ex
7.若f(x)=logax，则f'(x)=
1 xlna
8.若f(x)=lnx，则f'(x)=
1 x
复习： 导数的运算法则
f (x) g(x) f (x) g(x)
f (x) g(x) f (x)g(x) f (x)g(x)
3令u lnx,则y lnu, yx yu ux
1 1 1 . u x xlnx
4令u 2x2 1,则y eu ,
yx yu ux eu 4x 4x e2x21.
例2:求下列函数的导数. (1)y=(x2-4)2;
ux
12u5

12 . (1 3x)5
例1: 求下列函数的导数.
2 y cosx2;
(2)令u=x2,则y=cosu, ∴y′x=y′u·u′x=- sinu·2x =-2x sinx2.
例1: 求下列函数的导数.
(3) y sin(2x );
3
3令u 2x ,则y sinu,
4
C.y sin 2x cos 2x D.y 2 2 cos(2x )
4
题型一 复合函数的求导方法
例1: 求下列函数的导数.
(1)
y

1 (1 3x)4
;
解 : 1令u
1 3x,则y

1 u4
u4 ,
yu 4u5, ux 3,
yx
yu
变式训练1: 求下列函数的导数.
源自文库
(1)
y

1 (1 3x)5
; (2)
y

sin( x 2


6
);
3 y ln lnx ;4 y e2x21.
解 : 1令u
1 3x,则y

1 u5

u5 ,
yx yu ux 5u6 3

15u 6


15 (1 3x)6
.
2令u x2 ,则y sinu,
6
yx

yu
ux
cosu
(x2 ) 2xcosu 2xcos(x2 ).
6
6
3令u lnx,则y lnu, yx yu ux
1 1 1 . u x xlnx
3 yx yu ux cosu 2
2cos(2x ).
3
例1: 求下列函数的导数.
(4) y 1 x2 .
4 令u 1 x 2 , 则y u 1 .
2
yx
yu
ux

1
1
u2
2
2x
1
x u 2
x. 1 x2
规律技巧:求复合函数的导数,要分清函数的复合关系,对于 分式型的可化为幂的形式求导,关键选好中间变量.最后将 中间变量代回到原自变量的函数.