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量纲分析法建模

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量纲分析法

一、基本概念

量纲分析（Dimensional Analysis）是20世纪初提出的在物理领域建立数学模型的一种方法，它主要是利用物理量的量纲所提供的信息，根据量纲齐次法则来确定物理量之间的关系。所谓量纲齐次法则是指作为一个数学模型或物理规律，其数学表达式的每一个加项的量纲必须是一致的或每一项都是无量纲。也就是说，当描述实际现象时，只有量纲相同的项才能相比较或相加减，这个法则应该是自明的。

许多物理量是有量纲的，有些物理量的量纲是基本的，另一些物理量的量纲则可以由基本量纲根据其定义或某些物理定律推导出来。如力学中，常把质量m、长度l、时间t的量纲作为基本量纲，分别计为Mm、Ll和Tt。于是速度的量纲是1LTv，加速度的量纲是2LTa，力的量纲是2MLTf。

二、实例——单摆周期运动

首先，我们研究一个简单的例子——单摆周期运动，由此例子看看如何用量纲分析法建立数学模型，然后再给出量纲分析法的主要内容，即著名的Buckingham Pi定理。

单摆运动是一个熟知的物理现象，即用细线悬挂的小球离开其平衡位置后在重力的作用下所做的平面往复运动。为了简化问题，我们做如下假设：

模型假设：⒈ 小球运动过程中不考虑空气的阻力。

⒉ 忽略地球自转对单摆运动的影响。

⒊ 摆线是刚体，在单摆运动过程中不发生变形。

⒋ 摆轴部分没有摩擦。

模型分析与建立：在上述假设下可知，与单摆运动有关的物理量有：运动的周期t、摆线长l、球的质量m和重力加速度g，其量纲分别为：T、L、M和2LT。

设t、l、m和g之间的关系式为：

(1) 321glmt

其中321,,是待定常数，是无量纲的比例系数。取（１）式的量纲表达式，即

321glmt

将2,,,LTgLlMmTt代入得

(2) 33212TLMT

按照量纲齐次原则应有

(3)

120 03321

（３）式的解为21,21,0321。代入（１）式得

(4) glt

（４）式与用力学规律得到的结果是一致的。 如果考虑得更精细些，周期t应与小球偏离平衡位置的初始角度θ有关。但因θ是无量纲量（弧度），所以它的影响反映在系数λ内，即为)(。事实上，)(是以θ参量的第一类椭圆积分，当θ很小时，它的值近似于２π。

三、一般方法：为了导出量纲分析法建模的一般方法，将这个例子中的各变量之间的关系写作

(5) 0),,,(glmtf

进一步假设（５）式的形式为

(6) 4321yyyyglmt

其中)4,3,2,1(iyi是待定常数，π是无量纲常数。将t、m、l和g的量纲用基本量纲T、L、M表示为

(7)

201001010100TMLgTMLlTMLmTMLt

则（6）式的量纲表达式可写作（注意000TML）

0002010010101004321)()()()(TMLTMLTMLTMLTMLyyyy

即 000241243TMLTMLyyyyy

由量纲齐次原则，有

(8)

02 0041243yyyyy

此方程组的一个基本解

(9) )1,1,0,2(),,,(4321TTyyyyy

代入（6）式得

(10) 12glt

而（5）式等价于

(11) 0)(F

（10）、（11）式就是用量纲齐次原则从（5）式得到的结果，前面给出的（4）式只是它的特殊表达形式。

把从（5）式到（11）式的推导过程一般化，就是著名的Buckingham Pi定理。

定理 设有m个物理量mqqq,,,21，

(12) 0),,,(21mqqqf

是与量纲单位的选择无关的物理定律，nXXX,,,21是基本量纲，mn。mqqq,,,21的量纲可表为

mjXqijainij,,2,1][1， （13）

矩阵mnij)(A称为量纲矩阵。若A的秩

(14) r ARank

设齐次方程组

(15) 0yA 的m－r个基本解为

(16) r m,1,2,s ),,,(21Tsmsssyyyy

则

mjyjssjq1 （17）

为m－r个相互独立的无量纲量，且存在函数关系F使

0),,,(21rmF （18）

与（12）式等价。F表示一个未定的函数关系。

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数学建模试题(带答案)四

数学建模试题(带答案)四

数学建模部分课后习题解答

1.在稳定的椅子问题中，如设椅子的四脚连线呈长方形，结论如何？

解：

模型假设

（1） 椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处视为一点，四脚的连线呈长方形

（2） 地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况），即从数学角度来看，地面是连续曲面。这个假设相当于给出了椅子能放稳的必要条件

