三角形中的常见结论

三角形中的数列经典结论【定理1】在△ABC 中，三内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .无论sinA 、sinB 、sinC 成等差数列或1sin A 、1sin B 、1sin C成等差数列; 还是a 、b 、c 成等差数列或1a 、1b 、1c 成等差数列.都有B ∈0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦. 【推论】在△ABC 中，三内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .无论sin 2A 、sin 2B 、sin 2C 成等差数列或A 2sin 1、B 2sin 1、C2sin 1成等差数列或cos 2A 、cos 2B 、cos 2C 成等差数列;还是a 2 、b 2、c 2成等差数列或21a 、21b 、21c 成等差数列.都有B ∈0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦. 【定理2】在△ABC 中，三内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .无论sinA 、sinB 、sinC 成等比数列或1sin A 、1sin B 、1sin C成等比数列; 还是a 、b 、c 成等比数列或1a 、1b 、1c 成等比数列.都有B ∈0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦. 【推论】在△ABC 中，三内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .无论sin n A 、sin n B 、sin n C 成等比数列或A n sin 1、B n sin 1、Cn sin 1成等比 数列;还是a n 、b n 、c n 成等比数列或n a 1、n b 1、nc 1()*∈N n 成等比数列.都有B ∈0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦.【定理1证明】1) 由等差中项公式和正弦定理得：2sinB=sinA+sinC ⇔2b =a +c再由余弦定理得： cosB=222222224()()3()2288a c b a c a c a c acac ac ac+-+-++-==∵a 2+c 2≥2ac ∴cosB=223()28a c ac ac+-≥628ac ac ac -=12当且仅当a =c 时,等号成立.又B ∈(0,π)及y =cos x 在(0,π)内单调递减，故B ∈(0,3π]. 2) 由等差中项公式和正弦定理得2112112sin sin sin acb B A C b ac a c=+⇔=+⇔=+ 再由余弦定理得 cosB=2222222()22ac a c a c b a c ac ac +-+-+=∵a 2+c 2≥2ac ⇔(a +c ) 2≥4ac ⇔22()ac a c +≤ac ∴a 2+c 2－22()ac a c+≥2ac －ac =ac ∴ cos B≥2ac ac =12,当且仅当a =c 时等号成立.又B ∈(0,π)及y =cos x 在(0,π)内单调递减，故B ∈0,3π⎛⎤⎥⎝⎦.【推论证明】由a 2 、b 2、c 2成等差数列得2b 2=a 2+c 2,再由余弦定理得cosB=2222a c b ac +-=ac c a ac c a c a 422222222+=+-+≥ac ac 42=12, 当且仅当a =c 时,等号成立.又B ∈(0,π)及y =cos x 在(0,π)内单调递减，故B ∈0,3π⎛⎤⎥⎝⎦.同理可证若21a 、21b 、21c成等差数列或sin 2A 、sin 2B 、sin 2C 成等差数列或cos 2A 、cos 2B 、cos 2C 成等差数列;或A 2sin 1、B 2sin 1、C 2sin 1成等差数列,都有B ∈0,3π⎛⎤⎥⎝⎦.【定理2证明】 由等比中项公式和正弦定理得： sin 2B=sinAsinC ⇔ac b C A B CA B =⇔=⇔=222sin sin sin sin sin 1sin 1 再由余弦定理得：cosB=2222a c b ac +-=222a c acac +- ∵a 2+c 2≥2ac ∴cosB≥22ac ac ac -=2ac ac =12, 当且仅当a=c 时，等号成立.又B ∈(0, π)及y =cos x 在(0, π)内单调递减，故B ∈0,3π⎛⎤⎥⎝⎦.【推论证明】在△ABC 中，若sin n A 、sin n B 、sin n C ()*∈N n 成等比数列, 则b 2n =a n c n , 即b 2=ac.由余弦定理得：cosB=2222a c b ac +-=222a c ac ac+-≥22ac ac ac -=2ac ac =12, 当且仅当a=c 时，等号成立.又B ∈(0, π)及y =cos x 在(0, π)内单调递减，故B ∈0,3π⎛⎤⎥⎝⎦同理可证若n a 1、n b 1、n c1成等比数列或A n sin 1、B n sin 1、C n sin 1()*∈N n 成等比数列,都有B ∈0,3π⎛⎤⎥⎝⎦.【典例1】 在△ABC 中，C 2sin 1、B 2sin 1、A2sin 1成等差数列, 且p =(sinB, 1)，q =(1, cosB)，证明：(1)函数f (B)= p ·q 的值域为(；(2)函数g (B)= q p q p •+1(2的值域为512⎡⎫⎪⎢⎣⎭；(3)函数h (B)=qp •+12的值域为(1)⎤-⎦.【典例2】 在△ABC 中，C n sin 1、B n sin 1、Ansin 1()*∈N n 成等比数列,且p cosB)， q =(sinB ，－1)， 证明：(1)函数f (B)= p ·q 的值域为(]1,1-；(2)函数g (B)= q p q p •+1(2的值域为7,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；(3)函数h (B)=qp q p •+1(2)1),⎡+∞⎣.。

