2010重庆理数

高2010级学业质量调研抽测试卷（第二次）数 学（理科）第I 卷（选择题，共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）。

1．若复数11i z i+=-，则2010z = A ．1- B ．0 C ．1 D ．1005(1)i +2．设{}n a 是等差数列，62a =且530S =，则8S =A ．31B ．32C ．33D ．343．已知函数()y f x =在其定义域(,0]-∞内存在反函数，且2(1)2f x x x -=-，则11()2f --的值等于A ．2-B ．C ．D ．12- 4．若3cos 4sin 5αα+=，则tan α=A ．43B ．34C ．34±D ．43±5．设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>24y x =的准线重合，则此又曲线的方程为A ．2211224x y -=B ．222133x y -=C ．2214896x y -=D ．22136x y -= 6．已知函数()f x 对任意褛实数x 、y 都有()()2(2)f x y f x y x y +=++，且(1)1f =，则函数()f x 的解析式为A ．()21f x x =-B ．2()2f x x =C ．2()21f x x =-D ．2()221f x x x =--7．在“倡导绿色重庆，崇尚健康生活”的演讲大会上，原定有6个代表演讲，后因某种原因，决定增加3个代表演讲，但原来6个代表演讲的顺序不变，且新增的3个代表既不在开头也不在结尾演讲，则这次演讲共有( )种不同的演讲顺序。

A ．35B ．108C ．175D ．2108．已知球O 的半径为1，A 、B 、C 三点在球面上，A 、B 两点和A 、C 两点的球面距离都是4π，B 、C 两点的球面距离是3π，则二面角B OA C --的大小是 A ．4π B ．3π C ．2π D ．23π 9．已知α、β是三次函数3211()2(,)32f x x ax bx a b R =++∈的两个极值点，且(0,1)α∈，(1,2)β∈，则21b a --的取值范围是 A ．1(,1)4 B ．1(,1)2 C ．11(,)24- D ．11(,)22-10．设定义域为R 的函数{l g |1|},()0,1x x f x x -≠⎧=⎨=⎩，则关于x 的方程2()()0f x b f x c ++=有7个不同实数解的充要条件是A ．0b <且0c >B ．0b <且0c =C ．0b >且0c <D ．0b ≥且0c =第II 卷（非选择题 共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）。

