第五章 状态反馈控制器设计
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状态反馈实验报告总结(3篇)
第1篇一、实验背景在现代控制理论中，状态反馈是控制系统设计中的重要方法之一。
它通过将系统的状态信息反馈到控制输入，实现对系统动态特性的调节和优化。
本实验旨在通过MATLAB软件，验证状态反馈在控制系统设计中的应用，并分析其效果。
二、实验目的1. 理解状态反馈的原理和设计方法；2. 掌握状态反馈在控制系统中的应用；3. 分析状态反馈对系统性能的影响；4. 比较不同状态反馈策略的优劣。
三、实验内容1. 系统模型建立：根据实验要求，建立被控对象的传递函数模型。
2. 状态反馈设计：采用极点配置法，将闭环系统的极点配置在期望的位置上，实现状态反馈。
3. 仿真分析：通过MATLAB软件进行仿真实验，分析不同状态反馈策略对系统性能的影响。
4. 结果比较：比较不同状态反馈策略的优劣，总结实验结论。
四、实验步骤1. 系统模型建立：根据实验要求，建立被控对象的传递函数模型。
2. 状态反馈设计：根据极点配置法，确定闭环系统的极点位置，设计状态反馈控制器。
3. 仿真分析：在MATLAB软件中，搭建仿真模型，设置不同状态反馈策略，进行仿真实验。
4. 结果比较：分析仿真结果，比较不同状态反馈策略的优劣。
五、实验结果与分析1. 系统模型建立根据实验要求，建立被控对象的传递函数模型如下：G(s) = 1 / (s^2 + 2s + 2)2. 状态反馈设计采用极点配置法，将闭环系统的极点配置在期望的位置上，设计状态反馈控制器如下：K = [k1, k2]其中，k1和k2为待定系数。
通过求解以下方程组，确定k1和k2的值：(sI - A - BK)^-1B = C其中，A为系统矩阵，B为输入矩阵，C为输出矩阵，I为单位矩阵。
3. 仿真分析在MATLAB软件中，搭建仿真模型，设置不同状态反馈策略，进行仿真实验。
（1）无状态反馈将K置为零，观察系统响应。
（2）状态反馈根据上述设计的控制器，设置不同的k1和k2值，观察系统响应。
4. 结果比较通过仿真实验，比较不同状态反馈策略的优劣。
现代控制理论实验五、状态反馈控制器设计河南工业大学
河南工业大学《现代控制理论》实验报告专业: 自动化 班级: F1203 姓名: 蔡申申 学号:201223910625完成日期：2015年1月9日 成绩评定:一、实验题目：状态反馈控制器设计二、实验目的1. 掌握状态反馈和输出反馈的概念及性质。
2. 掌握利用状态反馈进行极点配置的方法。
学会用MATLAB 求解状态反馈矩阵。
3. 掌握状态观测器的设计方法。
学会用MATLAB 设计状态观测器。
三、实验过程及结果1. 已知系统u x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=111100020003.[]x y 3333.02667.04.0= （1）求解系统的零点、极点和传递函数，并判断系统的能控性和能观测性。
A=[-3 0 0;0 2 0;0 0 -1];B=[1;1;1];C=[0.4 0.266 0.3333];[z p k]=ss2zp(A,B,C,0)系统的零极点：z =1.0017-1.9997p =-3-12k =0.9993[num den]=ss2tf(A,B,C,0)num =0 0.9993 0.9973 -2.0018den =1 2 -5 -6系统的传递函数：G1=tf(num,den)G1 =0.9993 s^2 + 0.9973 s - 2.002-----------------------------s^3 + 2 s^2 - 5 s - 6Continuous-time transfer function.Uc=ctrb(A,B); rank(Uc)ans =3满秩，系统是能控的。
Vo=obsv(A,C); rank(Vo)ans =3满秩，系统是能观的。
（2）分别选取K=[0 3 0]，K=[1 3 2]，K=[0 16 /3 –1/3]（实验中只选取其中一个K为例）为状态反馈矩阵，求解闭环系统的零点、极点和传递函数，判断闭环系统的能控性和能观测性。
状态反馈控制器设计
