高中数学第一章几个常用函数的导数1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)课件

1.2.1几个常用函数的导数

1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)

教学建议

1.教材分析

本节分为两小节内容,第一小节重在根据导数定义求函数在某一点的导数,并介绍了五种常用函数的导数.第二小节直接给出基本初等函数的导数公式,不要求根据导数定义推导这些公式,只要求能够利用它们求简单函数的导数即可,该节内容是今后学习导数的应用的基础,重点是导数公式,难点是灵活地运用导数公式进行有关的运算.

2.主要问题及教学建议

(1)根据导数定义求常用函数的导数.

建议教师让学生明确导数的定义本身包含着可导与导数两层含义.可导是指有极限,反映函数在一点所具有的性质,导数是刻画这一性质的数量.因为教材不介绍极限,尽量淡化用定义法求导的严格性要求及涉及的相关技巧.

(2)基本初等函数的导数公式.

建议教师在教学中适量地增加练习去熟悉公式的运用,但要避免过量形式化的运算练习.同时,选配适量的求导问题,帮助学生熟悉导数公式.

备选习题

1.已知两条曲线y=sin x,y=cos x,是否存在这两条曲线的一个公共点,使在这一点处,两条曲线的切线互相垂直?并说明理由.

解:由于y=sin x,y=cos x,设两条曲线的一个公共点为P(x0,y0),

则两条曲线在P(x0,y0)处的切线斜率分别为k1=y'=cos x0,k2=y'=-sin x0.

若使两条切线互相垂直,必须cos x0·(-sin x0)=-1,

即sin x0·cos x0=1,也就是sin 2x0=2,这是不可能的,所以两条曲线不存在公共点,使在这一点处的两条切线互相垂直.

2.已知函数f(x)=,g(x)=aln x,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值及该切线的方程.

解:∵f(x)=,g(x)=aln x,

∴f'(x)=,g'(x)=.

设两曲线的交点坐标为(x0,y0),

1．2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)

1．复合函数的概念

一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成□01x的函数，那么称这个函数为y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作□02y＝f[g(x)]．

在复合函数中，内层函数u＝g(x)的值域必须是外层函数y＝f(u)的定义域的子集．

2．复合函数的求导法则

复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数，即yx′＝□03yu′·ux′，并且在利用复数的求导法则求导数后，最后结果要把中间变量换成自变量的函数．复合函数，可以是一个中间变量，也可以是两个或多个中间变量，应该按照复合次序从外向内逐层求导．

使用复合函数求导法则的注意事项

(1)分清复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的，选择适当的中间变量．

(2)分步计算的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量的导数，如(sin2x)′＝2cos2x，不能得出(sin2x)′＝cos2x.

(3)根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数，如求y＝sin2x＋π3的导数，设y＝sinu，u＝2x＋π3，则yx′＝yu′·ux′＝cosu·2＝2cos2x＋π3.

(4)熟练掌握复合函数的求导后，中间步骤可省略不写．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)f′(x)＝2x，则f(x)＝x2.( )

(2)函数f(x)＝xex的导数是f′(x)＝ex(x＋1)．( )

(3)函数f(x)＝sin(－x)的导数为f′(x)＝cosx.( )

答案 (1)× (2)√ (3)×

2．做一做

(1)若f(x)＝2x＋3，则f′(x)＝________.

(2)函数f(x)＝2sinx－cosx，则f′(x)＝________.

- 1 - §1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

教学目标：

1．熟练掌握基本初等函数的导数公式；

2．掌握导数的四则运算法则；

3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。

教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则

教学难点： 基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用

教学过程：

一．创设情景

四种常见函数yc、yx、2yx、1yx的导数公式及应用

二．新课讲授

（一）基本初等函数的导数公式表

函数 导数

yc '0y

yx '1y

2yx '2yx

1yx '21yx

*()()nyfxxnQ '1nynx

函数 导数

yc '0y

*()()nyfxxnQ '1nynx

sinyx 'cosyx

cosyx 'sinyx

()xyfxa 'ln(0)xyaaa

()xyfxe 'xye

- 2 -

（二）导数的运算法则

导数运算法则

1．'''()()()()fxgxfxgx

2．'''()()()()()()fxgxfxgxfxgx

3．'''2()()()()()(()0)()()fxfxgxfxgxgxgxgx

（2）推论：''()()cfxcfx

（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）

三．典例分析

例1．假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p（单位：元）与时间t（单位：年）有如下函数关系0()(15%)tptp，其中0p为0t时的物价．假定某种商品的01p，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？

解：根据基本初等函数导数公式表，有'()1.05ln1.05tpt

所以'10(10)1.05ln1.050.08p（元/年）

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1 2016-2017学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.2.1 几个常用函数的导数

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2 第一章 导数及其应用 1。2.1 几个常用函数的导数 1.2。2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一）高效测评 新人教A版选修2—2

一、选择题(每小题5分，共20分）

1．下列结论不正确的是（ )

A．若y＝3，则y′＝0 B．若y＝错误!，则y′＝－错误!

C．若y＝错误!，则y′＝错误! D．若y＝x，则y′＝1

解析: 对于A，常数的导数为零，故A正确；