【名师点睛】2016-2017年八年级数学上册期中复习专题--三角形

三角形➢ 与三角形有关的线段 (1)三角形的定义(2) ①⎪⎩⎪⎨⎩⎨⎧等边三角形底和腰不相等的三角形等腰三角形三角形按边)( ②⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧钝角三角形锐角三角形斜三角形直角三角形三角形按角 (3)三角形的主要线段①三角形的中线:顶点与对边中点的连线,三中线交点叫重心②三角形的角平分线:内角平分线与对边相交,顶点和交点间的线段,三角角平分线的交点叫内心 ③三角形的高:顶点向对边作垂线,顶点和垂足间的线段.三条高的交点叫垂心(分锐角三角形,钝角三角形和直角三角形的交点的位置不同)(4)三角形三边间的关系.①两边之和大于第三边 b a c a c b c b a >+>+>+,, ②两边之差小于第三边 a c b c b a b a c <-<-<-,, (5)三角形的稳定性:三角形的三条边确定后,三角形的形状和大小不变了,这个性质叫做三角形的稳定性.三角形的稳定性在生产和生活中有广泛的应用.例1:已知BD,CE 是ABC ∆的高，直线BD,CE 相交，所成的角中有一个角为50°， 则等于BAC ∠分析:本题中由于没有图形, ABC ∆的形状不确定,应分两种情况:①ABC ∆是锐角三角形 ②ABC ∆是钝角三角形 解:50或130(过程略)例2:如图,已知ABC ∆中,ACB ABC ∠∠和的角平分线BD,CE 相交于点O,且 60=∠A ，求BOC ∠的度数例3:三角形的最长边为10,另两边的长分别为x 和4,周长为c,求x 和c 的取值范围. 解:已知三角形的两边为10和4.那么第三边x 的范围应满足: 410410+<<-x 即6<x <14.2420,41010641010610≤<++≤<++∴≤<∴c c c x 即的范围满足周长是最长边➢ 与三角形有关的角（1）三角形的内角和定理及性质定理：三角形的内角和等于180°。

第01课三角形认识1.三角形定义：在同一平面内，由条线段形成的图形叫做三角形。

三角形有个内角，对外角。

2.三角形分类：(1)按角度分类：、、。

(2)按边分类：、。

3.三角形三边关系定理：4.三角形的高线：过顶点作的，顶点与的长度叫做三角形的高线。

任意三角形有条高线，它们的交点叫做。

位置：5.三角形的中线：顶点与中点的线段叫做三角形的中线。

任意三角形有条中线，它们的交点叫做。

中线的性质：。

6.三角形的角平分线：三角形内角的平分线与此内角的的交点的线段叫做三角形的角平分线。

任意三角形有条角平分线，它们的交点叫做。

7.三角形的稳定性：8.三角形内角和度数为：；外角和度数为.9.三角形内角与外角的关系：(1) ；(2) 。

10.与三角形角平分线有关的公式：多边形内角和：1.在同一平面内,有条线段形成的图形,叫做多边形.多边形分为多边形和多边形.2.从多边形一个顶点引出的对角线条数公式为；多边形对角线条数总数公式： .从多边形一个顶点引出的对角线将多边形分成的三角形个数公式为 .3.多边形内角和度数公式：；外角和度数： .4.相等，相等的多边形叫做正多边形。

【例1】已知三角形三边分别为4,2a-1,8,求a的取值范围.【例2】已知等腰三角形的周长为48cm，一腰上的中线将此三角形的周长分为1:3，求此三角形的三边长。

【例3】已知等腰三角形一个内角是另一个内角的2倍少100，则这个三角形的内角度数为 .【例4】如图，已知在△ABC中，∠C=760，∠B=480，AD⊥BC于D点，AE平分∠BAC.求∠DAE的度数.课堂同步练习1.如下四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（）2.如图，AD⊥BC，CE⊥BC，CH⊥AB，BG⊥AC，则在△ABC中，BC边上的高是（）A.线段CEB.线段CHC.线段ADD.线段BG3.△ABC中，AB=AC=4，BC=a,则a的取值范围是( )A.a＞0B.0＜a＜4C.4＜a＜8D.0＜a＜84.一个三角形三个内角的度数之比为2:3:7,这个三角形一定是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.锐角三角形D.钝角三角形5.如果三角形的一个外角和与它不相邻的两个内角的和为1200,那么与这个外角相邻的内角的度数为( )A.30°B.60°C.90°D.120°6.如图,已知∠AEC的度数为1100,则∠A＋∠B＋∠C＋∠D的度数为（）A.110°B.130°C.220°D.180°第6题图第7题图7.如图,在△ABC中,BD=CD,∠ABE=∠CBE,BE交AD于点F．（1）______是△ABC的角平分线；（2）______是△BCE的中线；（3）______是△ABD的角平分线．8.如果△ABC是等腰三角形，试问：⑴若周长是18，一边长是8，则另两边长是_________________；⑵若周长是18，一边长是4，则另两边长是__________________。

专题03 三角形有关的角重点突破知识点一三角形的内角内角和定理：三角形三个内角和等于180°。

推论：①直角三角形的两个锐角互余。

②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。

③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

【备注】1.在同一个三角形中：等角对等边；2.等边对等角；大角对大边；3.大边对大角。

4.等角的补角相等，等角的余角相等。

三角形的内角构成：知识点二三角形的外角概念：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。

三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。

三角形的外角与内角的关系：1、三角形的一个外角与它相邻的内角互补；2、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；3、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。