第五章 状态反馈控制器的设计题目：系统结构图如下图所示：要求：闭环系统的输出超调量σ≤5%，峰值时间t p ≤0.5s 。
分别求出开环、PID 闭环、状态反馈闭环、PID/状态反馈闭环的单位阶跃响应，并分析相应曲线得出结论。
1．开环系统单位阶跃响应图 1 开环系统仿真模型0.0.0.0.1.1.仿真时间（s ）阶跃响应图2 开环系统单位阶跃响应分析：由图中的响应曲线可知开环系统不稳定，通过开环传递函数G K （s ）=3211872s s s++也可以判断出开环系统不稳定。
2．闭环传递函数及其单位阶跃响应（1）闭环传递函数G B (s)=32118721s s s +++，特征根分别为λ1=-12.0138，λ2=-5.9722，λ3=-0.0139。
（2）闭环传递函数仿真模型及其单位阶跃响应曲线见图3、图4。
图3 闭环传递函数仿真模型图4 闭环传递函数单位阶跃响应分析：响应曲线表明，系统是稳定的，但是系统的响应时间太长，远达不到要求。
3．加入PID控制器，并进行参数整定后的单位阶跃响应图 5 PID控制仿真模型其中参数设置为：K p =256.8 ，K i =0.2，K d=23.2。
图6 PID 闭环控制输出波形图分析：通过Workspace 数据查询可知峰值时间tp=0.98686s ，最大输出值为1.0485，所以超调量为4.85%，满足要求，峰值时间达不到要求。
4．加入状态反馈控制器的单位阶跃响应图7 状态反馈控制仿真模型其中H1 到H3依次为10000、284.8、96.1。
0.0.0.0.1.-4t i m e(sec)O u t p u t图8 状态反馈控制单位阶跃响应分析：通过Workspace数据查询可知峰值时间tp=0.4492s，最大输出值为1.0449，所以超调量为4.49%，满足性能指标要求。
5．状态反馈/PID控制的单位阶跃响应图9 状态反馈/PID控制仿真模型其中PID参数设置为：K p =1.05 ，K i =0.01，K d=0；状态反馈控制H1 到H3依次为10000、284.8、96.1。
（完整版）状态反馈控制器的设计
（完整版）状态反馈控制器的设计上海电⼒学院实验报告⾃动控制原理实验课程题⽬：状态反馈控制器的设计班级：姓名：学号：时间：⼀、问题描述已知⼀个单位反馈系统的开环传递函数为，试搭建simulink 模型。
仿真原系统的阶跃响应。
再设计状态反馈控制器，配置系统的闭环极点在，并⽤simulink 模型进⾏仿真验证。
⼆、理论⽅法分析MATLAB提供了单变量系统极点配置函数acker (),该函数的调⽤格式为K=place ( A，b，p)其中，P为期望闭环极点的列向量，K为状态反馈矩阵。
Acker ()函数时Ackerman 公式编写，若单输⼊系统可控的，则采⽤状态反馈控制后，控制量u=r+Kx 。
对于多变量系统的状态反馈极点配置，MATLAB也给出了函数place ()，其调⽤格式为K=place ( A，B，P)状态反馈是将系统的状态变量乘以相应的反馈系数，然后反馈到输⼊端与参考输⼊叠加形成控制量，作为受控系统的输⼊，实现闭环系统极点的任意配置，⽽且也是实现解耦和构成线性最优调节器的主要⼿段。
只要给定的系统是完全能控且能观的，则闭环系统的极点可以通过状态反馈矩阵的确定来任意配置。
这个定理是⽤极点配置⽅法设计反馈矩阵的前提和依据。
在单输⼊，单输出系统中，反馈矩阵有唯⼀解，且状态反馈不改变系统的零点。
三、实验设计与实现1、搭建原系统的sumlink模型并观察其单位阶跃响应原系统sumlink模型原系统单位阶跃响应由原系统单位阶跃响应可知系统不稳定2、⽤极点配置法设计状态反馈控制器①利⽤matlab计算系统的状态空间模型的标准型>> a=[10];b=[1 5 6 0];[A B C D]=tf2ss(a,b)A = -5 -6 01 0 00 1 0B = 1C = 0 0 10③系统能控性矩阵>> uc=ctrb(A,B)uc = 1 -5 190 1 -50 0 1 >> rank(uc) ans = 3 所以系统完全能控③系统能观型矩阵>> vo=obsv(A,C) vo = 0 0 100 10 010 0 0 >> rank(vo) ans = 3 所以系统完全能观所以可以⽤极点配置法设计状态反馈控制器④求解系统反馈矩阵>> p=[-3 -0.5+j -0.5-j];k=acker(A,B,p)k = -1.0000 -1.7500 3.7500 加⼊反馈后的系统闭环极点为：>>sysnew=ss(A-B*k,B,C,D);pole(sysnew)ans = -3.0000-0.5000 + 1.0000i-0.5000 - 1.0000i⑤搭建加⼊反馈控制器后系统的sumlink模型⑥观察新系统的单位阶跃响应四、实验结果分析加⼊反馈控制器后系统的闭环极点在，符合题⽬要求。
