2019-2020年中考北师大版中考数学专题复习:类比探究测试题
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2020年九年级中考数学复习专题训练:《相似综合》1.如图1,点P从菱形ABCD的顶点B出发,沿B→D→A匀速运动到点A,BD的长是;图2是点P运动时,△PBC的面积y(cm2)随时间x(s)变化的函数图象.(1)点P的运动速度是cm/s;(2)求a的值;(3)如图3,在矩形EFGH中,EF=2a,FG﹣EF=1,若点P、M、N分别从点E、F、G三点同时出发,沿矩形的边按逆时针方向匀速运动,当点M到达点G(即点M与点G重合)时,三个点随之停止运动;若点P不改变运动速度,且点P、M、N的运动速度的比为2:6:3,在运动过程中,△PFM关于直线PM的对称图形是△PF'M,设点P、M、N的运动时间为t(单位:s).①当t=s时,四边形PFMF'为正方形;②是否存在t,使△PFM与△MGN相似,若存在,求t的值;若不存在,请说明理由.2.如图1,四边形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AD=3,AB=4,BC=6,动点P从点A出发以1个单位/秒的速度沿AB运动,动点Q同时从点C出发以2个单位/秒的速度沿CB 运动,过点P作EP⊥AB,交BD于E,连接EQ.当点Q与点B重合时,两动点均停止运动,设运动的时间为t秒.(1)当t=1时,求线段EP的长;(2)运动过程中是否存在某一时刻,使△BEQ与△ABD相似?若存在,请求出所有满足要求的t的值;若不存在,请说明理由;(3)如图2,连接CE,求运动过程中△CEQ的面积S的最大值.3.如图1,在△ABC中,AB=AC=10,,点D为BC边上的动点(点D不与点B,C 重合).以D为顶点作∠ADE=∠B,射线DE交AC边于点E,过点A作AF⊥AD交射线DE于点F,连接CF.(1)求证:△ABD∽△DCE;(2)当DE∥AB时(如图2),求AE的长;(3)点D在BC边上运动的过程中,是否存在某个位置,使得DF=CF?若存在,求出此时BD的长;若不存在,请说明理由.4.如图(1),在矩形ABCD中,AD=nAB,点M,P分别在边AB,AD上(均不与端点重合),且AP=nAM,以AP和AM为邻边作矩形AMNP,连接AN,CN.【问题发现】(1)如图(2),当n=1时,BM与PD的数量关系为,CN与PD的数量关系为.【类比探究】(2)如图(3),当n=2时,矩形AMNP绕点A顺时针旋转,连接PD,则CN与PD之间的数量关系是否发生变化?若不变,请就图(3)给出证明;若变化,请写出数量关系,并就图(3)说明理由.【拓展延伸】(3)在(2)的条件下,已知AD=4,AP=2,当矩形AMNP旋转至C,N,M三点共线时,请直接写出线段CN的长.5.如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=8,D、E分别是AB、BC的中点.连接DE.动点P从点A出发,以每秒5个单位长度的速度沿AB向终点B运动.同时,动点Q从点C 出发,沿折线CE﹣ED向终点D运动,在CE、ED上的速度分别是每秒3个单位长度和4个单位长度,连接PQ,以PQ、PD为边作▱DPQM.设▱DPQM与四边形ACED重叠部分图形的面积是S(平方单位),点P的运动时间为t(s).(1)当点P在AD上运动时,PQ的长为(用含t的代数式表示);(2)当▱DPQM是菱形时,求t的值;(3)当0<t<2时,求S与t之间的函数关系式;(4)当△DPQ与△BDE相似时,直接写出t的值.6.如图,在平行四边形ABCD中,AC为对角线,过点D作DE⊥DC交直线AB于点E,过点E 作EH⊥AD于点H,过点B作BF⊥AD于点F.(1)如图1,若∠BAD=60°,AF=3,AH=2,求AC的长;(2)如图2,若BF=DH,在AC上取一点G,连接DG、GE,若∠DGE=75°,∠CDG=45°﹣∠CAB,求证:DG=CG.7.(1)问题引入:如图1所示,正方形ABCD和正方形AEFG,则BE与DG的数量关系是,=;(2)类比探究:如图2所示,O为AD、HG的中点,正方形EFGH和正方形ABCD中,判断BE和CF的数量关系,并求出的值;(3)解决问题:①若把(1)中的正方形都改成矩形,且==,则(1)中的结论还成立吗?若不能成立,请写出BE与GD的关系,并求出值;②若把(2)中的正方形也都改成矩形,且==2n,请直接写出BE和CF的关系以及的8.在正方形ABCD中,点E是直线AB上动点,以DE为边作正方形DEFG,DF所在直线与BC 所在直线交于点H,连接EH.(1)如图1,当点E在AB边上时,延长EH交GF于点M,EF与CB交于点N,连接CG,①求证:CD⊥CG;②若tan∠HEN=,求的值;(2)当正方形ABCD的边长为4,AE=1时,请直接写出EH的长.9.如图a,在正方形ABCD中,E、F分别为边AB、BC的中点,连接AF、DE交于点G.(1)求证:AF⊥DE;(2)如图b,连接BG,BD,BD交AF于点H.①求证:GB2=GA•GD;②若AB=10,求三角形GBH的面积.10.如图1,在矩形ABCD中,P为CD边上一点(DP<CP),∠APB=90°.将△ADP沿AP 翻折得到△AD′P,PD′的延长线交边AB于点M,过点B作BN∥MP交DC于点N.(1)求证:AD2=DP•PC;(2)请判断四边形PMBN的形状,并说明理由;(3)如图2,连接AC分别交PM、PB于点E、F.若AD=3DP,探究EF与AE之间的的数量关系.11.△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,AC=2cm.长为1cm的线段MN在△ABC的边AB上沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动(运动前点M与点A重合).过M,N分别作AB的垂线交直角边于P,Q两点,线段MN运动的时间为ts.(1)当0≤t≤1时,PM=,QN=(用t的代数式表示);(2)线段MN运动过程中,四边形MNQP有可能成为矩形吗?若有可能,求出此时t的值;若不可能,说明理由;(3)t为何值时,以C,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似?12.如图,四边形ABCD是矩形,AB=6,BC=4,点E在边AB上(不与点A、B重合),过点D作DF⊥DE,交边BC的延长线于点F.(1)求证:△DAE∽△DCF.(2)设线段AE的长为x,线段BF的长为y,求y与x之间的函数关系式.(3)当四边形EBFD为轴对称图形时,则cos∠AED的值为.13.如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=2,点M在BC上,连接AM,作∠AMN=∠AMB,点N 在直线AD上,MN交CD于点E.(1)求证:△AMN是等腰三角形;(2)求证:AM2=2BM•AN;(3)当M为BC中点时,求ME的长.14.如图,在平面直角坐标系中,过原点O及A(8,0)、C(0,6)作矩形OABC,连接AC,一块直角三角形PDE的直角顶点P始终在对角线AC上运动(不与A、C重合),且保持一边PD始终经过矩形点B,PE交x轴于点Q(1)=;(2)在点P从点C运动到点A的过程中,的值是否发生变化?如果变化,请求出其变化范围,如果不变,请说明理由,并求出其值;(3)若将△QAB沿直线BQ折叠后,点A与点P重合,则PC的长为.15.如图,在矩形OABC中,点A,B的坐标分别为A(4,0),B(4,3),动点N,P分别从点B,A同时出发,点N以1单位/秒的速度向终点C运动,点P以5/4单位/秒的速度向终点C运动,连结NP,设运动时间为t秒(0<t<4)(1)直接写出OA,AB,AC的长度;(2)求证:△CPN∽△CAB;(3)在两点的运动过程中,若点M同时以1单位/秒的速度从点O向终点A运动,求△MPN的面积S与运动的时间t的函数关系式(三角形的面积不能为0),并直接写出当S =时,运动时间t的值.16.如图,在正方形ABCD中,点E在边CD上(不与点C,D重合),连结AE,BD交于点F.(1)若点E为CD中点,AB=2,求AF的长.(2)若tan∠AFB=2,求的值.,(3)若点G在线段BF上,且GF=2BG,连结AG,CG,=x,四边形AGCE的面积为S1,求的最大值.△ABG的面积为S217.如图1,在△ABC中,AB=AC,点D,E分别是边BC,AC上的点,且∠ADE=∠B.(1)求证:AB•CE=BD•CD;(2)若AB=5,BC=6,求AE的最小值;(3)如图2,若△ABC为等边三角形,AD⊥DE,BE⊥DE,点C在线段DE上,AD=3,BE =4,求DE的长.18.如图,△ABC中,AB=AC,点P为BC边上一动点(不与B,C重合),以AP为边作∠APD=∠ABC,与BC的平行线AD交于点D,与AC交于点E,连结CD.(1)求证:△ABP∽△DAE.(2)已知AB=AC=5,BC=6.设BP=x,CE=y.①求y关于x的函数表达式及自变量x的取值范围;=时,求CE的值.②当S△ACD19.如图,在矩形ABCD的边AB上取一点E,连接CE并延长和DA的延长线交于点G,过点E作CG的垂线与CD的延长线交于点H,与DG交于点F,连接GH.(1)当tan∠BEC=2且BC=4时,求CH的长;(2)求证:DF•FG=HF•EF;(3)连接DE,求证:∠CDE=∠CGH.20.定义:若一个四边形能被其中一条对角线分割成两个相似三角形,则称这个四边形为“友好四边形”.(1)如图1,在4×4的正方形网格中,有一个网格Rt△ABC和两个网格四边形ABCD与ABCE,其中是被AC分割成的“友好四边形”的是;(2)如图2,将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A'B'C,点B'落在边AC,过点A作AD∥A'B'交CA'的延长线于点D,求证:四边形ABCD是“友好四边形”;(3)如图3,在△ABC中,AB≠BC,∠ABC=60°,△ABC的面积为6,点D是∠ABC 的平分线上一点,连接AD,CD.若四边形ABCD是被BD分割成的“友好四边形”,求BD 的长.参考答案1.解:(1)由图2可知,s点P从点B运动到点D,∵BD=,∴点P的运动速度=÷=1(cm/s),故答案为:1;(2)如图1,作DQ⊥BC于点Q,当点P在BD上时,a=×BC×DP,∵四边形ABCD为菱形,点P的运动速度为1,∴AD=BC=1×a=a,∴a=×a×DP,解得,DQ=2,在Rt△BDQ中,BQ==1,∴CQ=a﹣1,在Rt△CDQ中,CD2=CQ2+DQ2,即a2=(a﹣1)2+22,解得,a=;(3)①∵点P的运动速度1cm/s,点P、M的运动速度的比为2:6 ∴点M的运动速度3cm/s,由题意得,EF=2a=5,∵FG﹣EF=1,∴FG=6,∴PF=5﹣t,FM=3t,由翻转变换的性质可知,PF=PF′,FM=FM′,当PF=FM时,PF=PF′=FM=FM′,∴四边形PFMF'为菱形,又∠F=90°,∴四边形PFMF'为正方形,∴5﹣t=3t,即t=1.25时,四边形PFMF'为正方形,故答案为:1.25;②存在,∵点P的运动速度1cm/s,点P、M、N的运动速度的比为2:6:3,∴点M的运动速度3cm/s,点N的运动速度1.5cm/s,∴PF=5﹣t,FM=3t,GN=1.5t,∵点M的运动速度3cm/s,FG=6,∴0≤t≤2,当△PFM∽△MGN时,=,即=,解得,t=,当△PFM∽△NGM时,=,即=,解得,t1=﹣7﹣(舍去),t2=﹣7+,综上所述,当t=或﹣7+时,△PFM与△MGN相似.2.解:(1)当t=1时,则AP=1,∴BP=AB﹣AP=3,∵EP⊥AB,∴∠EPB=∠A=90°,∴EP∥AD,∴△BPE∽△BAD,∴,∴,∴EP=;(2)∵∠A=90°,AD=3,AB=4,∴BD===5,∵EP⊥AB,∴∠EPB=∠A=90°,∴EP∥AD,∴△BPE∽△BAD,∴,∴,∴BE=5﹣t,∵AD∥BC,∴∠ADB=∠EBQ,若∠BEQ=∠A=90°,∴△BAD∽△QEB,∴,∴=,∴t=28(不合题意舍去),若∠BQE=∠A=90°,∴△BAD∽△EQB,∴,∴t=,(3)∵S=×CQ×PB=×2t×(4﹣t)=﹣(t﹣2)2+4,∴当t=2时,S最大值为4,∴△CEQ的面积S的最大值为4.3.证明:(1)∵AB=AC,∴∠B=∠ACB,∵∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD,∠ADE=∠B,∴∠BAD=∠CDE,∴△BAD∽△DCE;(2)如图2中,作AM⊥BC于M.在Rt△ABM中,设BM=4k,∵=,∴,由勾股定理,得到AB2=AM2+BM2,∴102=(3k)2+(4k)2,∴k=2或﹣2(舍弃),∴AM=6,BM=8,∵AB=AC,AM⊥BC,∴BC=2BM=2×2k=16,∵DE∥AB,∴∠BAD=∠ADE,∵∠ADE=∠B,∠B=∠ACB,∴∠BAD=∠ACB,∵∠ABD=∠CBA,∴△ABD∽△CBA,∴,∴=,∵DE∥AB,∴,∴=.(3)点D在BC边上运动的过程中,存在某个位置,使得DF=CF.理由:作FH⊥BC于H,AM⊥BC于M,AN⊥FH于N.则∠NHM=∠AMH=∠ANH=90°,∴四边形AMHN为矩形,∴∠MAN=90°,MH=AN,∵AB=AC,AM⊥BC,∵AB=10,∴BM=CM=8,∴BC=16,在Rt△ABM中,由勾股定理,得AM=6,∵AN⊥FH,AM⊥BC,∴∠ANF=90°=∠AMD,∵∠DAF=90°=∠MAN,∴∠NAF=∠MAD,∴△AFN∽△ADM,∴,∴,∴CH=CM﹣MH=CM﹣AN=8﹣=,当DF=CF时,由点D不与点C重合,可知△DFC为等腰三角形,∵FH⊥DC,∴CD=2CH=7,∴BD=BC﹣CD=16﹣7=9,∴点D在BC边上运动的过程中,存在某个位置,使得DF=CF,此时BD=9.4.解:(1)BM=PD,,理由如下:当n=1,则AD=AB,AP=AM,∴AD﹣AP=AB﹣AM,∴DP=BM,∵四边形ABCD是矩形,四边形AMNP是矩形,∴AD=CD=AB,AP=AM=NP,∠ADC=∠APN=90°,∴AC=AD,AN=AP,∴AC﹣AN=(AD﹣AP),∴CN=PD,故答案为:BM=PD,;(2)CN与PD之间的数量关系发生变化,,理由如下:如图(1)在矩形ABCD和矩形AMNP中,∵当n=2.AD=2AB,AP=2AM,∴,,∴.,如图(3)连接AC,∵矩形AMNP绕点A顺时针旋转,∴∠NAC=∠PAD,∴△ANC∽△APD,∴,∴;(3)如图,当点N在线段CM上时,∵AD=4,AD=2AB,∴AB=CD=2,∴AC===,∵AP=2,AP=2AM,∴AM=1,∴CM===,∴CN=CM﹣MN=﹣2;如图,当点M在线段CN上时,同理可求CM=,∴CN=CM+MN=+2;综上所述:线段CN的长为或.5.解:(1)∵∠C=90°,AB=10,AC=8,∴BC===6,∵D、E分别是AB、BC的中点.∴DE∥AC,DE=AC=4,BD=AD=5,BE=CE=3,∵动点P从点A出发,以每秒5个单位长度的速度沿AB向终点B运动,∴AP=5t,∴BP=10﹣5t,∵DE∥AC,∴△BPQ∽△BAC,∴,∴∴PQ=8﹣4t,故答案为:8﹣4t;(2)当点P在AD上运动时,∵四边形DPQM是菱形,∴PD=PQ,∴5﹣5t=8﹣4t,∴t=﹣3(不合题意舍去),当点P在BD上运动时,过点P作PH⊥DQ于H,∵四边形DPQM是菱形,∴PD=PQ,且PH⊥DQ,∴DH=HQ=DQ=[4﹣4(t﹣1)]=4﹣2t,∵DE∥AC,∴∠DEB=∠ACB=90°=∠PHD,∴PH∥BE,∴△PDH∽△BDE,∴,∴,∴t=,PH=3t﹣3,综上所述:当t=时,▱DPQM是菱形;(3)当0<t<1时,S=×(8﹣4t+4)×(3﹣3t)=6t2﹣24t+18,当t=1时,不能作出▱DPQM,当1<t<2时,S=×(8﹣4t)×(3t﹣3)=﹣6t2+18t﹣12;(4)当点P在AD上时,不存在△DPQ与△BDE相似,当点P在BD上时,则∠PDQ=∠BDE,若∠PQD=∠DEB=90°时,∴△PDQ∽△BDE,∴,∴∴t=,若∠DPQ=∠DEB=90°时,∴△QPD∽△BED,∴,∴∴t=综上所述:当t=或时,△DPQ与△BDE相似.6.解:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC,AD∥BC,CD=AB,CD∥AB,∵BF⊥AD于F,∴∠AFB=90°,∵∠BAD=60°,∴AB=2AF=6,BF=AF=3,∵EH⊥AD于H,∴AE=2AH=4,EH=AH=2,∵DE⊥DC交AB于E,∴∠DEA=90°,∴AD=2AE=8,∴CB=AD=8,如图1,作AM⊥CB于M,则∠ABM=∠BAD=60°,∴BM=(1/2)AB=3,AM=BM=3,∴CM=CB+BM=11,在Rt△ACM中:AC===2.(2)如图2,作EN⊥AC于N,连接DN、CE,则∠CNE=90°.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC,AD∥BC,CD=AB,CD∥AB,∵DE⊥DC交AB于E,∴∠CDE=∠DEA=90°,∵EH⊥AD于H,∴∠DHD=∠EHA=90°,∵BF⊥AD于F,∴∠DFB=∠AFB=90°,∴∠DHE=∠BFA,∵∠DEH+∠HEA=∠HEA+∠BAF=90°,∴∠DEH=∠BAF,∵DH=BF,∴△DEH≌△BAF(AAS),∴DE=BA=CD,∴△CDE是等腰直角三角形,∠DCE=∠DEC=45°,∵∠CDE=∠CNE=90°,∴C、D、N、E四点共圆,∴∠DNC=∠DEC=45°,∵∠CDG=45°﹣∠CAB,∴∠CDG+∠CAB=45°,∵CD∥AB,∴∠CAB=∠DCG,∴∠DGN=∠DCG+∠CDG=45°=∠DNC,∴△DGN是等腰直角三角形,∠GDN=90°,DG=DN,∵∠CDG+∠GDE=∠GDE+∠EDN=90°,∴∠CDG=∠EDN,∴△CDG≌△EDN(SAS),∴EN=CG,∵∠CGD=75°,∴∠CGN=∠CGD﹣∠DGN=30°,∴GN=EN=CG,∴DG=GN=CG7.解:(1)如图1中,连接AC,AF.∵四边形ABCD,四边形AEFG都是正方形,∴AB=AD,AE=AG,∠BAD=∠EAG=90°,AC=AB,AF=AE,∠BAC=45°,∠EAF=45°,∴∠BAE=∠DAG,∴△BAE≌△DAG(SAS),∴BE=DG,∵AC=AB,AF=AE,∴=,∵∠BAC=∠EAF=45°,∴∠BAE=∠CAF,∴△BAE∽△CAF,∴==,∵DG=BE,∴=.故答案为:BE=DG,.(2)如图2中,连接OB,OE,OF,OC.∵四边形ABCD是正方形,OA=OD,∴∠A=∠CDO=90°,AB=CD,∴△AOB≌△DOC(SAS),∴OB=OC,同法可证OE=OF,∴∠OBC=∠OCB,∠OEF=∠OFE,∵BC∥AD,∴∠CBO=∠AOB,∴tan∠CBO=tan∠AOB=2,同法可证:tan∠FEO=2,∴tan∠CBO=tan∠FEO,∴∠CBO=∠FEO,∴∠OBC=∠OCB=∠OEF=∠OFE,∴∠BOC=∠EOF,∴∠EOB=∠FOC,∵OE=OF,OB=OC,∴△OEB≌△OFC(SAS),∴BE=FC,∵tan∠COD=tan∠COD=2,∴∠FOG=∠COD,∴∠FOC=∠GOD,∵==,∴△FOG∽△GOD,∴==.(3)①如图3中,结论不成立,BE=3DG.连接BE,AC,AF,CF.∵四边形ABCD,四边形AEFG都是矩形,∴∠BAD=∠EAG=90°,∴∠BAE=∠DAG,∵AB=3AD,AE=3AG,∴△BAE∽△DAG,∴==3,∴BE=3DG,由题意:=,=,∴=,∴=,∵tan∠BAC=tan∠EAF=,∴∠BAC=∠EAF,∴∠BAE=∠CAF,∴△BAE∽△CAF,∴==,∴=.②如图4中,连接OE,OB,OF,OC.由(2)可知,∠BOC=∠EOF,OE=OF,OB=OC,∴∠EOB=∠FOC,∴△EOB≌△FOC(SAS),∴BE=CF.同法可证△FOC∽△GOD,∴=,设EH=k,则GH=2nk,∴OG=nk,∴OF==•k,∵BE=CF,∴==.8.证明:(1)①∵四边形ABCD和四边形DEFG是正方形,∴∠A=∠ADC=∠EDG=90°,AD=CD,DE=DG,∴∠ADE=∠CDG,在△ADE和△CDG中,,∴△ADE≌△CDG(SAS),∴∠A=∠DCG=90°,∴CD⊥CG;②如图1,过点N作NP∥DE,∵四边形DEFG是正方形,∴EF=GF,∠EFH=∠GFH=45°,且HF=HF,∴△EFH≌△GFH(SAS),∴EH=GH,∠HEF=∠HGF,∵∠HEF=∠HGF,EF=GF,∠EFM=∠GFN,∴△EFM≌△GFN(ASA),∴FM=NF,EM=GN,∵tan∠HEN==,∴EF=4MF=4NF=GF,∴GM=3MF=EN=3NF,∴NP∥DE,∴△PNE∽△MFE,∴,∴PN=MF,∵NP∥DE,∴=,∴;(2)如图1,∵AD=4,AE=1,∴DE===,∴EF=GF=,∴NF=EF=,∵GN2=GF2+NF2,∴GN=,∵∴GH=GN=,∴EH=GH=若点E在点A左侧,如图2,设AB与DH于点O,过点F作FN⊥AB,∵∠DEA+∠FEB=90°,∠DEA+∠ADE=90°,∴∠ADE=∠FEB,且∠DAE=∠FNE=90°,DE=EF,∴△ADE≌△NEF(AAS)∴AE=NF=1,DA=EN=4,∴AN=3,BN=1,∵DA∥NF,∴,∴ON=,∴BO=,∴AO=∵DA∥BH,∴,∴BH=,∴EH===9.证明:(1)∵正方形ABCD,E、F分别为边AB、BC的中点,∴AD=BC=DC=AB,AE=BE=AB,BF=CF=BC,∴AE=BF,∵在△ADE和△BAF中,∴△ADE≌△BAF(SAS)∴∠BAF=∠ADE,∵∠BAF+∠DAF=90°∴∠ADE+∠DAF=90°=∠AGD,∴AF⊥DE;(2)①如图b,过点B作BN⊥AF于N,∵∠BAF=∠ADE,∠AGD=∠ANB=90°,AB=AD,∴△ABN≌△ADG(AAS)∴AG=BN,DG=GN,∵∠AGE=∠ANB=90°,∴EG∥BN,∴,且AE=BE,∴AG=GN,∴AN=2AG=DG,∵BG2=BN2+GN2=AG2+AG2,∴BG2=2AG2=2AG•AG=GA•DG;②∵AB=10,∴AE=BF=5,∴DE===5,∵×AD×AE=×DE×AG,∴AG=2,∴GN=BN=2,∴AN=DG=4,∴△DGH∽△BNH,∴==2,∴GH=2HN,且GH+HN=GN=2,∴GH=,=×GH×BN=××2=.∴S△GHB10.