江苏专用高中数学常用逻辑用语1.1命题及其关系1.1.1四种命题学案苏教版

1.1.1 四种命题学习目标：1.了解命题的逆命题、否命题与逆否命题． 2.了解命题的四种形式，能正确分析它们之间的相互关系．(重点) 3.能利用两个命题互为逆否命题的关系判断命题的真假．(难点)[自主预习·探新知]1．命题(1)能够判断真假的语句叫做命题．(2)判断为真的语句叫做真命题．(3)判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题的概念一般地，设“若p则q”为原命题，那么“若q则p”就叫做原命题的逆命题，原命题与逆命题称为互逆命题；“若非p则非q”就叫做原命题的否命题，原命题和否命题称为互否命题；“若非q则非p”就叫做原命题的逆否命题，原命题与逆否命题称为互为逆否命题．3．四种命题之间的关系(1)(2)如果两个命题互为逆否命题，那么它们有相同的真假性，也称它们为等价命题．[基础自测]1．判断正误：(1)语句“x2＋2x＜0”是命题．( )(2)两个互逆命题的真假性相同．( )(3)对于一个命题的四种命题，可以一个真命题也没有．( )【解析】(1)×.因为语句“x2＋2x＜0”不能判断真假，故不是命题．(2)×.一个命题与它的逆命题的真假性没有关系．(3)√.四种命题可能都是假命题．【答案】(1)×(2)×(3)√2．命题“若a＞b，则a－8＞b－8”的逆否命题是________．【解析】因为命题“若p，则q”的逆否命题为“若非q，则非p”，所以命题“若a ＞b，则a－8＞b－8”的逆否命题是“若a－8≤b－8，则a≤b”．【答案】若a－8≤b－8，则a≤b[合作探究·攻重难].【导学号：95902000】①函数y＝sin4x－cos4x的最小正周期是π；②若x＝4，则2x＋1＜0 ；③一个等比数列的公比大于1时，该数列为递增数列；④求证：x∈R时，则方程x2－x＋2＝0无实根．⑤平行于同一条直线的两条直线必平行吗？[思路探究] 命题必须是陈述句并且可判断真假，两个条件缺一不可；要判定一个命题为真，需证明，若判定一个命题为假，举一个反例即可．【自主解答】①②③是命题，④⑤不是命题．命题①中，y＝sin4x－cos4x＝sin2x－cos2x＝－cos 2x，显然其最小正周期为π，是真命题．命题②中，当x＝4时，2x＋1＞0，是假命题．命题③中，若等比数列的首项a1＜0，公比q＞1时，该数列为递减数列，是假命题．④是一个祈使句，没有作出判断，不是命题．⑤它是一个疑问句，没有作出判断，不是命题．[规律方法]1．判断一个语句是不是命题，关键是看能不能判断真假．一般情况下感叹句，一般疑问句，祈使句都不是命题．2．判断命题真假的策略(1)要判断一个命题是真命题，一般要有严格的证明或有事实依据，比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证．(2)要判断一个命题是假命题，只要举一个反例即可．[跟踪训练]1．下列语句中，哪些是命题，是命题的判断其真假．(1)lg 1000＝3；(2)垂直于同一个平面的两直线平行；(3)设a，b，c，d∈R，如果a＞b，c＞d，那么ac＞bd；(4)三角函数都是周期函数；(5)方程x2＝4－23真难解啊！(6)请你离开！(7)2x＋3＝0.【解】(1)(2)(3)(4)(5)都是命题；其中(1)(2)(4)为真命题．(3)中，如2＞－3，－1＞－10，但2×(－1)＞(－3)×(－10)不成立，所以(3)为假命题．(5)感叹句不是命题．(6)祈使句，不是命题．(7)语句中含有变量x，无法判定其真与假，故不是命题..【导学号：95902001】(1)如果学好了数学，那么就会使用电脑；(2)若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0；(3)正方形既是矩形又是菱形；(4)若a，b都是奇数，则ab必是奇数．[思路探究] 命题改写成“若p，则q”的形式→由定义写出它的逆命题、否命题与逆否命题→判断真假【自主解答】(1)逆命题：如果会使用电脑，那么就学好了数学，为假命题；否命题：如果学不好数学，那么就不会使用电脑，为假命题；逆否命题：如果不会使用电脑，那就学不好数学，为假命题．(2)逆命题：若(x－3)(x－7)＝0，则x＝3或x＝7，为真命题；否命题：x≠3且x≠7，则(x－3)(x－7)≠0，为真命题；逆否命题：若(x－3)(x－7)≠0则x≠3且x≠7，为真命题．(3)逆命题：既是菱形又是矩形的四边形是正方形，为真命题；否命题：不是正方形的四边形就不是菱形或者不是矩形，为真命题；逆否命题：不是菱形或者不是矩形的四边形就不是正方形，为真命题．(4)逆命题：若ab是奇数，则a，b都是奇数，为真命题；否命题：若a或b是偶数，则ab是偶数，为真命题；逆否命题：若ab是偶数，则a或b是偶数，为真命题．[规律方法]1．写出一个命题的其他三种命题，关键是找出原命题的条件和结论，对于条件和结论不明显的命题，需将原命题改写成“若p ，则q ”的形式，必要时可以加入字母或文字．2．若命题含有大前提，注意大前提既不是命题的条件也不是命题的结论，所以其他三种命题中都需保留大前提．[跟踪训练]2．写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题，并判断它们的真假．(1)负数的平方是正数；(2)正方形的四条边相等.【导学号：95902002】【解】 (1)逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数．(假命题)否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数. (假命题)逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数．