考查题型考查题型一三角形内角和定理典例1．（2020·某某市期末）在三角形中，最大的内角不小于（）A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】C【解析】解：∵三角形的内角和等于180°，180°÷3=60°，∴最大的角不小于60°．故选C．变式1-1．（2020·阳新县陶港镇陶港中学初一期中）三角形的三个内角( )A．至少有两个锐角B．至少有一个直角C．至多有两个钝角D．至少有一个钝角【答案】A【提示】根据三角形的内角和是180°判断即可．【详解】解：根据三角形的内角和是180°，知：三个内角可以都是60°，排除B；三个内角可以都是锐角，排除C和D；三角形的三个内角中至少有两个锐角，不可能有两个钝角或两个直角．故选A．【名师点拨】本题考查了三角形的内角和定理：三角形的三个内角和是180°．变式1-2．（2020·某某市期末）如图，点D在△ABC内，且∠BDC=120°，∠1+∠2=55°，则∠A的度数为（）A．50°B．60°C．65°D．75°【答案】C【提示】根据三角形的内角和即可求出.【详解】在△BCD中，∠BDC=120°，∴∠DBC+∠DCB=180°-∠BDC=60°，∵∠1+∠2=55°，∴∠ABC+∠ACB=∠1+∠2+∠DBC+∠DCB=115°，∴∠A=180°-（∠ABC+∠ACB）=65°.故选C.【名师点拨】此题主要考查三角形的内角和，解题的关键是熟知三角形的内角和的性质.变式1-3．（2020·黄冈市期末）等腰三角形的一个内角为50°，它的顶角的度数是（）A．40°B．50°C．50°或40°D．50°或80°【答案】D【提示】根据50°是顶角的度数或底角的度数分类讨论，然后结合三角形的内角和定理即可得出结论．【详解】解：①若顶角的度数为50°时，此时符合题意；②若底角的度数为50°时，则等腰三角形的顶角为：180°－50°－50°=80°综上所述：它的顶角的度数是50°或80°故选D．【名师点拨】此题考查的是等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，掌握等边对等角和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．变式1-4．（2019·某某市期中）如图，在△ABC中，∠C＝70º，沿图中虚线截去∠C，则∠1＋∠2＝（）A．360ºB．250ºC．180ºD．140º【答案】B【提示】【提示】根据三角形内角和定理得出∠A+∠B=110°，进而利用四边形内角和定理得出答案．【详解】∵△ABC中，∠C=70°，∴∠A+∠B=180°-∠C =110°，∴∠1+∠2=360°-110°=250°，故选B．【名师点拨】本题主要考查了多边形内角和定理，根据题意得出∠A+∠B的度数是解题关键.考查题型二与平行线有关的三角形内角和问题典例2．（2019·某某市期末）如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD=CE,若∠ABC=30°，则∠D为（）A．85°B．75°C．60°D．30°【答案】B【解析】详解：∵AB∥CD，∴∠C=∠ABC=30°，又∵CD=CE，∴∠D=∠CED，∵∠C+∠D+∠CED=180°，即30°+2∠D=180°，∴∠D=75°．故选B．变式2-1．（2020·某某市期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，DE∥AB，若∠CDE=165°，则∠B的度数为（）A．15°B．55°C．65°D．75°【答案】D【提示】根据邻补角定义可得∠ADE=15°，由平行线的性质可得∠A=∠ADE=15°，再根据三角形内角和定理即可求得∠B=75°．【详解】解：∵∠CDE=165°，∴∠ADE=15°，∵DE∥AB，∴∠A=∠ADE=15°，∴∠B=180°﹣∠C﹣∠A=180°﹣90°﹣15°=75°，【名师点拨】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理等，熟练掌握平行线的性质以及三角形内角和定理是解题的关键．变式2-2．（2018某某市期末）如图，直线a∥b，直角三角形如图放置，∠DCB=90°，若∠1+∠B=65°，则∠2的度数为( )A．20B．25C．30D．35【答案】B【提示】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠3=∠1+∠B，再根据两直线平行，同旁内角互补列式计算即可得解．【详解】解：如图，由三角形的外角性质可得，∠3=∠1+∠B=65°，∵a∥b，∠DCB=90°，∴∠2=180°-∠3-90°=180°-65°-90°=25°．故选：B．【名师点拨】本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．变式2-3．（2020·金昌市期中）如图，BC⊥AE于点C，CD∥AB，∠B＝55°，则∠1等于（）A．35°B．45°C．55°D．65°【详解】试题提示：利用“直角三角形的两个锐角互余”的性质求得∠A=35°，然后利用平行线的性质得到∠1=∠A=35°．解：如图，∵BC ⊥AE ，∴∠ACB=90°．∴∠A+∠B=90°．又∵∠B=55°，∴∠A=35°．又CD ∥AB ，∴∠1=∠A=35°．故选A ．变式2-4．（2020·吕梁市期中）如图，直线12,l l 被直线3l 所截，且12l l ，过1l 上的点A 作AB ⊥3l 交3l 于点B ，其中∠1＜30°，则下列一定正确的是( )A ．∠2＞120°B ．∠3＜60°C ．∠4－∠3＞90°D ．2∠3＞∠4【答案】D 【提示】根据三角形内角和定理求出∠ACB ，再根据平行线的性质逐个判断即可．【详解】解：∵AB ⊥l 3，∴∠ABC=90°，∵∠1＜30°∴∠ACB=90°-∠1＞60°，∴∠2＜120°，∵直线l 1∥l 2，∴∠3=∠ABC ＞60°，∴∠4-∠3=180°-∠3-∠3=180°-2∠3＜60°，故选D．