高2010级(上)期末测试卷数学（理工类）数学试题卷（理工农医类）共4页。

满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。

3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效。

5．考试结束，将试卷和答题卡一并收回。

参考公式：当事件A 、B 互斥时，那么P(A+B) = P(A)+P(B) 当事件A 、B 互相独立时，那么P(A ·B) = P(A)·P(B)如果事件A 在一次实验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复实验中恰好发生K 次的概率k n kk n n p p c k p --=)1()(．一．选择题：本大题10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项符合题目要求．1. 设集合A=｛a ，b ｝，则满足A B=｛a ，b ，c ，d ｝的所有集合B 的个数是A.1B.4C.8D.162． 函数lg(1)y x =+的反函数的图像为3. 在等差数列{n a }中, 1328,3a a a ⋅== , 则公差d =DxCABA. 1B. －1C. ±1D. ±24. 直线1l 在x 轴和y 轴上的截距分别为3和1，直线2l 的方程为022=+-y x ，则直线1l 到2l 的角为A ．71arctanB ．45C ．135D ．45或1355. 已知3sin tan 2=⋅αα，02<<-απ，则)6cos(πα-的值是A ．0B ．23C ．1D ．216． 把函数）（x y 3lg =的图像按向量a 平移，得到函数)1lg(+=x y 的图像，则a为A ． )3lg ,1(-B ． )3lg ,1(-C ．)3lg ,1(--D ．)0,31(7. 已知x a x f =)(，x b x g =)(，当3)()(21==x g x f 时，21x x >，则a 与b 的大小关系不可能成立．．．．．的是 A ．1>>a bB ．01>>>b aC．10<<<b aD ．01>>>a b8. 双曲线)1(122>=-n y nx 的两焦点为21,F F ，点P 在双曲线上，且满足：2221+=+n PF PF ，则21F PF ∆的面积是A ．1B ．21C ．2D ．49． 称||),(d -=为两个向量、间的“距离”.若向量、满足: ① 1||=； ② ≠；③ 对任意的R t ∈,恒有),(),(d t d ≥则 A. ⊥B. )(-⊥C. )(-⊥D.)()(-⊥+10. 关于x 的方程0)1(122=++++b x x a xx 有实数根，则22b a +的最小值是 A.52B. 1C. 54D. 52二．填空题：（本大题共5小题，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上） 11. 抛物线022=+y x 的焦点坐标是_____________． 12. 不等式2|log 1|2>+x 的解集是_____________．13．已知正数x 、y 满足⎩⎨⎧≥+-≤-05302y x y x ，则yx z )21()41(⋅=的最小值为_____________．14. 已知数列}{n a 满足11,211221++-==-n na n n a a n n ，则数列}{n a 的通项=n a _____________．15. 如图，一条螺旋线是用以下方法画成：ΔABC 是边长为1的正三角形，曲线11223,,CA A A A A 分别以A 、B 、C 为圆心，AC 、1BA 、2CA 为半径画的弧，曲线123CA A A 称为螺旋线旋转一圈．然后又以A 为圆心3AA 为半径画弧，这样画到第n 圈，则所得螺旋线的长度n l =_____________．(用π表示即可)三. 解答题：（本大题共6小题，共75分）（各题解答必须写出必要的文字说明、演算步骤和推理过程）. 16. （本小题满分13分）已知向量)3,5(),3,6(),4,3(m m ---=-=-=. （Ⅰ）若C B A ,,三点共线，求实数m 的值； （Ⅱ）若ABC ∠为锐角，求实数m 的取值范围.A 3A 2A 1CA B17. （本小题满分13分）已知函数x x b x a x f cos sin cos 2)(2+=)0,0>>b a （，)(x f 的最大值为a +1，最小值为21-. （Ⅰ）求)(x f 的最小正周期； （Ⅱ）求)(x f 的单调递增区间.18. （本小题满分13分）已知数列}{n a 中，11=a ，113--⋅=n n n a a ),2(*N n n ∈≥．数列}{n b 的前n 项和)9(log 3n nn a S =)(*N n ∈． （Ⅰ）求数列}{n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列|}{|n b 的前n 项和． 19. （本小题满分12分）已知22()log a xf x x a--=-是奇函数.(Ⅰ) 求a 的值；(Ⅱ) 若关于x 的方程1()2x f x m --=⋅有实解,求m 的取值范围.20. （本小题满分12分)已知点()1,1A 是椭圆()012222>>=+b a by a x 上一点，21,F F 是椭圆的两焦点，且满足421=+AF AF ．（Ⅰ）求椭圆的两焦点坐标；（Ⅱ）设点B 是椭圆上任意一点，如果AB 最大时，求证A 、B 两点关于原点O 不对称；（Ⅲ）设点C 、D 是椭圆上两点，直线AC 、AD 的倾斜角互补，试判断直线CD 的斜率是否为定值？若是定值，求出定值；若不是定值，说明理由.21. （本小题满分12分)已知曲线C ：xy =1，过C 上一点),(n n n y x A 作一斜率为21+-=n n x k 的直线交曲线C 于另一点),(111+++n n n y x A ，点列),3,2,1( =n A n 的横坐标构成数列{n x }，其中7111=x . （Ⅰ）求证：{3121+-n x }是等比数列；（Ⅱ）求证：)1,(1)1()1()1()1(33221≥∈<-++-+-+-n N n x x x x n n .高2010级（上）期末测试卷 数学（理工类）（参考答案）一．选择题：本大题10小题，每小题5分，共50分． 1～5 BDCBA 6～10 CDACC 10. 令t xx =+1，则原方程化为022=-++b at t ，其中2||≥t ，此方程有根有以下情形对于图)(),(),(c b a ，易知0)2(≤-f 和0)2(≤f 中至少有一个成立 即有022≤++-b a 或022≤++b a由线性规划知识可知，),(b a 满足的平面区域如图阴影部分所示且点O 到直线的距离为5252002=++⨯Oxyxyxxxx)(a )(b )(c )(d )(e故此时5422≥+b a ，其中当52,54-=±=b a 时取等号 对于图)(),(e d ，显然有4≥a ，此时1622≥+b a ，故有22b a +的最小值为54． 