2007年高考线性规划问题题目

2007年高考试题中的线性规划问题浅析王凯成（陕西省小学教师培训中心 710600）自从2004年线性规划问题进入高考以来，简单的线性规划问题就成了高考数学命题的热点之一. 2007年全国高考共有23套文、理科数学试卷中有23道题与简单的线性规划问题有关，主要以选择填空题和填空题为主，其中山东省文科数学第19题是一道线性规划的应用题（满分12分）.命题者希望通过考查学生解决简单的线性规划问题，达到考查学生应用.例1 已知实数x 、y 满足条件240220330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则z = x +2y 的最大值为___________.(2007年陕西省高考数学理科第14题)解 首先作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域.图1 如图1所示：三角形ABC 就是可行域.其次作出直线l ：x+2y = 0（见图1），平移直线l 经过可行域内每一点，从图1可知，当平移直线l 经过C （2，3）点时，目标函数取得最大值.所以z = x +2y 的最大值为2+2×3 = 8.注：求z = x +2y 的最大值，就是求直线x+2y = z 的x 截距的最大值. 平移直线l ：x+2y = 0，从图1可以看出，当平移直线l 过C （2，3）点时，x+2y = z 的x 截距最大. 所以z = x +2y 在点C （2，3）取得最大值.例2设变量x、y满足约束条件3023x yx yx-+≥⎧⎪+≥⎨⎪-≤≤⎩，则z =2 x + y的最小值为___________.（2007年湖北省高考数学理科第13题、文科第11题）解首先作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域.图2如图2所示：三角形ABC就是可行域.其次作出直线l：2x+y = 0（见图2），平移直线l经过可行域内每一点，从图2可知，当平移直线l经过A（-32，32）点时，目标函数取得最小值.所以z = 2x +y的最小值为2×（-32）+32= -32.注：求z = 2x +y的最小值，就是求直线2x+y = z的y截距的最小值. 平移直线l：2x+y= 0，从图2可以看出，当平移直线l过A（-32，32）点时，2x+y = z的y截距最小. 所以z =2x +y在点A（-32，32）取得最小值.例3已知实数x、y满足2203x yx yy+≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，则z = 2x -y的取值范围是___________.（2007年福建省高考数学理科第13题、文科第14题）解首先作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域.图3如图3所示：三角形ABC就是可行域.其次作出直线l：2x-y = 0（见图3），平移直线l经过可行域内每一点，从图3可知，当平移直线l经过A（-1，3）点时，目标函数取得最小值；当平移直线l经过C（5，3）点时，目标函数取得最大值.所以z = 2x -y 的最小值为2×（-1）-3 = -5，最大值为2×5-3 = 7.故知z = 2x -y 的取值范围是-5≤z ≤7.注：求z = 2x -y 的取值范围，可以分别求出z = 2x -y 的最小值和最大值.求z = 2x -y 的最小值，就是求直线2x -y = z 的x 截距的最小值（z 是x 截距的2倍）. 平移直线l ：2x -y = 0，从图3可以看出，当平移直线l 过A （-1，3）点时，2x -y = z 的x 截距最小，所以z = 2x -y 在点A （-1，3）取得最小值；求z = 2x -y 的最大值，就是求直线2x -y = z 的x 截距的最大值（z 是x 截距的2倍）. 平移直线l ：2x -y = 0，从图3可以看出，当平移直线l 过C （5，3）点时，2x -y = z 的x 截距最大，所以z = 2x -y 在点C （5，3）取得最大值.例4 本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告 总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元。

