第11讲 组合问题的解题方法与策略 上海中学数学组 周建新

如何有效解决初中数学中的排列与组合问题数学是一门精确的科学，其中的排列与组合问题是初中数学中的重要内容之一。

掌握排列与组合的解题方法，不仅可以提高数学成绩，还能培养逻辑思维和解决问题的能力。

本文将介绍如何有效解决初中数学中的排列与组合问题。

一、排列与组合基础知识概述在解决排列与组合问题之前，首先需要了解排列与组合的基本概念。

1. 排列：从一组不同的元素中取出一部分进行排列的方式，称为排列。

若从n个元素中取出m个元素进行排列，记作A(m,n)或P(m,n)，则有：A(m,n) = n × (n-1) × (n-2) × ... × (n-m+1) = n! / (n-m)!其中，n!表示n的阶乘。

2. 组合：从一组不同的元素中取出一部分进行组合的方式，称为组合。

若从n个元素中取出m个元素进行组合，记作C(m,n)，则有：C(m,n) = A(m,n) / m! = n! / (m! × (n-m)!)其中，m!表示m的阶乘。

以上是排列与组合的基础概念和公式，接下来将介绍如何利用这些知识解决数学题目。

二、排列与组合问题的解题方法1. 利用公式解题：若题目给定了元素的个数和要求的排列或组合的个数，可以直接利用排列或组合的公式计算出结果。

例如，题目要求从8个不同的元素中取出3个元素进行排列，可以计算出A(3,8) = 8 × 7 × 6 = 336。

如果题目要求从8个不同的元素中取出3个元素进行组合，可以计算出C(3,8) = A(3,8) / 3! = 336 / (3 × 2 × 1) = 56。

2. 分类讨论解题：有些排列与组合问题需要进行分类讨论，根据不同的情况进行解答。

例如，题目要求某班有8位学生，其中4位男生和4位女生，从中选出3位学生组成科学小组。

首先可以将问题进行分类，分别讨论男生全部、女生全部和男女各一种情况下的排列或组合方法。

2011年协作体夏令营系列讲座(十)组合问题的解题方法与策略上海中学数学组 周建新组合问题可分为三个方面：一是存在性问题；二是计数问题；三是构造问题；而组合最值问题通常需要估计和构造，具有较强的综合性，解答组合最值问题时，我们一般需要按如下步骤来做：（1）探素所要找的最大（小）值； （2）证明已找到的值满足题设：（3）构造实例说明已找到的值是最佳的，是能够达到的因此，解这类问题需要解题者敏锐的洞察力，较强的抽象推理能力和构造能力，也是更需要一定的创新能力。

下面我们先通过一些例题，介绍解组合最值问题的基本思路和方法策略。

例1：{1，2，3，……，2n ，2n +1}的一些非空子集，使得任意两个子集的交或者只有一个数，或者由几个相连的自然数组成。

问：这批子集最多可能有几个？例2：设}{),(n ,23,2,1m +∈⋅⋯⋯=N n m M 是连续n m⋅2个正整数组成的集合，求最小的正整数k ，使得M 的任何k 元子集中都存在m+1个数121,,+⋯⋯m a a a 满足m),2,1(1⋯⋯=+i a a i i .例3：求最小的自然数n ,使得在n ⨯12的方格表中，任意给每个方格染上红、黑、白三色之一后，必存在4个方格，其中心构成一个平行于格线的矩形，且4个方格中颜色相同。

如果是n ⨯11的方格表，又怎样呢？例4：设n ≥3,考虑在同一圆周上的12-n 个互不相同的点组成的集合E ，将E 中一部分点染成黑色，其余的点不染色。

如果至少有一对黑点，以它们为端点的两条弧中有一条的内部（不包含端点）恰含E 中n 个点，则称这种染法是好的。

如果将E 中k 个点染黑的每一种染色方式都是好的，求k 的最小值。

例5：把一些棋子放置在一个n n ⨯的棋盘上，满足如下条件：（1）每个不含棋子的小方格均与含有棋子的小方格有一公共边；（2）给出任意一对含有棋子的小方格，总有一系列包含有棋子的小方格，起始位置和终止位置是这一对小方格，使得其中任意两个连续的小方格都有公共边。

组合问题的解题方法与策略
组合问题是离散数学中的一个重要分支，涉及到从给定的元素中选出特定数量的元素进行排列或组合的问题。

在实际生活中，组合问题的应用非常广泛，例如从一堆物品中选出特定数量的物品进行组合，或者从一个人群中选出特定数量的人进行配对等等。

解决组合问题的方法和策略主要包括以下几个方面：
1. 排列组合公式
排列组合公式是解决组合问题的基本公式，包括排列公式和组合公式。

排列公式指的是从n个元素中选取r个元素进行排列的方案数为
A(n,r)=n!/(n-r)!，组合公式指的是从n个元素中选取r个元素进行组合的方案数为C(n,r)=n!/r!(n-r)!。