名师点拨：本题考查了平行线的性质和三角形内角和定理，能求出各个角的度数是解此题的关键．考查题型三与角平分线有关的三角形内角和问题典例3．（2019·大石桥市期末）如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线BE，CD相交于点F，∠ABC＝42°，∠A ＝60°，则∠BFC的度数为()A．118°B．119°C．120°D．121°【答案】C【解析】由三角形内角和定理得∠ABC+∠ACB=120°，由角平分线的性质得∠CBE+∠BCD=60°，再利用三角形的内角和定理得结果．解：∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°，∵BE，CD是∠B、∠C的平分线，∴∠CBE=∠ABC，∠BCD=∠BCA，∴∠CBE+∠BCD=（∠ABC+∠BCA）=60°，∴∠BFC=180°﹣60°=120°，故选C．变式3-1．（2019·河东区期中）如图，BO、CO是∠ABC、∠ACB的平分线，∠BOC=120°，则∠A=( )A．60°B．120°C．110°D．40°【答案】A【解析】试题解析：因为OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线，所以∠ABO=∠CBO，∠ACO=∠BCO，所以∠ABO+∠ACO=∠CBO+∠BCO=180°﹣120°=60°，所以∠ABC+∠ACB=60°×2=120°，于是∠A=180°﹣120°=60°．故选A．变式3-2．（2018·某某市期中）如图，△ABC中，∠A＝46°，∠C＝74°，BD平分∠ABC，交AC于点D，那么∠BDC 的度数是（）A．76°B．81°C．92°D．104°【答案】A【提示】根据三角形的内角和为180°，可得∠A+∠C+∠ABC=180°，然后根据△ABC中，∠A＝46°，∠C＝74°，求得∠ABC=60°，然后根据角平分线的性质，可得∠ABD=30°，再根据三角形的外角性质，可得∠BDC=∠A+∠ABD=76°.【详解】∵△ABC中，∠A=46°，∠C=74°，∴∠ABC=60°，∵BD为∠ABC平分线，∴∠ABD=∠CBD=30°，∵∠BDC为△ABD外角，∴∠BDC=∠A+∠ABD=76°，故选A【名师点拨】此题主要考查了三角形的内角和外角的性质，解题关键是构造合适的角的和差关系，然后根据角平分线的性质求解即可.变式3-3．（2018·达州市期末）已知AD、AE分别为△ABC的角平分线、高线，若∠B=40°，∠C=60°，则∠ADB的度数为（）A．115 B．110 C．105 D．100【答案】D【提示】根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据角平分线定义求出∠BAD，根据三角形内角和定理求出即可．【详解】∵∠B=40°，∠C=60°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=80°，∵AD、AE分别为△ABC的角平分线、高线，∴∠BAD=12∠BAC=40°，∴∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-40°-40°=100°，故选D．【名师点拨】考查了三角形内角和定理的应用，能求出∠BAD的度数是解此题的关键．变式3-4．（2019·某某市期中）如图，∠A＝120°，且∠1＝∠2＝∠3和∠4＝∠5＝∠6，则∠BDC＝（）A．120°B．60°C．140°D．无法确定【答案】C【提示】根据三角形内角和定理，即可得到∠ABC+∠ACB＝180°﹣120°＝60°，再根据∠1＝∠2＝∠3，∠4＝∠5＝∠6，即可得到∠DBC+∠DCB的度数，最后利用三角形内角和定理可得∠BDC的度数．【详解】解：在△ABC中，∵∠A＝120°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣120°＝60°，又∵∠1＝∠2＝∠3，∠4＝∠5＝∠6，∴∠DBC+∠DCB＝23×60°＝40°，∴∠BDC＝180°﹣40°＝140°.故选C．【名师点拨】此题考查三角形的内角和，解题时注意：三角形内角和是180°．考查题型四三角形内角和定理的应用典例4．（2020·怀集县期末）一个缺角的三角形ABC残片如图所示，量得∠A＝60°，∠B＝75°，则这个三角形残缺前的∠C的度数为（）A．75°B．60°C．45°D．40°【答案】C【提示】利用三角形内角和定理求解即可.【详解】因为三角形内角和为180°，且∠A = 60°，∠B = 75°，所以∠C=180°–60°–75°=45°.【名师点拨】三角形内角和定理是常考的知识点.变式4-1．（2019·某某市期中）如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为A．40海里B．60海里C．70海里D．80海里【答案】D【解析】提示：依题意，知MN＝40海里/小时×2小时＝80海里，∵根据方向角的意义和平行的性质，∠M＝70°，∠N＝40°，∴根据三角形内角和定理得∠MPN＝70°．∴∠M＝∠MPN＝70°．∴NP＝NM＝80海里．故选D．变式4-2．（2020·某某市期末）如图所示，一个60o角的三角形纸片，剪去这个600角后，得到一个四边形，则么的度数为（）A．120O B．180O. C．240O D．3000【答案】C【详解】如图，根据三角形内角和定理，得∠3+∠4+600=1800，又根据平角定义，∠1+∠3=1800，∠2+∠4=1800，∴1800－∠1+1800－∠2+600=1800.∴∠1+∠2=240O.故选C.变式4-3．