新课程高考“线性规划问题”的求解与反思线性规划是《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《课标》）的必考内容，出自教材必修5.线性规划是数学应用的一个最重要内容之一，其蕴涵的优化思想方法是数学中的基本思想方法.线性规划在教材中的地位决定了它在高考试卷中的地位，所以在高考中多以选择题、填空题形式出现，有时也会出现解答题，由于它的应用十分广泛，所以几乎每年都考.笔者就近几年的高考线性规划试题在考查方式方法等方面进行了归纳总结．1 求不等式组表示的平面区域例1 （2008年湖北文5）在平面直角坐标系xoy中，满足不等式组|x|≤|y||x|0y>0，目标函数为z=300x+400y，可行域为如图2所示的阴影部分．当目标函数直线经过点m时z有最大值，联立方程组x+2y=122x+y=12得m（4，4），代入目标函数得z=2800，故选c．解后反思《课标》指出：线性规划的丰富案例体现了数学的应用正在不断渗透到社会生活的方方面面.数学思想蕴涵于案例之中，要充分关注案例的作用. 本题就是一个与现实应用联系密切的实际问题，要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，最好是列成表格，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，通过数形结合解答问题．3.2 利用斜率求最值例4 （2012年江苏14）已知正数a ， b ，c满足：5c-3a≤b ≤4c-a ， cln b≥a+cln c ，则ba的取值范围是 .图3解析条件5c-3a≤b≤4c-a ，cln b≥a+cln c 可化为：3·ac+bc≥5ac+bc≤4bc≥eac．设ac=x，y=bc，则题目转化为：已知x，y满足3x+y≥5x+y≤4y≥exx>0，y>0，求yx的取值范围．作出（x，y）所在平面区域（如图3）．求出y=ex的切线的斜率e，设过切点p（x0，y0）的切线为y=ex+m （m≥0），则y0x0=ex0+mx0=e+mx0，要使它最小，须m=0．所以yx的最小值在p（x0，y0）处取得，最小值为e.此时，点p （x0，y0）在y=ex上a，b之间．当（x，y）对应点c时， y=4-xy=5-3x5y=20-5x4y=20-12xy=7xyx=7，所以yx的最大值在c处取得，最大值为7．所以yx的取值范围为［e，7］，即ba的取值范围是［e，7］．解后反思《课标》强调要从实际情景中抽象出二元一次不等式的模型，而不是像以往那样从纯数学角度提出问题.本题以三个正数a ， b ，c的不等关系为背景，考查了学生对不等式的性质、指数对数函数的基本运算以及导数、线性规划等知识点理解和掌握情况，且很好地考查了数形结合、等价转化的能力.关键是注意不等式的等价变形，做到每一步都要等价.3.3 利用距离求最值例5 （2010年福建理8）设不等式组x≥1x-2y+3≥0y≥x所表示的平面区域是ω1，平面区域ω2与ω1关于直线3x-4y-9=0对称，对于ω1中的任意一点a与ω2中的任意一点b，|ab|的最小值等于（）a. 285b.4c. 125d.2图4解析由题意知，所求的|ab|的最小值，即为区域ω1中的点到直线3x-4y-9=0的距离的最小值的两倍，画出已知不等式组表示的平面区域，如图4所示．可看出点（1，1）到直线3x-4y-9=0的距离最小，故|ab|的最小值为2×|3×1-4×1-9|5=4，所以选b．解后反思《课标》强调借助几何直观解决一些简单的线性规划问题，引导学生体会线性规划的基本思想.本题考查不等式中的线性规划以及两个图形间最小距离的求解、基本公式（点到直线的距离公式等）的应用，考查了转化与化归能力.关键是抓住图形的对称性将所求距离转化为可行域内的点到直线3x-4y-9=0的距离的二倍，再注意三条直线的斜率的大小关系，借助几何直观判断出点（1，1）到直线3x-4y-9=0的距离最小．例6 （2007年安徽理7）如果点p在平面区域2x-y+2≥0x-2y+1≤0x+y-2≤0上，点q在曲线x2+（y+2）2=1上，那么|pq|的最小值为a.5-1b.45-1c.22-1d.2-1图5解析点p在平面区域2x-y+2≥0x-2y+1≤0x+y-2≤0上，画出可行域如图5，点q在圆x2+（y+2）2=1上，那么|pq｜的最小值为圆心（0，－2）到直线x－2y+1=0的距离减去半径1，即为5－1，选答案为a．解后反思此类题目主要考查线性规划的基础知识，关键是正确画出可行域.然后利用所求式的几何意义|pq|表示可行域内的点p到圆x2+（y+2）2=1上的点q之间的距离，可转化为圆心（0，-2）到可行域内的点p之间的距离，结合图形就容易了．4 求参数的取值或范围图6例7 （2012年福建理9）若函数y=2x图像上存在点（x，y）满足约束条件x+y-3≤0x-2y-3≥0x≥m，则实数m的最大值为（）.a.12 b.1 c.32 d.2解析如图6画出可行域．当直线x=m经过函数y=2x的图像与直线x+y-3=0的交点时，函数y=2x的图像仅有一个点在可行域内，由方程组y=2xx+y-3=0得x=1，所以m≤1，故选ｂ．解后反思本题与2010年北京理科第7题很类似.首先要准确画出不等式组所表示的可行域，其次还要明确指数函数y=ax（a>0，a ≠1）的图像要通过区域d，必然有a>1，然后结合图像可知随着a 的增大，指数函数的图像最后经过点a，对应得到a的最大值，由此问题便不难解决．例8 （2011年湖南理7）设m>1，在约束条件y≥xy≤mxx+y≤1下，目标函数z=x+my的最大值小于2，则m的取值范围为（）.a.（1，1+2）b.（1+2，+∞）c.（1，3）d.（3，+∞）图7解析画出可行域，将目标函数化为斜截式为y=-1mx+zm，由于m>1，故-1m>-1，因此当目标函数向上平移时最后过点a，由y=mx x+y=1得a11+m，m1+m，由11+m+m21+m1，得到-1m>-1，从而判断出最优解．作者简介赵建新，男，山东省新泰市第二中学数学教师，生于1971年1月30日，中学一级教师.近几年致力于高中数学新课程改革及高考命题的思考与研究，先后在省级、国家级期刊发表论文十几篇.王久华，男，山东省新泰市第二中学数学教师，生于1978年5月20日，中学一级教师.。

一、已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题例1、设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，则y x z 32+=的最大值为 。