(1)证明:过点P作PG⊥AB于点G,如图1所示:则四边形DPGA和四边形PCBG是矩形,∴AD=PG,DP=AG,BG=PC,∵∠APB=90°,∴∠APG+∠GPB=∠GPB+∠PBG=90°,∴∠APG=∠PBG,∴△APG∽△PBG,∴=,∴PG2=AG•BG,即AD2=DP•PC;(2)解:四边形PMBN是菱形;理由如下:∵四边形ABCD是矩形,∴AB∥CD,∵BM∥PN,BN∥MP,∴四边形PMBN是平行四边形,∵DP∥AB,∴∠DPA=∠PAM,由题意可知:∠DPA=∠APM,∴∠PAM=∠APM,∵∠APB﹣∠PAM=∠APB﹣∠APM,即∠ABP=∠MPB∴AM=PM,PM=MB,∴四边形PMBN是菱形;(3)解:∵AD=3DP,∴设DP=1,则AD=3,由(1)可知:AG=DP=1,PG=AD=3,∵PG2=AG•BG,∴32=1•BG,∴BG=PC=9,AB=AG+BG=10,∵CP∥AB,∴△PCF∽△BAF,∴==,∴=,∵PM=MB,∴∠MPB=∠MBP,∵∠APB=90°,∴∠MPB+∠APM=∠MBP+∠MAP=90°,∴∠APM=∠MAP,∴PM=MA=MB,∴AM=AB=5,∵AB∥CD,∴△PCE∽△MAE,∴==,∴=,∴EF=AF﹣AE=AC﹣AC=AC,∴==.11.解:(1)由题意得:AM=t,∵PM⊥AB,∴∠PMA=90°,∵∠A=60°,∴∠APM=30°,∴PM=AM=t.∵∠C=90°,∴∠B=90°﹣∠A=30°,∴AB=2AC=4,BC=AC=2,∵MN=1,∴BN=AM﹣AM﹣1=3﹣t,∵QN⊥AB,∴QN=BN=(3﹣t);故答案为:tcm,(3﹣t)cm.(2)四边形MNQP有可能成为矩形,理由如下:由(1)得:QN=(3﹣t).由条件知,若四边形MNQP为矩形,则需PM=QN,即t=(3﹣t),∴t=.∴当t=s时,四边形MNQP为矩形;(3)由(2)知,当t=s时,四边形MNQP为矩形,此时PQ∥AB,∴△PQC∽△ABC.除此之外,当∠CPQ=∠B=30°时,△QPC∽△ABC,此时=tan30°=.∵=cos60°=,∴AP=2AM=2t.∴CP=2﹣2t.∵=cos30°=,∴BQ=(3﹣t).又∵BC=2,∴CQ=2 .∴.综上所述,当s或s时,以C,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似.12.证明:(1)∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∠A=∠BCD=∠ADC=90°,AD=BC=4,AB=CD=6,∴∠ADE+∠EDC=90°,∵DF⊥DE,∴∠EDC+∠CDF=90°,∴∠ADE=∠CDF,且∠A=∠DCF=90°,∴△DAE∽△DCF;(2)∵△DAE∽△DCF,∴,∴∴y=x+4;(3)∵四边形EBFD为轴对称图形,∴DE=BE,∵AD2+AE2=DE2,∴16+AE2=(6﹣AE)2,∴AE=,∴DE=BE=,∴cos∠AED==,故答案为:.13.(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴∠NAM=∠BMA,∵∠AMN=∠AMB,∴∠AMN=∠NAM,∴AN=MN,即△AMN是等腰三角形;(2)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,AD=BC=2,AB=CD=3,∴∠NAM=∠BMA,作NH⊥AM于H,如图所示:∵AN=MN,NH⊥AM,∴AH=AM,∵∠NHA=∠ABM=90°,∠NAM=∠BMA,∴△NAH∽△AMB,∴=,∴AN•BM=AH•AM=AM2,∴AM2=2BM•AN;(3)解:∵M为BC中点,∴BM=CM=BC=×2=1,由(2)得:AM2=2BM•AN,即:AM2=2AN,∵AM2=AB2+BM2=32+12=10,∴10=2AN,∴AN=5,∴DN=AN﹣AD=5﹣2=3,设DE=x,则CE=3﹣x,∵AN∥BC,∴△DNE∽△CME∴=,即=,解得:x=,即DE=,∴CE=DC﹣DE=3﹣=,∴ME===.14.解:(1)∵A(8,0)、C(0,6),∴OA=8,OC=6,∵四边形OABC是矩形,∴∠ABC=∠OAB=90°,BC=OA=8,AB=OC=6,∴==,故答案为:;(2)的值不发生变化,=,理由如下:∵∠OAB=∠BPQ=90°,∴∠AOB+∠BPQ=180°,∴A、B、P、Q四点共圆,∴∠PQB=∠PAB,∵∠ABC=∠BPQ=90°,∴△PBQ∽△BCA,∴==;(3)设BQ交AP于M,如图所示:在Rt△ABC中,由勾股定理得:AC===10,由折叠的性质得:BQ⊥AP,PM=AM,∴∠AMB=90°=∠ABC,∵∠BAM=∠CAB,∴△ABM∽△ACB,∴=,即=,解得:AM=3.6,∴PA=2AM=7.2,∴PC=AC﹣PA=10﹣7.2=2.8;故答案为:2.8.15.(1)证明:∵四边形OABC是矩形,A(4,0),B(4,3),∴OA=BC=4,AB=OC=3,∠AOC=90°,∴AC===5;(2)解:由题意得:BN=t,AP=t,∵=,==,∴=,∴PN∥AB,∴△CPN∽△CAB;(3)解:分两种情况:①当0<t<2时,延长NP交OA于D,如图1所示:由(2)得:PD∥AB,∴△APD∽△ACO,∴==,即==,解得:PD=t,AD=t,∴PN=3﹣t,DM=4﹣t﹣t=4﹣2t,∴△MPN的面积S=PN×DM=×(3﹣t)×(4﹣2t)=t2﹣t+6,即S=t2﹣t+6(0<t<2);②当2<t<4时,延长NP交OA于D,如图2所示:由(2)得:PD∥AB,∴△APD∽△ACO,∴==,即==,解得:PD=t,AD=t,∴PN=3﹣t,DM=t+﹣4t=2t﹣4,∴△MPN的面积S=PN×DM=×(3﹣t)×(2t﹣4)=﹣t2+t﹣6,即S=﹣t2+t﹣6(2<t<4);当S=,0<t<2时,则t2﹣t+6=,整理得:t2﹣6t+6=0,解得:t=3﹣,或t=3+(不合题意舍去),∴t=3﹣;当S=,2<t<4时,则﹣t2+t﹣6=,整理得:t2﹣6t+10=0,∵△=36﹣40<0,∴此方程无解;综上所述,当S=时,运动时间t的值为(3﹣)秒.16.解:(1)∵点E为CD中点,AB=AD=CD=2,∴DE=,∴AE===5,∵AB∥CD,∴△ABF∽△EDF,∴,∴AF=2EF,且AF+EF=5,∴AF=;(2)如图1,连接AC,∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC=CD=AD,BD=AB,AO⊥BD,AO=BO=CO=DO,∴AO=DO=BO=AB,∵tan∠AFB==2,∴OF=AO=AB,∴DF=OD﹣OF=AB,BF=OB+OF=AB,∴;(3)如图2,设AB=CD=AD=a,则BD=a,∵=x,∴DE=xa,∴S△ADE=×AD×DE=xa2,∵△ABF∽△EDF,∴=x,∴DF=x•BF,∴S△ABF=a2,∵GF=2BG,∴S2=S△ABG=S△ABF=,∵AB=CB,∠ABG=∠CBG,BG=BG,∴△ABG≌△CBG(SAS)∴S△ABG =S△CBG,∴S1=四边形AGCE的面积=a2﹣xa2﹣2×∴=﹣3x2+3x+4=﹣3(x﹣)2+∴当x=时,的最大值为.17.(1)证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C,∵∠ADC为△ABD的外角,∴∠ADE+∠EDC=∠B+∠DAB,∵∠ADE=∠B,∴∠BAD=∠CDE,又∠B=∠C,∴△ABD∽△DCE,∴=,∴AB•CE=BD•CD;(2)解:设BD=x,AE=y,由(1)得,5×(5﹣y)=x×(6﹣x),整理得,y=x2﹣x+5=(x﹣3)2+,∴AE的最小值为;(3)解:作AF⊥BE于F,则四边形ADEF为矩形,∴EF=AD=3,AF=DE,∴BF=BE﹣EF=1,设CD=x,CE=y,则AF=DE=x+y,由勾股定理得,AD2+CD2=AC2,CE2+BE2=BC2,AF2+BF2=AB2,∵△ABC为等边三角形,∴AB=AC=BC,∴32+x2=AC2,y2+42=BC2,(x+y)2+12=AC2,∴x2﹣y2=7,y2+2xy=8,解得,x=,y=,∴DE=x+y=.18.(1)证明:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∵∠APC=∠ABC+∠BAP,∠APC=∠APD+∠EPC,∠APD=∠ABC,∴∠BAP=∠EPC,∴△ABP∽△PCE,∵BC∥AD,∴△PCE∽△DAE,∴△ABP∽△DAE;(2)解:①∵△ABP∽△PCE,∴=,即=,∴y=﹣x2+x(0<x<6);②∵△ABP∽△DAE,∴=,即=,∴AD=,∵AD∥BC,∴,∵,∴,∴,即13x2+24x﹣100=0,∴x=2,(舍去)1∴.19.(1)解:在Rt△BCE中,当tan∠BEC=2,∴=2,即=2,解得,BE=2,由勾股定理得,CE===2,∵四边形ABCD为矩形,∴AB∥CD,∴∠ECH=∠BEC,∴tan∠ECH==2,即=2,∴EH=4,∴CH==10;(2)证明:∵∠FEG=∠FDH=90°,∠EFG=∠DFH,∴△EFG∽△DFH,∴=,∴DF•FG=HF•EF;(3)证明:∵△EFG∽△DFH,∴∠CGD=∠CHE,又∠GCD=∠HCE,∴△GCD∽△HCE,∴=,又∠GCD=∠HCE,∴△CDE∽△CGH,∴∠CDE=∠CGH.20.解:(1)AB=2,BC=1,AD=4,由勾股定理得,AC==,CD==,AE==2,CE==5,===,∴△ABC∽△EAC,∴四边形ABCE是“友好四边形”,≠,∴△ABC与△ACD不相似,∴四边形ABCD不是“友好四边形”,故答案为:四边形ABCE;(2)证明:根据旋转的性质得,∠A'CB'=∠ACB,∠CA'B'=∠CAB,∵AD∥A'B',∴∠CA'B'=∠D,∴∠CAB=∠D,又∠A'CB'=∠ACB,∴△ABC∽△DAC,∴四边形ABCD是“友好四边形”;(3)如图3,过点A作AM⊥BC于M,在Rt△ABM中,AM=AB•sin∠ABC=AB,∵△ABC的面积为6,∴BC×AB=6,∴BC×AB=24,∵四边形ABCD是被BD分割成的“友好四边形”,且AB≠BC,∴△ABD∽△DBC∴,∴BD2=AB×BC=24,∴BD==2.。
2019年中考数学二轮复习几何探究题(压轴题)综合练习1. (1)阅读理解:如图①,在△ABC中,若AB=10,AC=6,求BC边上的中线AD的取值范围.解决此问题可以用如下方法:延长AD到点E使DE=AD,再连接BE(或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD).把AB,AC,2AD集中在△ABE中,利用三角形三边的关系即可判断.中线AD的取值范围是________;(2)问题解决:如图②,在△ABC中,D是BC边上的中点,DE⊥DF于点D,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF.求证:BE+CF>EF;(3)问题拓展:如图③,在四边形ABCD中,∠B+∠D=180°,CB=CD,∠BCD=140°,以C为顶点作一个70°角,角的两边分别交AB,AD于E,F两点,连接EF,探索线段BE,DF,EF之间的数量关系,并加以证明.2.如图①,②,③分别以△ABC的AB和AC为边向△ABC外作正三角形(等边三角形)、正四边形(正方形)、正五边形,BE和CD相交于点O.(1)在图①中,求证:△ABE≌△ADC.(2)由(1)证得△ABE≌△ADC,由此可推得在图①中∠BOC=120°,请你探索在图②中∠BOC的度数,并说明理由或写出证明过程.(4)由此推广到一般情形(如图④),分别以△ABC 的AB 和AC 为边向△ABC 外作正n 边形,BE 和CD 仍相交于点O ,猜想∠BOC 的度数为____________________(用含n 的式子表示).图① 图② 图③ 图④3.已知正方形ABCD 的边长为1,点P 为正方形内一动点,若点M 在AB 上,且满足△PBC ∽△PAM ,延长BP 交AD 于点N ,连接CM.(1)如图①,若点M 在线段AB 上,求证:AP ⊥BN ;AM =AN.(2)①如图②,在点P 运动过程中,满足△PBC ∽△PAM 的点M 在AB 的延长线上时,AP ⊥BN 和AM =AN 是否成立(不需说明理由)?②是否存在满足条件的点P ,使得PC =12?请说明理由.4. 如图①,△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,AB=AC,四边形ADEF是正方形,点B、C分别在边AD、AF上,此时BD=CF,BD⊥CF成立.(1)当△ABC绕点A逆时针旋转θ(0°<θ<90°)时,如图②,BD=CF成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.(2)当△ABC绕点A逆时针旋转45°时,如图③,延长DB交CF于点H.①求证:BD⊥CF;②当AB=2,AD=32时,求线段DH的长.图①图②图③5. 已知矩形ABCD中AD=8,将矩形ABCD折叠,使得顶点B落在CD边上的P点处.(1)如图①,已知折痕与边BC交于点O,连接AP、OP、OA,若△OCP与△PDA的面积比为1∶ 4,求边CD的长;(2)如图②,在(1)的条件下擦去AO、OP,连接BP,动点M在线段AP上(点M不与点P、A重合),动点N在线段AB的延长线上,且BN=PM,连接MN交PB于点F,作ME⊥BP于点E,试问当点M、N在移动过程中,线段EF的长度是否发生变化?若变化,说明变化规律,若不变,求出线段EF的长度.图①图②6. 如图①,矩形ABCD 中,AB =2,BC =5,BP =1,∠MPN =90°,将∠MPN 绕点P 从PB 处开始按顺时针方向旋转,PM 交边AB(或AD)于点E ,PN 交边AD(或CD)于点F ,当PN 旋转至PC 处时,∠MPN 的旋转随即停止.(1)特殊情形:如图②,发现当PM 过点A 时,PN 也恰好过点D , 此时,△ABP________△PCD(填“≌”或“∽”);(2)类比探究:如图③,在旋转过程中,PEPF 的值是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由;(3)拓展延伸:设AE =t ,△EPF 的面积为S ,试确定S 关于t 的函数关系式;当S =4.2时,求所对应的t 值.7. 阅读理解:我们知道,四边形具有不稳定性,容易变形.如图①,一个矩形发生变形后成为一个平行四边形,设这个平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角为α,我们把1sinα的值叫做这个平行四边形的变形度.(1)若矩形发生形变后的平行四边形有一个内角是120°,则这个平行四边形的变形度是________;猜想证明:(2)设矩形的面积为S1,其变形后的平行四边形面积为S2,试猜想S1,S2,1sinα之间的数量关系,并说明理由;拓展探究:(3)如图②,在矩形ABCD中,E是AD边上的一点,且AB2=AE·AD,这个矩形发生变形后为平行四边形A1B1C1D1,E1为E的对应点,连接B1E1,B1D1,若矩形ABCD的面积为4m(m>0),平行四边形A1B1C1D1的面积为2m(m>0),试求∠A1E1B1+∠A1D1B1的度数.8. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=5 cm,∠BAC=60°,动点M从点B出发,在BA边上以每秒2 cm的速度向点A匀速运动,同时动点N从点C出发,在CB边上以每秒 3 cm的速度向点B匀速运动,设运动时间为t秒(0≤t≤5),连接MN.(1)若BM=BN,求t的值;(2)若△MBN与△ABC相似,求t的值;(3)当t为何值时,四边形ACNM的面积最小?并求出最小值.9. 已知:如图,在矩形ABCD中,AB=6 cm,BC=8 cm.对角线AC,BD交于点O,点P从点A出发,沿AD方向匀速运动,速度为1 cm/s;同时,点Q从点D出发,沿DC方向匀速运动,速度为1 cm/s;当一个点停止运动时,另一个点也停止运动.连接PO并延长,交BC于点E,过点Q作QF∥AC,交BD 于点F.设运动时间为t(s)(0<t<6),解答下列问题:(2)设五边形OECQF 的面积为S(cm 2),试确定S 与t 的函数关系式;(3)在运动过程中,是否存在某一时刻t ,使S 五边形OECQF ∶S △ACD =9∶16?若存在,求出t 的值;若不存在,请说明理由;(4)在运动过程中,是否存在某一时刻t ,使OD 平分∠COP ?若存在,求出t 值;若不存在,请说明理由.10. 如图,已知一个直角三角形纸片ACB ,其中∠ACB =90°,AC =4,BC =3,E 、F 分别是AC 、AB 边上的点,连接EF.(1)如图①,若将纸片ACB 的一角沿EF 折叠,折叠后点A 落在AB 边上的点D 处,且使S 四边形ECBF =3S △EDF ,求AE 的长;(2)如图②,若将纸片ACB 的一角沿EF 折叠,折叠后点A 落在BC 边上的点M 处,且使MF ∥CA. ①试判断四边形AEMF 的形状,并证明你的结论; ②求EF 的长;(3)如图③,若FE 的延长线与BC 的延长线交于点N ,CN =1,CE =47,求AFBF的值.11. 已知AC ,EC 分别为四边形ABCD 和EFCG 的对角线,点E 在△ABC 内,∠CAE +∠CBE =90°. (1)如图①,当四边形ABCD 和EFCG 均为正方形时,连接BF. ①求证:△CAE ∽△CBF ;②若BE =1,AE =2,求CE 的长;(2)如图②,当四边形ABCD 和EFCG 均为矩形,且AB BC =EFFC =k 时,若BE =1,AE =2,CE =3,求k 的值;(3)如图③,当四边形ABCD 和EFCG 均为菱形,且∠DAB =∠GEF =45°时,设BE =m ,AE =n ,CE =p ,试探究m ,n ,p 三者之间满足的等量关系(直接写出结果,不必写出解答过程).12. 如图①,菱形ABCD 中,已知∠BAD =120°,∠EGF =60°,∠EGF 的顶点G 在菱形对角线AC 上运动,角的两边分别交边BC 、CD 于点E 、F.图①(1)如图②,当顶点G 运动到与点A 重合时,求证:EC +CF =BC ; (2)知识探究:①如图③,当顶点G 运动到AC 中点时,探究线段EC 、CF 与BC 的数量关系;②在顶点G 的运动过程中,若ACCG =t ,请直接写出线段EC 、CF 与BC 的数量关系(不需要写出证明过程);(3)问题解决:如图④,已知菱形边长为8,BG =7,CF =65,当t >2时,求EC 的长度.13.某数学兴趣小组在数学课外活动中,研究三角形和正方形的性质时,做了如下探究:在△ABC 中,∠BAC =90°,AB =AC ,点D 为直线BC 上一动点(点D 不与B ,C 重合),以AD 为边在AD 右侧作正方形ADEF ,连接CF.(1)观察猜想如图①,当点D 在线段BC 上时,①BC 与CF 的位置关系为:____________. ②BC ,CD ,CF 之间的数量关系为:____________(将结论直接写在横线上).(2)数学思考如图②,当点D 在线段CB 的延长线上时,结论①,②是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立,请你写出正确结论再给予证明. (3)拓展延伸如图③,当点D 在线段BC 的延长线上时,延长BA 交CF 于点G ,连接GE.若已知AB =22,CD =14BC ,请求出GE 的长.14. 在△ABC中,AB=6,AC=BC=5,将△ABC绕点A按顺时针方向旋转,得到△ADE,旋转角为α(0°<α<180°),点B的对应点为点D,点C的对应点为点E,连接BD,BE.(1)如图,当α=60°时,延长BE交AD于点F.①求证:△ABD是等边三角形;②求证:BF⊥AD,AF=DF;③请直接..写出BE的长;(2)在旋转过程中,过点D作DG垂直于直线AB,垂足为点G,连接CE,当∠DAG=∠ACB,且线段DG与线段AE无公共点时,请直接..写出BE+CE的值.温馨提示:考生可以根据题意,在备用图中补充图形,以便作答.备用图15.问题情境在综合与实践课上,老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动.如图①,将一张菱形纸片ABCD(∠BAD>90°)沿对角线AC剪开,得到△ABC和△ACD.操作发现(1)将图①中的△ACD以A为旋转中心,按逆时针方向旋转角α,使α=∠BAC,得到如图②所示的△AC′D,分别延长BC和DC′交于点E,则四边形ACEC′的形状是________;(2)创新小组将图①中的△ACD以A为旋转中心,按逆时针方向旋转角α,使α=2∠BAC,得到如图③所示的△AC′D,连接DB、C′C,得到四边形BCC′D,发现它是矩形.请你证明这个结论;实践探究(3)缜密小组在创新小组发现结论的基础上,量得图③中BC=13 cm,AC=10 cm,然后提出一个问题:将△AC′D沿着射线DB方向平移a cm,得到△A′C″D′,连接BD′,CC″,使四边形BCC″D′恰好为正方形,求a的值.请你解答此问题;(4)请你参照以上操作,将图①中的△ACD在同一平面内进行一次平移,得到△A′C′D,在图④中画出平移后构造出的新图形,标明字母,说明平移及构图方法,写出你发现的结论,不必证明.CB 上,且CD ∶DB =2∶1,OB 交AD 于点E ,平行于x 轴的直线l 从原点O 出发,以每秒1个单位长度的速度沿y 轴向上平移,到C 点时停止;l 与线段OB ,AD 分别相交于M ,N 两点,以MN 为边作等边△MNP(点P 在线段MN 的下方),设直线l 的运动时间为t(秒),△MNP 与△OAB 重叠部分的面积为S(平方单位). (1)直接写出点E 的坐标; (2)求S 与t 的函数关系式;(3)是否存在某一时刻t ,使得S =12S △ABD 成立?若存在,请求出此时t 的值;若不存在,请说明理由.备用图17. 已知点O 是△ABC 内任意一点,连接OA 并延长到E ,使得AE =OA ,以OB ,OC 为邻边作▱OBFC ,连接OF ,与BC 交于点H ,再连接EF.(1)如图①,若△ABC 为等边三角形,求证:①EF ⊥BC ;②EF =3BC ;(2)如图②,若△ABC 为等腰直角三角形(BC 为斜边),猜想(1)中的两个结论是否成立?若成立,直接写出结论即可;若不成立,请你直接写出你的猜想结果;18. 如图①,在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,AC=1,D为AB的中点,EF为△ACD的中位线,四边形EFGH为△ACD的内接矩形(矩形的四个顶点均在△ACD的边上).(1)计算矩形EFGH的面积;(2)将矩形EFGH沿AB向右平移,F落在BC上时停止移动.在平移过程中,当矩形与△CBD重叠部分的面积为316时,求矩形平移的距离;(3)如图③,将(2)中矩形平移停止时所得的矩形记为矩形E1F1G1H1,将矩形E1F1G1H1绕G1点按顺时针方向旋转,当H1落在CD上时停止转动,旋转后的矩形记为矩形E2F2G1H2,设旋转角为α,求cosα的值.