2. 构造组合问题的模型
在解决组合问题时，需要首先将问题抽象化成组合问题的模型，确定元素的个数、选取的元素数量、元素的性质等等。

例如，在从一堆物品中选取特定数量的物品进行组合的问题中，需要确定物品的数量、选取的物品数量、每个物品的性质等等。

3. 使用递归或回溯算法
递归和回溯算法是解决组合问题的常见方法。

递归算法通过将大问题递归拆分成小问题进行求解，直到问题规模减小到可以直接求解为止。

回溯算法则是在求解问题的过程中，遇到无法继续向下求解的情况时，返回上一层重新选择其他分支进行求解。

4. 利用数学归纳法
数学归纳法是解决组合问题的另一种常见方法。

它通过证明基本情况成立，然后假设某个情况成立，证明下一个情况也成立，以此类推，最终证明所有情况都成立。

总之，解决组合问题需要掌握基本的排列组合公式，构建问题模型，使用递归或回溯算法，以及利用数学归纳法等方法。

通过不断练习和实践，可以提高解决组合问题的能力和效率。

16.4组合（2）一、教学内容分析本节内容是学生在学习了乘法原理、排列组合和加法原理以后的知识，学生已经掌握了简单的组合问题，并且对两个计数原理已经有了一个比较清晰的认识.因此这节课时就是让学生在原有的基础上对组合问题的解决能有进一步的深入和提高.而排列、组合问题大都来源于同学们生活和学习中所熟悉的情景，解题思路通常是依据具体做事的过程，用数学的原理和语言加以表述.也可以说解排列、组合题关键是就是从生活经验、知识经验、具体情景的出发，正确领会问题的实质，抽象出“按部就班”的处理问题的过程.指导学生根据生活经验和问题的内涵领悟其中体现出来的顺序.教的秘诀在于度，学的真谛在于悟，只有学生真正理解了，才能举一反三、融会贯通.二、教学目标设计1.进一步掌握较复杂的组合问题；2.能正确认识组合与排列的联系与区别；3.通过练习与训练体验并掌握组合类题型；三、教学重点及难点组合的分析与进一步的应用.四、教学用具准备多媒体设备五、教学过程设计一、复习引入复习我们在前几节中学习了加法原理以及组合的初步概念，请问你能说出加法原理和组合的定义吗？加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1十m2十…十m n种不同的方法.组合：一般地，从n个不同元素中取出m ()m n≤个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合.以上由学生口答.二、学习新课例题分析例1、 用红、黄、蓝三色纸板各做一套卡片，每套中有A 、B 、C 、D 、E 字母的卡片各一张，从这15张卡片中每次取5张，要字母不同且三色齐全，共有多少种取法？分析：取出5张卡片与顺序无关，是组合问题.而取出的5张卡片种要求三色齐全，需分两类不同的情况讨论.一类是： 含三个字母同一色，另两个字母不同色；另一类是：含两个字母同一色，另两个字母同一色，一个字母是剩下的一种颜色；（1） 在三色中取一种颜色有13C 法，在这种颜色5张卡片中取3个字母有35C 法，在剩下的两种颜色的卡片中各取1个字母有1112·C C 法，60C 11123513=∴C C C （2）在三色中取两色有23C 法，这两种颜色的卡片中各取2个字母有2325·C C 法，最后一种颜色只能选剩下的最后一个字母有11C 法，90C 11232523=∴C C C根据加法原理1509060C C 1123252311123513=+=+∴C C C C C C例2、编号为1、2、3、4、5的五个人，分别坐在编号为1、2、3、4、5的座位上则至多有两人的编号与座位编号一致的坐法种数为多少？解：（排除法）至多有2个号码一致的反面是含3个号码一致，或含4个号码一致（不可能） 以及5个号码都一致；种＝－1091C P 3555-∴ 例3、一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，问（1） 从中任取4个球，红球的个数不少于白球的取法有多少种？（2） 若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7的取法有多少种？（1）解：种＝＋＋115C C C C C 2624163444 （2）解：设取红球x 个，取白球y 个， ⇒⎩⎨⎧≥+=+725y x y x ⇒⎩⎨⎧≤≤≤≤6040y x ⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==142332y x y x y x 或种＝＋＋186C C C C C C 164426343624∴例4、从编号为1，2，3，…，10，11的共11个球中，取出5个球，使得这5个球的编号之和为奇数，则一共有多少种不同的取法？解：分为三类：1奇4偶有4516C C ；3奇2偶有2536C C ；5奇1偶有56C 所以一共有4516C C +2536C C +23656=C ． 例5、身高互不相同的7名运动员站成一排，甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排列且互不相邻的排法有多少种？解：（插空法）现将其余4个同学进行全排列一共有44P 种方法，再将甲、乙、丙三名同学插入5个空位置中（但无需要进行排列）有35C 种方法．根据分步计数原理，一共有44P 35C ＝240种方法． 例6．马路上有编号为1，2，3，…，10的十盏路灯，为节约用电又不影响照明，可以把其中3盏灯关掉，但不可以同时关掉相邻的两盏或三盏，在两端的灯都不能关掉的情况下，有多少种不同的关灯方法？解：（插空法）本题等价于在7只亮着的路灯之间的6个空档中插入3只熄掉的灯，故所求方法总数为2036=C 种方法．例7．九张卡片分别写着数字0，1，2，…，8，从中取出三张排成一排组成一个三位数，如果6可以当作9使用，问可以组成多少个三位数？解：可以分为两类情况：① 若取出6，则有)P (217171228C C C +种方法； ②若不取6，则有2717P C 种方法．根据分类计数原理，一共有)P(217171228CCC+2717PC＝602种方法．三、课堂小结指导学生根据生活经验和问题的内涵领悟其中体现出来的顺序.教的秘诀在于度，学的真谛在于悟，只有学生真正理解了，才能举一反三、融会贯通.能列举出某种方法时，让学生通过交换元素位置的办法加以鉴别.学生易于辨别组合、全排列问题，而排列问题就是先组合后全排列.在求解排列、组合问题时，可引导学生找出两定义的关系后，按以下两步思考：首先要考虑如何选出符合题意要求的元素来，选出元素后再去考虑是否要对元素进行排队，即第一步仅从组合的角度考虑，第二步则考虑元素是否需全排列，如果不需要，是组合问题；否则是排列问题.排列、组合问题大都来源于同学们生活和学习中所熟悉的情景，解题思路通常是依据具体做事的过程，用数学的原理和语言加以表述.也可以说解排列、组合题就是从生活经验、知识经验、具体情景的出发，正确领会问题的实质，抽象出“按部就班”的处理问题的过程.据观察，有些同学之所以学习中感到抽象，不知如何思考，并不是因为数学知识跟不上，而是因为平时做事、考虑问题就缺乏条理性，或解题思路是自己主观想象的做法（很可能是有悖于常理或常规的做法）.要解决这个问题，需要师生一道在分析问题时要根据实际情况，怎么做事就怎么分析，若能借助适当的工具，模拟做事的过程，则更能说明问题.久而久之，学生的逻辑思维能力将会大大提高.四、作业布置(略)六、教学设计说明本节内容在学习了乘法原理、排列组合和加法原理以后的知识，学生已经掌握了简单的组合问题，并且对两个计数原理已经有了一个比较清晰的认识.因此，在实际学习的过程中，从排列问题引入，随即自然地过渡到组合问题.由此让学生对于排列与组合两者的异同初更深刻理解，并能更加自如地判断.本节课在教学技术上通过多媒体课件大大缩短了教师板书抄题的时间，让学生能够更加连贯的思考以及探索问题.由于是第二课时，所以在例题的设计上起点较高，层层递进，以积极发挥课堂教学的基础型和研究型功能，培养学生的基础性学力和发展性学力.在课堂教学中教师遵循“以学生为主体”的思想，鼓励学生善于观察和发现；鼓励学生积极思考和探究；鼓励学生大胆猜想，努力营造一个民主和谐、平等交流的课堂氛围，采取对话式教学，调动学生学习的积极性，激发学生学习的热情，使学生开阔思维空间，让学生积极参与教学活动，提高学生的数学思维能力.。