（3） 椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。为了保证这一点，要求对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的。因为在地面上椅脚间距和椅腿长度的尺寸大小相当的范围内，如果出现深沟或凸峰（即使是连续变化的），此时三只脚是无法同时着地的。

模型建立

在上述假设下，解决问题的关键在于选择合适的变量，把椅子四只脚同时着地表示出来。首先，引入合适的变量来表示椅子位置的挪动。生活经验告诉我们，要把椅子通过挪动放稳，通常有拖动或转动椅子两种办法，也就是数学上所说的平移与旋转变换。然而，平移椅子后问题的条件没有发生本质变化，所以用平移的办法是不能解决问题的。于是可尝试将椅子就地旋转，并试图在旋转过程中找到一种椅子能放稳的情形。

注意到椅脚连线呈长方形，长方形是中心对称图形，绕它的对称中心旋转180度后，椅子仍在原地。把长方形绕它的对称中心旋转，这可以表示椅子位置的改变。于是，旋转角度这一变量就表示了椅子的位置。为此，在平面上建立直角坐标系来解决问题。

设椅脚连线为长方形ABCD,以对角线AC所在的直线为x轴，对称中心O为原点，建立平面直角坐标系。椅子绕O点沿逆时针方向旋转角度后，长方形ABCD转至A1B1C1D1的位置，这样就可以用旋转角）0（表示出椅子绕点O旋转后的位置。

其次，把椅脚是否着地用数学形式表示出来。当椅脚与地面的竖直距离为零时，椅脚就着地了，而当这个距离大于零时，椅脚不着地。由于椅子在不同的位置是的函数，因此，椅脚与地面的竖直距离也是的函数。

由于椅子有四只脚，因而椅脚与地面的竖直距离有四个，它们都是的函数，而由假设（3）可知，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地，即这四个函数对于任意的，其函数值至少有三个同时为0。因此，只需引入两个距离函数即可。考虑到长方形ABCD是对称中心图形，绕其对称中心O沿逆时针方向旋转180度后，长方形位置不变，但A,C和B,D对换了。因此，记A，B两脚与地面竖直距离之和为)(f，C,D两脚之和为)(g，其中，0，使得)()(00gf成立。

数学建模方法模型

数学建模方法模型

数学建模方法模型

一、统计学方法

1 多元回归

1、方法概述:

在研究变量之间的相互影响关系模型时候用到。具体地说:其可以定量地描述 某一现象和某些因素之间的函数关系，将各变量的已知值带入回归方程可以求出因 变量的估计值，从而可以进行预测等相关研究。

2、分类

分为两类:多元线性回归和非线性线性回归;其中非线性回归可以通过一定的变

化转 化为线性回归，比如:y=lnx可以转化为y=u u=lnx来解决;所以这里主要说

明多元线性回归应该注意的问题。

3、 注意事项

在做回归的时候，一定要注意两件事:

(1) 回归方程的显著性检验(可以通过 sas 和 spss 来解决)

(2) 回归系数的显著性检验(可以通过 sas 和 spss 来解决)

检验是很多学生在建模中不注意的地方，好的检验结果可以体现出你模型的优

劣，是完整论文的体现，所以这点大家一定要注意。

4、使用步骤:

(1)根据已知条件的数据，通过预处理得出图像的大致趋势或者数据之间的大

致关系; (2)选取适当的回归方程;

(3)拟合回归参数;

(4)回归方程显著性检验及回归系数显著性检验

(5)进行后继研究(如:预测等)2 聚类分析

1、方法概述

该方法说的通俗一点就是，将n个样本，通过适当的方法(选取方法很多，大 家可以自行查找，可以在数据挖掘类的书籍中查找到，这里不再阐述)选取 m 聚 类中心，通过研究 各样本和各个聚类中心的距离Xij，选择适当的聚类标准，通 常利用最小距离法(一个样本 归于一个类也就意味着，该样本距离该类对应的中心 距离最近)来聚类，从而可以得到聚类结果，如果利用sas软件或者spss软件 来做聚类分析，就可以得到相应的动态聚类图。这种模型的的特点是直观，容易 理解。