参考答案1. (1)解:如图①中,∵AB=10,AC=6,AD是BC边上中线,由旋转性质知,BE=AC=6,AD=DE.∴在△ABE中,10-6<AE<10+6,即4<2AD<16,∴2<AD<8;(2)证明:延长FD至M,使FD =MD ,连接ME ,MB.如图①所示. ∵ED ⊥FM ,FD =DM , ∴ME =EF.∵CD =BD ,∠CDF =∠BDM , ∴△CDF ≌△BDM(SAS ), ∴CF =BM.∵BM +BE>ME ,∴BE +CF>EF;(3)解:BE +DF =EF. 理由:延长EB 至点N ,使BN =DF ,图②连接CN ,如图②所示.∵∠EBC +∠D =180°,∠EBC +∠CBN =180° ∴∠D =∠CBN ,∴在△CDF 和△CBN 中, ⎩⎪⎨⎪⎧DF =BN ∠D =∠CBN DC =BC, ∴△CDF ≌△CBN(SAS ),∴CF =CN.∵∠BCD =140°,∠ECF =70°, ∴∠DCF +∠BCE =70°,∴∠BCN +∠BCE =70°,即∠NCE =70°, ∴在△ECF 和△ECN 中, ⎩⎪⎨⎪⎧CF =CN ∠ECF =∠ECN CE =CE, ∴△ECF ≌△ECN(SAS ), ∴EF =EN.∵EB +BN =EN ,∴BE +DF =EF.2. (1)证明:∵△ABD 、△ACE 是等边三角形, ∴AB =AD ,AC =AE ,∠CAE =∠DAB =60°,∴∠CAE +∠BAC =∠DAB +∠BAC ,即∠BAE =∠DAC , 在△ABE 和△ADC 中, ⎩⎪⎨⎪⎧AB =AD ∠BAE =∠DAC AE =AC,(2)解:∠BOC =90°.理由如下: 由(1)得△ABE ≌△ADC ,∴∠EBA =∠CDA.∵∠FBA +∠FDA =180°,∴∠FBA -∠EBA +∠FDA +∠CDA =180°, 即∠FBO +∠FDO =180°.在四边形FBOD 中,∠F =90°,∴∠DOB =360°-∠F -(∠FBO +∠FDO)=90°, ∴∠BOC =90°. (3)解:72°.【解法提示】∠BOC =180°-108°=72°. (4)解:180°-180°·(n -2)n. 【解法提示】由(3)可知,∠BOC 度数应为180°减去正多边形内角度数. 3. (1)证明:∵△PBC ∽△PAM , ∴∠PBC =∠PAM.∵四边形ABCD 是正方形,∴∠PBC +∠PBA =∠CBA =90°, ∴∠PAM +∠PBA =90°, ∴∠APN =90°,即AP ⊥BN , ∴∠BPA =∠BAN =90°. ∵∠ABP =∠NBA ,∴△ABP ∽△NBA ,PB AB =PAAN , ∴AN AB =PA PB .又∵△PAM ∽△PBC , ∴PA PB =AM BC , 故AN AB =AM BC . 又∵AB =BC ,∴AM =AN ;(2)解:①点M 在AB 的延长线上时,AP ⊥BN 和AM =AN 仍然成立;②不存在,理由如下:选择图②,如图,以AB 为直径,作半圆O ,连接OC ,OP ,∵BC =1,OB =12, ∴OC =52.∵由①知,AP ⊥BN ,∴点P 一定在以点O 为圆心、半径长为12的半圆上(A ,B 两点除外). 如果存在点P ,那么OP +PC ≥OC ,则PC ≥5-12.∵5-12>12,故不存在满足条件的点P ,使得PC =12.4. (1)解:BD =CF 成立.理由如下:∵AC =AB ,∠CAF =∠BAD =θ,AF =AD , ∴△ACF ≌△ABD ,∴CF =BD.(2)①证明:由(1)得,△ACF ≌△ABD , ∴∠HFN =∠ADN , 在△HFN 与△ADN 中,∵∠HFN =∠ADN ,∠HNF =∠AND , ∴∠NHF =∠NAD =90°, ∴HD ⊥HF ,即BD ⊥CF.②解:如图,连接DF ,延长AB ,与DF 交于点M , 在△MAD 中,∵∠MAD =∠MDA =45°, ∴∠BMD =90°.在Rt △BMD 与Rt △FHD 中, ∵∠MDB =∠HDF , ∴△BMD ∽△FHD.∵AB =2,AD =32,四边形ADEF 是正方形, ∴MA =MD =322=3,∴MB =MA -AB =3-2=1,BD =MB 2+MD 2=12+32=10, 又∵MD HD =BD FD ,即3HD =106, ∴DH =9105.5. 解:(1)由矩形性质与折叠可知,∠APO =∠B =∠C =∠D =90°, ∴∠CPO +∠DPA =∠DPA +∠DAP =90°, ∴∠DAP =∠CPO , ∴△OCP ∽△PDA , ∴S △OCP S △PDA=(CP DA )2,即14=(CP8)2, ∴CP =4,∵AP 2-DP 2=AD 2, ∴x 2-(x -4)2=82, 解得x =10, 故CD =10.(2)线段EF 的长度始终不发生变化,为2 5.证明:如图,过点N 作NG ⊥PB ,与PB 的延长线相交于点G , ∵AB =AP ,∴∠APB =∠ABP =∠GBN , 在△PME 和△BNG 中, ⎩⎪⎨⎪⎧∠MEP =∠NGB =90°∠MPE =∠NBG MP =NB, ∴△PME ≌△BNG(AAS ), ∴ME =NG ,PE =BG , 在△FME 和△FNG 中, ⎩⎪⎨⎪⎧∠MEF =∠NGF ∠MFE =∠NFG ME =NG, ∴△FME ≌△FNG(AAS ), ∴EF =GF , ∴EF =12EG ,∵BP =BE +EP =BE +GB =EG , ∴EF =12BP ,∵BP =BC 2+CP 2=82+42=45, ∴EF =12BP =2 5.6. 解:(1)△ABP ∽△PCD.【解法提示】∵∠MPN =90°, ∴∠APB +∠DPC =90°, ∵∠B =90°,∴∠APB +∠BAP =90°, ∴∠DPC =∠BAP , 又∵∠B =∠C =90°, ∴△ABP ∽△PCD.(2)在旋转过程中,PE的值为定值.如图,过点F 作FG ⊥BC ,垂足为G.类比(1)可得:△EBP ∽△PGF , ∴EP PF =PB FG ,∵∠A =∠B =∠FGB =90°, ∴四边形ABGF 是矩形, ∴FG =AB =2, ∵BP =1, ∴PE PF =12,即在旋转过程中,PE PF 的值为定值12. (3)由(2)知△EBP ∽△PGF , ∴EB PG =BP GF =12,又∵AE =t , ∴BE =2-t ,∴PG =2(2-t)=4-2t ,∴AF =BG =BP +PG =1+(4-2t)=5-2t , ∴S =S 矩形ABGF -S △AEF -S △BEP -S △PFG=2(5-2t)-12t(5-2t)-12×1×(2-t)-12×2×(4-2t) =t 2-4t +5,即S =t 2-4t +5(0≤t ≤2), 当S =4.2时,4.2=t 2-4t +5,解得:t 1=2-455,t 2=2+455(不合题意,舍去). ∴t 的值是2-45 5. 7. 解:(1)233.【解法提示】sin 120°=32,故这个平行四边形的变形度是233. (2)1sin α=S 1S 2,理由如下: 如图,设矩形的长和宽分别为a ,b ,其变形后的平行四边形的高为h ,则S 1=ab ,S 2=ah ,sin α=hb ,∴S 1S 2=ab ah =b h ,又∵1sin α=b h ,∴1sin α=S 1S 2. (3)由AB 2=AE·AD ,可得A 1B 21=A 1E 1·A 1D 1,即A 1B 1A 1D 1=A 1E 1A 1B 1. 又∵∠B 1A 1E 1=∠D 1A 1B 1, ∴△B 1A 1E 1∽△D 1A 1B 1, ∴∠A 1B 1E 1=∠A 1D 1B 1, ∵A 1D 1∥B 1C 1,∴∠A 1E 1B 1=∠C 1B 1E 1,∴∠A 1E 1B 1+∠A 1D 1B 1=∠C 1B 1E 1+∠A 1B 1E 1=∠A 1B 1C 1. 由(2)结论1sin α=S 1S 2,可得1sin ∠A 1B 1C 1=4m2m=2,∴sin ∠A 1B 1C 1=12, ∴∠A 1B 1C 1=30°, ∴∠A 1E 1B 1+∠A 1D 1B 1=30°.8. 解:(1)根据题意BM =2t ,BN =BC -3t , 而BC =5×tan 60°=5 3.∴当BM =BN 时,2t =53-3t ,解得t =103-15. (2)分类讨论:①当∠BMN =∠ACB =90°时,如图①, △NBM ∽△ABC ,cos B =cos 30°=BMBN , ∴2t 53-3t=32,解得t =157.②当∠BNM =∠ACB =90°时,如图②, △MBN ∽△ABC ,cos B =cos 30°=BNBM , ∴53-3t 2t =32,解得t =52.因此当运动时间是157秒或52秒时,△MBN 与△ABC 相似.(3)由于△ABC 面积是定值,∴当四边形ACNM 面积最小时,△MBN 面积最大,而△MBN 的面积是S =12BM ×BN ×sin B =12×2t ×(53-3t)×12=-32t 2+532t , 由于a =-32<0,∴当t =-5322×(-32)=52时,△MBN 面积最大,最大值是-32×(52)2+532×52=2538,因此四边形ACNM 面积最小值是12×5×53-2538=7538. 9. (1)分三种情况: ①若AP =AO ,在矩形ABCD 中,∵AB =6,BC =8, ∴AC =10, ∴AO =CO =5, ∴AP =5, ∴t =5,②若AP =PO =t , 在矩形ABCD 中, ∵AD ∥BC ,∴∠PAO =∠OCE ,∠APO =∠OEC , 又∵OA =OC , ∴△APO ≌△CEO ,∴PO =OE =t.作AG ∥PE 交BC 于点G ,则四边形APEG 是平行四边形, ∴AG =PE =2t ,GE =AP =t. 又∵EC =AP =t ,∴BG =8-2t.在Rt △ABG 中,根据勾股定理知62+(8-2t)2=(2t)2, 解得t =258.③若OP =AO =5,则t =0或t =8,不合题意,舍去. 综上可知,当t =5或t =258时,△AOP 是等腰三角形. (2)如解图②,作OM ⊥BC ,垂足是M ,作ON ⊥CD ,垂足是N.图②则OM =12AB =3,ON =12BC =4,∴S △OEC =12·CE·OM =12·t·3=32t , S △OCD =12·CD·ON =12·6·4=12. ∵QF ∥AC ,∴△DFQ ∽△DOC , ∴S △DFQ S △DOC=(DQ DC )2,即S △DFQ 12=(t6)2, ∴S △DFQ =13t 2, ∴S 四边形OFQC =12-13t 2,∴S 五边形OECQF =S 四边形OFQC +S △OEC =12-13t 2+32t , 即S =-13t 2+32t +12(0<t <6).(3)存在.理由如下:要使S 五边形OECQF :S △ACD =9∶16, 即(-13t 2+32t +12)∶(12×6×8)=9∶16,解得t 1=3,t 2=1.5,两个解都符合题意,∴存在两个t 值,使S 五边形OECQF ∶S △ACD =9∶16,此时t 1=3,t 2=1.5; (4)存在.理由如下:如解图③,作DI ⊥OP ,垂足是I ,DJ ⊥OC ,垂足是J ,图③作AG ∥PE 交BC 于点G.∵S △OCD =12·OC·DJ =12·5·DJ ,且由(2)知,S △OCD =12, ∴DJ =245.∵OD 平分∠POC ,DI ⊥OP ,DJ ⊥OC , ∴DI =DJ =245=4.8. ∵AG ∥PE , ∴∠DPI =∠DAG. ∵AD ∥BC ,∴∠DAG =∠AGB , ∴∠DPI =∠AGB ,∴Rt △ABG ∽Rt △DIP .由(1)知,在Rt △ABG 中,BG =8-2t , ∴AB DI =BG IP ,∴64.8=8-2t IP , ∴IP =45(8-2t).在Rt △DPI 中,根据勾股定理得 (245)2+[45(8-2t)]2=(8-t)2, 解得t =11239.(t =0不合题意,舍去)10. 解:(1)∵折叠后点A 落在AB 边上的点D 处, ∴EF ⊥AB ,△AEF ≌△DEF , ∴S △AEF =S △DEF .∵S 四边形ECBF =3S △EDF ,∴S 四边形ECBF =3S △AEF .∵S △ACB =S △AEF +S 四边形ECBF ,∴S △ACB =S △AEF +3S △AEF =4S △AEF , ∴S △AEF S △ACB =14. ∵∠EAF =∠BAC ,∠AFE =∠ACB =90°, ∴△AEF ∽△ABC , ∴S △AEF S △ABC =(AE AB )2, ∴(AE AB )2=14. 在Rt △ACB 中,∵∠ACB =90°,AC =4,BC =3, ∴AB =42+32=5, ∴(AE 5)2=14,∴AE =52.(2)图①①四边形AEMF 是菱形.证明:如解图①,∵折叠后点A 落在BC 边上的点M 处, ∴∠CAB =∠EMF ,AE =ME , 又∵MF ∥CA ,∴∠CEM =∠EMF , ∴∠CAB =∠CEM , ∴EM ∥AF ,∴四边形AEMF 是平行四边形.又∵AE =ME ,∴四边形AEMF 是菱形.②如解图①,连接AM ,AM 与EF 交于点O ,设AE =x ,则ME =AE =x ,EC =4-x. ∵∠CEM =∠CAB ,∠ECM =∠ACB =90°, ∴△ECM ∽△ACB. ∴EC AC =EMAB , ∵AB =5,AC =4, ∴4-x 4=x5, 解得x =209,∴AE =ME =209,EC =169.在Rt △ECM 中,∵∠ECM =90°,∴CM 2=EM 2-EC 2, 即CM =EM 2-EC 2=(209)2-(169)2=43. ∵四边形AEMF 是菱形,∴OE =OF ,OA =OM ,AM ⊥EF , ∴S 菱形AEMF =4S △AOE =2OE·AO. 在Rt △AOE 和Rt △ACM 中, ∵tan ∠EAO =tan ∠MAC , ∴OE AO =CM AC. ∵CM =43,AC =4,∴AO =3OE ,∴S 菱形AEMF =6OE 2. 又∵S 菱形AEMF =AE·CM , ∴6OE 2=209×43,∴OE =2109,∴EF =4109. (3)如图②,图②过点F 作FH ⊥CB 于点H ,在Rt △NCE 和Rt △NHF 中, ∵tan ∠ENC =tan ∠FNH ,∴EC NC =FH NH, ∵NC =1,EC =47,∴FH NH =47, 设FH =x ,则NH =74x ,∴CH =NH -NC =74x -1.∵BC =3,∴BH =BC -CH =3-(74x -1)=4-74x.在Rt △BHF 和Rt △BCA 中,∵tan ∠FBH =tan ∠ABC , ∴HF BH =CA BC , ∴x4-74x =43, 解得x =85,∴HF =85.∵∠B =∠B ,∠BHF =∠BCA =90°, ∴△BHF ∽△BCA , ∴HF CA =BFBA,即HF·BA =CA·BF , ∴85×5=4BF , ∴BF =2,∴AF =AB -BF =3, ∴AF BF =32. 11. (1)①证明:如图①, ∵∠ACE +∠ECB =45°,∠BCF +∠ECB =45°,图①∴∠ACE =∠BCF ,又∵四边形ABCD 和EFCG 是正方形, ∴AC BC =CECF=2, ∴△CAE ∽△CBF.②解:∵AE BF =ACBC =2,AE =2,∴BF =AE2=2,由△CAE ∽△CBF 可得∠CAE =∠CBF , 又∵∠CAE +∠CBE =90°, ∴∠CBF +∠CBE =90°,即∠EBF =90°, 由CE 2=2EF 2=2(BE 2+BF 2)=6,图② 解得CE = 6.(2)解:连接BF ,如图②,同(1)证△CAE ∽△CBF ,可得∠EBF =90°,AC BC =AE BF, 由AB BC =EFFC=k ,可得BC ∶AB ∶AC =1∶k ∶k 2+1, CF ∶EF ∶EC =1∶k ∶k 2+1,∴CE EF =ACAB =k 2+1k ,AE BF =AC BC=k 2+1, ∴EF =kCE k 2+1,EF 2=k 2CE 2k 2+1,BF =AE k 2+1,BF 2=AE 2k 2+1,∴CE 2=k 2+1k 2×EF 2=k 2+1k2(BE 2+BF 2), ∴32=k 2+1k 2(12+22k 2+1), 解得k =104. (3)解:p 2-n 2=(2+2)m 2.【解法提示】如图③,连接BF ,同(1)证△CAE ∽△CBF ,可得∠EBF =90°, 过点C 作CH ⊥AB 交AB 延长线于点H , 类比第(2)问得AB 2∶BC 2∶AC 2=1∶1∶(2+2),图③EF 2∶FC 2∶EC 2=1∶1∶(2+2), ∴p 2=(2+2)EF 2 =(2+2)(BE 2+BF 2)=(2+2)(m 2+n 22+2)=(2+2)m 2+n 2,∴p 2-n 2=(2+2)m 2.12. (1)证明:∵四边形ABCD 是菱形,∠BAD =120°,∴∠BAC =60°,∠B =∠ACF =60°,AB =BC , ∴AB =AC ,∵∠BAE +∠EAC =∠EAC +∠CAF =60°, ∴∠BAE =∠CAF , 在△BAE 和△CAF 中, ⎩⎪⎨⎪⎧∠BAE =∠CAF AB =AC ∠B =∠ACF, ∴△BAE ≌△CAF(ASA ), ∴BE =CF ,∴EC +CF =EC +BE =BC , 即EC +CF =BC ;(2)解:①线段EC ,CF 与BC 的数量关系为:EC +CF =12BC.理由如下:如图①,过点A 作AE′∥EG ,AF ′∥GF ,分别交BC 、CD 于E′、F′.图①类比(1)可得:E′C +CF′=BC , ∵G 为AC 中点,AE ′∥EG , ∴CE CE′=CG AC =12, ∴CE =12CE′,同理可得:CF =12CF′,∴CE +CF =12CE′+12CF′=12(CE′+CF′)=12BC ,即CE +CF =12BC ;②CE +CF =1tBC ;【解法提示】类比(1)可得:E′C +CF′=BC , ∵AE ′∥EG ,ACCG =t ,∴CE CE′=CG AC =1t, ∴CE =1t CE′,同理可得:CF =1tCF′,∴CE +CF =1t CE′+1t CF′=1t (CE′+CF′)=1t BC ,即CE +CF =1tBC.(3)解:如图②,连接BD 与AC 交于点H.图②在Rt △ABH 中,∵AB =8,∠BAC =60°, ∴BH =AB·sin 60°=8×32=43, AH =CH =AB·cos 60°=8×12=4,∴GH =BG 2-BH 2=72-(43)2=1, ∴CG =4-1=3, ∴CG AC =38, ∴t =83(t >2),由(2)②得:CE +CF =1t BC ,∴CE =1t BC -CF =38×8-65=95.∴EC 的长度为95.13. (1)解:①BC ⊥CF ;②BC =CD +CF. 【解法提示】①∵∠BAC =∠DAF =90°, ∴∠BAD =∠CAF ,又∵AB =AC ,AD =AF , ∴△ABD ≌△ACF , ∴∠ACF =∠ABC =45°, ∵∠ACB =45°, ∴∠BCF =90°,即BC ⊥CF ; ②∵△ABD ≌△ACF , ∴BD =CF ,∵BC =CD +BD ,∴BC =CD +CF.(2)解:结论①仍然成立,②不成立. ①证明:∵∠BAC =∠DAF =90°, ∴∠BAD =∠CAF ,又∵AB =AC ,AD =AF , ∴△ABD ≌△ACF ,∴∠ACF =∠ABD =180°-45°=135°, ∵∠ACB =45°, ∴∠BCF =90°,即BC ⊥CF ; ②结论为:BC =CD -CF. 证明:∵△ABD ≌△ACF , ∴BD =CF ,∵BC =CD -BD ,∴BC =CD -CF.(3)解:如图,过点E 作EM ⊥CF 于M ,作EN ⊥BD 于点N ,过点A 作AH ⊥BD 于点H. ∵AB =AC =22,∴BC =4,AH =12BC =2,∵CD =14BC ,∴CD =1,∵∠BAC =∠DAF =90°, ∴∠BAD =∠CAF ,又∵AB =AC ,AD =AF , ∴△ABD ≌△ACF , ∴∠ACF =∠ABC =45°, ∵∠ACB =45°, ∴∠BCF =90°,∴CN =ME ,CM =EN , ∴∠AGC =∠ABC =45°, ∴CG =BC =4, ∵∠ADE =90°,∴∠ADH +∠EDN =∠EDN +∠DEN =90°, ∴∠ADH =∠DEN ,又∵∠AHC =∠DNE =90°,AD =DE , ∴△AHD ≌△DNE ,∴DN =AH =2,EN =DH =3, ∴CM =EN =3,ME =CN =3, 则GM =CG -CM =4-3=1,∴EG =EM 2+GM 2=10.14. (1)①证明:∵△ABC 绕点A 顺时针方向旋转60°得到△ADE , ∴AB =AD ,∠BAD =60°, ∴△ABD 是等边三角形;②证明:由①得△ABD 是等边三角形, ∴AB =BD ,∵△ABC 绕点A 顺时针方向旋转60°得到△ADE , ∴AC =AE ,BC =DE ,∴EA =ED ,∴点B ,E 在AD 的中垂线上, ∴BE 是AD 的中垂线, ∵点F 在BE 的延长线上, ∴BF ⊥AD ,AF =DF ; ③解:BE 的长为33-4;【解法提示】由②知AF =12AD =12AB =3,AE =AC =5,BF ⊥AD ,由勾股定理得EF =AE 2-AF 2=4.在等边△ABD 中,AB =6,BF ⊥AD , ∴BF =32AB =33,∴BE =33-4. (2)解:BE +CE 的值为13;【解法提示】如图, ∵∠DAG =∠ACB ,∴∠DAB =2∠CAB. ∵∠DAE =∠CAB , ∴∠BAE =∠CAB , ∴∠BAE =∠CBA , ∴AE ∥BC ,∵AE =AC =BC ,∴四边形ACBE 是菱形,∴CE 垂直平分AB ,BE =AC =5.设CE 交AB 于M ,则CM ⊥AB ,CM =EM ,AM =BM , ∴在Rt △ACM 中,AC =5,AM =3, 由勾股定理得CM =4, ∴CE =8,∴CE +BE =13. 15. (1)解:菱形.(2)证明:如解图①,作AE ⊥CC′于点E , 由旋转得AC′=AC ,∴∠CAE =∠C′AE =12α=∠BAC ,图①∴BA =BC ,BC =DC′, ∴∠BCA =∠BAC , ∴∠CAE =∠BCA , ∴AE ∥BC , 同理AE ∥DC′, ∴BC ∥DC ′,∴四边形BCC′D 是平行四边形, 又∵AE ∥BC ,∠CEA =90°, ∴∠BCC ′=180°-∠CEA =90°,∴四边形BCC′D 是矩形.(3)解:如解图①,过点B 作BF ⊥AC 于点F , ∵BA =BC ,∴CF =AF =12AC =12×10=5.