初中数学中有哪些常见的组合问题及解决方法在初中数学的学习中，组合问题是一个重要的组成部分。

这些问题常常具有一定的挑战性，但通过掌握正确的方法和思路，我们能够有效地解决它们。

下面就让我们一起来探讨一下初中数学中常见的组合问题及相应的解决方法。

一、排列组合的基本概念在了解具体的组合问题之前，我们先来明确一下排列和组合的基本概念。

排列是指从给定的元素中取出若干个元素，按照一定的顺序进行排列。

例如，从三个不同的元素A、B、C 中取出两个进行排列，有AB、BA、AC、CA、BC、CB 六种情况。

组合则是指从给定的元素中取出若干个元素，不考虑其顺序。

比如，从三个不同的元素 A、B、C 中取出两个进行组合，只有 AB、AC、BC 三种情况。

二、常见的组合问题类型1、握手问题这是一个经典的组合问题。

假设有 n 个人参加聚会，每个人都要和其他所有人握手一次，那么总共握手的次数是多少？解决这个问题时，我们可以这样思考：第一个人要和 n 1 个人握手，第二个人要和 n 2 个人握手（因为已经和第一个人握过了），以此类推，最后两个人只需要握手一次。

将每个人握手的次数相加，得到总的握手次数为 n(n 1)／2 。

2、选书问题假设书架上有 m 本不同的数学书和 n 本不同的语文书，从中任选 k 本书（k ＜＝ m ＋ n），有多少种不同的选法？对于这种问题，我们可以分情况讨论。

如果 k 本书都是数学书，那么有 C(m, k) 种选法；如果 k 本书都是语文书，有 C(n, k) 种选法；如果 k 本书中既有数学书又有语文书，那么就需要用分类加法原理和分步乘法原理来计算。

3、比赛场次问题比如有 n 支球队参加比赛，每两支球队之间都要进行一场比赛，那么总共要进行多少场比赛？我们可以把每支球队都看作一个点，比赛场次就相当于两点之间的连线。

第一个球队要和其他 n 1 个球队比赛，第二个球队要和剩下的 n 2 个球队比赛，以此类推，总的比赛场次为 n(n 1)／2 。

排列、组合、二项式定理的类型与解题策略排列、组合、二项式定理既是近代组合数学、概率统计的基础，又是每年高考必考内容之一，对培养学生分类讨论的数学思想方法和解决实际问题的能力与技巧有着重要的意义.由于研究对象的独特性，排列、组合的内容显得比较抽象——题型多变，思维抽象，条件隐晦，解法别致，因此学习起来比较困难.实践证明，弄懂原理，掌握题型，领悟方法，识别类型，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径.第一部分：排列、组合的类型与解题策略排列组合中最具典型的问题是“排数”、“排队”、“涂色”、“含”与“不含”、“至多”与“至少”等.无论是哪类问题，其解决方法无外乎直接法与间接法.学习过程中，要在理解的基础上掌握一些基本类型的解题方法与技巧，并能灵活运用.如能借助图形、表格帮助分析，则可使问题更加直观、清晰.一、相邻、不相邻（相离）、不全相邻问题：相邻问题“捆绑法”，不相邻问题“插空法”，不全相邻问题常采用“正难则反”的策略，即用“间接法”求解.例1、⑴用1，2，3，4，5，6，7，8组成没有重复数字的八位数，其中1与2相邻、3与4相邻、5与6相邻、7与8不相邻的八位数共有个.⑵某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数有种.⑶四名男生和三名女生排成一排，则三名女生不全相邻的排法有种.解：⑴先“相邻”排列成三个“大元素”，再三个“大元素”排列，最后7与8“插空”，共有2223222234576A A A A A =种.⑵增加的两个新节目，可分为相邻与不相邻两种情况：不相邻时共有26A 种；相邻时共有2126A A 种。