2、分类

聚类有两种类型:

(1) Q型聚类:即对样本聚类；

(2) R型聚类:即对变量聚类；

通常聚类中衡量标准的选取有两种:

(1) 相似系数法

基于传感器效应及量纲分析的仪器创新设计模型

基于传感器效应及量纲分析的仪器创新设计模型

基于传感器效应及量纲分析的仪器创新设计模型

摘要 基于量纲分析技术和传感器效应，研究仪器中典型物理效应量纲表达及分类方法，仪器效应与物理参数量纲的映射关系，建立基于效应链的新效应产生方法和基于量纲分析的仪器新效应生成方法，形成基于量纲分析的仪器原理创新的系统化设计模型。

关键词 传感器效应；量纲分析；创新设计

中图分类号tp212 文献标识码a 文章编号

1674-6708（2012）78-0194-02

产品的功能设计、原理设计和结构设计是概念设计的核心内容，创新设计的核心是要在概念设计阶段产生有竞争力的工作原理。对于仪器的创新设计也不例外，仪器的创新设计的核心就是要通过功能—原理—结构的映射及相应的逻辑推理产生全新的工作原理。工作原理通常包含两个方面的内容：物理效应和功能载体。物理效应泛指自然界一切现象经研究得出的普遍规律性的结果，包括各学科领域的定理、定律和法则；功能载体是指实现物理效应的物理实体。物理效应可将仪器工程问题与科学中的定理定律紧密的联系起来。作为实现功能的原理，效应是原理设计的关键。可以运用本领域特别是其他领域的有关定律解决设计中的问题，物理效应可以通过将有关的量的互相联系起来的定律来描述，即按照定律规定的原理将输入量转化成输出量，实现相应的功能。

曹国忠根据事物的产生、成长、消亡的过程，将功能分解成产

生、移动、结合、分离、变化、稳定、检测、保持、存取、消除十类，并把输入量输出量分解成物质、能量与信息，通过效应及其关联实现输入量到输出量的转化。

本文针对仪器创新设计的核心过程，利用量纲分析技术，研究仪器中的物理量和典型物理效应间的映射关系和关联，提出一种全新的利用量纲分析方法搜索物理效应的仪器原理创新设计方法。

“数学建模”课程简介及教学大纲

“数学建模”课程简介及教学大纲

“数学建模”课程简介及教学大纲

课程代码：112010131

课程名称：数学建模

课程类别：专业基础课

总学时/学分：72/4

开课学期：第五学期

适用对象：数学与应用数学专业、信息与计算科学专业

先修课程：数学分析、高等代数、概率统计

内容简介：本课程主要通过各个领域中的实例介绍各种数学方法建模，主要包括：初等数学方法与实验；Matlab、Lingo的使用；微分法建模与实验；微分方程建模与实验；差分法建模与实验；优化方法建模与实验；离散方法建模与实验；随机方法建模与实验。

一、课程性质、目的和任务

1．性质：数学与应用数学、信息与计算科学专业必修课。数学建模是将实际问题依其自身的特点和规律，经过去粗取精、去伪存真、抓住主要矛盾，进行抽象简化和合理假设，用数学的语言和方法转化为数学问题，然后选择适当的数学方法和工具，给予数学的分析与解答，再将所给出的结果返回到所论的实际问题中去进行检验，符合实际则数学建模成功，否则再从头开始，如此反复多次，直至通过实践检验为止。数学模型是架于数学理论和实际问题之间的桥梁,•数学建模是应用数学解决实际问题的重要手段和途径。本课程通过大量实例介绍数学建模的全过程。

2．目的：通过向学生展示各种不同实际领域中的数学问题和数学建模方法，通过对一系列来自不同领域的实际问题的提出、分析、建模和求解的学习与训练，激励学生学习数学的积极性，提高学生建立数学模型和运用计算机技术解决实际问题的综合能力，开拓知识面，培养创新精神，提高学生分析问题、解决问题和计算机应用的能力。

3. 任务：本课程旨在通过建模训练培养：（1）学生用数学工具分析解决实际问题的意识并逐步提高其洞察能力。（2）学生用数学思想和方法综合分析实际问题的能力。（3）学生的联想能力。（4）学生熟练地使用计算机和数学软件包的能力。即培养学生的建模能力和解决实际问题的能力。

二、课程教学内容及要求

第一章 绪论：

1、数学建模的意义；