在Rt △BCF 中,BF =BC 2-CF 2=132-52=12. 在△ACE 和△CBF 中,∵∠CAE =∠BCF ,∠CEA =∠BFC =90°, ∴△ACE ∽△CBF , ∴CE BF =AC BC ,即CE 12=1013, 解得CE =12013.∵AC =AC′,AE ⊥CC ′, ∴CC′=2CE =2×12013=24013.当四边形BCC″D′恰好为正方形时,分两种情况: ①点C″在边CC′上,a =CC′-13=24013-13=7113,②点C″在边C′C 的延长线上,a =CC′+13=24013+13=40913.综上所述,a 的值为7113或40913.图②(4)解:答案不唯一,例:画出正确图形如图②所示.平移及构图方法:将△ACD 沿着射线CA 方向平移,平移距离为12AC 的长度,得到△A′C′D ,连接A′B ,DC.结论:四边形A′BCD 是平行四边形. 16. 解:(1)点E 的坐标是(33,3). 【解法提示】如∵OA ∥BC ,∴△DEB ∽△AEO , ∴OE EB =OA BD =BC BD =BD +CD BD =1+CD BD=1+2=3, ∵∠EHO =∠BAO =90°, ∴EH ∥AB ,∴△OEH ∽△OBA , ∴OE OB =EH AB =OH OA =34, ∵AB =4,OA =43, ∴EH =3,OH =33, ∴点E 的坐标是(33,3).(2)如解图①,在矩形OABC 中,∵CD ∶DB =2∶1,点B 的坐标为(43,4), ∴点A 的坐标为(43,0),点D 的坐标为(833,4),可得直线OB 的解析式为y 1=33x , 直线AD 的解析式为y 2=-3x +12.当y 1=y 2=t 时,可得点M ,N 的横坐标分别为: x M =3t ,x N =43-33t , 则MN =|x N -x M |=|43-433t|(0≤t ≤4).当点P 运动到x 轴上时(如图②),图①∵△MNP 为等边三角形, ∴MN ·sin 60°=t ,即(43-433t)·32=t , 解得t =2.讨论:分三种情况:①当0≤t <2时(如图①), 设PM ,PN 分别交x 轴于点F ,G ,则△PFG 的边长为PF =MP -MF =MN -MF =43-433t -233t =43-23t , ∵MN =x N -x M =43-433t ,图②∴S =S 梯形FGNM =(43-23t +43-433t)t ×12=-533t 2+43t. ②当2≤t ≤3时(如图②),此时等边△MNP 整体落在△OAB 内, ∴S =S △PMN =34(43-433t)2=433t 2-83t +12 3. ③当3<t ≤4时(如图③), 在Rt △OAB 中,tan ∠AOB =AB AO =33, ∴∠AOB =30°,∠NME =30°,图③∴△MNE 和△MPE 关于直线OB 对称. ∵MN =|x N -x M |=433t -43, ∴S =12S △PMN =233t 2-43t +6 3.(3)存在t ,使S =12S △ABD 成立.∵S △ABD =12×4×433=833,若S =12S △ABD 成立,则:①当0≤t <2时,-533t 2+43t =433,解得t 1=2(舍去),t 2=25.②当2≤t ≤3时,433t 2-83t +123=433,解得t 3=2,t 4=4.(舍去)③当3<t ≤4时,233t 2-43t +63=433,得t 5=3+2(舍去),t 6=3-2(舍去). 综上所述,符合条件的t 的值有25或2.17. 证明:(1)①连接AH ,如图①,连接AH.图①∴BH =HC =12BC ,OH =HF ,∵△ABC 是等边三角形, ∴AB =BC ,AH ⊥BC ,在Rt △ABH 中,AH 2=AB 2-BH 2, ∴AH =BC 2-(12BC )2=32BC ,∵OA =AE ,OH =HF ,∴AH 是△OEF 的中位线, ∴AH =12EF ,AH ∥EF ,∴EF ⊥BC. ②由①得AH =32BC , AH =12EF∴32BC =12EF , ∴EF =3BC.(2)EF ⊥AB 仍然成立,EF =BC.图②【解法提示】如解图②,连接AH , ∵四边形OBFC 是平行四边形, ∴BH =HC =12BC ,OH =HF ,∵△ABC 是等腰直角三角形, ∴AH ⊥BC ,在Rt △ABH 中,AH 2=AB 2-BH 2= (2BH)2-BH 2=BH 2, ∴AH =BH =12BC ,∵OA =AE ,OH =HF , ∴AH 是△OEF 的中位线, ∴AH =12EF ,AH ∥EF ,∴EF ⊥BC ,EF =2AH =BC.(3)EF =4k 2-1 BC.【解法提示】如解图③,连接AH , ∵四边形OBFC 是平行四边形, ∴BH =HC =12BC ,OH =HF ,∵△ABC 是等腰三角形,AB =kBC ,∴AH ⊥BC ,在Rt △ABH 中,AH 2=AB 2-BH 2=(kBC)2-(12BC)2=(k 2-14)BC 2,∴AH =124k 2-1 BC ,∵OA =AE ,OH =HF , ∴AH 是△OEF 的中位线, ∴AH =12EF ,AH ∥EF ,∴EF ⊥BC ,124k 2-1 BC =12EF ,∴EF =4k 2-1 BC.18. 解:(1)如图①,在△ABC 中, ∵∠ACB =90°,∠B =30°,AC =1, ∴AB =2,又∵D 是AB 的中点,图①∴AD =1,CD =12AB =1,又∵EF 是△ACD 的中位线,∴EF =DF =12,在△ACD 中,AD =CD ,∠A =60°,∴△ACD 为等边三角形, ∴∠ADC =60°, 在△FGD 中,GF =DF·sin 60°=34, ∴矩形EFGH 的面积S =EF·GF =12×34=38.(2)如图②,设矩形移动的距离为x ,则0<x ≤12,①当矩形与△CBD 重叠部分为三角形时,则0<x ≤14,重叠部分的面积S =12x·3x =316,∴x =24>14(舍去), ②当矩形与△CBD 重叠部分为直角梯形时,则14<x ≤12,重叠部分的面积S =34x -12×14×34=316, ∴x =38,即矩形移动的距离为38时,矩形与△CBD 重叠部分的面积是316.图③(3)如图③,作H 2Q ⊥AB 于Q , 设DQ =m ,则H 2Q =3m , 又DG 1=14,H 2G 1=12,在Rt △H 2QG 1中, (3m)2+(m +14)2=(12)2,解得m 1=-1+1316,m 2=-1-1316<0(舍去),∴cos α=QG 1F 1G 1=-1+1316+1412=3+138.。
类比归纳专题:配方法的应用——体会利用配方法解决特定问题◆类型一配方法解方程1.用配方法解方程3x2-6x+1=0,则方程可变形为()A.(x-3)2=13B.3(x-1)2=13C.(3x-1)2=1D.(x-1)2=232.一元二次方程x2+22x-6=0的根是()A.x1=x2= 2B.x1=0,x2=-2 2C.x1=2,x2=-3 2D.x1=-2,x2=3 23.用配方法解下列方程:(1)x2+8x-20=0;(2)3x2+6x-1=0.◆类型二配方法求最值或证明【方法8】4.代数式x2-4x+5的最小值为()A.-1B.1C.2D.55.关于多项式-2x2+8x+5的说法正确的是()A.有最大值13B.有最小值-3C.有最大值37D.有最小值16.用配方法求解下列问题:(1)2x2-7x+2=______________,它的最小值是_________;(2)-3x2+5x+1=_____________,它的最大值是________.7.已知代数式-2x2+4x-18.(1)用配方法说明无论x取何值,代数式的值总是负数;(2)当x为何值时,代数式有最大值,最大值是多少?◆类型三完全平方式中的配方8.如果多项式x2-2mx+1是完全平方式,则m的值为()A.-1B.1C.±1D.±29.若方程25x2-(k-1)x+1=0的左边可以写成一个完全平方式,则k 的值为()A.-9或11B.-7或8C.-8或9D.-6或7◆类型四利用配方构成非负数求值10.已知x2+y2+4x-6y+13=0,则代数式x+y的值为()A.-1B.1C.25D.3611.已知a,b,c是△ABC的三边,且满足a2+b2+c2-ab-bc-ac=0,请你根据此条件判断这个三角形的形状,并说明理由.[提示:2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]比归纳专题:配方法的应用答案1.D 2.C3.解:移项,得x2+8x=20,配方,得x2+8x+16=20+16,即(x+4)2=36,两边开平方,得x+4=±6,即x+4=6或x+4=-6.所以x1=2,x2=-10;(2)移项,得3x2+6x=1,两边除以3,得x2+2x=13,配方,得x2+2x +1=13+1,即(x+1)2=43,两边开平方,得x+1=±233,即x+1=233或x+1=-233.所以x1=-1+233,x2=-1-233.4.B 5.A6.(1)2⎝⎛⎭⎪⎫x-742-338小-338(2)-3⎝⎛⎭⎪⎫x-562+3712大37127.解:(1)-2x2+4x-18=-2(x2-2x+9)=-2(x2-2x+1+8)=-2(x-1)2-16.∵-2(x-1)2≤0,∴-2(x-1)2-16<0,∴无论x取何值,代数式-2x2+4x-18的值总是负数;(2)∵-2x2+4x-18=-2(x-1)2-16,∴当x=1时,代数式有最大值,最大值是-16.8.C 9.A10.B 解析:∵x2+y2+4x-6y +13=0,∴x2+4x+4+y2-6y+9=0,∴(x+2)2+(y-3)2=0,∴x+2=0,y-3=0,∴x=-2,y=3,∴x+y=1.故选B.11.解:△ABC为等边三角形.理由如下:∵a2+b2+c2-ab-bc-ac=0,∴2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac =0,∴a2+b2-2ab+b2+c2-2bc+a2+c2-2ac=0,即(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0,∴a-b=0,b-c=0,c -a=0,∴a=b=c,∴△ABC为等边三角形.掌握的三个数学答题方法树枝答题法关注数学题的解题过程2014年上海市中考状元徐瑜卿认为,数学是一门思维学科,并不是平时做题多就一定会拿高分。
2019-2020年中考数学真题试卷(北师大版)注意事项:本试卷分试题卷和答题卡两部分,请将答案答在答题卡上每题对应的答题区域内,答在试题卷上无效。
考试结束,请将本试题卷和答题卡一并上交。
以下数据、公式供参考:3 ≈1.7;l 弧长=180nπR(R 为半径,l 为弧长);二次函数y =ax 2+bx +c 图象的顶点坐标是(ab ac a b 44,22--)。
一、选择题 (在各小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请在答题卡上指定的位置填涂符合要求的选项前面的字母代号.本大题共15小题,每小题3分,计45分)1.如图,用数学的眼光欣赏这个蝴蝶图案,它的一种数学美体现在蝴蝶图案的(■).(A)轴对称性 (B)用字母表示数 (C)随机性 (D)数形结合2.如果用+0.02克表示一只乒乓球质量超出标准质量0.02克,那么一只乒乓球质量低于标准质量0.02克记作(■).(A)+0.02克 (B)-0.02克 (C) 0克 (D)+0.04克3.要调查城区九年级8000名学生了解禁毒知识的情况,下列调查方式最合适的是(■). (A)在某校九年级选取50名女生 (B)在某校九年级选取50名男生(C)在某校九年级选取50名学生 (D)在城区8000名九年级学生中随机选取50名学生 4.我市大约有34万中小学生参加了“廉政文化进校园”教育活动,将数据34万用科学记数法表示,正确的是(■ ). (A)0.34×105(B)3.4×105 (C)34×105 (D)340×1055.如图,数轴上A ,B 两点分别对应实数a ,b ,则下列结论正确的是( ■). (A)a <b (B)a =b (C)a >b (D)ab >06.如图,在一间黑屋子里用一盏白炽灯照一个球,球在地面上的阴影的形状是一个圆,当(第5题)ba把白炽灯向远移时,圆形阴影的大小的变化情况是(■). (A)越来越小 (B)越来越大 (C)大小不变 (D)不能确定 7.下列计算正确的是(■).(A)3a -a =3 (B)2a·a 3=a 6(C)(3a 3)2=2a 6(D)2a÷a=2 8.一个圆锥体按如图所示摆放,它的主视图是(■).9.按图1的方法把圆锥的侧面展开,得到图2,其半径OA =3,圆心角∠AOB =120°,则AB 的长为(■).(A)π (B)2π (C)3π (D)4π 10.下列说法正确的是(■).(A)若明天降水概率为50%,那么明天一定会降水 (B)任意掷一枚均匀的1元硬币,一定是正面朝上 (C)任意时刻打开电视,都正在播放动画片《喜洋洋》 (D)本试卷共24小题11.如图是教学用直角三角板,边AC =30cm ,∠C =90°, tan ∠BAC =33,则边BC 的长为(■). (A)330 cm (B) 320 cm (C) 310 cm (D) 35 cm 12.如图,在梯形ABCD 中,AB ∥CD ,AD =BC , 点E ,F ,G ,H 分别是AB ,BC ,CD ,DA 的中点, 则下列结论一定正确的是(■). (A)∠HGF =∠GHE (B)∠GHE =∠HEF (C)∠HEF =∠EFG (D)∠HGF =∠HEF 13.如图,矩形OABC 的顶点O 为坐标原点,点 A 在x 轴上,点B 的坐标为(2,1).如果将矩形 OABC 绕点O 顺时针旋转180°,旋转后的图形为第9题图1B第11题第12题BG(A)(B)(C)(D)第8题矩形OA 1B 1C 1,那么点B 1的坐标为(■).(A)(2,1) (B)(-2,1) (C)(-2,-1) (D)(2,-1)14.夷昌中学开展 “阳光体育活动”,九年级一班全体同学在2011年4月18日16时分别参加了巴山舞、乒乓球、篮球三个项目的活动,陈老师在此时统计了该班正在参加这三 项活动的人数,并绘制了如图所示的频数分布直方图和扇形统计图.根据这两个统计图,可以知道此时该班正在参加乒乓球活动的人数是(■). (A)50 (B)25 (C)15 (D)10 15.如图,直线y =x +2与双曲线y=xm 3-在第二象限有两个交点,那么m 的取值范围在数轴上表示为(■).(D)(C)(B)(A)-2-1432-2-1432-2-1432-2-14320110101二、解答题 (请将解答结果书写在答题卡上指定的位置.本大题共9小题,16~19每小题7分,20~21每小题8分,22~23每小题10分,24题11分,合计75分) 16.先将代数式11)(2+⨯+x x x 化简,再从-1,1两数中选取一个适当的数作为x 的值代入求值.第14题50篮球17.解方程组⎩⎨⎧=+=-221y x y x .18.如图,在平行四边形ABCD 中,E 为BC 中点,AE 的延长线与DC 的延长线相交于点F.(1)证明:∠DFA =∠FAB ; (2)证明:△ABE ≌△FCE .19.某市实施“限塑令”后,2008年大约减少塑料消耗约4万吨.调查结果分析显示,从2008年开始,五年内该市因实施“限塑令”而减少的塑料消耗量y(万吨)随着时间x(年)逐年成直线上升,y 与x 之间的关系如图所示. (1)求y 与x 之间的关系式;(2)请你估计,该市2011年因实施“限塑令”而减少的塑料消耗量为多少?20.如图,某商标是由边长均为2的正三角形、正方形、正六边形的金属薄片镶嵌而成的镶嵌图案.Fy (万吨)(1)求这个镶嵌图案中一个正三角形的面积;(2)如果在这个镶嵌图案中随机确定一个点O ,那么点概率为多少?(结果保留二位小数)21.如图,D 是△ABC 的边BC 的中点,过AD 延长线上的点E 作AD 的垂线EF ,E 为垂足,EF与AB 的延长线相交于点F ,点O 在AD 上,AO =CO ,BC ∥EF .(1)证明:AB =AC ;(2)证明:点O 是△ABC 的外接圆的圆心;(3)当AB =5,BC =6时,连接BE ,若∠ABE =90°,求AE22.随着经济的发展,尹进所在的公司每年都在元月一次性的提高员工当年的月工资。
2019-2020 年中考北师大版中考数学专题复习:类比研究测试题一、知识点睛解决类比研究问题的办理思路1. 若属于类比研究常有的结构种类,调用结构类比解决.类比研究结构举例:中点结构、直角结构、旋转结构、平行结构.2. 若不属于常有结构种类:①依照题干条件,结合 _______________先解决第一问.②类比解决下一问.若是不能够,解析条件变化,搜寻 ______________.③结合所求目标,依照 __________,英勇猜想、试一试、考据.二、精讲精练1. 已知:线段 OA ⊥OB ,点 C 为 OB 中点,D 为线段 OA 上一点.连接 AC , BD 交于点 P .( 1)如图 1,当 OA=OB ,且 D 为 OA 中点时,求AP的值; PCB( 2)如图 2,当 OA=OB ,且AD1时,求 ∠BPC 的值;OA tan4( 3)如图 3,当 AD: OA: OB=1: n: 2 n 时,直接写出 tan ∠ BPC 的值.BBADPCO图 1ADPCO图 2ADPCO图 32.如图 1,在 Rt△ ABC 中,∠ BAC=90°, AD⊥BC 于点 D,点 O 是 AC 边上一点,连接 BO,交 AD 于点 F,OE⊥OB 交 BC 于点 E.(1)求证:△ABF∽△COE;( 2)如图 2,当O为AC边中点,AC2 时,求OF的值;AB OE( 3)如图 3,当O为AC边中点,ACn 时,请直接写出OF的值.AB OEBDFEA O C图1BDFEA O C图2BDFEA O C图33.(1)问题发现如图 1,△ ACB 和△ DCE 均为等边三角形,点 A,D, E 在同素来线上,连接 BE.填空:①∠ AEB 的度数为 ___________;②线段 AD,BE 之间的数量关系为 ___________.CEDA B图 1( 2)拓展研究如图 2,△ ACB 和△ DCE 均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,点 A,D,E 在同素来线上, CM 为△ DCE 中 DE 边上的高,连接 BE.请判断∠ AEB 的度数及线段 CM,AE,BE 之间的数量关系,并说明原由.CEMDA B图 2( 3)解决问题如图 3,在正方形 ABCD 中, CD= 2 .若点 P 满足 PD=1,且∠ BPD=90°,请直接写出点 A 到 BP 的距离.A DB C图 34.数学课上,王老师出示图 1 和下面框中条件:如图 1,两块等腰直角三角板 ABC 和 DEF 有一条边在同一条直线 l 上,∠ ABC=∠ DEF=90°,AB=1,DE=2.将直线 EB绕点 E 逆时针旋转 45°,交直线 AD 于点 M.将图 1 中的三角板 ABC 沿直线 l 向右平移,设 C,E 两点间的距离为 x.D DMMA AE C BF l E F (C) B l图1图2( 1)①当点 C 与点 F 重合时,如图 2 所示,可得AM的值为 ___________;DM②在平移过程中,AMDM的值为 ______(用含 x 的代数式表示).( 2)将图 2 中的三角板 ABC 绕点 C 逆时针旋转,原题中的其他条件保持不变.当点 A 落在线段 DF 上时,如图 3 所示,请计算AM的值.DM( 3)将图 1 中的三角板 ABC 绕点 C 逆时针旋转 m 度,0m ≤ 90 ,原题中的其他条件保持不变,如图 4 所示,请计算AM的值(用含 x 的代数式表示).DMD DM M AA BBE F (C) l EC Fl 图 3图 4【参照答案】AP 1.(1)21(2)tan∠BPC= 2n (3)tan∠BPC=n 2.(1)证明略(2)OF2OE(3)OFnOE3.(1)60°,AD=BE(2)AE=2CM+BE(3)AQ=31或3 1224.(1)① 1,②x2(2)1(3)x2。