（2019·某某市期中）适合条件∠A＝12∠B＝13∠C的△ABC是( )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形【答案】B【提示】此题隐含的条件是三角形的内角和为180︒，列方程，根据题中角的关系求解，再判断三角形的形状．【详解】∵∠A=12∠B=13∠C，∴∠B=2∠A，∠C=3∠A，∵∠A+∠B+∠C=180︒，即6∠A=180︒，∴∠A=30︒，∴∠B=60︒，∠C=90︒，∴△ABC为直角三角形.故选B.【名师点拨】本题考查三角形内角和定理：三角形的内角和为180︒.变式4-4．（2020株洲市期中）在ABC 中，若一个内角等于另外两个角的差，则（ ）A ．必有一个角等于30B ．必有一个角等于45︒C ．必有一个角等于60︒D ．必有一个角等于90︒【答案】D【提示】先设三角形的两个内角分别为x ，y ，则可得(180°－x －y)，再分三种情况讨论，即可得到答案.【详解】设三角形的一个内角为x ，另一个角为y ，则三个角为(180°－x －y)，则有三种情况：①(180)9090x y x y y x y =-︒--⇒=+=或②(180)9090y x x y x x y =---⇒=+=或③(180)9090x y x y x y --=-⇒==或综上所述，必有一个角等于90°故选D.【名师点拨】本题考查三角形内角和的性质，解题的关键是熟练掌握三角形内角和的性质，分情况讨论. 考查题型五直角三角形的两个锐角互余典例5．（2018·奉化市期中）已知直角三角形ABC ，有一个锐角等于50°，则另一个锐角的度数是（ ）A ．30°B ．40°C ．45°D ．50° 【答案】B【提示】由直角三角形的两锐角互余，可得另一个角的度数.【详解】另一个锐角的度数为 90°-50°=40°.，故选B.【名师点拨】本题考查了直角三角形中两个锐角互余，熟练掌握这一性质是解答本题的关键.变式5-1．（2019·某某市期中）在△ABC 中，已知∠ABC=66°，∠ACB=54°，BE 是AC 上的高，CF 是AB 上的高，H 是BE 和CF 的交点，∠EHF 的度数是（ ）A ．50°B ．40°C ．130°D ．120°【答案】D【提示】先根据三角形内角和定理求出∠A的度数，再根据CF是AB上的高得出∠ACF的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论．【详解】∵∠ABC=66°，∠ACB=54°，∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=60°，∵CF是AB上的高，∴∠AFC=90°，∴∠ACF=90°﹣∠A=30°，在△CEH中，∠ACF=30°，∠CEH=90°，∴∠EHF=∠ACF+∠CEH=30°+90°=120°，故选D．【名师点拨】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、直角三角形两锐角互余等，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键.变式5-2．（2018·某某市期末）如图，AB∥CD，DB⊥BC，∠2=50°，则∠1的度数是（）A．40°B．50°C．60°D．140°【答案】A【解析】试题提示：根据直角三角形两锐角互余求出∠3，再根据两直线平行，同位角相等解答．解：∵DB⊥BC，∠2=50°，∴∠3=90°﹣∠2=90°﹣50°=40°，∵AB∥CD，∴∠1=∠3=40°．故选A．考查题型六 三角形外角性质典例6．（2020·某某市期中）如图，将一X 含有30角的三角形纸片的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，若244∠=，则1∠的大小为（）A ．14B ．16C ．90α-D ．44α-【答案】A 【解析】详解：如图，∵矩形的对边平行，∴∠2=∠3=44°，根据三角形外角性质，可得：∠3=∠1+30°，∴∠1=44°﹣30°=14°．故选A ．名师点拨：本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用，解题时注意：两直线平行，同位角相等．变式6-1．（2020·鸡东县期中）已知直线a ∥b ，将一块含45°角的直角三角板（∠C =90°）按如图所示的位置摆放，若∠1=55°，则∠2的度数为（ ）A ．80°B ．70°C ．85°D ．75°【答案】A 【提示】如图，先根据三角形外角的性质求出∠4的度数，再根据平行线的性质求出∠5的度数，最后根据邻补角的定义进行求解即可得.【详解】如图，∵∠1=∠3=55°，∠B=45°，∴∠4=∠3+∠B=100°，∵a∥b，∴∠5=∠4=100°，∴∠2=180°﹣∠5=80°，故选A．【名师点拨】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，三角形的外角的性质等知识，结合图形灵活运用相关的知识解决问题是关键.变式6-2．（2018·鸡西市期末）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A在四边形BCDE的外部时，记∠AEB为∠1，∠ADC为∠2，则∠A、∠1与∠2的数量关系，结论正确的是（）A．∠1＝∠2＋∠A B．∠1＝2∠A＋∠2C．∠1＝2∠2＋2∠A D．2∠1＝∠2＋∠A【答案】B【解析】试题提示：如图在∆ABC中，∠A+∠B+∠C=180°，折叠之后在∆ADF中，∠A+∠2+∠3=180°，∴∠B+∠C=∠2+∠3，∠3=180°-∠A-∠2，又在四边形BCFE中∠B+∠C+∠1+∠3=360°，∴∠2+∠3+∠1+∠3=360°∴∠2+∠1+2∠3=∠2+∠1+2（180°-∠A-∠2）=360°，∴∠2+∠1-2∠A-2∠2=0，∴名师点拨：本题主要考查考生对三角形内角和，四边形内角和以及三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和的理解及掌握。