现代控制实验状态反馈器和状态观测器的设计
现代控制实验状态反馈器和状态观测器的设计现代控制实验中，状态反馈器和状态观测器是设计系统的重要组成部分。
状态反馈器通过测量系统的状态变量，并利用反馈回路将状态变量与控制输入进行耦合，以优化系统的性能指标。
状态观测器则根据系统的输出信息，估计系统的状态变量，以便实时监测系统状态。
本文将分别介绍状态反馈器和状态观测器的设计原理和方法。
一、状态反馈器的设计：状态反馈器的设计目标是通过调整反馈增益矩阵，使得系统的状态变量在给定的性能要求下，达到所需的一组期望值。
其设计步骤如下：1.系统建模：通过对被控对象进行数学建模，得到描述系统动态行为的状态空间表达式。
通常表示为：ẋ=Ax+Buy=Cx+Du其中，x为系统状态向量，u为控制输入向量，y为系统输出向量，A、B、C、D为系统的状态矩阵。
2.控制器设计：根据系统的动态性能要求，选择一个适当的闭环极点位置，并计算出一个合适的增益矩阵。
常用的设计方法有极点配置法、最优控制法等。
3.状态反馈器设计：根据控制器设计得到的增益矩阵，利用反馈回路将状态变量与控制输入进行耦合。
状态反馈器的输出为：u=-Kx其中，K为状态反馈增益矩阵。
4.性能评估与调整：通过仿真或实验，评估系统的性能表现，并根据需要对状态反馈器的增益矩阵进行调整。
二、状态观测器的设计：状态观测器的设计目标是根据系统的输出信息，通过一个状态估计器，实时估计系统的状态变量。
其设计步骤如下：1.系统建模：同样地，对被控对象进行数学建模，得到描述系统动态行为的状态空间表达式。
2.观测器设计：根据系统的动态性能要求，选择一个合适的观测器极点位置，以及一个合适的观测器增益矩阵。
常用的设计方法有极点配置法、最优观测器法等。
3.状态估计：根据观测器设计得到的增益矩阵，通过观测器估计系统的状态变量。
状态观测器的输出为：x^=L(y-Cx^)其中，L为观测器增益矩阵，x^为状态估计向量。
4.性能评估与调整：通过仿真或实验，评估系统的状态估计精度，并根据需要对观测器的增益矩阵进行调整。
5.状态反馈控制器设计
第5章 状态反馈控制器设计教材【1】：《现代控制理论》，俞立编著. 清华大学出版社，2007年4月主要参考书：【2】《现代控制理论简明教程》，许世范等，中国矿业大学出版社，1996年1月第1版；【3】《现代控制理论与工程》，东南大学 王积伟 高等教育出版社，2003年2月第1版，研究生教学用书。
作业：158157P P -习题5.3，5.4，5.5，5.6，5.8，5.9，5.12，5.13控制方式有“开环控制”和“闭环控制”两种。
“开环控制”就是把一个确定的信号（时间的函数）加到系统输入端，使系统具有某种目标性能。
然而，由于建模中的不确定性或误差、系统运行过程中的扰动等因素使系统产生一些意想不到的情况，这就要求对这些偏差进行及时修正，这就是“反馈控制”。
在经典控制理论中，依据描述控制对象输入输出行为的传递函数模型来设计控制器，因此只能采用输出反馈，即用系统输出作为反馈信号，而在现代控制理论中，则主要通过更为广泛的状态反馈对系统进行综合。
状态反馈综合的功能与特点：① 状态反馈可以改变和控制系统的极点位置，从而使闭环系统具有目标动态特性。
② 利用状态反馈构成的调节器，可以实现各种目的，使闭环系统满足设计要求。
③ 通过状态反馈的极点配置，例如可以使闭环系统的超调量%5≤p σ，峰值时间（超调时间）s t p 5.0≤，阻尼振荡频率10≤d ω等，（参见138P 例5.3.3）。