2020年九年级中考数学复习专题训练:《相似》综合1.已知:如图,在平面直角坐标系中,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,点A,C的坐标分别为A(﹣3,0),C(1,0),tan∠BAC=.(1)写出点B的坐标;(2)在x轴上找一点D,连接BD,使得△ADB与△ABC相似(不包括全等),并求点D 的坐标;(3)在(2)的条件下,如果点P从点A出发,以2cm/秒的速度沿AB向点B运动,同时点Q从点D出发,以1cm/秒的速度沿DA向点A运动.当一个点停止运动时,另一个点也随之停止运动.设运动时间为t.问是否存在这样的t使得△APQ与△ADB相似?如存在,请求出t的值;如不存在,请说明理由.2.如图1,在△ABC中,D是AB上一点,已知AC=10,AC2=AD•AB.(1)当tan A=,∠ADC=90°时,求BC的长.(2)如图2,过点C作CE∥AB,且CE=6,连结DE交BC于点F;①若四边形ADEC是平行四边形,求的值;②设AD=x,=y,求y关于x的函数表达式.3.如图,矩形ABCD中,AB=3,AD=,点P为对角线BD上异于点B、D的一个动点,联结A、P,将△APB沿AP所在的直线翻折,使得点B落在点E的位置(1)当∠DPA=45°时,求点E到直线AB的距离.(2)联结AE交BD于F,求当△EPF和△ABD相似时,线段BP的长.(3)当∠DPE=30°时,请直接写出此时△ABP的面积.4.阅读下列材料,完成任务:自相似图形定义:若某个图形可分割为若干个都与它相似的图形,则称这个图形是自相似图形.例如:正方形ABCD中,点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边的中点,连接EG,HF交于点O,易知分割成的四个四边形AEOH、EBFO、OFCG、HOGD均为正方形,且与原正方形相似,故正方形是自相似图形.任务:(1)图1中正方形ABCD分割成的四个小正方形中,每个正方形与原正方形的相似比为;(2)如图2,已知△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,小明发现△ABC也是“自相似图形”,他的思路是:过点C作CD⊥AB于点D,则CD将△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形.则△ACD与△ABC的相似比为;则△BCD与△ABC的相似比为;(3)现有一个矩形ABCD是自相似图形,其中长AD=a,宽AB=b(a>b).①如图3﹣1,若将矩形ABCD纵向分割成两个全等矩形,且与原矩形都相似,则a=(用含b的式子表示):②如图3﹣2,若将矩形ABCD纵向分割成n个全等矩形,且与原矩形都相似,则a=(用含n,b的式子表示).5.在矩形ABCD中,AB=a,AD=b,点E为对角线AC上一点,连接DE,以DE为边,作矩形DEFG,点F在边BC上;(1)观察猜想:如图1,当a=b时,=,∠ACG=;(2)类比探究:如图2,当a≠b时,求的值(用含a、b的式子表示)及∠ACG的度数;(3)拓展应用:如图3,当a=6,b=8,且DF⊥AC,垂足为H,求CG的长.6.如图,在平行四边形ABCD中,过点A作AE⊥DC,垂足为E,连接BE,F为BE上一点,且∠AFE=∠D.(1)求证:△ABF∽△BEC;(2)若AD=5,AB=8,sin∠D=,求AF的长.7.已知在菱形ABCD中,AB=4,∠BAD=120°,点P是直线AB上任意一点,联结PC.在∠PCD内部作射线CQ与对角线BD交于点Q(与B、D不重合),且∠PCQ=30°.(1)如图,当点P在边AB上时,如果BP=3,求线段PC的长;(2)当点P在射线BA上时,设BP=x,CQ=y,求y关于x的函数解析式及定义域;(3)联结PQ,直线PQ与直线BC交于点E,如果△QCE与△BCP相似,求线段BP的长.8.如图,在△ABC中,AD是角平分线,E是AB上一点,且AE=AC,连接DE,过点C作CG∥DE交AD于点F,交AB于点G,连接EF.(1)求证:四边形DCFE是菱形.(2)求证:AC2=AB•AG.(3)若AB=4AG,求的值.9.定义:连结菱形的一边中点与对边的两端点的线段把它分成三个三角形,如果其中有两个三角形相似,那么称这样的菱形为自相似菱形.(1)判断下列命题是真命题,还是假命题?①正方形是自相似菱形;②有一个内角为60°的菱形是自相似菱形.③如图1,若菱形ABCD是自相似菱形,∠ABC=α(0°<α<90°),E为BC中点,则在△ABE,△AED,△EDC中,相似的三角形只有△ABE与△AED.(2)如图2,菱形ABCD是自相似菱形,∠ABC是锐角,边长为4,E为BC中点.①求AE,DE的长;②AC,BD交于点O,求tan∠DBC的值.10.如图,矩形ABCD中,AB=6,BC=8,点P在线段BC上从点B开始向点C运动,速度为每秒1个单位长度,设运动时间为t(秒),且0<t<8.连接PA,将△ABP沿直线AP 折叠,点B落在点B′处,点M在线段CD上,将△PCM沿直线PM折叠,点C的对应点C′恰好落在直线PB′上.(1)求证:△ABP∽△PCM;(2)当t=4时,求MC的长;(3)连接AM,当AM=4时,请直接写出t的值.11.如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=5.一把三角尺的直角顶点P在线段AD上滑动时(点P与A,D不重合),一直角边始终经过点C,另一直角边与射线AB交于点E.(1)证明△DPC∽△AEP.(2)当∠CPD=30°时,求AE的长(3)当点E在线段AB上时,求PD的取值范围.12.△ABC中,AC=BC,∠ACB=α,点D是平面内不与点A和点B重合的一点,连接DB,将线段DB 绕点D 顺时针旋转α得到线段DE ,连接AE 、BE 、CD . (1)如图①,点D 与点A 在直线BC 的两侧,α=60°时,的值是 ;直线AE与直线CD 相交所成的锐角的度数是 度;(2)如图②,点D 与点A 在直线BC 两侧,α=90°时,求的值及直线AE 与直线CD 相交所成的锐角∠AMC 的度数;(3)当α=90°,点D 在直线AB 的上方,S △ABD =S △ABC ,请直接写出当点C 、D 、E 在同一直线上时,的值.13.如图,已知菱形AFCE 中,过C 作CD ⊥AE 于点D ,交对角线EF 于点G . (1)如果G 为OE 中点,求证:GO 2=DG •GC ; (2)若=,△DGE 的面积是2,求S △CGF 和S △CGO ;(3)若=x ,=y ,求y 关于x 的函数表达式.14.阅读下列材料,并完成相应任务:黄金分割天文学家开普勒把黄金分割称为神圣分割,并指出毕达哥拉斯定理(勾股定理)和黄金分割是几何中的双宝,前者好比黄金,后者堪称珠宝,历史上最早正式在书中使用“黄金分割”这个名称的是欧姆,19世纪以后“黄金分割”的说法逐渐流行起来,黄金分割被广泛应用于建筑等领域.黄金分割指把一条线段分为两部分,使其中较长部分与线段总长之比等于较短部分与较长部分之比,该比值为,用下面的方法(如图①)就可以作出已知线段AB的黄金分割点H:①以线段AB为边作正方形ABCD,②取AD的中点E,连接EB,③延长DA到F,使EF=EB,④以线段AF为边作正方形AFGH,点H就是线段AB的黄金分割点.以下是证明点H就是线段AB的黄金分割点的部分过程:证明:设正方形ABCD的边长为1,则AB=AD=1,∵E为AD中点,∴AE=,∴在Rt△BAE中,BE=∵EF=BE∴EF=∴AF=EF﹣AE=,…任务:(1)补全题中的证明过程;(2)如图②,点C为线段AB的黄金分割点,分别以AC、BC为边在线段AB同侧作正方形ACDE和矩形CBFD,连接BD、BE.求证:△EAB∽△BCD;(3)如图③,在正五边形ABCDE中,对角线AD、AC与EB分别交于点M、N,求证:点M 是AD的黄金分割点.15.如图,点D是线段BC的中点,射线DA⊥BC,连结AB、AC;点E是线段AC的中点,点P是线段BC上的动点.(1)当∠APE=∠B时,求证:①△ABP∽△PCE;②2EC2=BP•PC.(2)点F是线段AB的中点,连结PF,当点P与点D重合时:①若BC=4,四边形PEAF的面积为8,则AD=.②当∠BAC=时,四边形PEAF是正方形.16.如图,在正方形ABCD中,E为AB边上一点,连接DE,交AC于H点,过点D作DF⊥DE,交BC的延长线于F,连接EF交于AC于点G.(1)请写出AE和CF的数量关系:;(2)求证:点G是EF的中点;(3)若正方形ABCD的边长为4,且AE=1,求GH•GA的值.17.如图1,将三角板放在正方形ABCD上,使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A 重合,三角板的一边交CD于点F.另一边交CB的延长线于点G.(1)观察猜想:线段EF与线段EG的数量关系是;(2)探究证明:如图2,移动三角板,使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上,其他条件不变,(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给予证明:若不成立.请说明理由:(3)拓展延伸:如图3,将(2)中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”,且使三角板的一边经过点B,其他条件不变,若AB=a、BC=b,求的值.18.如图,△ABC中,AD⊥BC,E是AD边上一点,连接BE,过点D作DF⊥BE,垂足为F,且AE•DF=EF•CD,联结AF、CF,CF与边AD交于点O.求证:(1)∠EAF=∠DCF;(2)AF•BD=AC•DF.19.已知:△ABC和△ADE均为等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,AD=AE,连接BD,CD,CE.(1)如图1所示,线段BD与CE的数量关系是,位置关系是.(2)在图1中,若点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点,连接PM,PN,MN,请判断△PMN的形状,并说明理由;(3)如图2所示,若M、N、P分别为DE、BC、DC上的点,且满足,BD =6,连接PM,PN,MN,则线段MN长度是多少?20.(1)问题发现如图1,在△OAB和△OCD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=40°,连接AC,BD交于点M,填空:的值为;∠AMB的度数为,(2)类比探究如图2,在△OAB和△OCD中,∠AOB=∠COD=90°,∠OAB=∠OCD=30°,连接AC交BD的延长线于点M,请判断的值及∠AMB的度数,并说明理由.参考答案1.解:(1)∵A(﹣3,0),C(1,0),∴AC=4,∵∠ACB=90°,tan∠BAC=,∴=,即=,解得,BC=3,∴点B的坐标为(1,3);(2)如图1,作BD⊥BA交x轴于点D,则∠ACB=∠ABD=90°,又∠A=∠A,∴△ABC∽△ADB,∴=,在Rt△ABC中,AB===5,∴=,解得,AD=,则OD=AD﹣AO=,∴点D的坐标为(,0);(3)存在,由题意得,AP=2t,AQ=﹣t,当PQ⊥AB时,PQ∥BD,∴△APQ∽△ABD,∴=,即=,解得,t=,当PQ⊥AD时,∠AQP=∠ABD,∠A=∠A,∴△AQP∽△ABD,∴=,即=,解得,t=,综上所述,当t=s或s时,△APQ与△ADB相似.2.解:(1)∵tan A=,∠ADC=90°,∴=,∴设CD=3a,AD=4a,∴AC===5a=10,∴a=2,∴CD=6,AD=8,∵AC2=AD•AB,∴,且∠A=∠A,∴△ACD∽△ABC,∴∠ADC=∠ACB=90°,∵AC2=AD•AB,∴100=8•AB,∴AB=,∴BD=∴BC===;(2)①∵四边形ADEC是平行四边形,∴AD=CE=6,DE∥AC,∵AC=10,AC2=AD•AB,∴AB=,∵DE∥AC,∴△BDF∽△BAC,∴==;②∵AC=10,AD=x,AC2=AD•AB,∴AB=,∵AC2=AD•AB,∴,且∠A=∠A,∴△ACD∽△ABC,∴==,∴BC=,∵CE∥AB,∴,∴∴,∴∴y=[()+6]=﹣x2++.3.解:(1)如图1中,作EH⊥AB于H.∵四边形ABCD是矩形,∴∠DAB=90°,∵AD=,AB=3,∴tan∠ABD=,∴∠ABD=30°,∴BD=2AD=2,∵∠APD=45°=∠ABD+∠PAB,∴∠PAB=∠PAE=15°,∴∠EAH=30°,在Rt△AEH中,∵AE=AB=3,∠EAB=30°,∴EH=AE=;(2)如图2﹣1中,作PM⊥AB于M,在AM截取一点N,使得AN=PN.∵∠E=∠ABC=30°,∴当∠EPF=∠DAB=90°时,△EPF∽△BAD,∴∠EFP=∠AFD=∠ADF=60°,∴∠DAF=60°,∠EAB=30°,∴∠PAB=∠PAE=15°,∵AN=PN,∴∠NAP=∠NPA=15°,∴∠PNM=30°,设PM=m,则PN=PB=2x,MN=BM=x,∴2x+2x=3,∴x=(﹣1),∴PB=2x=(﹣1).如图2﹣2中,当∠EFP=∠DAB=90°,△EFP∽△BAD,∴∠DAF=30°,∠EAB=60°,∴∠EAP=∠PAB=30°,∴∠PAB=∠PBA=30°,∠ADP=∠DAP=60°,∴PA=PD,PA=PB,∴PD=PB=,综上所述,满足条件的PB的值为(﹣1)或.(3)如图3中,作PM⊥AB于M.当∠DPE=30°时,易知点F与点D重合,此时∠PAE=∠PAB=45°,设AM=PM=m,则BM=m,∴m+m=3,∴m=(﹣1),∴S=•AB•PM=×3×(﹣1)=(﹣1).△PAB4.解:(1)∵点H是AD的中点,∴AH=AD,∵正方形AEOH∽正方形ABCD,∴相似比为:;故答案为:;(2)在Rt△ABC中,AC=4,BC=3,根据勾股定理得,AB=5,∴△ACD与△ABC相似的相似比为:,△BCD与△ABC的相似比为:故答案为:,;(3)①∵矩形ABEF∽矩形FECD,∴AF:AB=AB:AD,即a:b=b:a,∴a=b;故答案为:b②每个小矩形都是全等的,则其边长为b和a,则b:a=a:b,∴a=b;故答案为:b5.解:(1)如图1,作EM⊥BC于M,EN⊥CD于N,∴∠MEN=90°,∵a=b,∴AB=AD,∴矩形ABCD是正方形,∴∠ACD=∠DAE=45°,∵点E是正方形ABCD对角线上的点,∴EM=EN,∵∠DEF=90°,∴∠DEN=∠MEF,在△DEN和△FEM中,,∴△DEN≌△FEM(ASA),∴EF=DE.∵四边形DEFG是矩形,∴矩形DEFG是正方形;∵四边形ABCD是正方形,∴DE=DG,AD=DC,∵∠CDG+∠CDE=∠ADE+∠CDE=90°,∴∠CDG=∠ADE,在△ADE和△CDG中,,∴△ADE≌△CDG(SAS),∴AE=CG.∠DAE=∠DCG=45°,∴=1,∠ACG=∠ACD+∠DCG=90°,故答案为:1;90°;(2)如图2,作EM⊥BC于M,EN⊥CD于N,则EM∥AB,EN∥AD,四边形EMCN是矩形,∴EM:AB=CE:AC,EN:AD=CE:AC,∠MEN=90°,∴EM:AB=EN:AD,∴==,∵四边形ABCD、四边形DEFG是矩形,∴∠ADC=∠DEF=∠EDG=90°,∴∠DEN=∠FEM,∠ADE=∠CDG,∵∠END=∠EMF=90°,∴△DEN∽△FEM,∴===,∴△ADE∽△CDG,∴==,∠DAE=∠DCG,∵AB∥CD,∴∠BAC=∠ACD,∵∠BAC+∠DAE=90°,∴∠ACD+∠DCG=90°,即∠ACG=90°;(3)∵a=6,b=8,∴CD=AB=6,BC=AD=8,∴AC==10,∵DF⊥AC,∴DH===,∴CH===,∵∠FHC=∠B=90°,∠FCH=∠ACB,∴△CFH∽△CAB,∴=,即=,解得:FH=,∴DF=DH+FH=,由(2)得:===,设DE=4x,则EF=3x,∵∠DEF=90°,∴DF==5x=,∴x=,∴DE=4x=6=DC,∴EH=CH,∴CE=2CH=,∴AE=AC﹣CE=10﹣=,由(2)得:====,∴CG=AE=.6.(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AD∥BC,AD=BC,∴∠D+∠C=180°,∠ABF=∠BEC,∵∠AFB+∠AFE=180°,∠AFE=∠D,∴∠C=∠AFB,∴△ABF∽△BEC;(2)解:∵AE⊥DC,AD=5,AB=8,sin∠D=,∴AE=4,∵AE⊥DC,AB∥DC,∴∠AED=∠BAE=90°,在Rt△ABE中,根据勾股定理得:BE=,∵BC=AD=5,由(1)得:△ABF∽△BEC,∴,即,解得:AF=2.7.解:(1)如图1中,作PH⊥BC于H.∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=4,AD∥BC,∴∠A+∠ABC=180°,∵∠A=120°,∴∠PBH=60°,∵PB=3,∠PHB=90°,∴BH=PB•cos60°=,PH=PB•sin60°=,∴CH=BC﹣BH=4﹣=,∴PC===.(2)如图1中,作PH⊥BC于H,连接PQ,设PC交BD于O.∵四边形ABCD是菱形,∴∠ABD=∠CBD=30°,∵∠PCQ=30°,∴∠PBO=∠QCO,∵∠POB=∠QOC,∴△POB∽△QOC,∴=,∴=,∵∠POQ=∠BOC,∴△POQ∽△BOC,∴∠OPQ=∠OBC=30°=∠PCQ,∴PQ=CQ=y,∴PC=y,在Rt△PHB中,BH=x,PH=x,∵PC2=PH2+CH2,∴3y2=(x)2+(4﹣x)2,∴y=(0≤x<8).(3)①如图2中,若直线QP交直线BC于B点左侧于E.此时∠CQE=120°,∵∠PBC=60°,∴△PBC中,不存在角与∠CQE相等,此时△QCE与△BCP不可能相似.②如图3中,若直线QP交直线BC于C点右侧于E.则∠CQE=∠B=QBC+∠QCP=60°=∠CBP,∵∠PCB>∠E,∴只可能∠BCP=∠QCE=75°,作CF⊥AB于F,则BF=2,CF=2,∠PCF=45°,∴PF=CF=2,此时PB=2+2,③如图4中,当点P在AB的延长线上时,∵△CBE与△CBP相似,∴∠CQE=∠CBP=120°,∴∠QCE=∠CBP=15°,作CF⊥AB于F.∵∠FCB=30°,∴∠FCB=45°,∴BF=BC=2,CF=PF=2,∴PB=2﹣2.综上所述,满足条件的PB的值为2+2或2﹣2.8.证明:(1)∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD,且AE=AC,AD=AD,∴△ADE≌△ADC(SAS),∴DE=CD,∠EDA=∠ADC,∵CG∥DE,∴∠EDF=∠CFD,∴∠CFD=∠ADC,∴CD=CF=DE,且CF∥DE,∴四边形DCFE是平行四边形,且DE=CD,∴四边形DCFE是菱形;(2)∵CG∥DE,∴△AGF∽△AED,∴,∵四边形DCFE是菱形∴EF∥BC,∴△AEF∽△ABD,∴,∴,且AE=AC,∴AC2=AB•AG;(3)∵AC2=AB•AG,AB=4AG,∴AC=2AG,∴AE=2AG,且AE=AG+EG,∴AG=GE,∵CG∥DE,∴.9.解:(1)①正方形是自相似菱形,是真命题;理由如下:如图3所示:∵四边形ABCD是正方形,点E是BC的中点,∴AB=CD,BE=CE,∠ABE=∠DCE=90°,在△ABE和△DCE中,,∴△ABE≌△DCE(SAS),∴△ABE∽△DCE,∴正方形是自相似菱形;②有一个内角为60°的菱形是自相似菱形,是假命题;理由如下:如图4所示:连接AC,∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD,AD∥BC,AB∥CD,∵∠B=60°,∴△ABC是等边三角形,∠DCE=120°,∵点E是BC的中点,∴AE⊥BC,∴∠AEB=∠DAE=90°,∴只能△AEB与△DAE相似,∵AB∥CD,∴只能∠B=∠AED,若∠AED=∠B=60°,则∠CED=180°﹣90°﹣60°=30°,∴∠CDE=180°﹣120°﹣30°=30°,∴∠CED=∠CDE,∴CD=CE,不成立,∴有一个内角为60°的菱形不是自相似菱形;③若菱形ABCD是自相似菱形,∠ABC=α(0°<α<90°),E为BC中点,则在△ABE,△AED,△EDC中,相似的三角形只有△ABE与△AED,是真命题;理由如下:∵∠ABC=α(0°<α<90°),∴∠C>90°,且∠ABC+∠C=180°,△ABE与△EDC不能相似,同理△AED与△EDC也不能相似,∵四边形ABCD是菱形,∴AD∥BC,∴∠AEB=∠DAE,当∠AED=∠B时,△ABE∽△DEA,∴若菱形ABCD是自相似菱形,∠ABC=α(0°<α<90°),E为BC中点,则在△ABE,△AED,△EDC中,相似的三角形只有△ABE与△AED;(2)①∵菱形ABCD是自相似菱形,∠ABC是锐角,边长为4,E为BC中点,∴BE=2,AB=AD=4,由(1)③得:△ABE∽△DEA,∴==,∴AE2=BE•AD=2×4=8,∴AE=2,DE===4,②过E作EM⊥AD于M,过D作DN⊥BC于N,如图2所示:则四边形DMEN是矩形,∴DN=EM,DM=EN,∠M=∠N=90°,设AM=x,则EN=DM=x+4,由勾股定理得:EM2=DE2﹣DM2=AE2﹣AM2,即(4)2﹣(x+4)2=(2)2﹣x2,解得:x=1,∴AM=1,EN=DM=5,∴DN=EM===,在Rt△BDN中,∵BN=BE+EN=2+5=7,∴tan∠DBC==.10.证明:(1)∵将△ABP沿直线AP折叠,点B落在点B′处,∴∠CPM=∠C'PM,∵将△PCM沿直线PM折叠,点C的对应点C′恰好落在直线PB′上.∴∠APB=∠APB',∵∠APB+∠APB'+∠CPM+∠C'PM=180°,∴∠CPM+∠APB=90°,且∠APB+∠PAB=90°,∴∠CPM=∠PAB,且∠C=∠B=90°,∴△ABP∽△PCM,(2)∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD=6,AD=BC=8,∵t=4,∴PB=4,∴PC=BC﹣PB=4∵△ABP∽△PCM,∴∴CM==(3)在Rt△ADM中,DM===4,∴CM=CD﹣DM=2∵△ABP∽△PCM,∴∴∴t=2或6,11.(1)证明:在△DPC、△AEP中,∠AEP与∠APE互余,∠APE与∠CPD互余,∴∠AEP=∠CPD,又∵∠A=∠D=90°,∴△DPC∽△AEP.(2)解:∵∠CPD=30°,CD=AB=2,∴PC=2CD=4,PD=CD=2,又∵AD=5,∴AP=AD﹣PD=5﹣2,由(1)得:△DPC∽△AEP,∴=,即=,解得:AE=5﹣6;(3)解:∵△DPC∽△AEP,∴=,设AP=a,则=,解得:AE=(5﹣a)(0<a<5),∵0≤AE≤2,∴0<a≤1或4≤a<5;即0<PD≤1或4≤PD<5.12.解:(1)如图1,延长AE,CD交于点H,∵将线段DB绕点D顺时针旋转α得到线段DE,∴DE=BD,∠BDE=60°,∴△BDE是等边三角形,∴BD=BE,∠DBE=60°,∵△ABC是等边三角形,∴AB=BC,∠ABC=∠DBE=60°,∴∠ABE=∠CBD,且BE=BD,AB=BC,∴△ABE≌△CBD(SAS)∴AE=CD,∠DCB=∠BAE,∴=1,∵∠BAC+∠ACB=120°,∴∠BAE+∠CAE+∠ACB=120°,∴∠CAE+∠ACB+∠BCD=120°∴∠CAE+ACH=120°,∴∠AHB=60°,故答案为:1,60.(2)∵AC=BC,∠ACB=90°,∴AB=BC,∠ABC=45°,∵将线段DB绕点D顺时针旋转90°得到线段DE,∴DE=BD,∠BDE=90°,∴BE=BD,∠DBE=45°,∴∠DBE=∠ABC,∴∠ABE=∠CBD,且=,∴△ABE∽△CBD,∴=,∠BAE=∠BCD,∵∠BAC+∠ACB=135°=∠ACB+∠CAM+∠BAE,∴∠ACB+∠CAM+∠BCD=∠CAM+∠ACM=135°,∴∠AMC=45°;(3)若点D,点A在直线BC两侧,如图3,分别取AC,BC中点G,H,连接GH,∵S△ABD =S△ABC,∴点D在直线GH上,∵∠ACB=∠BDE=90°,AC=BC,DE=BD,∴∠CAB=∠CBA=45°,∠DEB=∠DBE=45°,BE=BD,∵点G,点H分别是AC,BC的中点,∴GH∥AB,∴∠DHB=∠ABC=45°,∵点C、E、D三点共线,∴∠CDB=90°,且点H是BC中点,∴DH=CH=BH,∴∠HCD=∠HDC,且∠HCD+∠HDC=∠BHD=45°,∴∠HCD=∠HDC=22.5°,∵∠BED=∠BCE+∠CBE=45°,∴∠BCE=∠CBE=22.5°,∴BE=CE=BD,∴CD=CE+DE=(+1)BD,∴==2﹣;若点A,点D在直线BC同侧,如图4,分别取AC,BC中点G,H,连接GH,∵S△ABD =S△ABC,∴点D在直线GH上,∵∠ACB=∠BDE=90°,AC=BC,DE=BD,∴∠CAB=∠CBA=45°,∠DEB=∠DBE=45°,BE=BD,∵点G,点H分别是AC,BC的中点,∴GH∥AB,∴∠DHC=∠ABC=45°,∵点C、E、D三点共线,∴∠CDB=90°,且点H是BC中点,∴DH=CH=BH,∴∠HBD=∠HDB,且∠HBD+∠HDB=∠CHD=45°,∴∠HBD=∠HDB=22.5°,∵∠ECB=67.5°,∠EBC=∠EBD+∠DBC=67.5°,∴∠BCE=∠CBE=67.5°,∴BE=CE=BD,∴CD=CE﹣DE=(﹣1)BD,∴=2+,综上所述:的值为2﹣或2+.13.