二、已知线性约束条件，探求非线性目标关系最值问题例2、已知1,10,220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩则22x y +的最小值是 .三、约束条件设计参数形式，考查目标函数最值范围问题。

例3、在约束条件024x y y x s y x ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩下，当35s ≤≤时，目标函数32z x y =+的最大值的变化范围是（）A.[6,15]B. [7,15]C. [6,8]D. [7,8]四、已知平面区域，逆向考查约束条件。

例4、已知双曲线224x y -=的两条渐近线与直线3x =围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是（）(A)0003x y x y x -≥⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩ (B)0003x y x y x -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤≤⎩ (C)003x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≤≤⎩ (D) 0003x y x y x -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩五、已知最优解成立条件，探求目标函数参数范围问题。

例5已知变量x ，y 满足约束条件1422x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩。

若目标函数z ax y =+（其中0a >）仅在点(3,1)处取得最大值，则a 的取值范围为 。

六、设计线性规划，探求平面区域的面积问题例６在平面直角坐标系中，不等式组20200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域的面积是（）(A)(B)4 (C) (D)2七、研究线性规划中的整点最优解问题例7、某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 须满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-.112,932,22115x y x y x 则1010z x y =+的最大值是(A)80(B) 85 (C) 90 (D)95• • • • • •C• 八、设不等式组所表示的平面区域为，记内的格点（格点即横坐标和纵坐标均为整数的点）个数为（1）求的值及的表达式；（2）记，试比较的大小；若对于一切的正整数，总有成立，求实数的取值范围；（3）设为数列的前项的和，其中，问是否存在正整数，使成立？若存在，求出正整数；若不存在，说明理由。

高三数学线性规划试题答案及解析1.，满足约束条件，若取得最大值的最优解不唯一，则实数的值为（）A．或B．或C．或D．或【答案】D．【解析】如图，画出线性约束条件所表示的可行域，坐出直线，因此要使线性目标函数取得最大值的最优解不唯一，直线的斜率，要与直线或的斜率相等，∴或．【考点】线性规划．2.已知最小值是5，则z的最大值是（）A．10B．12C．14D．15【答案】A【解析】首先作出不等式组所表示的平面区域，如图中黄色区域，则直线-2x+y+c=0必过点B（2，-1），从而c=5,进而就可作出不等式组所表示的平面区域，如图部的蓝色区域：故知只有当直线经过点C（3，1）时，z取最大值为：，故选A．【考点】线性规划．3.执行如图1所示的程序框图，如果输入的，则输出的的最大值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】该程序执行以下运算：已知，求的最大值.作出表示的区域如图所示，由图可知，当时，最大，最大值为.选C.【考点】程序框图与线性规划.4.执行如图1所示的程序框图，如果输入的，则输出的的最大值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】该程序执行以下运算：已知，求的最大值.作出表示的区域如图所示，由图可知，当时，最大，最大值为.选C.【考点】程序框图与线性规划.5.设变量满足约束条件则目标函数的最小值为（）A．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】作出可行域:oyxA(1，1)由图可知，当直线过点时，目标函数取最小值为3，选B.【考点】线性规划6.已知x，y满足条件，则目标函数的最大值为 .【答案】【解析】画出可行域，如下图所示，将目标函数变形为，当取到最大值时，直线的纵截距最大，故将直线向上平移到过点C时，目标函数取到最大值，，得，故．【考点】线性规划．7.若变量满足约束条件，则的最大值为_________.【答案】【解析】作出不等式组表示的区域如下,则根据线性规划的知识可得目标函数在点处取得最大值,故填.【考点】线性规划8.设x，y满足约束条件，则z＝(x＋1)2＋y2的最大值为()A．80B．4C．25D．【答案】A【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．(x＋1)2＋y2可看作点(x，y)到点P(－1,0)的距离的平方，由图可知可行域内的点A到点P(－1,0)的距离最大．解方程＝(3＋1)2＋82＝80.组，得A点的坐标为(3,8)，代入z＝(x＋1)2＋y2，得zmax9.已知实数满足，则目标函数的取值范围是．【答案】【解析】可行域表示一个三角形ABC，其中当直线过点A时取最大值4，过点B时取最小值2，因此的取值范围是.【考点】线性规划求取值范围10.设变量满足，则的最大值和最小值分别为（）A．1，-1B．2，-2C．1，-2D．2，-1【答案】B【解析】由约束条件，作出可行域如图，设，则，平移直线，当经过点时，取得最大值，当经过点时，取得最小值，故选．【考点】线性规划.11.（2011•浙江）设实数x、y满足不等式组，若x、y为整数，则3x+4y的最小值是（）A．14B．16C．17D．19【答案】B【解析】依题意作出可行性区域如图，目标函数z=3x+4y在点（4，1）处取到最小值z=16．故选B．12.若点(x,y)位于曲线y = |x|与y = 2所围成的封闭区域, 则2x－y的最小值为A．－6B．－2C．0D．2【答案】A【解析】的图像围成一个三角形区域，3个顶点的坐标分别是 (0,0),(-2,2),(2,2). 且当取点(-2,2)时，2x – y =" -" 6取最小值。