5.1 线性反馈控制系统的结构与性质设系统),,(C B A S =为 Cx y Bu Ax x=+=， （5-1）经典控制中采用输出)(t y (和输出导数)(t y )反馈（图5-1）：其控制规律为：v Fy u +-=，~F m p ⨯，v 为参考输入 （5-2） 图5-1 经典控制-输出反馈闭环系统Bv x BFC A v Fy B Ax Bu Ax x +-=+-+=+=）（）（可见，在经典控制中，引入输出反馈，相当于把系统矩阵A 变为 BFC A A F -=，因此通过选择F ，利用输出反馈Fy -可以适当改善系统的动态性能。
现代控制理论5状态反馈控制器的设计2
应速度等等 • 系统稳定性的决定因素：系统极点 • 影响动态性能的因素：二阶系统（极点位置），
高阶系统（一对主导极点） • 结论：极点影响系统的稳定性和动态性能。
• 线性系统：
x& Ax Bu
状态反馈：u Kx
闭环系统的状态方程为：
x& (A BK)x
• 需要回答两个问题：
➢在什么条件下，或者说对什么样的系统， 极点配置问题可解，即使得闭环系统具 有给定极点的状态反馈控制器存在性。
• 状态空间模型的线性系统：
状态反馈控制： 闭环系统：
• 输出反馈控制：
x& (A BFC)x Bv
y
Cx
5.1.2 反馈控制的性质
• 在静态反馈下，闭环系统矩阵分别变为：
• 结论：反馈可以改变系统的动态特性。
• 定理5.1.1 状态反馈不改变被控系统的能 控性。
证明方法一；
证明方法二。
K=-[0.3125 0.9375]x
5.3 极点配置
• 5.3.1 问题的提出 • 5.3.2 极点配置可解的条件和方法 • 5.3.3 极点配置状态反馈控制器的设计算
法
5.3.1 问题的提出
• 系统性能：稳态性能和动态性能 • 稳态性能：稳定性、静态误差 • 动态性能：调节时间、超调量、上升时间、响
解；
✓导出了极点配置状态反馈控制律； ✓极点配置状态反馈控制律是唯一的。
• 例： 考虑系统
设计一个状态反馈控制器，使得闭环系统 的极点分别是－2和－3。
• 例：已知被控系统的传递函数为
设计一个状态反馈控制器，使得闭环系统
的极点为
。
• 例：已知被控系统为：
0 0 0 1
x& 1 6
高阶系统（一对主导极点） • 结论：极点影响系统的稳定性和动态性能。
• 线性系统：
x& Ax Bu
状态反馈：u Kx
闭环系统的状态方程为：
x& (A BK)x
• 需要回答两个问题：
➢在什么条件下，或者说对什么样的系统， 极点配置问题可解，即使得闭环系统具 有给定极点的状态反馈控制器存在性。
• 状态空间模型的线性系统：
状态反馈控制： 闭环系统：
• 输出反馈控制：
x& (A BFC)x Bv
y
Cx
5.1.2 反馈控制的性质
• 在静态反馈下，闭环系统矩阵分别变为：
• 结论：反馈可以改变系统的动态特性。
• 定理5.1.1 状态反馈不改变被控系统的能 控性。
证明方法一；
证明方法二。
K=-[0.3125 0.9375]x
5.3 极点配置
• 5.3.1 问题的提出 • 5.3.2 极点配置可解的条件和方法 • 5.3.3 极点配置状态反馈控制器的设计算
法
5.3.1 问题的提出
• 系统性能：稳态性能和动态性能 • 稳态性能：稳定性、静态误差 • 动态性能：调节时间、超调量、上升时间、响
解；
✓导出了极点配置状态反馈控制律； ✓极点配置状态反馈控制律是唯一的。
• 例： 考虑系统
设计一个状态反馈控制器，使得闭环系统 的极点分别是－2和－3。
• 例：已知被控系统的传递函数为
设计一个状态反馈控制器，使得闭环系统
的极点为
。
• 例：已知被控系统为：
0 0 0 1
x& 1 6
第五章状态反馈控制器设计ppt课件
检验：eig(A-B*K)
极点配置的优点：
可以改善系统的稳定性、动态性能
5.4 跟踪控制器设计
极点配置的优点：改善系统的稳定性、动态性能
那么，对稳态性能、静态误差等的影响？
例 已知被控对象的状态空间模型为
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
如何从能控标准型模型的解导出一般模型的极
点配置控制器。
系统模型
假定该状态空间模型是能控的，则存在线性变换
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
其中
对能控标准型和给定的极点
可得极点配置状态反馈增益矩阵