人教版八年级上册数学期中考试考前微专题集训与三角形有关的角的计算知识储备:三角形内角和定理:(1)定理的证明方法——拼平角法.(2)在一个三角形中,若已知三个内角的关系,则可列方程求出各内角的度数.(3)三角形的三个内角中至少有两个锐角,最多有一个钝角或直角.一.选择题.1.三角形的内角和等于 ( )A.90°B.180°C.270°D.360°2. 在△ABC中,若一个内角等于另外两个内角的差,则( )A.必有一个内角等于30°B.必有一个内角等于45°C.必有一个内角等于60°D.必有一个内角等于90°3.一个缺角的三角形ABC残片如图所示,量得∠A=60°,∠B=75°,则这个三角形残缺前的∠C的度数为( )A.75°B.60°C.45°D.40°4.如图,在△ABC中,点D在AB上,点E在AC上,DE∥BC.若∠A=62°,∠AED= 54°,则∠B的大小为( )A.54°B.62°C.64°D.74°5.如图,在△ABC中,∠BAC=56°,∠ABC=74°,BP,CP分别平分∠ABC和∠ACB,则∠BPC= ( )A.102°B.112°C.115°D.118°6.若△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4,则△ABC一定是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.任意三角形7.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC交BC于点D,∠B=30°,∠ADC=70°,则∠C的度数是( )A.50°B.60°C.70°D.80°8. 将一副三角板按如图位置摆放,若∠BDE=75°,则∠AMD的度数是 ( )A.75°B.80°C.85°D.90°二.填空题.1.在△ABC中,∠A+∠B=80°,∠C=2∠A,则∠C= ,∠B= .2.一个三角形最多有个直角,最多有个锐角,最多有个钝角.3. 在直角三角形中,一个锐角是另一个锐角的4倍,则较小锐角的度数为度.4.如图,在△ABC中,∠B=30°,∠C=70°,AD平分∠BAC,交BC于点F,DE⊥BC于点E,则∠D= °.5. 轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行,在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上,轮船航行半小时到达C处,在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上,则∠A= °.三.解答题.1.如图所示,在△ABC中,∠A=80°,∠B=30°,CD平分∠ACB,DE∥AC.(1)求∠DEB的度数.(2)求∠BDC的度数.2.如图,点E是△ABC中AC边上的一点,过点E作ED⊥AB,垂足为点D.若∠1= ∠2,则△ABC是直角三角形吗?为什么?3.如图,在△ACB中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D.(1)求证:∠ACD=∠B.(2)若AF平分∠CAB分别交CD,BC于点E,F,求证:∠CEF=∠CFE.4.“8字”的性质及应用:(1)如图1,AD,BC相交于点O,得到一个“8字”ABCD,求证:∠A+∠B=∠C+∠D.(2)如(1)中方式,图2中有“8字”ABCD、“8字”________和“8字”________.(3)如图2,∠ABC和∠ADC的平分线相交于点E,利用(1)中的结论证明:∠E=(∠A+∠C).人教版八年级上册数学期中考试考前微专题集训与三角形有关的角的计算(答案版)知识储备:三角形内角和定理:(1)定理的证明方法——拼平角法.(2)在一个三角形中,若已知三个内角的关系,则可列方程求出各内角的度数.(3)三角形的三个内角中至少有两个锐角,最多有一个钝角或直角.一.选择题.1.三角形的内角和等于 ( B )A.90°B.180°C.270°D.360°2. 在△ABC中,若一个内角等于另外两个内角的差,则( D )A.必有一个内角等于30°B.必有一个内角等于45°C.必有一个内角等于60°D.必有一个内角等于90°3.一个缺角的三角形ABC残片如图所示,量得∠A=60°,∠B=75°,则这个三角形残缺前的∠C的度数为( C )A.75°B.60°C.45°D.40°4.如图,在△ABC中,点D在AB上,点E在AC上,DE∥BC.若∠A=62°,∠AED= 54°,则∠B的大小为( C )A.54°B.62°C.64°D.74°5.如图,在△ABC中,∠BAC=56°,∠ABC=74°,BP,CP分别平分∠ABC和∠ACB,则∠BPC= ( D )A.102°B.112°C.115°D.118°6.若△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4,则△ABC一定是( B )A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.任意三角形7.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC交BC于点D,∠B=30°,∠ADC=70°,则∠C的度数是( C )A.50°B.60°C.70°D.80°8. 将一副三角板按如图位置摆放,若∠BDE=75°,则∠AMD的度数是 ( D )A.75°B.80°C.85°D.90°二.填空题.1.在△ABC中,∠A+∠B=80°,∠C=2∠A,则∠C= 100°,∠B= 30°.2.一个三角形最多有1个直角,最多有3个锐角,最多有1个钝角.3. 在直角三角形中,一个锐角是另一个锐角的4倍,则较小锐角的度数为18度.4.如图,在△ABC中,∠B=30°,∠C=70°,AD平分∠BAC,交BC于点F,DE⊥BC于点E,则∠D= 20°.5. 轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行,在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上,轮船航行半小时到达C处,在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上,则∠A= 45°.三.解答题.1.如图所示,在△ABC中,∠A=80°,∠B=30°,CD平分∠ACB,DE∥AC.(1)求∠DEB的度数.(2)求∠BDC的度数.【解析】(1)在△ABC中,∠A=80°,∠B=30°,∴∠ACB=180°-80°-30°=70°,又∵DE∥AC,∴∠DEB=∠ACB=70°.(2)∵CD平分∠ACB,∠ACB=70°,∴∠ACD=∠ECD=∠ACB=35°,∴∠BDC=180°-∠B-∠ECD=180°-30°-35°=115°.2.如图,点E是△ABC中AC边上的一点,过点E作ED⊥AB,垂足为点D.若∠1= ∠2,则△ABC是直角三角形吗?为什么?【解析】△ABC是直角三角形.理由如下:∵ED⊥AB,∴∠ADE=90°,△ADE是直角三角形.∴∠1+∠A=90°.又∵∠1=∠2,∴∠2+∠A=90°.∴△ABC是直角三角形.3.如图,在△ACB中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D.(1)求证:∠ACD=∠B.(2)若AF平分∠CAB分别交CD,BC于点E,F,求证:∠CEF=∠CFE.【证明】(1)∵∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,∴∠ACD+∠BCD=90°,∠B+∠BCD=90°,∴∠ACD=∠B.(2)在Rt△AFC中,∠CFA=90°-∠CAF,同理在Rt△AED中,∠AED=90°-∠DAE.又∵AF平分∠CAB,∴∠CAF=∠DAE,∴∠AED=∠CFE,又∵∠CEF=∠AED,∴∠CEF=∠CFE.4.“8字”的性质及应用:(1)如图1,AD,BC相交于点O,得到一个“8字”ABCD,求证:∠A+∠B=∠C+∠D.(2)如(1)中方式,图2中有“8字”ABCD、“8字”________和“8字”________.(3)如图2,∠ABC和∠ADC的平分线相交于点E,利用(1)中的结论证明:∠E=(∠A+∠C).【解析】(1)∵∠A+∠B+∠AOB=180°,∠C+∠D+∠COD=180°,∠AOB=∠COD, ∴∠A+∠B=∠C+∠D.(2)如(1)中方式,题图2中有“8字”ABCD、“8字”ABED和“8字”EBCD.答案:ABED EBCD(3)∵∠A+∠ABE=∠E+∠ADE,∠E+∠EBC=∠C+∠EDC,∵∠ABE=∠EBC,∠ADE= ∠EDC,∴∠A-∠E=∠E-∠C,∴∠E=(∠A+∠C).。