(1)证明:∵四边形AFE是菱形,∴CE=AE=CF,AE∥CF,AC⊥EF,OA=OC,∴∠COG=90°,∵CD⊥AE,∴∠EDG=90°,又∵∠CGO=∠EGD,∴△COG∽△EDG,∴=,∴GO•EG=DG•GC,∵G为OE中点,∴GO=EG,∴GO2=DG•GC;(2)解:∵=,∴AD=3DE,=,∴CE=AE=4DE,∵AE=CF,∴=,∵AE∥CF,∴△DGE∽△CGF,∴=()2=()2=,∴S△CGF =16S△DGE=16×2=32;∵CD⊥AE,∴CD===DE,∴AC===2DE,∴OC=AC=DE,∴=,由(1)得:△COG∽△EDG,∴=()2=6,∴S△CGO =6S△DGE=6×2=12;(3)∵=x,不妨设DE=1,则CE=CF=AE=x,AD=x﹣1,由(1)得:△COG∽△EDG,∴=()2=y,∴y=OC2,∵AC=2OC,AC2=AD2+CD2=AD2+BE2﹣DE2=(x﹣1)2+x2﹣12=2x2﹣2x=4OC2=4y,∴y=x2﹣x,即y关于x的函数表达式为y=x2﹣x.14.(1)证明:设正方形ABCD的边长为1,则AB=AD=1,∵E为AD中点,∴AE=,∴在Rt△BAE中,BE=∵EF=BE∴EF=∴AF=EF﹣AE=,∵四边形AFGH是正方形,∴AH=AF=,∴==,∴点H是线段AB的黄金分割点;(2)证明:∵四边形ACDE是正方形,四边形CBFD是矩形,∴∠EAB=∠BCD=90°,AC=CD=AE=DE=BF,BC=DF,∵点C为线段AB的黄金分割点,∴=,∴=,∴△EAB∽△BCD;(3)证明:∵五边形ABCDE是正五边形,∴∠BAE=∠AED=(5﹣2)×180°=108°,AB=AE=DE,∴∠ABE=∠AEM=∠DAE=∠ADE=(180°﹣108°)=36°,∵∠DAE=∠DAE,∠ADE=∠AEM=36°,∴△AME∽△AED,∴AE:AD=AM:AE,∴AE2=AD•AM,∵AE=DE=DM,∴DM2=AD•AM,∴点M是AD的黄金分割点.15.证明;(1)①∵点D是线段BC的中点,DA⊥BC,∴AB=AC,∴∠B=∠C,∵∠APC=∠B+∠BAP=∠APE+∠CPE,且∠APE=∠B,∴∠BAP=∠EPC,且∠B=∠C,∴△ABP∽△PCE;②∵点E是线段AC的中点,∴AC=2EC=AB∵△ABP∽△PCE,∴,∴AB•EC=BP•PC,∴2EC2=BP•PC;(2)①如图,连接EF,∵点E是AC的中点,点F是AB的中点,∴EF∥BC,EF=BC=2,∵点E是AC的中点,点F是AB的中点,AD⊥BC,∴FD=AF=BF=AB,AE=EC=DE=AC,且AB=AC,∴AF=DF=AE=DE,∴四边形PEAF是菱形,∴AD⊥EF∴四边形PEAF的面积===8,∴AD=8故答案为8;②若∠BAC=90°时,四边形PEAF是正方形,理由如下:∵四边形PEAF是菱形,且∠BAC=90°,∴四边形PEAF是正方形,故答案为:90°.16.解:(1)∵四边形ABCD是正方形,∴∠ADC=∠EAD=∠DCB=∠DCF=90°,AD=DC,∵DF⊥DE,∴∠EDF=90°,∴∠ADE+∠EDC=∠EDC+∠CDF,∴∠ADE=∠CDF,∴△ADE≌△CDF(ASA),∴AE=CF,故答案为:相等;(2)如右图,过E作EM∥BC交AC于M,∵四边形ABCD是正方形,AC为对角线,∴,∵EM∥BC,∴∠AEM=∠B=90°,∴∠AME=90°﹣∠EAM=45°,∴∠AEM=∠EAM,∴AE=EM,∵AE=CF,∴EM=CF,∵EM∥BC,∴∠MEG=∠GFC,∠EMG=∠GCF,∴△EMG≌△FCG(ASA),∴EG=FG,∴G为EF的中点;(3)由(1)知△DAE≌△DCF,∴DE=DF,∴∠DEF=∠DFE,∵∠DEF=90°,∴∠DEF=45°,∵∠BAC=45°,∴∠DEF=∠BAC,∵∠AGE=∠AGE,∴△GEH∽△GAE,∴=,∴EG2=GH•AG,∵AE=1,则CF=1,BF=5,∴EF===,∴.17.解:(1)∵四边形ABCD为正方形,∴AB=AD,∠BAD=90°,∴∠GAF=∠BAD,∴∠GAF﹣∠BAF=∠BAD﹣∠BAF,即∠GAB=∠FAD,在△GAB和△FAD中,,∴△GAB≌△FAD(ASA),∴AG=AF,即EF=EG,故答案为:EF=EG;(2)成立,证明如下:如图2,过点E分别作BC、CD的垂线,垂足分别为H、I,则EH=EI,∠HEI=90°,∵∠GEH+∠HEF=90°,∠IEF+∠HEF=90°,∴∠IEF=∠GEH,在△FEI和△GEH中,,∴△FEI≌△GEH(ASA),∴EF=EG;(3)如图,过点E分别作BC、CD的垂线,垂足分别为M、N,则∠MEN=90°,∴EM∥AB,EN∥AD,∴△CEN∽△CAD,△CEM∽△CAB,∴,,∴,即,∵∠NEF+∠FEM=∠GEM+∠FEM=90°,∴∠GEM=∠FEN,又∠GME=∠FNE=90°,∴△GME∽△FNE,∴==.18.证明:(1)∵AD⊥BC,DF⊥BE,∴∠ADB=∠DFE=90°,∴∠DBE+∠DEB=90°,∠DBE+∠BDF=90°,∴∠BED=∠BDF,∴∠AEF=∠CDF,∵AE•DF=EF•CD,∴=,又∠AEF=∠CDF,∴△AEF∽△CDF,∴∠EAF=∠DCF;(2)∵△AEF∽△CDF,∴∠EFA=∠DFC,∴∠AFO=∠EFD=90°,∵∠DFB=90°,∴∠BFD=∠AFC,∵∠EAF=∠DCF,∠AOF=∠COD,∴△AOF∽△COD,∴=,∴=,又∠ACF=∠EDF,∴△AOC∽△FOD,∴∠ACF=∠EDF,∵∠DBE+∠BED=∠FDE+∠BED=90°,∴∠DBE=∠EDF,∴∠ACF=∠DBE,又∠BFD=∠AFO,∴△BFD∽△CFA,∴=,即AF•BD=AC•DF.19.解:(1)如图1,延长BD交CE于F,∵∠BAC=∠DAE,∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC,即∠BAD=∠CAE,在△BAD和△CAE中,,∴△BAD≌△CAE(SAS)∴BD=CE,∠ABD=∠ACE,∵∠ABD+∠FBD+∠BCA=90°,∴∠ACE+∠FBD+∠BCA=90°,∴∠BFC=90°,即BD⊥CE,故答案为:BD=CE;BD⊥CE;(2)△PMN是等腰直角三角形,理由如下:∵点M、P分别为DE、DC的中点,∴MP=CE,MP∥CE,∴∠MPD=∠ECD=∠ECA+∠DCA=∠ABD+∠DCA,∵点P、N分别为DC、BC的中点,∴NP=BD,NP∥BD,∴∠NPD=180°﹣∠BDC=∠DBC+∠DCB,∴∠MPN=∠MPD+∠NPD=∠ABD+∠DCA+∠DBC+∠DCB=90°,∵BD=CE,∴MP=NP,∴△PMN是等腰直角三角形;(3)=,∠MDP=∠EDC,∴△MDP∽△EDC,MP∥CE,∴==,∴MP=CE=2,同理,NP∥BD,NP=BD=4,由(2)可知,∠MPN=90°,∴MN===2.20.解:(1)∵∠AOB=∠COD=40°,OA=OB,∴∠AOB+∠AOD=∠COD+∠AOD,∠OAB+∠OBA=180°﹣40°=140°,∴∠AOC=∠BOD,在△AOC和△BOD中,,∴△AOC≌△BOD(SAS)∴AC=BD,∠CAO=∠DBO,∴=1,∠AMB=180°﹣∠MAH﹣∠HAB﹣∠MBA=180°﹣∠HAB﹣∠MBA﹣∠DBO=40°,故答案为:1;40°;(2)∵∠AOB=∠COD,∴∠AOB+∠AOD=∠COD+∠AOD,即∠AOC=∠BOD,在Rt△AOB中,∠OAB=30°,∴=tan30°=,同理,=,∴=,∴=,又∠AOC=∠BOD,∴△AOC∽△BOD,∴==,∠CAO=∠DBO,∴∠AMB=180°﹣∠CAO﹣∠OAB﹣∠MBA=180°﹣∠HAB﹣∠MBA﹣∠DBO=90°,∴=,∠AMB=90°.。
题型09 几何类比、拓展、探究题一、解答题1.如图1,ABC ∆(12AC BC AC <<)绕点C 顺时针旋转得DEC ∆,射线AB 交射线DE 于点F . (1)AFD ∠与BCE ∠的关系是 ;(2)如图2,当旋转角为60°时,点D ,点B 与线段AC 的中点O 恰好在同一直线上,延长DO 至点G ,使OG OD =,连接GC .①AFD ∠与GCD ∠的关系是 ,请说明理由;②如图3,连接,AE BE ,若45ACB ∠=o ,4CE =,求线段AE 的长度.2.(问题)如图1,在Rt ABC V 中,90,ACB AC BC ∠=︒=,过点C 作直线l 平行于AB .90EDF ∠=︒,点D 在直线l 上移动,角的一边DE 始终经过点B ,另一边DF 与AC 交于点P ,研究DP 和DB 的数量关系.(探究发现)(1)如图2,某数学兴趣小组运用“从特殊到一般”的数学思想,发现当点D 移动到使点P 与点C 重合时,通过推理就可以得到DP DB =,请写出证明过程;(数学思考)(2)如图3,若点P 是AC 上的任意一点(不含端点A C 、),受(1)的启发,这个小组过点D 作DG CD ⊥交BC 于点G ,就可以证明DP DB =,请完成证明过程;(拓展引申)(3)如图4,在(1)的条件下,M 是AB 边上任意一点(不含端点A B 、),N 是射线BD 上一点,且AM BN =,连接MN 与BC 交于点Q ,这个数学兴趣小组经过多次取M 点反复进行实验,发现点M 在某一位置时BQ 的值最大.若4AC BC ==,请你直接写出BQ 的最大值.3.小波在复习时,遇到一个课本上的问题,温故后进行了操作、推理与拓展.(1)温故:如图 1,在△ABC中,AD⊥BC于点D,正方形PQMN的边QM在BC上,顶点P,N分别在AB,AC上,若BC=6 ,AD=4,求正方形PQMN的边长.(2)操作:能画出这类正方形吗?小波按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作:如图 2,任意画△ABC,在AB上任取一点P′,画正方形P′Q′M′N′,使Q′,M′在BC边上,N′在△ABC内,连结B N′并延长交AC于点N,画NM⊥BC于点M,NP⊥NM交AB于点P,PQ⊥BC于点Q,得到四边形PQMN.小波把线段BN称为“波利亚线”.(3)推理:证明图2 中的四边形PQMN是正方形.(4)拓展:在(2)的条件下,于波利业线B N上截取NE=NM,连结EQ,EM(如图 3).当tan∠NBM=34时,猜想∠QEM的度数,并尝试证明.请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题.4.问题提出:如图,图①是一张由三个边长为1 的小正方形组成的“L”形纸片,图②是一张a×b的方格纸(a×b的方格纸指边长分别为a,b的矩形,被分成a×b个边长为 1 的小正方形,其中a≥2 ,b≥2,且a,b为正整数).把图①放置在图②中,使它恰好盖住图②中的三个小正方形,共有多少种不同的放置方法?问题探究:为探究规律,我们采用一般问题特殊化的策略,先从最简单的情形入手,再逐次递进,最后得出一般性的结论.探究一:把图①放置在2× 2的方格纸中,使它恰好盖住其中的三个小正方形,共有多少种不同的放置方法?如图③,对于2×2的方格纸,要用图①盖住其中的三个小正方形,显然有4 种不同的放置方法.探究二:把图①放置在3×2的方格纸中,使它恰好盖住其中的三个小正方形,共有多少种不同的放置方法?如图④,在3×2的方格纸中,共可以找到2 个位置不同的2 ×2方格,依据探究一的结论可知,把图①放置在3×2 的方格纸中,使它恰好盖住其中的三个小正方形,共有2 ×4=8种不同的放置方法.探究三:把图①放置在a ×2 的方格纸中,使它恰好盖住其中的三个小正方形,共有多少种不同的放置方法?如图⑤,在a ×2 的方格纸中,共可以找到______个位置不同的2×2方格,依据探究一的结论可知,把图①放置在a× 2 的方格纸中,使它恰好盖住其中的三个小正方形,共有______种不同的放置方法.探究四:把图①放置在a ×3 的方格纸中,使它恰好盖住其中的三个小正方形,共有多少种不同的放置方法?如图⑥,在a ×3 的方格纸中,共可以找到______个位置不同的2×2方格,依据探究一的结论可知,把图①放置在a ×3 的方格纸中,使它恰好盖住其中的三个小正方形,共有_____种不同的放置方法.……问题解决:把图①放置在a ×b的方格纸中,使它恰好盖住其中的三个小正方形,共有多少种不同的放置方法?(仿照前面的探究方法,写出解答过程,不需画图.)问题拓展:如图,图⑦是一个由4 个棱长为1 的小立方体构成的几何体,图⑧是一个长、宽、高分别为a,b,c(a≥2 ,b≥2 ,c≥2 ,且a,b,c是正整数)的长方体,被分成了a×b×c个棱长为1 的小立方体.在图⑧的不同位置共可以找到______个图⑦这样的几何体.5.在ABC ∆中,90BAC ∠=︒,AB AC =,AD BC ⊥于点D ,(1)如图1,点M ,N 分别在AD ,AB 上,且90BMN ∠=︒,当30AMN ∠=︒,2AB =时,求线段AM 的长;(2)如图2,点E ,F 分别在AB ,AC 上,且90EDF ∠=︒,求证:BE AF =;(3)如图3,点M 在AD 的延长线上,点N 在AC 上,且90BMN ∠=︒,求证:AB AN +=;6.如图,正方形ABDE 和BCFG 的边AB ,BC 在同一条直线上,且2AB BC =,取EF 的中点M ,连接MD ,MG ,MB .(1)试证明DM MG ⊥,并求MBMG的值. (2)如图,将如图中的正方形变为菱形,设()2090EAB αα∠=<<︒,其它条件不变,问(1)中MBMG的值有变化吗?若有变化,求出该值(用含α的式子表示);若无变化,说明理由.7.定义:有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形. 理解:()1如图1,点A B C ,,在O e 上,ABC ∠的平分线交O e 于点D ,连接AD CD ,.求证:四边形ABCD 是等补四边形; 探究:()2如图2,在等补四边形ABCD 中AB AD ,=,连接AC AC ,是否平分?BCD ∠请说明理由. 运用:()3如图3,在等补四边形ABCD 中,AB AD =,其外角EAD ∠的平分线交CD 的延长线于点105F CD AF ,=,=,求DF 的长.8.已知V ABC 内接于O e ,BAC ∠的平分线交O e 于点D ,连接DB ,DC .(1)如图①,当120BAC ∠=o 时,请直接写出线段AB ,AC ,AD 之间满足的等量关系式: ; (2)如图②,当90BAC ∠=o 时,试探究线段AB ,AC ,AD 之间满足的等量关系,并证明你的结论; (3)如图③,若BC =5,BD =4,求ADAB AC+ 的值.9.如图,在ABC ∆中,AB BC =,AD BC ⊥于点D ,BE AC ⊥于点E ,AD 与BE 交于点F ,BH AB ⊥于点B ,点M 是BC 的中点,连接FM 并延长交BH 于点H .(1)如图①所示,若30ABC ∠=o ,求证:DF BH +=; (2)如图②所示,若45ABC ∠=o ,如图③所示,若60ABC ∠=o (点M 与点D 重合),猜想线段DF 、BH 与BD 之间又有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想,不需证明.10.将在同一平面内如图放置的两块三角板绕公共顶点A旋转,连接BC,DE.探究S△ABC与S△ADC的比是否为定值.(1)两块三角板是完全相同的等腰直角三角板时,S△ABC:S△ADE是否为定值?如果是,求出此定值,如果不是,说明理由.(图①)(2)一块是等腰直角三角板,另一块是含有30°角的直角三角板时,S△ABC:S△ADE是否为定值?如果是,求出此定值,如果不是,说明理由.(图②)(3)两块三角板中,∠BAE+∠CAD=180°,AB=a,AE=b,AC=m,AD=n(a,b,m,n为常数),S△ABC:S△ADE是否为定值?如果是,用含a,b,m,n的式子表示此定值(直接写出结论,不写推理过程),如果不是,说明理由.(图③)11.如图1,对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.(1)概念理解:如图2,在四边形ABCD 中,AB AD =,CB CD =,问四边形ABCD 是垂美四边形吗?请说明理由;(2)性质探究:如图1,四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ,AC BD ⊥.试证明:2222AB CD AD BC +=+;(3)解决问题:如图3,分别以Rt ACB V 的直角边AC 和斜边AB 为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE ,连结CE 、BG 、GE .已知4AC =,5AB =,求GE 的长.12.(1)数学理解:如图①,△ABC是等腰直角三角形,过斜边AB的中点D作正方形DECF,分别交BC,AC于点E,F,求AB,BE,AF之间的数量关系;(2)问题解决:如图②,在任意直角△ABC内,找一点D,过点D作正方形DECF,分别交BC,AC于点E,F,若AB=BE+AF,求∠ADB的度数;(3)联系拓广:如图③,在(2)的条件下,分别延长ED,FD,交AB于点M,N,求MN,AM,BN的数量关系.13.如图,正方形ABCD 的边长为2,E 为AB 的中点,P 是BA 延长线上的一点,连接PC 交AD 于点F ,AP FD =.(1)求AFAP的值; (2)如图1,连接EC ,在线段EC 上取一点M ,使EM EB =,连接MF ,求证:MF PF =; (3)如图2,过点E 作EN CD ⊥于点N ,在线段EN 上取一点Q ,使AQ AP =,连接BQ ,BN .将AQB ∆绕点A 旋转,使点Q 旋转后的对应点'Q 落在边AD 上.请判断点B 旋转后的对应点'B 是否落在线段BN 上,并说明理由.14.在ABC ∆中,90ABC ∠=︒,ABn BC=,M 是BC 上一点,连接AM (1)如图1,若1n =,N 是AB 延长线上一点,CN 与AM 垂直,求证:BM BN =(2)过点B 作BP AM ⊥,P 为垂足,连接CP 并延长交AB 于点Q . ①如图2,若1n =,求证:CP BMPQ BQ=②如图3,若M 是BC 的中点,直接写出tan BPQ ∠的值(用含n 的式子表示)15.⑴如图1,E 是正方形ABCD 边AB 上的一点,连接BD DE 、,将BDE ∠绕着点D 逆时针旋转90°,旋转后角的两边分别与射线BC 交于点F 和点G . ①线段DB 和DG 的数量关系是 ; ②写出线段BE BF 、和DB 之间的数量关系.⑵当四边形ABCD 为菱形,ADC 60∠=o ,点E 是菱形ABCD 边AB 所在直线上的一点,连接BD DE 、,将BDE ∠绕着点D 逆时针旋转120°,旋转后角的两边分别与射线BC 交于点F 和点G .①如图2,点E 在线段上时,请探究线段BE BF 、和BD 之间的数量关系,写出结论并给出证明; ②如图3,点E 在线段AB 的延长线上时,DE 交射线BC 于点M ;若 BE 1,AB 2==,直接写出线段GM 的长度.16.教材呈现:如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容.例2 如图,在ABC ∆中,,D E 分别是边,BC AB 的中点,,AD CE 相交于点G ,求证:13GE GD CE AD ==,证明:连结ED .请根据教材提示,结合图①,写出完整的证明过程.结论应用:在ABCD Y 中,对角线AC BD 、交于点O ,E 为边BC 的中点,AE 、BD 交于点F . (1)如图②,若ABCD Y 为正方形,且6AB =,则OF 的长为 . (2)如图③,连结DE 交AC 于点G ,若四边形OFEG 的面积为12,则ABCD Y 的面积为 .17.如图1,在矩形ABCD 中,BC =3,动点P 从B 出发,以每秒1个单位的速度,沿射线BC 方向移动,作PAB ∆关于直线PA 的对称'PAB ∆,设点P 的运动时间为()t s(1)若AB =①如图2,当点B ’落在AC 上时,显然△PCB ’是直角三角形,求此时t 的值②是否存在异于图2的时刻,使得△PCB ’是直角三角形?若存在,请直接写出所有符合题意的t 的值?若不存在,请说明理由(2)当P 点不与C 点重合时,若直线PB ’与直线CD 相交于点M ,且当t <3时存在某一时刻有结论∠P AM =45°成立,试探究:对于t >3的任意时刻,结论∠P AM =45°是否总是成立?请说明理由.18.在等腰三角形ABC ∆中,AB AC =,作CM AB ⊥交AB 于点M ,BN AC ⊥交AC 于点N . (1)在图1中,求证:BMC CNB ∆≅∆;(2)在图2中的线段CB 上取一动点P ,过P 作//PE AB 交CM 于点E ,作//PF AC 交BN 于点F ,求证:PE PF BM +=;(3)在图3中动点P 在线段CB 的延长线上,类似(2)过P 作//PE AB 交CM 的延长线于点E ,作//PF AC 交NB 的延长线于点F ,求证:···AM PF OM BN AM PE +=.19.问题情境:如图1,在正方形ABCD中,E为边BC上一点(不与点B、C重合),垂直于AE的一条直线MN分别交AB、AE、CD于点M、P、N.判断线段DN、MB、EC之间的数量关系,并说明理由.问题探究:在“问题情境”的基础上,(1)如图2,若垂足P恰好为AE的中点,连接BD,交MN于点Q,连接EQ,并延长交边AD于点F.求∠AEF的度数;(2)如图3,当垂足P在正方形ABCD的对角线BD上时,连接AN,将△APN沿着AN翻折,点P落在点P'处.若正方形ABCD的边长为4 ,AD的中点为S,求P'S的最小值.问题拓展:如图4,在边长为4的正方形ABCD中,点M、N分别为边AB、CD上的点,将正方形ABCD 沿着MN翻折,使得BC的对应边B'C'恰好经过点A,C'N交AD于点F.分别过点A、F作AG⊥MN,FH⊥MN,垂足分别为G、H.若AG=52,请直接写出FH的长.20.箭头四角形,模型规律:如图1,延长CO 交AB 于点D ,则1BOC B A C B ∠∠+∠∠+∠+∠==..因为凹四边形ABOC 形似箭头,其四角具有“BOC A B C ∠∠+∠+∠=”这个规律,所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”.模型应用:(1)直接应用:①如图2,A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠= .②如图3,ABE ACE ∠∠、的2等分线(即角平分线)BF CF 、交于点F ,已知12050BEC BAC ∠=∠=o o ,,则BFC ∠=③如图4,i i BO CO 、分别为ABO ACO ∠∠、的2019等分线12320172018i =⋯(,,,,,).它们的交点从上到下依次为1232018O O O O ⋯、、、、.