矩阵P是对称的，
若选取
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
控制器设计转化为以下矩阵方程的求解问题：
（黎卡提矩阵方程）
优点：若对给定的常数，以上矩阵方程有解，
则对任意的
都是系统的稳
例 考虑系统在状态反馈
下的闭环系统
能控能观性。
结论：能控，不能观。
状态反馈使得闭环系统产生了零极点的对消。
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
定理5.1.2输出反馈不改变系统的能控能观性。
现代控制工程-第5章能控性和能观性分析
传递函数判据
如果系统的传递函数的极点和零 点都位于复平面的左半部分，则 该系统是能控的。
能控性的应用
系统设计和ห้องสมุดไป่ตู้化
在系统设计和优化过程中，能控性分析可以帮助确定系统的可控性 和可观性，从而更好地选择和设计控制器和观测器。
控制性能评估
通过能控性分析，可以对系统的控制性能进行评估和比较，从而选 择更优的控制方案。
现代控制工程-第5章能控性 和能观性分析
目录
• 能控性分析 • 能观性分析 • 能控性和能观性的关系 • 系统设计中的能控性和能观性 • 现代控制工程其他章节概述
01
能控性分析
定义与概念
能控性定义
对于一个给定的线性时不变系统，如果存在一个状态反馈控制器，使得系统的任何初始状态都能通过 该控制器在有限的时间内被控制到任意指定的状态，则称该系统是能控的。
快速性
系统应具有快速的响应能力，以便在短时间 内达到设定值或消除外部扰动。
准确性
系统应具有高精度的输出，以满足各种控制 要求和保证产品质量。
可靠性
系统应具有高的可靠性和稳定性，以确保长 期稳定运行和减少故障率。
系统设计中的能控性和能观性考虑
能控性考虑
在系统设计中，需要考虑系统的能控性，即 能否通过输入信号控制系统的输出状态。对 于不能控制的系统，需要采取措施进行改进 或重新设计。
描述
分解性是控制系统分析中的一个重要性质。在大型复杂系统中，如果系统具有分解性， 那么我们可以将系统分解为若干个子系统，分别对子系统进行能控性和能观性分析，从
而简化系统分析和设计的难度。
04
系统设计中的能控性和能观 性
系统设计的基本原则
稳定性
状态反馈控制器的设计
状态反馈控制器的设计状态反馈控制器是一种常见的控制器设计方法，用于调节系统的动态响应和稳定性。
它通过测量系统的输出和状态，并将这些信息与期望输出进行比较，来计算出控制器的控制输入。
接下来，我将介绍状态反馈控制器的基本原理、设计步骤和两个常见的设计方法。
状态反馈控制器的基本原理是基于系统的状态反馈，即通过系统的状态变量来进行控制。
在状态反馈控制器的设计中，首先需要确定系统的状态方程或状态空间表达式。
状态方程描述了系统的状态变化关系，通常使用微分方程或差分方程表示。
状态空间表达式则是将系统的状态方程转换为矩阵形式，以便于计算和分析。
设计一个状态反馈控制器包括以下步骤：1.系统建模：首先需要建立系统的数学模型，确定系统的输入、输出和状态变量。
这可以通过物理建模、数学建模或实验数据分析等方法来完成。
系统的模型可以是连续时间模型，也可以是离散时间模型。
2.系统稳定性分析：通过分析系统的特征值或极点，判断系统的稳定性。
如果系统的特征值都位于单位圆内或实部小于零，则系统是稳定的。
3.设计目标确定：根据系统的性能要求和目标，确定设计的指标，例如系统的快速响应、稳定性、误差补偿等。
4.控制器设计：根据系统的状态方程和控制目标，使用控制理论和方法，设计控制器的增益矩阵。
常用的设计方法有极点配置法和最优控制方法。
5.系统闭环仿真：将设计好的控制器与系统模型相连，进行闭环仿真，检验系统在不同工况和干扰下的响应性能。
可以通过调整控制器的参数来优化系统的性能。
接下来，我将介绍两种常见的状态反馈控制器设计方法：极点配置法和最优控制方法。
1.极点配置法：该方法通过选择恰当的状态反馈增益矩阵，使系统的极点移动到预定位置。
首先需要确定期望的系统极点位置，然后使用反馈增益矩阵的公式进行计算和调整。
极点配置法的优点是设计简单，但对系统的模型和性能要求较高。
2.最优控制方法：该方法是基于最优控制理论，对系统的控制性能进行优化设计。