《必修五》解三角形知识点归纳一、正弦定理 正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C=== 文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等. 符号语言：2sin sin sin a b cR A B C=== 特点：对称美、和谐美 （一）理解定理1、正弦定理：在△ABC 中，2sin sin sin sin sin sin a b c a b cR A B C A B C++====++【在这个式子当中，已知两边和一角或已知两角和一边，可以求出其它所有的边和角，从而知正弦定理的基本作用是进行三角形中的边角互化】2、正弦定理的基本作用：①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如角化边sin sin b Aa B=②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a BA b= 3、常用公式及其结论⑴正弦定理包含三个等式sin sin a b A B =，sin sin b c B C =，sin sin a c A C=每一个等式中都包含四个量，可以“知三求一” (2)三内角和为180︒即180A B C ︒++=，222A B C π+=- (3)两边之和大于第三边，两边之差小于第三边,,;,,.a b c a c b b c a a b c b c a a c b +>+>+>-<-<-< (4)面积公式：2111sin sin sin 2sin sin sin 2224abcS ab C bc A ac B R A B C R===== ⑸三角函数的恒等变形：sin()sin A B C +=，cos()cos A B C +=- ，()tan tan A B C +=-，sincos 22A B C +=，cos sin 22A B C+=，tan tan 22A B C +=，tan tan +tan tan tan tan A B C A B C +=⋅⋅ ⑹C B A c b a sin :sin :sin ::= ⑺角化边: C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2===⑻边化角:RcC Rb B Ra A 2sin 2sin 2sin ===⑼在△ABC 中，①若B b A a cos cos =，则△ABC 是等腰三角形或直角三角形; ②若B a A b cos cos =，则△ABC 是等腰三角形;③若222cos cos +cos 1A B C +=或cos cos cos a A b B c C +=，则△ABC 是直角三角形.⑽在△ABC 中，sin sin sin A B C a b c A B C >>⇔>>⇔>>（二）题型：使用正弦定理解三角形共有三种题型题型1： 利用正弦定理公式原型解三角形题型2： 利用正弦定理公式的变形(边角互化)解三角形：关于边或角的齐次式可以直接边角互化.例如：222222sin 3sin 2sin 32A B C a b c +=⇒+=题型3： 三角形解的个数的讨论 方法一：画图看方法二：通过正弦定理解三角形，利用三角形内角和与三边的不等关系检验解出的结果是否符合实际意义，从而确定解的个数.（三）三角形内角平分线定理：△ABC 中，AD 是A ∠的角平分线，则DCBDAC AB = 我们知道，当一个三角形已知任意两角和一边时，根据全等三角形的判定定理可以得知这个三角形就是唯一确定的,也就是可解的.先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理计算另两边.另外，一个三角形的三边之间必须满足：任意两边之和大于第三步且任意两边之差小于第三边.当已知一个三角形的三边时，已知的三条边必须满足上面的条件才能够作出三角形.否则作不出三角形，当然也无法解三角形.从上面的探讨可以得知，已知三角形的三边要解三角形时，必须满足三边关系，解三角形才有意义.当已知三边时，连续利用余弦定理的推论求出较小边的对角，再用三角形内角和求出第三个角. 如果已知三角形的两边及其夹角，那么根据三角形的判定定理我们知道这个三角形是唯一确定的，也就是可解的.我们可以利用余弦定理计算第三边，用余弦定理的推论或正弦定理计算其余两个角. 如果已知任意两边及其中一边的对角如何来解三角形呢？我们先看下面的例题： 例题：已知：在△ABC 中，22,25,133,a cm b cm A ︒===解三角形. 解：22,25,133a cm b cm A ︒===∴根据正弦定理，得sin 25sin133sin 0.831122b A B a ︒==≈ 0180B ︒︒<< ∴56.21B ︒≈，或123.79B ︒≈ 180A B C ︒++= ∴9.21C ︒=-或76.79C ︒=-【师】：问题出在哪里呢？【生】：分析已知条件，我们注意到,133a b A ︒<=，是一个钝角，根据三角形的性质应该有A B <,因而B 也是一个钝角.而在一个三角形中是不可能存在两个钝角的.【师】：从上面的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形.如：①已知32,2,60===O b a A ,求B (有一个解);②已知32,2,60===O a b A ,求B (有两个解)二、余弦定理（一）知识与工具：余弦定理：222222222222222222cos 22cos 2cos cos 22cos cos 2b c a A bc a b c bc A a c b b a c ac B B ac c a b ab C a b c C ab ⎧+-=⎪⎧=+-⎪+-⎪⎪=+-⇒=⎨⎨=+-⎪⎪⎩+-⎪=⎪⎩（二）题型:使用余弦定理解三角形共有三种现象的题型题型1:利用余弦定理公式的原型解三角形题型2:利用余弦定理公式的变形(边角互换)解三角形：凡在同一式子中既有角又有边的题，要将所有角转化成边或所有边转化成角，在转化过程中需要构造公式形式。