故不同插法的种数为：26A ＋2126A A =42，故选A.（也可将新增的两个节目中的一个插入已排好的五个节目形成的6个空中，另一个插入已排好的6个节目形成的7个空中，故不同插法的种数为6×7=42种）.⑶用排除法求解，共有7537534320A A A -∙=（种）.二、定序问题：对于排列问题中限制某几个元素保持一定的顺序，可先把这几个元素与其它元素一同进行排列，然后用总的全排列数除以这几个元素的全排列数.例2、⑴五人并排站成一排，如果甲必须站在乙的右边（可以不相邻）那么不同的排法种数有种.⑵由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的六位数共有个.解：此为定序问题，用“缩倍法”求解.⑴甲在乙的右边与甲在乙的左边排法数相同，故共有排法551602A =种；⑵（先排除再缩倍）共有65651()3002A A -=个.三、分组与分配问题：例3、6本不同的书，按以下要求各有多少种分法？⑴平均分成三组；⑵分成1本，2本、3本三组；⑶平均分给甲、乙、丙三人；⑷分给甲、乙、丙三人，一人拿1本，一人拿2本、一人拿3本；⑸甲得一本，乙得二本，丙得三本.解：⑴此为平均分组问题，共有153222426=！C C C 种分法；⑵此为非平均分组问题，共有60332516=CC C 种分法；⑶先分组，再排序，共有9033222426=∙！！C C C 种分法；⑷先分组，再排序，36033332516=A C C C 种分法；⑸用“逐分法”，共有60332516=C C C 种分法.注：此例中的每一个小题都给出了一种类型，搞清类型的归属对今后解题大有裨益，其中：⑴均匀分组问题；⑵非均匀分组问题；⑶均匀不定向分配问题；⑷非均匀不定向分配问题；⑸非均匀定向分配问题.四、“至多”、“至少”问题：例4、⑴5本不同的书，全部分给4个学生，每人至少一本，则有种不同的分法.⑵从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有种.解：⑴此为元素多于位置的情形，用“分组法”求解，即将5本不同的书先分成四组，再分给四个人，不同的分法有2445240C A ∙=种，故选B ；⑵若用“直接法”解，可分为“一甲二乙”和“二甲一乙”两类，不同取法共有1221454570C C C C ∙+∙=种；也可用“排除法”求解，即从总数中减去3台都是甲型或3台都是乙型的抽取方法，因此符合题意的抽取方法有33394570C C C --=种，故选C ．例5、⑴10个“三好学生”名额分配到7个班级，每班至少一个名额，共有不同分配方案种.⑵把10本相同的书分发给编号为1、2、3的三个学生阅览室，每个阅览室分得的书的本数不小于其编号数，共有种不同分法.解：此为名额分配问题，属元素多于位置的情形，常用“隔板法”求解.⑴把10个名额看成10个相同的小球，要分成7堆，每堆至少一个，可以在中间的9个空位中插入6块隔板，每一种插法对应着一种分配方案，故不同的分配方案为6984C =种；⑵可先让2、3号阅览室依次分得1本书、2本书；再对余下的7本书进行分配，保证每个阅览室至少得一本书，这相当于在7本相同书之间的6个“空档”内插入两个相同的“隔板”，共有2615C =种插法，即有15种分法.五、借位排列问题：某些元素不能排在某些位置上，可先把某个元素按规定排入，再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.通常用公式!!!(1)2!3!!n n n n n a n =-+⋅⋅⋅+-求解.例6、⑴将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有种；⑵将标号为1，2，3，……，10的10个球放入标号为1，2，3，……，10的10个盒子中，每个盒内放一个球，恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法__种；⑶编号为1、2、3、4、5的五个球放入编号为1、2、3、4、5的五个盒子里，至多有2个对号入座的情形有_____种.解：⑴由公式知，共有3×3×1=9种填法.⑵∵3个球的标号与盒子的标号不一致的放法有2种，∴共有放法3102240C =种.⑶用排除法，共有355511109C A -∙-=种.六、“含”与“不含”问题：例7、某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有不同派遣方案种.解1：（分类法）考虑甲乙有限制条件，按是否含有甲乙分为四类：①不含甲乙，则有派遣方案44481680C A ∙=种；②含甲不含乙，则有派遣方案3133381008C A A ∙∙=种；③含乙不含甲，同理也有1008种；④含甲乙，则有派遣方案84324328(2)392C A A A -+=种.所以共有不同的派遣方法总数为4088种.解2：（集合法或排除法）设U={10人中任取4人的排列}，A={甲同学到银川的排列}，B={乙同学到西宁的排列}，利用集合中求元素个数公式可得参赛方法共有：4321098()()()()2card U card A card B card A B A A A --+=-+= 4088种.七、几何中的排列组合问题：1、涂色与种植问题：例8、⑴用3种不同颜色给图中的5个格子涂色，每格涂一种颜色、相邻格涂不同颜色且必须涂三色，共有种不同的涂法.⑵用6种不同的颜色给图中的5个格子涂色，每格涂一种颜色，且相邻的两格不同色，则不同的涂色方法共有种.解：⑴按颜色相同的格进行分类，可分为：1、24、35；13、24、5；13、25、4；14、25、3；14、35、2；15、24、3；135、2、4共七类，由题意，共有33742A =种不同的涂法.⑵按颜色分类：涂2色，可分为135、24两“块”，有26A种；涂3色，由⑴知有337A 种；涂4色，分“块”情形有13、2、4、5；14、2、3、5；15、2、3、4；24、1、3、5；25、1、3、4；35、1、2、4；有466A 种；涂5色，有56A 种；故共有2952种不同涂法.例9、在一块并排10垄的田中，选择2垄分别种植A、B 两种作物，每种作物种一垄.为有利于作物生长，要求A、B 两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有___种.解：先考虑A 种在左边的情况，有三类：A 种植在最左边第一垄上时，B 有三种不同的种植方法；A 种植在左边第二垄上时，B 有两种不同的种植方法；A 种植在左边第三垄上时，B 只有一种种植方法.