最优控制方法通常需要确定一个性能指标，例如系统的能量消耗、误差最小化等，然后使用最优化算法来计算最优的控制器增益矩阵。
第5章状态反馈控制器设计
第5章状态反馈控制器设计第5章是关于状态反馈控制器设计的，状态反馈控制器是一种常用的控制器设计方法。
它基于系统的状态变量来设计控制器的反馈信号，以达到控制系统的稳定性、性能和鲁棒性要求。
在状态反馈控制器设计中，首先需要确定系统的状态方程，也就是描述系统动态特性的微分方程。
然后，根据系统的状态方程，可以得到系统的状态变量的表达式。
状态变量是可以直接测量或估计的物理量，如位置、速度、加速度等。
接下来，需要设计控制器的反馈信号的表达式。
为了保证控制系统的稳定性，通常选择线性组合的形式，即反馈信号是状态变量的线性组合。
选择合适的线性组合方式可以使得控制系统的响应更快、稳态误差更小。
常用的状态反馈控制器设计方法有两种：全局状态反馈和局部状态反馈。
全局状态反馈是指控制器的反馈信号包含所有的状态变量，可以使得控制系统的稳定性得到保证。
局部状态反馈是指控制器的反馈信号只包含部分的状态变量，可以使得控制系统的性能得到提升。
在设计状态反馈控制器时，需要满足以下几个步骤：1.系统模型化：将系统的动态特性表达为状态空间模型。
状态空间模型可以用矩阵形式表示，包括状态方程、输出方程和初始条件。
2.系统可控性分析：通过计算系统的可控性矩阵来判断系统是否是可控的。
如果可控性矩阵的秩等于系统的状态变量的个数，则系统是可控的，可以设计状态反馈控制器。
3.控制器设计：选择合适的反馈信号的线性组合方式，设计控制器的反馈矩阵。
反馈矩阵的选择会影响到控制系统的稳定性、性能和鲁棒性。
通常，可以使用经验法则、优化算法或者现代控制理论来进行设计。
4.控制器实现：将控制器的反馈信号与系统的输出信号进行比较，计算出控制器的输出信号。
根据控制器的输出信号来调节系统的输入信号，以实现对系统状态的控制。
最后，需要对设计出的状态反馈控制器进行仿真验证和实验测试。
通过仿真和实验可以评估控制系统的性能，并对控制器进行进一步的改进和优化。
总结起来，状态反馈控制器是一种基于系统状态变量的控制器设计方法。
线性时不变系统的状态反馈控制器设计
线性时不变系统的状态反馈控制器设计前言前面一篇博客介绍了基于状态空间模型的系统分析。
本篇博客将针对线性时不变系统，基于状态空间模型并根据系统的性能要求来设计控制系统。
一个系统的控制方式有开环控制和闭环控制。
开环控制指的是把一个确定的控制信号（关于时间的函数）加到系统的输入端，使得系统具有其中一种期望的性能，如稳定的跟踪一些参考输入或者使系统的状态达到一些特定值，等等。
上一篇博客讲的系统的能控性就是利用了开环控制，即存在一个特定的控制作用（开环控制）使得系统在有限时间内，从初始状态转移到零状态。
然而，由于建模存在的不确定性或误差、系统运行过程中的扰动等因素，使得我们没办法获得实际物理系统的真实动态方程，我们能得到的仅仅是粗略的低阶的名义模型或有时又称标称模型。
因此在对实际系统的控制过程中，若不能根据系统当前的运行状况及时修改系统的行为，而仍按照名义模型设计的开环控制作用会使得实际系统产生一些意想不到的情况，很难使实际物理系统按我们原先所期望的方式运行。
因此，我们必须根据系统的运行状况实时地来确定控制信号而不是采用预先设计好的控制信号，这就是反馈控制（feedback control）。
在经典控制理论中，我们依据描述对象输入输出行为的传递函数模型来设计控制器，因此只能用系统的可测量输出作为反馈信号。
而现代控制理论则是用刻画系统内部特征的状态空间模型来描述对象，出了可测量的输出信号外，还可以用系统的内部状态来作为反馈信号。
根据可利用的信息是系统的输出还是状态，相应的反馈控制可分为输出反馈和状态反馈。
本篇博客以状态空间模型描述的线性时不变系统为研究对象，介绍状态反馈控制器的一些设计方法。
首先介绍反馈控制的种类、结构及其对系统性能的影响。
进而介绍改善系统动态性能的极点配置方法，提出极点配置状态反馈控制律的设计算法。
针对极点配置方法可能影响系统稳态性能的问题，介绍了实现精确跟踪的控制系统设计方法。
线性反馈控制系统控制系统结构控制系统由被控对象和控制器（controller）两部分组成。