三角形的高及其性质一、三角形的高的定义在平面几何中，三角形的高是指从三角形的顶点到所对的底边垂直引下的线段。

三角形的高可以有三条，分别与三个顶点所对底边垂直相交。

三角形的高在解决三角形相关问题时经常被应用到，对于理解和计算三角形的性质具有重要意义。

二、三角形高的性质1.三角形高的唯一性：一个三角形只有唯一一条高，可以由顶点引下到底边，且垂直于底边。

2.垂心：三角形三条高的交点称为三角形的垂心，并且垂心是三角形内心的一个重要特殊点。

3.性质1：三角形的三条高在垂心处相交，且相交于同一点。

这个性质被称为垂心性质。

4.性质2：垂心到三角形三边的距离正好等于它到这条边所对的角的正弦线段的两倍。

5.性质3：垂心所在的高与三角形的中线和三角形的角平分线共线。

三、三角形高的应用三角形的高作为三角形内的一条特殊线段，有着广泛的应用。

1.求三角形的面积：已知三角形的底边和高，可以通过面积公式 S =1/2 × 底边 × 高来求解三角形的面积。

2.判断三角形的形状：根据三角形三边的关系，如果三边相等，则是等边三角形；如果两边相等，则是等腰三角形；如果三边满足勾股定理，则是直角三角形。

3.计算三角形的角度：已知三角形的底边和高，可以利用正弦函数、余弦函数和正切函数求解三角形的角度。

4.判断三角形的相似关系：在一对全等三角形中，对应的高也是相等的；而在一对相似三角形中，对应的高是成比例的。

5.解决几何问题：三角形的高在几何学证明和推导中经常被应用到，例如证明三角形的垂心、三角形的垂心与外心共线等。

结语三角形的高是解决三角形相关问题时非常重要的概念之一，具有唯一性和多种性质特点。

从求解三角形的面积到判断相似关系，三角形的高在解决几何问题中有着广泛的应用。

同时，了解三角形的高及其性质对于几何学的学习和理解也具有重要意义。

ＢＣ ’Ａ Ｂ
’
所以 ＋丽 ＝面 １ １
Байду номын сангаас
．
则 丽＝ ， Ａ＝Ｅ 寺 ＮＤ
即 Ｎ ：Ｃ ＝ １ ：２ Ｎ ．
作者简介 杨再发 ， 贵 州省沿河县人 ， ６ 男， １ ８年 ｌ ９ ０月出
生， 中学一级教师． 发表 ２ 余篇文章 ． ０ 多次 被评为优秀教师 ．
３ ５
５ 如 图 ５Ｍ 是 ＡＡ Ｃ中 Ｂ ． ， Ｂ Ｃ边 的 中点 ， Ｐ是 点
ＢＦ’
Ｂ ｃ边上的任意一点 ， 过点 Ｐ作 艘 ∥Ａ Ｍ交 Ｂ Ａ的延
长线 于 Ｑ， ｃ 交 Ａ于 Ｒ
则 ＋Ｐ ＝ 丽 Ｒ Ｂ Ｃ
证明 ： 过点 Ｄ作 Ｄ Ｇ∥ Ｃ Ｆ交 Ａ Ｂ于点 Ｇ ，
因为 Ａ Ｄ是 ＡＡ Ｃ的 中线 ， Ｂ 所 以点 Ｇ是 Ｆ的中点 ， Ｇ ＝ 则 Ｆ １
Ｅ Ｄ ＝ Ｅ Ｄ。 Ｄ ＝Ｂ ． Ｂ Ｂ 即 Ｅ Ｅ
６如 图 ６ 在 ＡＡ Ｃ中 ， Ｄ是 Ｂ ， Ｂ 点 Ｃ边上 的 中点 ， 点 是 Ａ Ｄ的 中点 ，Ｍ 的延 长线 交 Ａ Ｂ Ｃ于 点 Ｎ， Ａ 则 Ⅳ
： ＣＮ ＝ １ ：２．
因为 Ｄ Ｅ∥ Ｂ ， 以Ａ ＝丽 ｃ所 ， Ｅ Ｄ Ｅ
所 以 Ｃ ＝Ｂ Ｍ Ｍ．
Ｃ Ｂ 则 （） ２侍 Ｒ ＋ｅＱ ＝ Ｐ ＋Ｐ １ ＋（） Ｐ
Ａ
＝
Ｃ
Ｒ ＝丽 所 以 ＋ Ｐ ＝ 蔚 Ｂ Ｃ Ｂ Ｃ
，
图７
图８
８ 如图７ Ｂ ． ，Ｄ为 Ａ Ｂ Ａ Ｃ的角平分线 ， Ｅ∥ Ｂ Ｄ Ｃ
交Ａ Ｂ于点 Ｅ， 则
Ⅳ
一
１
＋ 一
１
＝ 一