二．填空题：本大题共5小题，共25分．11. )81,0(- 12. ),2()81,0(+∞ 13.116 14. 12+n n 15.π)3(2n n +三. 解答题：本大题共6小题，共75分． 16.（13分）解：（1）已知向量))3(,5(),3,6(),4,3(m m OC OB OA +--=-=-=),1,2(),1,3(m m AC AB --== 由三点共线知m m -=-2)1(3∴实数21=m 时，满足的条件…………6分（2）由题设知),1(),1,3(m m BC BA ---=--=ABC ∠ 为锐角，43033->⇒>++=⋅∴m m m …………12分又由（1）可知，当21=m 时， 0=∠ABC ，故),21()21,43(∞+-∈ m …………13分17.（13分）解：（1）a x b a x b x a x f +++=++=)2sin(42sin 2)2cos 1()(22ϕ，由题设知214,142222-=+-=+b a a b a ，所以21=a ，3=b (4)分所以21)62sin(212cos 212sin 23)(++=++=πx x x x f ， 所以)(x f 的最小正周期为π…………7分 （2）由63226222πππππππππ+≤≤-⇒+≤+≤-k x k k x k ，所以)(x f 单调增区间为]6,3[ππππ+-k k )(Z k ∈…………13分18.（13分）解：（1）11333log log --⋅=n n n a a ，)1(log log 133-+=-n a a n n)1(21log log 133-+++=-n a a n 2)1(-=n n ，n a 3log 2)1(-=n n ， )9(log 3n n n a S =252nn -=)(*N n ∈…………4分211-==S b ，当2≥n 时，31-=-=-n S S b n n n ，∴数列}{n b 的通项公式3-=n b n )(*N n ∈．…………7分（2）设数列|}{|n b 的前n 项和为n T ，当03≤-=n b n 即3≤n 时，n n S T -=252n n -=； 当3>n 时，32S S T n n -=21252+-=n n ．…………13分19（12分）解： （Ⅰ）由20a xx a-->-得：2a x a -<<…………2分()f x 为奇函数，2 1.a a a ∴-=-⇒=经验证可知：1=a 时，)(x f 是奇函数，1=a 为所求…………5分（Ⅱ）12121()log ,().121x x x f x f x x -+-=∴=-+ …………8分 法一：由1()2x f x m --=⋅得：22(2)2(21)3(21)22121x x x x x xm -+-++==++ 2(21)3 3.21xx =++-≥+当且仅当2log 1)x =时，min 3m =所以m 的取值范围是3,)+∞…………12分 法二：原方程即2(2)(1)20x xm m -+-=设2xt =，则2(1)0t m t m -+-=原方程有实解，等价于方程2(1)0t m t m -+-=有正实解…………6分令2()(1)g t t m t m =-+-则(0)0g <或(0)0102g m =⎧⎪⎨+>⎪⎩或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+≥++=∆>02104)1(0)0(2m m m g …………10分 0m ⇒>或0m =或30m ≤<所以m的取值范围是3,)+∞…………12分20.(12分) 解：（I ）由椭圆定义知：42=a ∴2=a ∴14222=+b y x 把()1,1代入得11412=+b∴ 342=b 则椭圆方程为134422=+y x ∴ 38344222=-=-=b a c ∴ 362=c 故两焦点坐标为)0,362(),0,362(-．…………3分 （II ） 用反证法 ： 假设A 、B 两点关于原点O 对称，则B 点坐标为()1,1-- ，此时22=AB 取椭圆上一点()0,2-M ，则10=AM ∴AB AM >．从而此时AB 不是最大，这与AB 最大矛盾，所以命题成立．…………7分（III ）设AC 方程为：()11+-=x k y 联立⎪⎩⎪⎨⎧=++-=14341)1(22y x x k y 消去y 得()()01631631222=--+--+k k x k k xk ∵点()1,1A 在椭圆上∴1316322+--=k k k x C …………9分∵ 直线AC 、AD 倾斜角互补 ∴ AD 的方程为()11+--=x k y同理 1316322+-+=k k k x D …………10分又()()11,11+--=+-=D D C C x k y x k y()k x x k y y D C D C 2-+=-所以31=--=D C D C CD x x y y k 即直线CD 的斜率为定值31．…………12分21.(12分)过C ：xy 1=上一点),(n n n y x A 作斜率为n k 的直线交C 于另一点1+n A ， 则2111111111+-=⋅-=--=--=+++++n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x y y k ， 于是有：21+=+n n n x x x . …………2分记3121+-=n n x a ，则n n nn n n a x x x x a 2)3121(231221312111-=+--=+-+=+-=++，因为023121,711111≠-=+-==x a x 而， 因此数列{3121+-n x }是等比数列. ………… 6分（3）由（2）可知：31)2(12,)2(--+=-=n n nn x a 则，31)1(212)1()1(⋅--+⋅-=-n n n n n x .当n 为偶数时有：- 11 - =-+---n n n n x x )1()1(11 =n n n n n n n n n n n n 21212222)312)(312(2231213121111111+<⋅+<-++=-++------， 于是①在n 为偶数时有：12121212121)1()1()1(432221<+++++<-++-+-n n n x x x .…………10分 ②在n 为奇数时，前n -1项为偶数项，于是有： n n n n x x x x )1()1()1()1(11221-+-++-+--- 131211)31)2(12(11)1(1<++-=--+-=-=-+<n n n n n x x .…………12分综合①②可知原不等式得证.。