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状态反馈控制器 闭环多项式： 期望多项式：
实现极点配置的条件：
极点配置状态反馈控制器是 分析：优点：能控标准型使得计算简单； 缺点：能控标准型的状态难以直接测量； 解决方法：考虑新的实现。串连分解
状态空间实现是
直接法 反馈增益矩阵
闭环特征多项式 期望特征多项式
比较后可得 极点配置状态反馈控制器是 变换法 确定变换矩阵
状态反馈使得闭环系统产生了零极点的对消。
定理5.1.2输出反馈不改变系统的能控能观性。 定理5.1.3状态反馈不改变单输入单输出系统零点 5.1.3 两种反馈形式的讨论：
状态和输出反馈均可保持闭环系统的能控性； 输出反馈保持闭环系统的能观性，但状态反馈不能； 利用系统的信息多，所能达到的性能好。
当参考输入为单位阶跃时，输出的稳态值
开环系统是稳定的，且开环传递函数 开环系统的稳态误差 开环系统是无静差的。闭环系统的稳态输出 因此闭环系统有稳态误差
考虑系统
参考输入 外部扰动 问题：在存在扰动下，使输出跟踪设定值。 定义误差向量： 引入偏差的积分：
引入增广系统
对增广系统设计状态反馈控制律
使得闭环系统是稳定的
5.4 跟踪控制器设计 极点配置的优点：改善系统的稳定性、动态性能 那么，对稳态性能、静态误差等的影响？ 例 已知被控对象的状态空间模型为
设计状态反馈控制律，使得闭环极点为-4和-5， 并讨论闭环系统的稳态性能。 期望的闭环特征多项式是
所要设计的状态反馈增益矩阵是 相应的闭环系统状态矩阵
闭环传递函数
5.2 稳定化状态反馈控制器设计
基于李雅普诺夫稳定性理论设计稳定化控制器 系统模型： 控制律： 闭环系统： 闭环系统渐近稳定的充分必要条件是： 即李雅普诺夫稳定性定理 李雅普诺夫稳定性定理 关键的问题：如何确定以上的矩阵K 和P。
5.2.1 黎卡提方程处理方法 如何使 是闭环系统李雅普诺夫方程？
其特征多项式是 期望的闭环特征多项式 要实现极点配置，须
结论： 阶能控标准型系统， 对3阶能控标准型系统，极点配置问题可解 阶能控标准型系统 极点配置问题可解； 导出了极点配置状态反馈控制律； 极点配置状态反馈控制律是惟一的。 例 对系统 设计状态反馈控制，使得闭环系统的极点是-2和-3
闭环特征多项式： 期望特征多项式：
5.3.5 应用MATLAB求解极点配置问题 提供了两个函数： acker:基于爱克曼公式，单输入系统，多重极点 place:多输入系统，相同极点个数不超过B的秩 对单输入系统，所得的K是一致的 K=acker(A,B,J) K=place(A,B,J) 检验：eig(A-B*K) 极点配置的优点： 可以改善系统的稳定性、动态性能
分别乘以
，再相加可得
由能控性，可得
爱克曼公式： 爱克曼公式 例 对传递函数描述的二阶系统 ，确定 一个状态反馈控制律，使得闭环极点位于 解 期望闭环多项式： 对象的状态空间实现： 能控性矩阵：
爱克曼公式：
关于极点配置问题：
1。n个极点，以共轭对的形式出现； 2。主导极点； 3。考虑到零点的影响； 4。系统响应速度并非越快越好； 5。单输入系统，极点配置不影响零点分布； 6。单输入能控系统，控制器惟一，多输入则不惟一； 7。区域极点配置。 不足：需要用到全部状态。
矩阵P是对称的， 若选取
控制器设计转化为以下矩阵方程的求解问题： （黎卡提矩阵方程 黎卡提矩阵方程） 黎卡提矩阵方程 优点：若对给定的常数，以上矩阵方程有解， 则对任意的 都是系统的稳 定化控制律。 结论：正无穷大的稳定增益裕度！ 例 设计系统的一个稳定化状态反馈控制律
展开矩阵方程，得到
求取一个正定的解矩阵
可得 取 则 为保证主导极点，第3个极点选为 期望特征多项式：
原模型等价变换为能控标准型
要求的状态反馈增益矩阵
闭环系统：
单位阶跃响应： 峰值时间为0.4到0.5秒 5.3.4 爱克曼（Ackermann）公式 极点配置状态状态反馈增益矩阵K的解析表达式 闭环系统特征多项式：
闭环矩阵满足 问题：如何从以上的关系式来确定增益矩阵K？ 从关系式
第5章 状态反馈控制器设计
√ 建立了状态空间模型 √ 提出了基于状态空间模型的运动分析 √ 探讨了系统的定性分析： 稳定性、能控性、能观性 设计控制系统！ 开环控制、闭环控制 经典控制中，用系统输出作为反馈控制器的入； 根据系统信息：状态反馈、输出反馈。