八年级上册数学期中复习要点总结：与三角形有关的线段、角期中马上就要到来了，为了让各位初中生们做到更好的复习工作，小编为大家整理了八年级上册数学期中复习要点总结：与三角形有关的线段、角，欢迎大家参考阅读!知识点总结一、三角形的有关概念1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫三角形。

三角形的特征：①不在同一直线上;②三条线段;③首尾顺次相接;④三角形具有稳定性。

2.三角形中的三条重要线段：角平分线、中线、高(1)角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

(2)中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。

(3)高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。

说明：①三角形的角平分线、中线、高都是线段;②三角形的角平分线、中线都在三角形内部且都交于一点;三角形的高可能在三角形的内部(锐角三角形)、外部(钝角三角形)，也可能在边上(直角三角形)，它们(或延长线)相交于一点。

二、三角形的边和角三边关系：三角形中任意两边之和大于第三边。

由三边关系可以推出：三角形任意两边之差小于第三边。

三、三角形内、外角的关系1.三角形的内角和等于180°。

2.直角三角形的两个锐角互余。

3.三角形的一外角等于和它不相邻的两个内角之和，三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

4.三角形的外角和为360°。

四、等腰三角形与直角三角形:1.等腰三角形：有两条边相等的三角形称为等腰三角形，相等的两边叫做等腰三角形的腰，三条边都相等的三角形叫做等边三角形(或正三角形)。

我国古代的读书人,从上学之日起,就日诵不辍,一般在几年内就能识记几千个汉字,熟记几百篇文章,写出的诗文也是字斟句酌,琅琅上口,成为满腹经纶的文人。

为什么在现代化教学的今天,我们念了十几年书的高中毕业生甚至大学生,竟提起作文就头疼,写不出像样的文章呢?吕叔湘先生早在1978年就尖锐地提出:“中小学语文教学效果差,中学语文毕业生语文水平低,……十几年上课总时数是9160课时,语文是2749课时,恰好是30%,十年的时间,二千七百多课时,用来学本国语文,却是大多数不过关,岂非咄咄怪事!”寻根究底,其主要原因就是腹中无物。