又B 在左边种植的情况与A 在左边时相同.故共有2×（3＋2＋1）=12种不同的种植方法.2、其它问题：例10、四面体的顶点和各棱中点共10个点，其两两连线可组成异面直线共有对.解：四面体的顶点和各棱中点共10个，其两两连线共有直线221036(1)33C C --=条，可构成直线233528C =对.排除所有共面直线的对数，如下图：于是，可构成异面直线共有528－144－12－36－36－45=255对.注：排列组合与几何图形的整合题型，在历年高考试卷中皆有出现，它不仅是考察学生相关知识的运用技巧的重要手段，也是培养和提高学生思维能力的一个重要方法.随着课程改革的不断深化，这部分知识必将倍受青睐.八、其它综合问题：1、用比例法解元素成比例的排列组合问题：有些排列组合应用题，可以根据每个元素出现的机会占整个问题的比例，直接求得问题的解.例11、由1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有个.解：由题意知全排列为55A ，而满足条件的五位数的个位上出现2或4的可能性为25，在余下的四个数字中，万位上出现满足条件的数字的可能性为34，故满足条件的五位数共有55233654A ⨯=个.例12、若集合A={1,2,3,4,5,6}，C A ，又C 中共有k 个元素，所有可能的C 的各个元素的总和是210，则k=.解：由于A 中各元素之和为1+2+3+4+5+6=21，而6个元素在C 中出现的次数是完全相同的，C 中k 个元素各占16，∴有6212106k k C ⨯=，即660k kC =，∵k=1,2,5,6上式不成立，k=3,4上式成立，∴k=3或k=4.2、用转化、构造的方法解题排列组合问题：例13、某射击7枪，击中5枪，击中和未击中的不同顺序有种.解：设击中用“1”表示，未击中用“0”表示，则上述问题可转化为：“数列a 1、a 2、a 3、a 4、a 5、a 6、a 7中有5项是1，两项是0，不同的数列数目有多少”的问题.可分两类：第1类，两个“0”不相邻的情况有26C 种；第2类两个“0”相邻的情况有6种，所以击中和未击中的不同顺序情况共有21种.3、方程思想：例14、⑴球台上有4个黄球，6个红球，击黄球入袋记2分，击红球入袋记1分，欲将此十球中的4球击入袋中，且总分不低于5分，则击球方法有种.⑵坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x 轴跳动，每次向左或向右跳1个单位，经过5次跳动质点落在点（3，0）（允许重复过此点）处，则质点不同的运动方法共有____种.⑶A 、B 、C 三人站成一圈相互传球，第一次球从A 手中传出，经过7次传球后，球又回到A 手中，问此三人不同的传球方式有种.解：⑴设击入黄球x 个，红球y 个，则有4x y +=，且25x y +≥（x ，y N ∈），解得14x ≤≤，∴13x y =⎧⎨=⎩或22x y =⎧⎨=⎩或31x y =⎧⎨=⎩或40x y =⎧⎨=⎩，对应每组解的击球方法数分别为1346C C ，2246C C ，3146C C ，4046C C ，∴不同的击球方法数为1346C C ＋2246C C ＋3146C C ＋4046C C =195种.⑵设质点向左跳动x 次，向右跳动y 次，则35x y x y -+=⎧⎨+=⎩，解得14x y =⎧⎨=⎩，即该质点需向左跳动1次、向右跳动4次，于是该质点不同的运动方法共有155C =种.⑶在传球过程中，球的运动方向看作只有两种，即顺时针方向和逆时针方向，故可借助1±进行两种不同运动方向次数的计算.不妨将顺时针传球一次记为1，逆时针传球一次记为－1，设顺时针传球的次数为x ，逆时针传球的次数为y ，则x －y=0或36x y x y -=±-=±或，由题意知：06x y x y -=-=±或不合题意，故3x y -=±，由37x y x y -=⎧⎨+=⎩得52x y =⎧⎨=⎩，由37x y x y -=-⎧⎨+=⎩得25x y =⎧⎨=⎩，故此三人不同的传球方式有27242C =种.4、树图（框图）法、表格法：例15、设ABCDEF 为正六边形，一只青蛙开始在顶点A 处，它每次可随意地跳到相邻两个顶点之一，若在5次之内跳到D 点，则停止跳动，若在5次之内不能到达D 点，则跳完5次也停止跳动，那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法的种数是（）A 、6B 、8C 、16D 、26解：青蛙从A 点开始，往相邻两个顶点B 和F 跳到D 点的次数是相同的，又青蛙第一次往B 方向跳的跳法可用“树型图”表示如图.由图知有13种跳法，所以共有跳法2×13=26（种），故选（D ）.注：此种方法是解决数量较小排列问题的常用方法之一，优点是把抽象变为直观，应熟练掌握.5、回归法：有些计数模型不一定是排列或组合问题，此时可回归到最原始的方法，即画一画，数一数，算一算，这是最基本的计数方法，不可废弃.例16、某赛季足球比赛的计分规则是：胜一场，得3分；平一场，得1分；负一场，得0分.一球队打完15场，积33分.若不考虑顺序，该队胜、平、负的情况共有（）A .3种B .4种C .5种D .6种分析：数一数，算一算，知最多胜11场.按胜、平、负的顺序，共有三种情形：11、0、4；10、3、2；9、6、0；故选A .从以上的实例可以看出，解决排列组合问题，通常有以下途径：（1）以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；（2）以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；（3）先不考虑限制条件，计算出总的种类数，再减去不合要求的种类数.其解题思路可概括为：审明题意，排组分清；分类分步，明确加乘；元素位置，特殊先行；直接间接，思路可循；周密思考，检验伪真.另外，在学习过程中注意解题经验与方法的归纳总结与积累，掌握一些常见题型的解题策略和方法也是十分必要.第二部分：二项式定理的类型与解题策略二项式定理是初中学习的多项式乘法的继续，在高中数学中起承上启下的作用——既可对多项式的知识起到很好的复习、深化作用，又可为进一步学习概率统计作好必要的知识储备.此内容几乎年年都考，考查的题型主要是选择和填空题，一般是中等难度的试题，但有时综合解答题中也涉及到二项式定理的应用.