单位圆上三角函数值的计算
三角函数是一门与数学有关的学科，也是数学中的一种重要思想工具。在三角函数中，常常会涉及单位圆。单位圆是一个半径为1的圆，其圆心位于坐标系原点处。在单位圆上，我们可以用三角函数计算出各种角度的正弦、余弦、正切值等。
一、单位圆上的正弦和余弦
我们先来看正弦和余弦。在单位圆上，任意一点(x,y)都可以表示为(x,√(1-x²))或(√(1-y²),y)的形式。因为单位圆的方程式为x²+y²=1，所以当我们知道了x或y的值，就能算出另外一个未知的值。因为正弦和余弦都是关于y和x的函数，所以对于一个三角形ABC，如果我们知道了其内角B的度数，就可以根据三角函数计算出BC与AB的比值，也就是正弦值sin(B)和余弦值cos(B)。
在单位圆上，如果一个角的终边与x轴正方向之间的夹角为α，则该角的正弦函数值为sin(α)，其余弦函数值为cos(α)。因为半径为1，所以在单位圆上，正弦和余弦的取值范围都是[-1,1]。当角度为0度时，终边就在x轴上，此时的正弦函数值和余弦函数值都为1。当角度为90度时，终边就在y轴上，此时的正弦函数值为1，余弦函数值为0。类似地，当角度为180度时，终边就在-x轴上，此时的正弦函数值和余弦函数值都为-1；当角度为270度时，终边就在-y轴上，此时的正弦函数值为-1，余弦函数值为0。
二、单位圆上的正切值
类似于正弦和余弦函数，正切函数也是与单位圆有关的。在单位圆上，如果一个角的终边与x轴正方向之间的夹角为α，则该角的正切函数值为tan(α)。因为正切值的定义是一个比值，所以正切值没有像正弦或者余弦那样有固定的取值范围。不过，在单位圆的第一象限和第三象限，正切值是正数，而在第二象限和第四象限，正切值是负数。
举个例子，假设终边角度为45度，则终边上的点为(√2/2,√2/2)。这个点与x轴正方向之间的夹角为45度，所以其正切值为tan(45)=1。同理，如果我们知道终边角度为60度，则其正切值为√3。
三角函数与单位圆
在数学中，三角函数是研究角度和三角形关系的重要工具之一。而单位圆则是三角函数中的一个重要概念，它与三角函数之间存在着密切的关系。
一、三角函数的基本定义及公式
三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。它们的定义如下：
1. 正弦函数（sin）：在直角三角形中，对于一个角，正弦值等于对边与斜边长度的比值。
2. 余弦函数（cos）：在直角三角形中，对于一个角，余弦值等于邻边与斜边长度的比值。
3. 正切函数（tan）：在直角三角形中，对于一个角，正切值等于对边与邻边长度的比值。
这些三角函数在单位圆中也有对应的定义及公式。单位圆是以圆心为原点、半径为1的圆，在坐标系中可以表示为x^2 + y^2 = 1。对于单位圆上的任意一点P(x, y)，可以定义其对应的角度为A，单位圆上的点与角度之间存在着一一对应的关系。
二、三角函数与单位圆的关系
在单位圆中，以圆心为起点，与圆上任意一点P(x, y)连接，这条线段与圆的半径的夹角即为角A。
根据三角函数的定义，在单位圆中，可以得到以下关系： 1. 正弦函数：sin(A) = y
2. 余弦函数：cos(A) = x
3. 正切函数：tan(A) = y/x
利用这些关系，可以得到三角函数在单位圆中的图形。正弦函数在单位圆中的图形表现为一个周期为2π的正弦波，其振幅为1。余弦函数与正弦函数相位相差π/2，也表现为一个周期为2π的正弦波。而正切函数在单位圆中的图形是一个以原点为渐近线的周期为π的函数。
三、三角函数在解决问题中的应用
三角函数在数学中有着广泛的应用，特别是在解决与角度和三角形相关的问题时。
1. 几何问题：三角函数可以用于求解直角三角形的边长、角度等问题。例如，已知一个角的正弦值，可以通过反正弦函数求解角度值；已知两个边长，可以利用正弦定理或余弦定理求解另外一个角度或边长。
2. 物理问题：三角函数在解决物理问题中也有广泛应用。例如，通过正弦函数可以描述周期性的振动现象；借助于正切函数可以求解斜面上物体的滑动问题。
1.2.2
单位圆与三角函数线
1.单位圆：一般地，圆心在原点，半径为 的圆叫做单位圆；
2.正射影：过点P作PM 于直线l于M，则点M是点P在直线l上的正射影（简称射影）；
3.三角函数线的概念
设任意角α的顶点在圆心O，始边与x轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过点P作PM垂直x轴于M，作PN垂直y轴于点N．由三角函数的定义可知，点P的坐标为(cosα，sinα)，即P(cosα，sinα)．其中cosα＝ ，sinα＝ .
也就是说，角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的 和 ．
又设单位圆在点A（单位圆与x轴的正半轴的交点）的切线与的终边或其反向延长线相交于点T，则tan ；我们把有向线段 , , 分别叫做的 、 和 ；
【例 题】
例.分别作出3,65,45和4的正弦线，余弦线和正切线.
【练习题】
1.已知角α的终边和单位圆的交点为P，则点P的坐标为--------------------------------( )
A．(sinα，cosα) B．(cosα，sinα) C．(sinα，tanα) D．(tanα，sinα)
2.若tanθ≥0，那么θ的范围是-----------------------------------------------------------------( )
A．[0°，90°) B．[0°，90°)∪(180°，270°)
C．[k·180°，k·180°＋90°)(k∈Z) D．[k·360°，k·360°＋90°)(k∈Z) 3.若是第一象限角，则cossin的值与1的大小关系是---------------（ ）
单位圆在三角函数中的应用
利用单位圆，可以得到三角函数的一种几何表示．
按照三角函数的定义，角α的三角函数值，不因其终边上取点的变化而变化，因此，可以将所取的点的位置作适当调整，使三角函数“比”的分母为1．这样，我们就可以利用单位圆作出正弦线、余弦线、正切线．
特别地，当角α的终边在x轴上时，正弦线、正切线分别变成一个点；当角α的终边在y轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在．
例1 用单位圆证明：若α∈(0,)，则有sinα
分析 利用单位圆中角α的正弦线、正切线，所对的弧长及有关图形的面积，直观列出不等式证明之．
证明 如图，设角α的终边与单位圆交于点P，过P点向x轴作垂线，垂足为M，则有向线段MP=sinα．
过点A(1,0)作单位圆的切线，交角α的终边于点T，则有向线段AT=tanα．
∴S=·OA·MP=sinα，
S=··OA=|α|，
S=·OA·AT=tanα．
又∵当0
S
∴sinα
即sinα
此结论仅适用于α为锐角时．本质上，这个结论反映了三个函数的关系，即对x∈(0,)，f(x)=x，g(x)=sinx，φ(x)=tan(x)，下面的不等式成立
g(x)
用这个不等式，可以进行三个数的大小的比较． 如，设x=，则sin<
利用单位圆还可以证明如下结论：
sinα+cosα>1的充要条件是α为第一象限角．
sinα+cosα<-1的充要条件是α为第三象限角．
若α为象限角，则有|sinα|+|cosα|>1；若α为任意角，则有|sinα|+|cosα|≥1．
利用单位圆中的三角函数线，可以解简单的三角不等式．
例2 分别根据下列条件，解出角θ的取值范围．
⑴cosθ<； ⑵tanθ>-1．