已知BOC m BAC n ∠=∠=o o ,,则1000BO C ∠= 度 (2)拓展应用:如图5,在四边形ABCD 中,2BC CD BCD BAD =∠=∠,.O 是四边形ABCD 内一点,且OA OB OD ==.求证:四边形OBCD 是菱形.21.如图1,在Rt △ABC 中,∠B =90°,BC =2AB =8,点D ,E 分别是边BC ,AC 的中点,连接DE ,将△EDC 绕点C 按顺时针方向旋转,记旋转角为α. (1)问题发现 ① 当0α︒=时,AEBD= ;② 当时,AEBD= (2)拓展探究试判断:当0°≤α<360°时,AEDB的大小有无变化?请仅就图2的情况给出证明. (3)问题解决当△EDC 旋转至A 、D 、E 三点共线时,直接写出线段BD 的长.22.操作体验:如图,在矩形ABCD中,点E、F分别在边AD、BC上,将矩形ABCD沿直线EF折叠,使点D恰好与点B重合,点C落在点C′处.点P为直线EF上一动点(不与E、F重合),过点P分别作直线BE、BF的垂线,垂足分别为点M和N,以PM、PN为邻边构造平行四边形PMQN.(1)如图1,求证:BE=BF;(2)特例感知:如图2,若DE=5,CF=2,当点P在线段EF上运动时,求平行四边形PMQN的周长;(3)类比探究:若DE=a,CF=b.①如图3,当点P在线段EF的延长线上运动时,试用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系,并证明;②如图4,当点P在线段FE的延长线上运动时,请直接用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系.(不要求写证明过程)23.如图,平面内的两条直线l1、l2,点A、B在直线l2上,过点A、B两点分别作直线l1的垂线,垂足分别为A1、B1,我们把线段A1B1叫做线段AB在直线l2上的正投影,其长度可记作T(AB,CD)或T(AB,l2),特别地,线段AC在直线l2上的正投影就是线段A1C,请依据上述定义解决如下问题.(1)如图1,在锐角△ABC中,AB=5,T(AC,AB)=3,则T(BC,AB)= ;(2)如图2,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,T(AC,AB)=4,T(BC,AB)=9,求△ABC的面积;(3)如图3,在钝角△ABC中,∠A=60°,点D在AB边上,∠ACD=90°,T(AD,AC)=2,T(BC,AB)=6,求T(BC,.CD)24.(1)(探究发现)如图1,EOF ∠的顶点O 在正方形ABCD 两条对角线的交点处,90EOF ︒∠=,将EOF ∠绕点O 旋转,旋转过程中,EOF ∠的两边分别与正方形ABCD 的边BC 和CD 交于点E 和点F (点F 与点C ,D 不重合).则,,CE CF BC 之间满足的数量关系是 . (2)(类比应用)如图2,若将(1)中的“正方形ABCD ”改为“120BCD ∠=o 的菱形ABCD ”,其他条件不变,当60EOF ∠=o 时,上述结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请猜想结论并说明理由. (3)(拓展延伸)如图3,120BOD =o ∠,34OD =,4OB =,OA 平分BOD ∠,AB =且2OB OA >,点C 是OB 上一点,60CAD ∠=o ,求OC 的长.25.根据相似多边形的定义,我们把四个角分别相等,四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形.相似四边形对应边的比叫做相似比.(1)某同学在探究相似四边形的判定时,得到如下三个命题,请判断它们是否正确(直接在横线上填写“真”或“假”).①条边成比例的两个凸四边形相似;( 命题) ②三个角分别相等的两个凸四边形相似;( 命题) ③两个大小不同的正方形相似.( 命题)(2)如图1,在四边形ABCD 和四边形A 1B 1C 1D 1中,∠ABC =∠A 1B 1C 1,∠BCD =∠B 1C 1D 1,111111AB BC CDA B B C C D ==,求证:四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1相似.(3)如图2,四边形ABCD 中,AB ∥CD ,AC 与BD 相交于点O ,过点O 作EF ∥AB 分别交AD ,BC 于点E ,F .记四边形ABFE 的面积为S 1,四边形EFDE 的面积为S 2,若四边形ABFE 与四边形EFCD 相似,求21S S 的值.26.在△ABC 中,已知D 是BC 边的中点,G 是△ABC 的重心,过G 点的直线分别交AB 、AC 于点E 、F .(1)如图1,当EF ∥BC 时,求证:1BE CFAE AF+=; (2)如图2,当EF 和BC 不平行,且点E 、F 分别在线段AB 、AC 上时,(1)中的结论是否成立?如果成立,请给出证明;如果不成立,请说明理由.(3)如图3,当点E 在AB 的延长线上或点F 在AC 的延长线上时,(1)中的结论是否成立?如果成立,请给出证明;如果不成立,请说明理由.27.如图,在等腰Rt ABC V 中,90,ACB AB ∠==o 点D ,E 分别在边AB ,BC 上,将线段ED 绕点E 按逆时针方向旋转90º得到EF .(1)如图1,若AD BD =,点E 与点C 重合,AF 与DC 相交于点O .求证:2BD DO =. (2)已知点G 为AF 的中点.①如图2,若,2AD BD CE ==,求DG 的长.②若6AD BD =,是否存在点E ,使得DEG △是直角三角形?若存在,求CE 的长;若不存在,试说明理由.28.(1)方法选择如图①,四边形ABCD 是O e 的内接四边形,连接AC ,BD ,AB BC AC ==.求证:BD AD CD =+. 小颖认为可用截长法证明:在DB 上截取DM AD =,连接AM …小军认为可用补短法证明:延长CD 至点N ,使得DN AD =…请你选择一种方法证明.(2)类比探究(探究1)如图②,四边形ABCD 是O e 的内接四边形,连接AC ,BD ,BC 是O e 的直径,AB AC =.试用等式表示线段AD ,BD ,CD 之间的数量关系,并证明你的结论.(探究2)如图③,四边形ABCD 是O e 的内接四边形,连接AC ,BD .若BC 是O e 的直径,30ABC ∠=︒,则线段AD ,BD ,CD 之间的等量关系式是______.(3)拓展猜想如图④,四边形ABCD 是O e 的内接四边形,连接AC ,BD .若BC 是O e 的直径,::::BC AC AB a b c =,则线段AD ,BD ,CD 之间的等量关系式是______.29.(1)证明推断:如图(1),在正方形ABCD 中,点E ,Q 分别在边BC ,AB 上,DQ AE ⊥于点O ,点G ,F 分别在边CD ,AB 上,GF AE ⊥.①求证:DQ AE =; ②推断:GF AE的值为 ; (2)类比探究:如图(2),在矩形ABCD 中,BC k AB =(k 为常数).将矩形ABCD 沿GF 折叠,使点A 落在BC 边上的点E 处,得到四边形FEPG ,EP 交CD 于点H ,连接AE 交GF 于点O .试探究GF 与AE CP 之间的数量关系,并说明理由;(3)拓展应用:在(2)的条件下,连接CP ,当23k =时,若3tan 4CGP ∠=,GF =CP 的长.30.在ABC ∆,CA CB =,ACB α∠=.点P 是平面内不与点A ,C 重合的任意一点.连接AP ,将线段AP 绕点P 逆时针旋转α得到线段DP ,连接AD ,BD ,CP .(1)观察猜想如图1,当60α︒=时,BD CP 的值是 ,直线BD 与直线CP 相交所成的较小角的度数是 . (2)类比探究如图2,当90α︒=时,请写出BD CP 的值及直线BD 与直线CP 相交所成的小角的度数,并就图2的情形说明理由.(3)解决问题当90α︒=时,若点E ,F 分别是CA ,CB 的中点,点P 在直线EF 上,请直接写出点C ,P ,D 在同一直线上时AD CP的值.。
专题七 类比探究题类型一 线段数量关系问题(2018·河南)(1)问题发现如图①,在△OAB 和△OCD 中,OA =OB ,OC =OD ,∠AOB=∠COD=40°,连接AC ,BD 交于点M.填空: ①ACBD的值为________; ②∠AMB 的度数为________; (2)类比探究如图②,在△OAB 和△OCD 中,∠AOB=∠COD=90°,∠OAB=∠OCD=30°,连接AC 交BD 的延长线于点M.请判断ACBD 的值及∠AMB 的度数,并说明理由;(3)拓展延伸在(2)的条件下,将△OCD 绕点O 在平面内旋转,AC ,BD 所在直线交于点M ,若OD =1,OB =7,请直接写出当点C 与点M 重合时AC 的长.【分析】 (1)①证明△COA≌△DOB(SAS),得AC =BD ,比值为1;②由△COA≌△DOB,得∠CAO=∠DBO,根据三角形的内角和定理,得∠AMB=180°-(∠DBO+∠OAB+∠ABD)=180°-140°=40°;(2)根据两边的比相等且夹角相等可得△AOC∽△BOD,则AC BD =OCOD=3,由全等三角形的性质得∠AMB 的度数;(3)正确画出图形,当点C 与点M 重合时,有两种情况:如解图①和②,同理可得△AOC∽△BOD,则∠AMB=90°,ACBD =3,可得AC 的长.【自主解答】解:(1)问题发现①1【解法提示】∵∠AOB=∠COD=40°, ∴∠COA=∠DOB. ∵OC=OD ,OA =OB , ∴△COA≌△DOB(SAS), ∴AC=BD , ∴ACBD=1. ②40°【解法提示】∵△COA≌△DOB, ∴∠CAO=∠DBO. ∵∠AOB=40°, ∴∠OAB+∠ABO=140°,在△AMB 中,∠AMB=180°-(∠CAO+∠OAB+∠ABD)=180°-(∠DBO+∠OAB+∠ABD)=180°-140°=40°. (2)类比探究ACBD=3,∠AMB=90°,理由如下: 在Rt△OCD 中,∠DCO=30°,∠DOC=90°, ∴OD OC =tan 30°=33, 同理,得OB OA =tan 30°=33,∵∠AOB=∠COD=90°, ∴∠AOC=BOD , ∴△AOC∽△BOD, ∴AC BD =OCOD=3,∠CAO=∠DBO. ∴∠AMB=180°-∠CAO-∠OAB-MBA =180°-(∠DAB+∠MBA+∠OBD)=180°-90°=90°. (3)拓展延伸①点C 与点M 重合时,如解图①, 同理得△AOC∽△BOD, ∴∠AMB=90°,ACBD =3,设BD =x ,则AC =3x , 在Rt△COD 中,∵∠OCD=30°,OD =1, ∴CD=2, ∴BC=x -2.在Rt△AOB 中,∠OAB=30°,OB =7. ∴AB=2OB =27,在Rt△AMB 中,由勾股定理,得AC 2+BC 2=AB 2, 即( 3 x)2+(x -2)2=(27)2, 解得x 1=3,x 2=-2(舍去), ∴AC=33;②点C 与点M 重合时,如解图②,同理得:∠AMB=90°,ACBD =3,设BD =x ,则AC =3x ,在Rt△AMB 中,由勾股定理,得AC 2+BC 2=AB 2, 即(3x)2+(x +2)2=(27)2解得x 1=-3,解得x 2=2(舍去). ∴AC=2 3.综上所述,AC 的长为33或2 3.图①图② 例1题解图1.(2016·河南) (1)发现如图①,点A 为线段BC 外一动点,且BC =a ,AB =b.填空:当点A 位于________________时,线段AC 的长取得最大值,且最大值为__________(用含a ,b 的式子表示). (2)应用点A 为线段BC 外一动点,且BC =3,AB =1,如图②所示,分别以AB ,AC 为边,作等边三角形ABD 和等边三角形ACE ,连接CD ,BE.①请找出图中与BE 相等的线段,并说明理由; ②直接写出线段BE 长的最大值. (3)拓展如图③,在平面直角坐标系中,点A 的坐标为(2,0),点B 的坐标为(5,0),点P 为线段AB 外一动点,且PA =2,PM =PB ,∠BPM=90°,请直接写出线段AM 长的最大值及此时点P 的坐标.2.(2015·河南)如图①,在Rt△ABC 中,∠B=90°,BC =2AB =8,点D ,E 分别是边BC ,AC 的中点,连接DE.将△EDC 绕点C 按顺时针方向旋转,记旋转角为α. (1)问题发现①当α=0°时,AE BD =2;②当α=180°时,AE BD =2;(2)拓展探究试判断:当0°≤α<360°时,AEBD 的大小有无变化?请仅就图②的情形给出证明.(3)解决问题当△EDC 旋转至A ,D ,E 三点共线时,直接写出线段BD 的长.3.(2014·河南) (1)问题发现如图①,△ACB 和△DCE 均为等边三角形,点A ,D ,E 在同一直线上,连接BE. 填空:①∠AEB 的度数为__________;②线段AD ,BE 之间的数量关系为______________. (2)拓展探究如图②,△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,点A ,D ,E 在同一直线上,CM 为△DCE 中DE 边上的高,连接BE ,请判断∠AEB 的度数及线段CM ,AE ,BE 之间的数量关系,并说明理由. (3)解决问题如图③,在正方形ABCD 中,CD =2,若点P 满足PD =1,且∠BPD=90°,请直接写出点A 到BP 的距离.4.(2018·南阳二模)在△ABC中,∠ACB是锐角,点D在射线BC上运动,连接AD,将线段AD绕点A逆时针旋转90°,得到AE,连接EC.(1)操作发现若AB=AC,∠BAC=90°,当D在线段BC上时(不与点B重合),如图①所示,请你直接写出线段CE和BD的位置关系和数量关系是______________,______________;(2)猜想论证在(1)的条件下,当D在线段BC的延长线上时,如图②所示,请你判断(1)中结论是否成立,并证明你的判断.(3)拓展延伸如图③,若AB≠AC,∠BAC≠90°,点D在线段BC上运动,试探究:当锐角∠ACB等于________度时,线段CE和BD之间的位置关系仍成立(点C,E重合除外)?此时若作DF⊥AD交线段CE于点F,且当AC=32时,请直接写出线段CF的长的最大值是____.5.已知,如图①,△ABC,△AED是两个全等的等腰直角三角形(其顶点B,E重合),∠BAC=∠AED=90°,O为BC的中点,F为AD的中点,连接OF.(1)问题发现①如图①,OFEC=_______;②将△AED 绕点A 逆时针旋转45°,如图②,OFEC =_______;(2)类比延伸将图①中△AED 绕点A 逆时针旋转到如图③所示的位置,请计算出OFEC 的值,并说明理由.(3)拓展探究将图①中△AED 绕点A 逆时针旋转,旋转角为α,0°≤α≤90°,AD =2,△AED 在旋转过程中,存在△ACD 为直角三角形,请直接写出线段CD 的长.类型二 图形面积关系问题(2017·河南)如图①,在Rt△ABC 中,∠A=90°,AB =AC ,点D ,E 分别在边AB ,AC 上,AD =AE ,连接DC ,点M ,P ,N 分别为DE ,DC ,BC 的中点. (1)观察猜想图①中,线段PM 与PN 的数量关系是________,位置关系是________; (2)探究证明把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图②的位置,连接MN ,BD ,CE ,判断△PMN 的形状,并说明理由; (3)拓展延伸把△ADE 绕A 在平面内自由旋转,若AD =4,AB =10,请直接写出△PMN 面积的最大值.图①图② 例2题图【分析】 (1)利用三角形的中位线定理得出PM =12CE ,PN =12BD ,进而判断出BD =CE ,即可得出结论,再利用三角形的中位线定理得出PM∥CE,继而得出∠DPM=∠DCA,最后用互余即可得出结论;(2)先判断出△ABD≌△ACE,得出BD =CE ,同(1)的方法得出PM =12BD ,PN =12BD ,即可得出PM =PN ,同(1)的方法即可得出结论;(3)先判断出MN 最大时,△PMN 的面积最大,进而求出AN ,AM ,即可得出MN 最大=AM +AN ,最后用面积公式即可得出结论. 【自主解答】解:(1)∵点P ,N 是BC ,CD 的中点, ∴PN∥BD,PN =12BD.∵点P ,M 是CD ,DE 的中点, ∴PM∥CE,PM =12CE.∵AB=AC ,AD =AE , ∴BD =CE , ∴PM=PN. ∵PN∥BD, ∴∠DPN=∠ADC, ∵PM∥CE, ∴∠DPM=∠D CA. ∵∠BAC=90°, ∴∠ADC+∠ACD=90°,∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCA+∠ADC=90°,(2)由旋转知,∠BAD=∠CAE, ∵AB=AC ,AD =AE , ∴△ABD≌△ACE(SAS), ∴∠ABD=∠ACE,BD =CE.同(1)的方法,利用三角形的中位线定理,得PN =12BD ,PM =12CE ,∴PM=PN ,∴△PMN 是等腰三角形, 同(1)的方法得,PM∥CE, ∴∠DPM=∠DCE, 同(1)的方法得,P N∥BD, ∴∠PNC=∠DBC.∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC,∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC. ∵∠BAC=90°, ∴∠ACB+∠ABC=90°, ∴∠MPN=90°,∴△PMN 是等腰直角三角形,例2题解图(3)如解图,同(2)的方法得,△PMN 是等腰直角三角形, ∴当MN 最大时,△PMN 的面积最大, ∴DE∥BC 且DE 在顶点A 上面, ∴M N 最大=AM +AN , 连接AM ,AN ,在△ADE 中,AD =AE =4,∠DAE=90°,在Rt△ABC 中,AB =AC =10,AN =52, ∴MN 最大=22+52=72,∴S △PMN 最大=12PM 2=12×12MN 2=14×(72)2=492.1.(2013·河南)如图①,将两个完全相同的三角形纸片ABC 和DEC 重合放置,其中∠C=90°,∠B=∠E=30°. (1)操作发现如图②,固定△ABC,使△DEC 绕点C 旋转,当点D 恰好落在AB 边上时,填空: ①线段DE 与AC 的位置关系是______________;②设△BDC 的面积为S 1,△AEC 的面积为S 2,则S 1与S 2的数量关系是______________. (2)猜想论证当△DEC 绕点C 旋转到如图③所示的位置时,小明猜想(1)中S 1与S 2的数量关系仍然成立,并尝试分别作出了△BDC 和△AEC 中BC ,CE 边上的高,请你证明小明的猜想. (3)拓展探究已知∠ABC=60°,点D 是角平分线上一点,BD =CD =4,DE∥AB 交BC 于点E(如图④).若在射线BA 上存在点F ,使S △DCF =S △BDE ,请直接写出相应的BF 的长.2.已知Rt△ABC 中,BC =AC ,∠C=90°,D 为AB 边的中点,∠EDF=90°,将∠EDF 绕点D 旋转,它的两边分别交AC ,CB(或它们的延长线)于E ,F.当∠EDF 绕点D 旋转到DE⊥AC 于E 时,如图①所示,试证明S △DEF +S △CEF =12S △ABC .(1)当∠EDF 绕点D 旋转到DE 和AC 不垂直时,如图②所示,上述结论是否成立?若成立,请说明理由;若不成立,试说明理由.(2)直接写出图③中,S△DEF,S△CEF与S△ABC之间的数量关系.3.(2018·郑州模拟)如图①所示,将两个正方形ABCD和正方形CGFE如图所示放置,连接DE,BG.(1)图中∠DCE+∠BCG=__________°;设△DCE的面积为S1,△BCG的面积为S2,则S1与S2的数量关系为______________;猜想论证:(2)如图②所示,将矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转后得到矩形FECG,连接DE,BG,设△DCE的面积为S1,△BCG的面积为S2,猜想S1和S2的数量关系,并加以证明;(3)如图③所示,在△ABC中,AB=AC=10 cm,∠B=30°,把△ABC沿AC翻折得到△AEC,过点A作AD平行CE交BC于点D,在线段CE上存在点P,使△ABP的面积等于△ACD的面积,请写出CP的长.4.(2018·驻马店一模)如图①,△ABC与△CDE都是等腰直角三角形,直角边AC,CD在同一条直线上,点M,N分别是斜边AB,DE的中点,点P为AD的中点,连接AE,BD,PM,PN,MN.(1)观察猜想图①中,PM与PN的数量关系是______________,位置关系是______________;(2)探究证明将图①中的△CDE绕着点C顺时针旋转α(0°<α<90°),得到图②,AE与MP,BD分别交于点G,H,判断△PMN的形状,并说明理由;(3)拓展延伸把△CDE绕点C任意旋转,若AC=4,CD=2,请直接写出△PMN面积的最大值.参考答案类型一 针对训练1.解:(1)∵点A 为线段BC 外一动点,且BC =a ,AB =b ,∴当点A 位于CB 的延长线上时,线段AC 的长取得最大值,且最大值为BC +AB =a +b. (2)①CD=BE ,理由:∵△ABD 与△ACE 是等边三角形, ∴AD=AB ,AC =AE ,∠BAD=∠CAE=60°, ∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC,即∠CAD=∠EAB. 在△CAD 和△EAB 中,⎩⎪⎨⎪⎧AD =AB ∠CAD=∠EAB AC =AE ,∴△CAD≌△EAB,∴CD=BE.②∵线段BE 长的最大值等于线段CD 的最大值,由(1)知,当线段CD 的长取得最大值时,点D 在CB 的延长线上, ∴线段BE 长的最大值为BD +BC =AB +BC =4;(3)∵将△APM 绕着点P 顺时针旋转90°得到△PBN,连接AN ,如解图①, 则△APN 是等腰直角三角形, ∴PN=PA =2,BN =AM.∵点A 的坐标为(2,0),点B 的坐标为(5,0), ∴OA=2,OB =5,∴AB=3,1 ∴线段AM长的最大值等于线段BN长的最大值,∴当点N在线段BA的延长线时,线段BN取得最大值,最大值为AB+AN.∵AN=2AP=22,∴线段AM的长最大值为22+3.如解图②,过点P作PE⊥x轴于点E.∵△APN是等腰直角三角形,∴PE=AE=2,∴OE=BO-AB-AE=5-3-2=2-2,∴P(2-2,2).图①图②第1题解图2.解:(1)①当α=0°时,∵在Rt△ABC中,∠B=90°,∴AC=AB2+BC2=(8÷2)2+82=4 5.∵点D、E分别是边BC、AC的中点,∴AE=45÷2=25,BD=8÷2=4,∴AEBD=254=52.