其主要题型有以下几类：一、求特殊项：此类问题一般由通项入手，根据题意，设未知数，建立方程求解.例1、⑴已知()x x n -124的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列，则展开式中所有的有理项为；⑵(x －1)9的展开式中系数最大的项为；⑶51(2x x ++的展开式中的常数项为.解：⑴依题意，有212112122C C n n ⋅=+⋅(()，即n n 2980-+=，解得n ＝8或n ＝1（舍去），∴=-=-+--T C x x C x r r r r rr r r 1884816341212()()()，若T r +1为有理数，当且仅当1634-r 为整数， 08≤≤∈r r Z ，，∴=r 048,,，即展开式中的有理项共有三项：T x T x T x 145923581256===-，，；⑵T r ＋1＝r )1(-r r x C -99，∵1265949==C C ，而(－1)4＝1，(－1)5＝－1，∴T 5＝126x 5是所求系数最大的项.⑶解：∵51(2x x ++=225105552[(](()2(2)(2)x x x x x x ++++==，对于二项式10(x ，其通项为12101102rr r r T x C -+= ，要得到原展开式中的常数项，则只须105r -=，即5r =，∴所求常数项为525105222C = .二、求二项式系数或展开式中某项的系数例2、（1）27(1)(1)(1)x x x ++++⋯++展开式中，3x 项的系数为_______；⑵设()()()()432123401234x a x a x a x a A x A x A x A x A ++++=++++，则2A =，3A =；⑶(x ＋2)10(x 2－1)的展开式中x 10的系数为；⑷求51(1)x x -+的展开式中含x 的项；⑸9(2)x y z +-展开式中423x y z 系数为_______.解：⑴3x 项系数为3334347870C C C C +++== ；⑵2A 即2x 系数，即2123423434()()A a a a a a a a a a =+++++121314a a a a a a =++＋232434a a a a a a +++，即从1234{,,,}a a a a 中取两元的所有组合的和.同理可得3123124134234A a a a a a a a a a a a a =+++；⑶先展开，然后按多项式乘法法则求解.∵(x ＋2)10＝x 10＋20x 9＋180x 8＋…∴(x ＋2)10(x 2－1)的展开式中x 10的系数是－1＋180＝179；⑷解：∵525511(1)[()1]x x x x x-+=-+，∴要求展开式中含x 的项，只须求25[()1]x x -+中含6x 的项.将其展开知，只有25()x x -、245()x x -和2310()x x -中才有可能含有6x 的项.又2555()(1)x x x x -=-，其展开式中6x 的系数为455C =；24445()5(1)x x x x -=-，其展开式中6x 的系数为24530C =；233310()10(1)x x x x -=-，其展开式中6x 的系数为10；∴51(1)x x -+展开式中含x 的项为(53010)45x x ++=.⑸（回归课本，用组合的意义解）由题意知有4个括号取x ，余下5括号取2y ，再从余下3个括号取z ，于是得423x y z 系数为422339532(1)5040C C C -=-.三、求多项式展开式中的各项的系数和或某些项系数和例3、⑴已知25(321)x x -+=10910910a x a x a x a ++++ ，求20246810()a a a a a a +++++213579()a a a a a -++++；⑵求100(32)x y z -+展开式的各项系数之和.解：⑴令x=1,得5012102a a a a ++++= ，令x =－1,得024*********()()a a a a a a a a a a a +++++-++++56=,20246810()a a a a a a ∴+++++135(a a a -+++255579)2612a a +=⨯=；⑵令x=y=z=1，得100(132)0-+=，即展开式系数之和为0.四、求相关元素例4、⑴设n N ∈*，()1+x n n 的展开式中x 3的系数为116，则n ＝________；⑵10()a b c ++展开式的项数有____项；⑶31210()x x x +++ 展开式的项数为____；⑷已知9a x ⎛ ⎝展开式中3x 系数为94，则常数a 的值为______.解：⑴由T C n x r n r r r +=11(，则x 3的系数为C n n331116=，即n n n n ()()--=1261163，解得n ＝4.⑵展开式中的项的形式为i j h a b c且i+j+h=10,,,{0,1,2,10}i j h ∈ ，此时，项数问题转化为方程的非负整数解个数问题，方程非负整数解个数有21266C =，故展开式有66项.⑶法1、展开式中的项的形式为3101212310i i i i x x x x ,且12103i i i +++= ,且1210,{0,1,2,3}i i i ∈ ，类似（1），得项数为931212220C C ==.法2、展开式中的项的形式有三种类型23;;,,,{1,2,,10}i j h i j i x y z x y x i j h ∈ 其中，则项数为3213101010122220C C C C ++==.⑷通项9199r r r r T x C -+⎛⎛⎫=⋅ ⎪ ⎝⎭⎝3(9)9292r r r r a x C --⎛=- ⎪⎝⎭，令3932r -=，得8r =，故99992164r r r a a C -⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭，得a=4.例5、（1）已知(ax ＋1)7（a ≠0）的展开式中，x 3的系数是x 2的系数与x 4的系数的等差中项，求a 的值；（2）已知(2x ＋gx x1)8的展开式中，二项式系数最大的项的值等于1120，求x 的值．解：（1）依题意3474372572a C a C a C =+，由于a ≠0，解得a ＝1±510；(2)依题意T 5＝4lg 448)()2(x x x C ＝1120，整理得x 4(1＋lg x )＝1，两边取对数，得lg 2x ＋lg x ＝0，解得lg x ＝0或lg x ＝－1，∴x ＝1或x ＝101.