第一部分 函数的概念及表示方法函数的定义域、值域1．（2010广东文数）2.函数)1lg()(-=x x f 的定义域是A.),2(+∞B. ),1(+∞C. ),1[+∞D. ),2[+∞解：01>-x ，得1>x ，选B.2．（2010湖北文数）5.函数y =的定义域为 A.( 34,1) B(34,∞) C （1，+∞） D. ( 34,1)∪（1，+∞）3．（2010湖北文数）3.已知函数3log ,0()2,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则1(())9f f = A.4 B. 14 C.-4 D-14【答案】B 【解析】根据分段函数可得311()log 299f ==-，则211(())(2)294f f f -=-==， 所以B 正确.4．（2010重庆文数）（4）函数y =（A ）[0,)+∞ （B ）[0,4]（C ）[0,4) （D ）(0,4)解析：[)40,0164160,4x x >∴≤-< 5．（2010山东文数）(3)函数()()2log 31x f x =+的值域为 A. ()0,+∞ B. )0,+∞⎡⎣ C. ()1,+∞ D. )1,+∞⎡⎣ 答案：A6．（2010天津文数）（10）设函数2()2()g x xx R =-∈，()4,(),(),().(){g x x x g x g x x x g x f x ++<-≥=则()f x 的值域是 （A ）9,0(1,)4⎡⎤-⋃+∞⎢⎥⎣⎦ （B ）[0,)+∞ （C ）9[,)4-+∞（D ）9,0(2,)4⎡⎤-⋃+∞⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】本题主要考查函数分类函数值域的基本求法，属于难题。