八年级数学上册知识点总结第十一章三角形一、知识框架：二、知识概念：1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边.3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高.4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性.7.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.8.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角.9.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.10.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.11.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形.12.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面，13.公式与性质：⑴三角形的内角和：三角形的内角和为180°⑵三角形外角的性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.⑶多边形内角和公式：n边形的内角和等于(2)n-·180°⑷多边形的外角和：多边形的外角和为360°.⑸多边形对角线的条数：①从n边形的一个顶点出发可以引(3)n-条对角线，把多边形分成(2)n-个三角形.②n边形共有(3)2n n-条对角线.第十二章全等三角形一、知识框架：二、知识概念：1.基本定义：⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边.⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角.2.基本性质：⑴三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳定性.⑵全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.3.全等三角形的判定定理：⑴边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等.⑵边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.⑶角边角（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.⑷角角边（AAS）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.⑸斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.4.角平分线：⑴画法：⑵性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.⑶性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.5.证明的基本方法：⑴明确命题中的已知和求证.（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系）⑵根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证.⑶经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.第十三章轴对称一、知识框架：二、知识概念：1.基本概念：⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.⑵两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称.⑶线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.⑷等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.⑸等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形.2.基本性质：⑴对称的性质：①不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称，对称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.②对称的图形都全等.⑵线段垂直平分线的性质：①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.②与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.⑶关于坐标轴对称的点的坐标性质①点P (,)x y 关于x 轴对称的点的坐标为'P (,)x y -.②点P (,)x y 关于y 轴对称的点的坐标为"P (,)x y -.⑷等腰三角形的性质：①等腰三角形两腰相等.②等腰三角形两底角相等（等边对等角）.③等腰三角形的顶角角平分线、底边上的中线，底边上的高相互重合.④等腰三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一（1条）.⑸等边三角形的性质：①等边三角形三边都相等.②等边三角形三个内角都相等，都等于60°③等边三角形每条边上都存在三线合一.④等边三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一（3条）.3.基本判定：⑴等腰三角形的判定：①有两条边相等的三角形是等腰三角形.②如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）.⑵等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形.②三个角都相等的三角形是等边三角形.③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.4.基本方法：⑴做已知直线的垂线：⑵做已知线段的垂直平分线：⑶作对称轴：连接两个对应点，作所连线段的垂直平分线.⑷作已知图形关于某直线的对称图形：⑸在直线上做一点，使它到该直线同侧的两个已知点的距离之和最短.第十四章 整式的乘除与分解因式一、知识框架:二、知识概念：1.基本运算：⑴同底数幂的乘法：m n m n a a a +⨯=⑵幂的乘方：()n m mn a a = ⑶积的乘方：()nn n ab a b =2.整式的乘法： ⑴单项式⨯单项式：系数⨯系数，同字母⨯同字母，不同字母为积的因式. ⑵单项式⨯多项式：用单项式乘以多项式的每个项后相加.⑶多项式⨯多项式：用一个多项式每个项乘以另一个多项式每个项后相加.3.计算公式：⑴平方差公式：()()22a b a b a b -⨯+=-⑵完全平方公式：()2222a b a ab b +=++；()2222a b a ab b -=-+ 整式乘法 整式除法 因式分解乘法法则等边三角形的性质4.整式的除法：⑴同底数幂的除法：m n m n a a a -÷=⑵单项式÷单项式：系数÷系数，同字母÷同字母，不同字母作为商的因式.⑶多项式÷单项式：用多项式每个项除以单项式后相加.⑷多项式÷多项式：用竖式.5.因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个式 子因式分解.6.因式分解方法：⑴提公因式法：找出最大公因式.⑵公式法：①平方差公式：()()22a b a b a b -=+-②完全平方公式：()2222a ab b a b ±+=±③立方和：3322()()a b a b a ab b +=+-+④立方差：3322()()a b a b a ab b -=-++⑶十字相乘法：()()()2x p q x pq x p x q +++=++⑷拆项法 ⑸添项法第十五章 分式一、知识框架 ：二、知识概念：1.分式：形如A B，A B 、是整式，B 中含有字母且B 不等于0的整式叫做分式.其中A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母.2.分式有意义的条件：分母不等于0.3.分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变.4.约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数）约去，这种变形称为约分.5.通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分.6.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式，约分时，一般将一个分式化为最简分式.7.分式的四则运算：⑴同分母分式加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.用字母表示为：a b a b c c c±±= ⑵异分母分式加减法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为： a c ad cb b d bd±±= ⑶分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为：a c ac b d bd⨯= ⑷分式的除法法则：两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.用字母表示为：a c a d ad b d b c bc÷=⨯= ⑸分式的乘方法则：分子、分母分别乘方.用字母表示为：n n n a a b b⎛⎫= ⎪⎝⎭ 8.整数指数幂：⑴m n m n a a a +⨯=（m n 、是正整数）⑵()nm mn a a =（m n 、是正整数） ⑶()nn n ab a b =（n 是正整数）⑷m n m n a a a -÷=（0a ≠，m n 、是正整数，m n >） ⑸n n n a a b b⎛⎫= ⎪⎝⎭（n 是正整数） ⑹1n na a -=（0a ≠，n 是正整数） 9.的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.10.分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根).。