第三部分：训练精编一、选择题1、由数字1、2、3组成的五位数中，1、2、3都至少出现一次，则这样的五位数的个数为（）A 、150B 、240C 、180D 、2362、四个完全相同的红球与五个完全相同的白球放入三个不同的盒子中，要求每个盒子中至少放一个红球和一个白球，则不同的放法种数为（）A 、12B 、18C 、24D 、273、上海世博会组委会要将7名精通英语的大学生志愿者（含甲、乙）分配到美国馆、英国馆和印度馆去负责翻译工作，其中美国馆3人，英国馆和印度馆各2人，若甲、乙两人要求分在同一组，则不同的分配方案有（）A、40种B、50种C、100种D、120种4、有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不能．．左右相邻，那么不同排法的种数是（）A、234B、346C、350D、3635、六张卡片上分别写有数字1，1，2，3，4，5，从中任取4张排成一排，可以组成不同的4位奇数的个数为（）A 、180B 、60C 、93D 、1266、6个人并排站成一排，B 站在A 的右边，C 站在B 的右边，则不同的排法总数为（）A ．4433A A B ．44A C ．3366A A ÷D ．3544A A 7、把八件不同的纪念品平均赠给甲、乙二人，其中a 、b 不赠给同一人，c 、d 也不赠给同一人，则不同的赠送方法有（）种A ．20B ．22C ．24D ．258、边长为连续整数的钝角三角形的最大边长为n ，则3()n x x+的展开式中常数项为（）A 、36B 、60C 、54D 、489、设,,a b m 为整数（0m >），若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为(mod )a b m ≡.已知12322019202020201222a C C C C =+++++ ，(mod10)b a ≡，则b 的值可以是（）A ．2011B ．2010C ．2009D ．201210、有5个不同的红球和2个不同的黑球排成一排，在两端都是红球的排列中，红球甲和黑球乙相邻的排法有（）A 、768B 、765C 、687D 、87611、若等差数列{}n a 的首项为1122211135mm m m a C A ---=-()m N ∈，公差是5(2n x 展开式中的常数项，其中n 为777715-除以19的余数，则n a =（）A 、1044n-B 、4104n -C 、104n -D 、104n -12、若2220122(1)n n n x a a x a x a x +=++++ ，令0242()n f n a a a a =++++ ，则(1)(2)()f f f n +++ =（）A 、1(41)3n -B 、2(21)3n -C 、2(41)3n -D 、2(31)3n -13、已知n n n a 86+=，则84a 被49除的余数为（）A 、4B 、3C 、2D 、114、若在24)1(1-+ax x ）（的展开式中2x 的系数为20，则a =（）A 、4B 、1C 、4或1D 、4或－115、某市从8名优秀教师中选派4名同时去4个农村学校支教（每校一人），其中甲和乙不能同时去，甲和丙只能同时去或同时不去，则不同的选派方案共有（）种A 、20B 、600C 、480D 、720二、填空题16、某单位准备用6种不同花色的石材分别装饰办公楼中的办公室、走廊、大厅地面及楼的外墙，其中1号石材有微量的放射性，不可用于办公室内，则不同的装饰效果有___种．17、将标号为1,2,…,10的10个球放入标号为1,2,…,10的10个盒子内.每个盒内放一个球,则恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致．．．的放入方法共有______种.18、从包含甲的若干名同学中选出4人分别参加数学、物理、化学、英语四科竞赛，每名同学只能参加一科竞赛，且任两名同学不能参加同一科竞赛，若甲不参加物理和化学竞赛的参赛方法共有72种，则一共有名同学.19、函数的最大值是_______．20、把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是_____．21、若2622020n n C C ++=（*n N ∈），则在2(44)n x x ++的展开式中含6x 项的系数为．22、将A 、B 、C 、D 、E 五种不同的文件放入一编号依次为1、2、3、4、5、6的六个抽屉内，每个抽屉至多放一种文件，若文件A 、B 必须放入相邻的抽屉内，文件C 、D 也必须放入相邻的抽屉内，则所有不同的放入方法共有种．23、若32(2)2(,3)n n n x x ax bx cx n N n +=+++++∈≥ ，且:3:2a b =，则n =___．24、某化工厂实验生产中需依次投入2种化工原料，现有5种原料可用，但甲、乙两种原料不能同时使用，且依次投料时，若使用甲原料，则甲必须先投放，那么不同的实验方案共有_______种．25、某公司新招进8名员工，平均分给甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能同给一个部门，另三名电脑编程人员也不能同给一个部门，则不同的分配方案有__种．26、在24(1)x px +-的展开式中，使4x 项的系数取得最小值时的p 的值为.27、若2010220100122010(24)x x x x a a a a +=++++ ，则60242010a a a a a +++++ 被3除的余数是.28、设a 为()sin x x x R ∈的最大值，则二项式6(-展开式中含2x 项的系数是．29、代数式522)1)(524(+--x x x 的展开式中，含x 4项的系数是.30、已知n的展开式的各项系数之和等于5-⎛ ⎝展开式中的常数项，则n展开式中含的项的二项式系数为.参考答案：1、A ；2、B ；3、B ；4、B ；5、D ；6、C ；7、D ；8、C ；9、A ；10、A ；11、A ；12、C ；13、C ；14、D ；15、B ；16、300；17、240；18、5；19、1024；20、144；21、112；22、96；23、11；24、15；25、36；26、1；27、2；28、－192；29、－30；30、35；。