(真命题)(2)逆命题：若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．(假命题)否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等．(假命题)逆否命题：若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形．(真命题)[探究问题]1．命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是什么？二者的真假性有何关系？ 【提示】 命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”，二者真假性相同，都是真命题．2．命题“若x ∉A ∩B ，则x ∉A ∪B ”的真假容易判断吗？其逆否命题是什么？其逆否命题的真假容易判断吗？【提示】 直接判断命题“若x ∉A ∩B ，则x ∉A ∪B ”的真假是不容易进行的，它的逆否命题为“若x ∈A ∪B ，则x ∈A ∩B ”，很明显这是个假命题．3．由探究1和探究2我们可以得到哪些启示？【提示】 有些带有否定性词语的命题不易直接判断其真假，可利用命题与其逆否命题的等价性来判断其逆否命题的真假，从而可判断其真假．判断命题“如果m >0，则x 2＋x －m ＝0有实数根”的逆否命题的真假．[思路探究] 方法一：原命题同真假逆否命题 方法二：原命题→逆否命题→判断真假【自主解答】 方法一：∵m >0，∴4m >0，∴4m ＋1>0，∴方程x 2＋x －m ＝0的判别式Δ＝4m ＋1>0.∴方程x 2＋ x －m ＝0有实数根．∴原命题“如果m >0，则x 2＋x －m ＝0有实数根”为真．又因原命题与它的逆否命题等价，所以“如果m >0，则x 2＋x －m ＝0有实数根”的逆否命题也为真．方法二：原命题“如果m >0，则x 2＋x －m ＝0有实数根”的逆否命题为“如果x 2＋x －m＝0无实数根，则m ≤0”．∵x 2＋x －m ＝0无实数根，∴Δ＝4m ＋1<0，∴m <－14≤0，∴命题“如果x 2＋x －m ＝0无实数根，则m ≤0”为真．[规律方法]1．由于原命题与其逆否命题是等价的，因此当证明或判断原命题感到困难时，可考虑换证它的逆否命题成立，这样也可达到证明原命题的目的．2．利用逆否命题与原命题等价，可以省去否定条件和结论的过程，简化问题的求解．[跟踪训练]3．判断命题“已知a ，x 为实数，若关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集是空集，则a ＜2”的逆否命题的真假．【解】 方法一：原命题的逆否命题为“已知a ，x 为实数，若a ≥2，则关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集不是空集”．判断真假如下：抛物线y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2的开口向上，判别式Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)＝4a －7，∵a ≥2，∴4a －7＞0，即抛物线与x 轴有交点，∴关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集不是空集，故原命题的逆否命题为真． 方法二：先判断原命题的真假如下：∵a ，x 为实数，关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集为空集，∴Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)＝4a －7＜0.∴a ＜74＜2. ∴原命题是真命题．∵互为逆否命题的两个命题同真同假，∴原命题的逆否命题为真命题．[构建·体系][当 堂 达 标·固 双 基]1．下列语句：① 0是自然数；② 正数大于负数；③ 正弦函数是偶函数；④ 温度是向量吗？其中不是命题的是________【导学号：95902003】【解析】关键点：陈述句——判断真假．“温度是向量吗？”是疑问句，不是命题，其余的都是命题．【答案】④2．命题“若a＞b，则2a＞2b－1”的否命题是________．【解析】否定条件与结论，得否命题“若a≤b，则2a≤2b－1”．【答案】若a≤b，则2a≤2b－13．已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则p是q的________．(从“逆命题、否命题、逆否命题”中选一个填空).【导学号：95902004】【解析】命题p可改为：“若a是正数，则它的平方不等于0”，所以由否命题的概念知p是q的否命题．【答案】否命题4．与命题“能被4整除的整数，一定能被2整除”的等价命题为__________．【解析】与命题“能被4整除的整数，一定能被2整除”等价的命题是它的逆否命题：若一个整数不能被2整除，则这个整数一定不能被4整除．【答案】若一个整数不能被2整除，则这个整数一定不能被4整除5．写出命题“设x为实数，若x>0，则x2>0”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.【导学号：95902005】【解】逆命题：设x为实数，若x2>0，则x>0，逆命题为假命题；否命题：设x为实数，若x≤0，则x2≤0，否命题为假命题；逆否命题：设x为实数，若x2≤0，则x≤0，逆否命题为真命题．。