八年级上期中三角形知识点
在中学数学教学中，三角形是一个非常重要的几何形体。

作为
数学基础知识的三角形，不仅是中学数学的必修课程，还是高中、大学的数学课程的基础。

在三角形知识点中，有许多重要的内容，接下来我们将对八年级上学期中的三角形知识点进行详细介绍。

一、三角形的定义
三角形是由三条边所围成的图形，它有三个顶点和三个角。

三
角形的边界称为边，相邻两边之间的夹角称为角，而三边所对的
角叫做三角形的内角。

二、三角形分类
常见的三角形有等边三角形、等腰三角形和普通三角形等。

其中，等边三角形的三条边长相等，三个角度也相等；等腰三角形
的两条边长相等；普通三角形的三边长度都不相同而内角之和总
是等于一百八十度。

三、角度关系
在三角形中，角度关系十分重要。

首先，任何一个三角形的内角之和都是一百八十度。

其次，对于一个普通三角形，它的两个较小的内角的和一定大于第三个内角。

三角形两边夹角的关系也是数学中的重要部分，它们是对顶角和内角的概念。

对顶角是指两条边互相垂直相交所形成的角，而内角则是指由三角形内部的角。

四、三角形元素
除了三角形的角度与边长之外，三角形的其他要素还包括高、中线、外心、内心等。

高是垂直于底边的线段，而中线是指三角形中连接两个角的线段。

外心是三角形外接圆圆心的位置，内心则是三角形内凹部分的圆心所在位置。

以上所述是八年级上学期中的三角形知识点，包括了三角形的定义、分类、角度关系以及三角形元素。

希望此文能对大家学习三角形知识有所帮助。

2016-2017年八年级数学上册期中复习专题--三角形1.如果三角形的一个外角和与它不相邻的两个内角的和为1200,那么与这个外角相邻的内角的度数为()A.30°B.60°C.90°D.120°2.如图，AD⊥BC，CE⊥BC，CH⊥AB，BG⊥AC，则在△ABC中，BC边上的高是（）A.线段CEB.线段CHC.线段ADD.线段BG3.若a、b、c是△ABC的三边的长，则化简|a﹣b﹣c|﹣|b﹣c﹣a|+|a+b﹣c|=（）A.a+b+cB.﹣a+3b﹣cC.a+b﹣cD.2b﹣2c4.如图,在三角形纸片ABC中,∠A=650,∠B=750，将纸片的一角折叠（折痕为DE），使点C落在△ABC内的C/处，若∠AEC/=200，则∠BDC/的度数是（）A.30°B.40°C.50°D.60°5.如图，∠1、∠2、∠3、∠4应满足的关系式是（）A.∠1+∠2=∠3+∠4B.∠1+∠2=∠4-∠3C.∠1+∠4=∠2+∠3D.∠1+∠4=∠2-∠36.如图,用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框,不计螺丝大小,其中相邻两螺丝的距离依序为2,3,4,6,且相邻两木条的夹角均可调整.若调整木条的夹角时不破坏此木框,则任两螺丝的距离之最大值为()A.5B.6C.7D.107.如图,已知BE是∠ABD的角平分线,CF是∠ACD的角平分线,BE、CF交于G，若∠BDC=1400,∠BGC=1100,则∠A 的大小是（）A.70°B.75°C.80°D.85°8.如图,已知O是四边形ABCD内一点，OA=OB=OC,∠ABC=∠ADC=700,则∠DAO+∠DCO的大小是（）A.70°B.110°C.140°D.150°9.已知一个三角形三个内角度数的比是1:5:6，则其最大内角的度数为10.在△ABC中,∠A-∠C=250,∠B-∠A=100,则∠B=11.如图，∠1+∠2+∠3+∠4=______度.12.三角形三边的长为15、20、25，则三条高的比为.13.三角形的两边长分别为8和6，第三边长是一元一次不等式2x﹣1＜10的正整数解，则三角形的第三边长是．14.若一个三角形的三个外角的度数之比为2:3:4，则与之对应的三个内角的度数之比为15.如图,△ABC中,∠ACB=900,∠A=480,将其折叠,使点A落在边CB上A/处,折痕为CD,则∠A/DB=16.如图，A，B，C 分别是线段A 1B，B 1C，C 1A 的中点，若△ABC 的面积是1，那么△A 1B 1C 1的面积_______．17.已知等腰三角形一个内角是另一个内角的2倍少100，则这个三角形的内角度数为.18.直角三角形的两个锐角平分线所夹的角是19.等腰三角形中:⑴若底边长为6，则它的腰长x的取值范围是____________；⑵若周长为18，则它的腰长a 的取值范围是____________20.已知等腰三角形的周长是12cm:(1)若三边长均为连续的整数，则这个三角形各边分别为(2)若其中一边长比另一边长多2cm，则此三角形各边分别为(3)设腰长为xcm，则x 的取值范围为(4)设底边长为ycm，则y 的取值范围为21.如图,在△ABC 中E 是BC 上的一点,EC=2BE,点D 是AC 的中点,设△ABC,△ADF,△BEF 的面积分别为ABC S ∆,BEF ADF S S ∆∆,,且ABC S ∆=24.则BEF ADF S S ∆∆-=．22.如图,△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与内角∠ABC 平分线BP 交于点P,若∠BPC=400,则∠CAP=__________．23.如图,在△ABC 中,∠A=α,∠ABC 与∠ACD 的平分线交于点A 1，得∠A 1；∠A 1BC 与∠A 1CD 的平分线相交于点A 2，得∠A 2；……；∠A 2015BC 与∠A 2015CD 的平分线相交于点A 2016，得∠A 2016．则∠A 2016=．24.如图，∠A＋∠ABC＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝．25.如图，分别以n 边形的顶点为圆心，以单位4为半径画圆，则图中阴影部分的面积之和为____________个平方单位．26.如图,将矩形片ABCD 折叠,使点D 与点B 重合,点C 落在点C 处,折痕为EF,若∠ABE=240，那么∠EFC /的度数为度.27.如图，是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长是a，则六边形的周长是__________．28.将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放．如果∠3=32°，那么∠1+∠2=度．29.已知三角形三边分别为4,2a-1,8,求a的取值范围.30.已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm两部分,求这个三角形的腰长.31.已知等腰三角形的周长为48cm，一腰上的中线将此三角形的周长分为1:3，求此三角形的三边长。