理解初中数学中的排列与组合解题技巧在初中数学学习中，排列与组合是一个重要的概念和解题方法。

排列与组合问题可以应用于各种实际情境，如选课、组队、分组等等。

掌握排列与组合的解题技巧，有助于培养学生的逻辑思维和问题解决能力。

本文将介绍一些理解初中数学中的排列与组合解题技巧。

一、排列问题的解题技巧排列是从给定的一组元素中按照一定的次序选取若干个元素进行排列。

在解决排列问题时，我们需要关注以下几个方面的技巧。

1. 确定问题中的关键条件：首先要明确题意中的关键条件，例如给定元素的个数、排列个数等。

关键条件的理解对于解题至关重要。

2. 使用排列的定义和公式：排列的定义是指从给定的元素中选取若干个元素进行排列，可以使用定义来解决一些问题。

而排列的公式可以帮助我们计算排列的个数。

n个不同元素的全排列为n!（n的阶乘）。

3. 利用“空位法”解决问题：当排列中某些元素不能连续出现时，可以采用“空位法”来解决。

即在排列的过程中，用一个空格表示某个元素不能出现的位置。

空位法能够准确地确定排列的个数。

4. 运用计算规则：在解决排列问题时，我们需要灵活运用计算规则。

例如，当元素中有重复的情况时，需要考虑重复的元素的排列计算规则。

二、组合问题的解题技巧组合是从给定的一组元素中选取若干个元素进行组合。

在解决组合问题时，我们需要关注以下几个方面的技巧。

1. 使用组合的定义和公式：组合的定义是指从给定的元素中选取若干个元素进行组合，可以使用定义来解决一些问题。

而组合的公式可以帮助我们计算组合的个数。

n个不同元素中选取k个进行组合的方式共有C(n,k)种。

2. 区分排列和组合的问题：在解决组合问题时，需要注意区分排列和组合的问题。

组合是无序的，而排列是有序的。

因此在解题时，要根据问题的要求灵活运用排列和组合的方法。

3. 运用逆向思维：对于一些特殊的组合问题，可以运用逆向思维来解决。

即从给定的组合总数中减去不符合要求的组合个数，得到符合要求的组合个数。

高中数学解组合问题的技巧在高中数学中，组合问题是一个常见的题型，它考察的是从给定的元素集合中选取若干元素组成一个子集的方式和方法。

解决组合问题需要一些特定的技巧和方法，下面我将结合具体题目，为大家介绍一些解组合问题的技巧。

一、排列与组合的区别在解组合问题之前，我们首先要明确排列和组合的区别。

排列是指从给定的元素集合中选取若干元素按照一定的顺序排列起来，而组合是指从给定的元素集合中选取若干元素组成一个子集，不考虑元素的顺序。

例如，有5个人要选出3个人组成一个小组，那么排列问题是考虑选出的人的顺序，而组合问题只考虑选出的人的组合。

二、组合问题的基本思路解决组合问题的基本思路是利用组合数的性质进行计算。

组合数表示从n个元素中选取r个元素组成一个子集的方式数，记作C(n,r)。

组合数的计算公式为：C(n,r) = n! / (r! * (n-r)!)其中n!表示n的阶乘，即从1到n的连乘。

三、组合问题的解题技巧1. 利用组合数的性质简化计算有时候，我们可以利用组合数的性质来简化计算。

例如，如果题目中要求计算C(10,3)，可以利用组合数的对称性质C(n,r) = C(n,n-r)，将问题转化为计算C(10,7)，从而减少计算量。

2. 利用组合数的递推关系组合数有一个重要的递推关系：C(n,r) = C(n-1,r-1) + C(n-1,r)。

利用这个递推关系，我们可以将一个组合问题转化为两个规模较小的组合问题，从而简化计算。

例如，题目中要求计算C(5,3)，可以利用递推关系将其转化为计算C(4,2)和C(4,3)的和，即C(5,3) = C(4,2) + C(4,3)。

3. 利用组合数的性质求解实际问题组合问题不仅仅是纯粹的数学计算，还可以应用到实际问题中。

例如，题目中要求从10个不同的球中选取5个球，其中有3个红球和2个蓝球，问有多少种选法。

我们可以将问题转化为计算从3个红球中选取r个球和从2个蓝球中选取5-r个球的组合数的和，其中r的取值范围为0到2。