依题意知22222(4),2()2,2x x x x f x x x x x ⎧-++<-⎪⎨--≥-⎪⎩，222,12()2,12x x x f x x x x ⎧+<->⎪⎨---≤≤⎪⎩或7．（2010浙江理数）（10）设函数的集合211()log (),0,,1;1,0,122P f x x a b a b ⎧⎫==++=-=-⎨⎬⎩⎭，平面上点的集合11(,),0,,1;1,0,122Q x y x y ⎧⎫==-=-⎨⎬⎩⎭，则在同一直角坐标系中，P 中函数()f x 的图象恰好．．经过Q 中两个点的函数的个数是 （A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）10解析：当a=0,b=0;a=0,b=1;a=21,b=0; a=21,b=1;a=1,b=-1;a=1,b=1时满足题意，故答案选B ，本题主要考察了函数的概念、定义域、值域、图像和对数函数的相关知识点，对数学素养有较高要求，体现了对能力的考察，属中档题8．（2010陕西文数）13.已知函数f （x ）＝232,1,,1,x x x ax x +<⎧⎨+≥⎩若f （f （0））＝4a ，则实数a＝ 2 .解析：f （0）=2，f （f （0））=f(2)=4+2a=4a ，所以a=29．（2010重庆文数）(12)已知0t >，则函数241t t y t-+=的最小值为____________ . 解析：241142(0)t t y t t t t-+==+-≥-> ，当且仅当1t =时，min 2y =- 10．（2010天津文数）（16）设函数f(x)=x-1x,对任意x [1,∈+∞），f(mx)+mf(x)<0恒成立，则实数m 的取值范围是________【答案】m<-1【解析】本题主要考查了恒成立问题的基本解法及分类讨论思想，属于难题。

2010年高考数学重庆卷试题评析及建议重庆市教育科学研究院张晓斌400015一、命题范围及试卷结构本次考试的命题范围是全日制普通高中数学必修课和选修课的全部内容。

本次试题充分考虑了文理科学生的实际情况，拉大了文理科试题的差异，既体现了个性，也体现了共性，文理科试题差异个数见下表。

表1 文理科试题差异个数二、命题原则及指导思想今年重庆高考数学试题，按照国家教育部考试中心2010年制定的《数学考试大纲》的要求，严格遵循现行中学数学教学大纲的规定，力求发挥三个有利——有利于高校选拨优秀人才，有利于全体学生正常发挥水平，有利于指导中学数学教学。

充分体现“以四基为本，深化能力立意，积极改革创新，注重导向作用”的命题指导思想，并希望能对中学数学教学如何实施素质教育和培养学生创新意识与实践能力方面产生良好的影响。

三、试题的特点1.低起点，多层次，重基础，宽角度这是今年高考文理科数学试题的一个最大特点，也是往年所不能企及的，重视基础知识、基本技能的全面考查，不少题目起点低，入手容易深入难，为大多数考生作答创造了条件，也有利于考生能够发挥出正常水平，获得自己较为满意的成绩。

如文理科选择题的前8个题，填空题的前3个题，每一个解答题的第1问都是非常基础和容易入手的，且入手的角度较多，绝大多数学生都能够得到满分的，这样考生就获得了一个基本分数，也就有时间有信心去解决后面一些稍难的问题。

本次考题严格遵循考试大纲，注重基本知识、基本技能和基本的数学思想方法的考查，大多数题目是常规常见题，较好的体现了循序渐进，入手宽，深入难，分步设防，多层次，多题把关的设题思路，使不同层次的学生都能下笔答题，获得较为理想的成绩，这样区分度也会自然提高。

应该说这是今后高考命题在难度控制上的一个参照。

2.突出数学本质与数学思想方法的考查本次考题不偏不怪，常规常见，题面叙述平适近人，数学味较浓，淡化非数学成分，不少试题体现了对数量关系和空间形式的要求，突出了数学本质的考查。