5.1 线性反馈控制系统 系统模型 5.1.1 反馈控制系统结构。 v为外部输入； 控制器：动态补偿器、静态反馈控制器。 状态反馈控制器： K称为是状态反馈增益矩阵 状态反馈增益矩阵。 状态反馈增益矩阵 闭环系统：
静态线性输出反馈控制 输出反馈控制： 输出馈控制
若v表示系统的参考输入，用 代替， 可得 用输出误差来校正系统。当 时，状态 反馈变为输出反馈。一类特殊输出反馈。
5.1.2 反馈控制的性质 在静态反馈下，闭环系统矩阵变为 结论：反馈可以改变系统的动态特性 反馈可以改变系统的动态特性。 反馈可以改变系统的动态特性 定理5.1.1 状态反馈不改变系统的能控性。 例 考虑系统在状态反馈 下的闭环系统 能控能观性。 结论：能控，不能观。
对任意的
，稳定化控制律：
5.3 极点配置 系统性能：稳态性能和动态性能 稳态性能：稳定性、静态误差 动态性能：调节时间、振荡、超调、上升时间... 系统稳定性的决定因素：系统极点 影响动态性能的因素：二阶系统（极点位置） 高阶系统（一对主导极点） 结论：极点影响系统的稳定性和动态性能 极点影响系统的稳定性和动态性能 5.3.1 问题的提出 闭环系统： 根据系统性能要求确定闭环极点 求矩阵K，使得
极点配置状态反馈增益矩阵
直接法和变换法得到的结果是一致的。说明了惟一性。
例 对系统设计状态反馈控制器，使得闭环系统渐 近稳定， 且闭环系统的输出超调量 系统的一个状态空间模型 ，峰值时间
系统能控，故可以通过状态反馈任意配置极点。 系统无开环零点，闭环系统性能完全由极点决定！ 一对主导极点：
ζ和
是二阶系统的阻尼比和无阻尼自振频率
求拉氏变换，得到
参考输入和外部扰动都是阶跃信号时，由终值 定理
即 x 和 q 趋向于常值。从而
趋于零。
针对增广系统，设计状态反馈控制律，只要闭 环系统渐近稳定，则系统无静态误差。 若需要系统有一定的过渡过程特性，极点配置！
要求：增广系统是能控性的。 定理 增广系统能控的充分必要条件是 （1）原来系统是能控的 （2） 证明：
其中 由原系统的能控性 ⇒ 量线性无关。
的行向
必要条件： ：输入的个数不能小于输出的个数 ：所有的测量输出都是独立的。 跟踪外部参考输入的控制律是 积分比例控制器
针对前面的例子，再来设计一个状态反馈控制 器，不仅使得闭环系统具有理想的过渡过程特 性，而且还能无静差地跟踪阶跃参考输入。
设计要求：保持原闭环极点－4，－5； 增加的增广闭环系统极点－8。 利用 MATLAB 可得 K=[-17.6667 13.0000 53.3333] 跟踪控制律 单位阶跃响应： 改善动态性能； 消除静态误差。
比较可得：
极点配置状态反馈控制律： 闭环系统状态变量图：
以上的方法可以推广到n阶能控标准型模型 以上的方法可以推广到 阶能控标准型模型
问题：对一般状态空间模型，如何解极点配置？ 思路：考虑能控状态空间模型 将能控状态空间模型等价地转化为能控标准型 如何从能控标准型模型的解导出一般模型的极 点配置控制器。
系统模型 假定该状态空间模型是能控的，则存在线性变换 其中
对能控标准型和给定的极点 可得极点配置状态反馈增益矩阵
，
即： 问题：目前的增益矩阵用到变换后的状态。 如何得到适合于原来模型的控制律呢？ 利用特征值的关系：
定理 对一个能控系统，可以通过状态反馈任意配 对一个能控系统， 置闭环系统极点。 置闭环系统极点 理论上可以证明：若一个系统可以通过状态反馈 任意配置极点，那么它一定是能控的。
5.3.3 极点配置状态反馈控制器的设计算法 给定系统模型 和闭环极点 1。检验系统的能控性； 2。根据 确定参数 3。确定转化为能控标准型的变换矩阵 4。确定期望特征多项式系数 5。确定极点配置反馈增益矩阵
例
已知被控系统的传递函数是
设计一个状态反馈控制器，使闭环极点是-2,-1±j 解 确定能控标准型实现
，
5.3.2 极点配置问题可解的条件和方法 在什么条件下，极点配置问题可解？即存在使 得闭环系统具有给定极点的控制器。 如何设计具有给定闭环极点的控制器？
解决问题的思路：首先对特殊的系统讨论； 对一般的系统，设法化成特殊系统分析算法的可行性。
从能控系统入手，以3阶能控标准型为例：
状态反馈控制律： 得到的闭环系统是