②如解图①,当α=180°时,得可得AB∥DE,∵ACAE=BCBD,∴AEBD=ACBC=458=52.(2)当0°≤α≤360°时,AEBD的大小没有变化.1∵∠ECD=∠ACB, ∴∠ECA=∠DCB. 又∵EC DC =AC BC =52,∴△ECA∽△DCB, ∴AE BD =EC DC =52.图①图②图③ 第2题解图(3)①如解图②,∵AC=45,CD =4,CD⊥AD,∴AD=AC 2-CD 2=(45)2-42=80-16=8. ∵AD=BC ,AB =DC ,∠B=90°, ∴四边形ABCD 是矩形, ∴BD=AC =4 5.③如解图③,连接BD ,过点D 作AC 的垂线交AC 于点Q ,过点B 作AC 的垂线交AC 于点P , ∵AC=45,CD =4,CD⊥AD,∴AD=AC 2-CD 2=(45)2-42=80-16=8, ∵点D 、E 分别是边BC 、AC 的中点, ∴DE=12AB =12×(8÷2)=12×4=2,∴AE=AD -DE =8-2=6, 由(2),可得AE BD =52,1∴BD=652=1255.综上所述,BD 的长为45或1255. 3.解:(1)∵△ACB 和△DCE 均为等边三角形, ∴CA=CB ,CD =CE ,∠ACB=∠DCE=60°, ∴∠ACD=∠BCE. 在△ACD 和△BCE 中, ⎩⎪⎨⎪⎧AC =BC ∠ACD=∠BCE CD =CE, ∴△ACD≌△BCE(SAS),∴∠ADC=∠BEC. ∵△DCE 为等边三角形,∴∠CDE=∠CED=60°. ∵点A ,D ,E 在同一直线上,∴∠ADC=120°, ∴∠BEC=120°,∴∠AEB=∠BEC-∠CED=60°. ②∵△ACD≌△BCE,∴AD=BE. (2)∠AEB=90°,AE =BE +2CM. 理由如下:∵△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形, ∴CA=CB ,CD =CE ,∠ACB=∠DCE=90°. ∴∠ACD=∠BCE. 在△ACD 和△BCE 中, ⎩⎪⎨⎪⎧CA =CB ∠ACD=∠BCE CD =CE, ∴△ACD≌△BCE(SAS), ∴AD=BE ,∠ADC=∠BEC.∵△DCE 为等腰直角三角形,∴∠CDE=∠CED=45°. ∵点A ,D ,E 在同一直线上, ∴∠ADC=135°,∴∠BEC=135°, ∴∠AEB=∠BEC-∠CED=90°. ∵CD=CE ,CM⊥DE,∴DM=ME. ∵∠DCE=90°,∴DM=ME =CM , ∴A E =AD +DE =BE +2CM.(3)∵PD=1,∴点P 在以点D 为圆心,1为半径的圆上.1 ∵∠BPD=90°,∴点P在以BD为直径的圆上,∴点P是这两圆的交点.①当点P在如解图①所示位置时,连接PD,PB,PA,作AH⊥BP,垂足为H,过点A作AE⊥AP,交BP于点E.∵四边形ABCD是正方形,∴∠ADB=45°,AB=AD=DC=BC=2,∠BAD=90°,∴BD=2.∵DP=1,∴BP= 3.∵∠BPD=∠BAD=90°,∴点A、P、D、B在以BD为直径的圆上,∴∠APB=∠ADB=45°.∴△PAE是等腰直角三角形.又∵△BAD是等腰直角三角形,点B,E,P共线,AH⊥BP,∴由(2)中的结论可得:BP=2AH+PD,∴3=2AH+1,∴AH=3-1 2;②当点P在如解图②所示位置时,连接PD、PB、PA、作AH⊥BP,垂足为H,过点A作AE⊥AP,交PB的延长线于点E,同理可得:BP=2AH-PD,∴3=2AH-1,∴AH=3+1 2.综上所述,点A到BP的距离为3-12或3+12.图①1图② 第3题解图4.解:(1)①∵AB=AC ,∠BAC=90°, 线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到AE , ∴AD=AE ,∠BAD=∠CAE, ∴△BAD≌△CAE, ∴CE=BD ,∠ACE =∠B, ∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°,∴线段CE ,BD 之间的位置关系和数量关系为CE =BD ,CE⊥BD; (2)(1)中的结论仍然成立.证明如下: 如解图①,∵线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到AE , ∴AE=AD ,∠DAE=90°. ∵AB=AC ,∠BAC=90°, ∴∠CAE=∠BAD, ∴△ACE≌△ABD, ∴CE=BD ,∠ACE=∠B, ∴∠BCE=90°,∴线段CE ,BD 之间的位置关系和数量关系为CE =BD ,CE⊥BD; (3)45°;34.过A 作AM⊥BC 于M ,过点E 作EN⊥MA 交MA 的延长线于N ,如解图②. ∵线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到AE , ∴∠DAE=90°,AD =AE ,∴∠NAE=∠ADM,易证得Rt△AMD≌Rt△ENA, ∴NE=AM.∵CE⊥BD,即CE⊥MC,∴∠MCE=90°, ∴四边形MCEN 为矩形, ∴NE=MC ,∴AM=MC , ∴∠ACB=45°. ∵四边形MCEN 为矩形, ∴Rt△AMD∽Rt△DCF, ∴MD CF =AMDC,设DC =x , ∵在Rt△AMC 中,∠ACB=45°,AC =32,1∴AM=CM =3,MD =3-x ,∴3-x CF =3x, ∴CF=-13x 2+x =-13(x -32)2+34,∴当x =32时,CF 有最大值,最大值为34.故答案为45°,34;图①图② 第4题解图5.解:(1)①∵△ABC,△AED 是两个全等的等腰直角三角形, ∴AD=BC.∵O 为BC 的中点,F 为AD 的中点, ∴AF=OC.∵∠BAC=∠AED=90°,AB =AC ,AE =DE , ∴∠DAE=∠CBA=45°, ∴AD∥BC,∴四边形AFOC 是平行四边形, ∴OF=AC =22EC ,∴OF EC =22; 故答案:22; ②∵AO=22AC ,∠BAO=∠CAO=45°,∠DAE=45°, ∴∠DAE=∠CAO. ∵AE=AC , ∴AF=AO , ∴AF AE =AO AC,1∴△AFO∽△AEC, ∴OF EC =AO AC =22; 故答案:22. (2)OF =22EC. 理由:在等腰直角△ADE 中,F 为AD 的中点, ∴AF=12AD =22AE.在等腰直角△ABC 中,O 为BC 的中点, 如解图①,连接AO , ∴AO=22AC ,∠BAO=∠CAO=45°. ∴∠DAE=45°,∴∠DAE=∠CAO,即∠DAO=∠CAE. ∵AE=AC , ∴AF=AO , ∴AF AE =AO AC, ∴△AFO∽△AEC, ∴OF EC =AO AC =22; (3)∵△ABC 和△AED 是两个全等的等腰直角三角形, ∴AD=BC =2, ∴ED=AE =AB =AC =1,当△ACD 为直角三角形时,分两种情况:图①图②图③ 第5题解图①当AD 与AB 重合时,如解图②,连接CD. 当△ACD 为直角三角形时,AD⊥AC, 即将△ADE 绕点A 逆时针旋转45°. ∵AD=2,AC =1,∴由勾股定理可得CD =(2)2+12=3; ②当AE 与AC 重合时,如解图③, 当△ACD 为直角三角形时,AC⊥CD,即将△ADE 绕点A 逆时针旋转90°,此时CD =AC =1. 综上所述,CD 的长为3或1. 类型二 针对训练1.解:(1)①△DEC 绕点C 旋转到点D 恰好落在AB 边上, ∴AC=CD.∵∠BAC=90°-∠B=90°-30°=60°. ∴△ACD 是等边三角形, ∴∠ACD=60°,又∵∠CDE=∠BAC=60°, ∴∠ACD=∠CDE, ∴DE∥AC;②∵∠B=30°,∠C=90°, ∴CD=AC =12AB ,∴BD=AD =AC ,根据等边三角形的性质,△ACD 的边AC ,AD 上的高相等,∴△BDC 的面积和△AEC 的面积相等(等底等高的三角形的面积相等),即S 1=S 2; (2)∵△DEC 是由△ABC 绕点C 旋转得到, ∴BC=CE ,AC =CD ,∠DCE=∠ACB=90°, ∵∠ACN+∠ACE=180°, ∴∠ACN=∠DCM.在△ACN 和△DCM 中,⎩⎪⎨⎪⎧∠ACN=∠DCM,∠N=∠CMD=90°,AC =CD∴△ACN≌△DCM(AAS), ∴AN=DM ,∴△BDC 的面积和△AEC 的面积相等(等底等高的三角形的面积相等),即S 1=S 2;第1题解图(3)如解图,过点D 作DF 1∥BE 交BA 于点F 1,易求得四边形BEDF 1是菱形,∴BE=DF 1,且BE ,DF 1边上的高相等,此时S△DCF 1=S △BDE ; 过点D 作DF 2⊥BD.∵∠ABC=60°,F 1D∥BE 交BA 于点F 2, ∴∠F 2F 1D =∠ABC=60°.∵BF 1=DF 1,∠F 1BD =12∠ABC=30°,∠F 2DB =90°,∴∠F 1DF 2=∠ABC=60° ∴△DF 1F 2是等边三角形, ∴DF 1=DF 2.∵BD=CD ,∠ABC=60°,点D 是角平分线上一点, ∴DBC=∠DCB=12×60°=30°,∴∠CDF 1=180°-∠BCD=180°-30°=150°, ∠CDF 2=360°-150°-60°=150°, ∴∠CDF 1=∠CDF 2. 在△CDF 1和△CDF 2中, ⎩⎪⎨⎪⎧DF 1=DF 2∠CDF 1=∠CDF 2CD =CD, ∴△C DF 1≌△CDF 2(SAS),∴点F 2也是所求的点. ∵∠ABC=60°,点D 是角平分线上一点,DE∥AB, ∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=12×60°=30°.又∵BD=4,∴BE=12×4÷cos 30°=2÷32=433,∴BF 1=433,BF 2=BF 1+F 1F 2=433+433=833.故BF 的长为433或833.2.解:当∠EDF 绕D 点旋转到DE⊥AC 时,四边形CEDF 是正方形;设△ABC 的边长AC =BC =a ,则正方形CEDF 的边长为12a ,∴S △ABC =12a 2,S 正方形CEDF =(12a)2=14a 2,即S △DEF +S △CEF =12S △ABC ;(1)上述结论成立;理由如下: 连接CD ,如解图①所示.∵AC=BC ,∠ACB=90°,D 为AB 中点,∴∠B=45°,∠DCE=12∠ACB=45°,CD⊥AB,CD =12AB =BD ,∴∠DCE=∠B,∠CDB=90° ∵∠EDF=90°, ∴∠1=∠2, 在△CDE 和△BDF 中, ⎩⎪⎨⎪⎧∠1=∠2CD =BD∠DCE=∠B, ∴△CDE≌△BDF(ASA),∴S △DEF +S △CEF =S △ADE +S △BDF =12S △ABC ;图①图② 第2题解图1(2)S △DEF -S △CEF =12S △ABC ;理由如下:连接CD ,如解图②所示,同(1)得:△DEC≌△DFB,∠DCE=∠DBF=135°, ∴S △DEF =S 五边形DBFEC , S △CFE +S △DBC , =S △CFE +12S △ABC ,∴S △DEF -S △CFE =12S △ABC .∴S △DEF 、S △CEF 、S △ABC 的关系是S △DEF -S △CEF =12S △ABC .3.解:(1)如解图①中,∵四边形ABCD 、EFGC 都是正方形, ∴∠BCD=∠ECG=90°.∵∠BCG+∠BCD+∠DCE+∠ECG=360°, ∴∠BCG+∠ECD=180°.图①图②图③ 第3题解图如解图①,过点E 作EM⊥DC 于点M ,过点G 作GN⊥BN 交BN 的延长线于点N , ∴∠EMC=∠N=90°.∵四边形ABCD 和四边形ECGF 均为正方形, ∴∠BCD=∠DCN=∠ECG=90°,CB =CD ,CE =CG ,1∴∠1=90°-∠2,∠3=90°-∠2, ∴∠1=∠3. 在△CME 和△CNG 中, ⎩⎪⎨⎪⎧∠EMC=∠GNC ∠1=∠3EC =CG, ∴△CME≌△CNG(ASA), ∴EM=GN.又∵S 1=12CD·EM,S 2=12CB·GN,∴S 1=S 2;故答案为180°,S 1=S 2; (2)猜想:S 1=S 2,证明:如解图②,过点E 作EM⊥DC 于点M ,过点B 作BN⊥GC 交GC 的延长线于点N , ∴∠EMC=∠N=90°.∵矩形CGFE 由矩形ABCD 旋转得到的, ∴CE=CB ,CG =CD ,∵∠ECG=∠ECN=∠BCD=90°,∴∠1=90°-∠2,∠3=90°-∠2,∴∠1=∠3. 在△CME 和△CNB 中, ⎩⎪⎨⎪⎧∠EMC=∠BNC ∠1=∠3EC =CB, ∴△CME≌△CNB(AAS). ∴EM=BN.又∵S 1=12CD·EM,S 2=12CG ·BN ,∴S 1=S 2;(3)如解图③,作DM⊥AC 于M ,延长BA ,交EC 于N , ∵AB=AC =10 cm ,∠B=30°, ∴∠ACB=∠ABC=30°, ∴∠BAC=120°,根据翻折的性质,得∠ACE=∠ACB=30°, ∵AD∥CE,∴∠DAC=∠ACE=30°, ∴∠BAD=90°,DM =12AD ,1∴BN⊥EC.∵AD=tan∠ABD·AB,AB =10 cm , ∴AD=tan 30°×10=103 3 (cm),∴DM=12×1033=533(cm).∵S △ABP =12AB·PN,S △ADC =12AC·DM ,S △ABP =S △ADC ,AB =AC ,∴PN=DM =533.在Rt△ANC 中,∠ACN=30°,AC =10 (cm), ∴NC=cos∠ACN·AC=cos 30°×10=53(cm). ∵在EC 上到N 的距离等于533的点有两个,∴P′C=103 3 cm ,P ″C =203 3 cm.∴CP 的长为103 3 cm 或203 3 cm.4.解:(1)PM =PN ,PM⊥PN,理由如下: 如解图①,延长AE 交BD 于O , ∵△ACB 和△ECD 是等腰直角三角形, ∴AC=BC ,EC =CD ,∠ACB=∠ECD=90°. 在△ACE 和△BCD 中, ⎩⎪⎨⎪⎧AC =BC ,∠ACE=∠BCD=90°,CE =CD ,∴△ACE≌△BCD(SAS), ∴AE=BD ,∠EAC=∠CBD,∵∠EAC+∠AEC=90°,∠AEC=∠BEO, ∴∠CBD+∠BEO=90°, ∴∠BOE =90°,即AE⊥BD,∵点M 、N 分别是斜边AB 、DE 的中点,点P 为AD 的中点, ∴PM=12BD ,PN =12AE ,∴PM=PN.∵PM∥BD,PN∥AE,AE⊥BD,∴∠NPD=∠EAC,∠MPA=∠BDC,∠EAC+∠BDC=90°, ∴∠MPA+∠NPC=90°,1∴∠MPN=90°, 即PM⊥PN.图①图② 第4题解图(2)△PMN 为等腰直角三角形,理由如下: 如解图②,设AE 交BC 于点O. ∵△ACB 和△ECD 是等腰直角三角形, ∴AC=BC ,EC =CD ,∠ACB=∠ECD=90°, ∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE, ∴∠ACE=∠BCD, ∴△ACE≌△BCD, ∴AE=BD ,∠CAE =∠CBD. 又∵∠AOC=∠BOE,∠CAE=∠CBD, ∴∠BHO=∠ACO=90°.∵点P ,M ,N 分别为AD ,AB ,DE 的中点, ∴PM=12BD ,PM∥BD,PN =12AE ,PN∥AE,∴PM=PN ,∴∠MGE+∠BHA=180°, ∴∠MGE=90°, ∴∠MPN=90°,∴PM⊥PN,即△PMN 为等腰直角三角形.(3)由(2)可知△PMN 是等腰直角三角形,PM =12BD ,∴当BD 的值最大时,PM 的值最大,△PMN 的面积最大, ∴当B ,C ,D 共线时,BD 的最大值为BC +CD =6, ∴PM=PN =3,1∴△PMN 面积的最大值为12×3×3=92.。
2019-2020年中考北师大版中考数学专题复习:分析对应关系 回归
本质测试题
(1)求抛物线的解析式.
(2)若D 是抛物线的顶点,E 是抛物线的对称轴与直线AC 的交点,F 与E 关于D 对称.求证:∠CFE =∠AFE .
(3)在y 轴上是否存在这样的点P ,使△AFP 与△FDC 相似?若存在,请求出所有符合条件的点P 的坐标;若不存在,请说明理由.
1.如图1,已知抛物线经过A(3,0),B(4,4)两点.
(1)求抛物线的解析式.
(2)将直线OB向下平移m个单位长度后,得到的直线与抛物线只有一个公共点D,求m的值及点D的坐标.
(3)如图2,若点N在抛物线上,且∠NBO=∠ABO,则在(2)的条件下,求出所有满足△POD∽△NOB的点P的坐标.
3S39324 999C 馜beT$38877 97DD 韝 31902 7C9E 粞22526 57FE 埾 $+35028 88D4 裔。
2024年中考数学模拟考试试卷-有答案(北师大版)(满分:150分;考试时间:120分钟)学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________一.选择题:本题共10小题,每小题4分,共40分.每小题只有一个选项符合题目要求.1.一个立体图形的三视图如图所示,则该立体图形是()A.圆柱B.圆锥C.长方体D.三棱柱2.某软件是人工智能技术驱动的自然语言处理工具,它能够基于在预训练阶段所见的模式和统计规律,来生成回答,还能根据聊天的上下文进行互动,真正像人类一样来聊天交流,甚至能完成撰写论文、邮件、脚本、文案、翻译、代码等任务,功能非常强大.有研究发现,该软件是20000000000参数量的模型,将数据20000000000用科学记数法表示为()A.0.2x1011B.20x109C.2x1010D.2x10113.如图,已知直线AB∥CD,EG平分∠BEF,∠1=40°,则∠2的度数为()A.70°B.50°C.40°D.140°4.实数a,b,c在数轴上对应点的位置如图所示,下列式子正确的是()A.c(b﹣a)<0B.b(c﹣a)<0C.a(b﹣c)>0D.a(c+b)>05.如图书写的四个汉字中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是()6.下列运算正确的是( )A.a2·a2=a6B.a4÷a2=a2C.(a³)2=a5D.2a2+3a2=5a47.某校在举办数学节活动中,需选拔讲题大赛环节的主持人,有一名男同学和三名女同学表现优异.若从以上四名同学中随机抽取两名同学担任主持人,则刚好抽中一名男同学和一名女同学的概率是( )A.12B.13C.14D.168.在反比例函数y=4-kx的图象上有两点A(x1,y1),B(x2,y2),当x1<0<x2时,有y1<y2,则k的取值范围是()A.k<0B.k>0C.k<4D.k>49.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,∠C=30°,以点A为圆心,以AB的长为半径作弧交AC于点D,连接BD,再分别以点B,D为圆心,大于12BD的长为半径作弧,两弧交于点P,作射线AP交BC于点E,连接DE,则下列结论中不正确的是()A.BE=DEB.DE垂直平分线段ACC.S△CDES△CBA =√33D.BD2=BC·BE10.已知抛物线P:y=x2+4ax-3(a>0).将抛物线P绕原点旋转180°得到抛物线P’,当1≤x≤3时,在抛物线P’上任取一点M,设点M的纵坐标为t,若t≤3,则a的取值范围是( )A.0<a≤14B.0<a≤34C.14≤a<34D.a≥34二.填空题:本题共6小题,每小题4分,共24分.11.因式分解:ax2-4ay2= .12.不透明袋中有红、白两种颜色的小球,这些球除颜色外无其他差别.从袋中随机取出一个球是红球的概率为0.6,若袋中有4个白球,则袋中有个红球.13.若关于x的方程x2+mx-12=0的一个根是2,则此方程的另一个根是.14.如图,正五边形ABCDE内接于⊙O,其半径为1,作OF⊥BC交⊙O于点F,则图中阴影部分的面积为.15.一条笔直的路上依次有M,P,N 三地,其中M,N两地相距1000米.甲、乙两台机器人从M,N两地同时出发,匀速而行去目的地N,M.图中OA,BC分别表示甲、乙机器人离M的距离y(米)与行走时间x(分钟)的函数关系图象.当甲机器人到P地后,再经过1分钟机器人也到P地,求P,M两地间的距离为.16.如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=√7,动点P在矩形的边上沿B→C→D→A运动.当点P不与点A,B重合时,将△ABP沿AP对折,得到△AB'P,连接B'C,则在点P的运动过程中,线段B'C的最小值为.三.解答题:本题共10小题,共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(6分)计算:(√3)0+2﹣1+√2cos45°-|﹣12|18.(6分)解不等式组{2x -1≤﹣x +2x -12x <13+2x,并写出它的非负整数解。
类比归纳专题:圆中求阴影部分的面积——全面掌握核心方法,以不变应万变◆类型一 直接利用规则图形的和差求面积1.如图,在边长为4的正方形ABCD 中,先以点A 为圆心,AD 的长为半径画弧,再以AB 边的中点为圆心,AB 长的一半为半径画弧,则阴影部分面积是________(结果保留π).第1题图 第2题图2.如图,长方形ABCD 的长BC 为3cm ,宽AB 为2cm ,点E ,F 是边AD 的三等分点,点G ,H 是边BC 的三等分点.现分别以B ,G 两点为圆心,以2cm 长为半径画弧AH 和弧EC ,则阴影部分的面积为________cm 2.3.如图,C 为半圆内一点,O 为圆心,直径AB 长为2cm ,∠BOC =60°,∠BCO =90°,将△BOC 绕圆心O 逆时针旋转至△B ′OC ′,点C ′在OA 上,求边BC 扫过区域(图中阴影部分)的面积.◆类型二 割补法4.如图,在扇形AOB 中,∠AOB =90°,正方形CDEF 的顶点C 是AB ︵的中点,点D 在OB 上,点E 在OB 的延长线上,当正方形CDEF 的边长为22时,则阴影部分的面积为________.第4题图 第5题图5.如图所示,正方形ABCD对角线AC所在直线上有一点O,OA=AC=2,将正方形绕O点顺时针旋转60°,在旋转过程中,正方形扫过的面积是________.◆类型三等积法一、轴对称、旋转6.如图,以AB为直径,点O为圆心的半圆经过点C,若AC=BC=2,则图中阴影部分的面积是________.第6题图第7题图7.如图,小方格都是边长为1的正方形,则以格点为圆心,半径为1和2的两种弧围成的“叶状”阴影图案的面积为( )A.4π-2 B.2π-2C.4π-4 D.2π-4二、同底等高的三角形等积替换8.如图,AB是半圆O的直径,点C,D是半圆O的三等分点,若弦CD=2,则图中阴影部分的面积为________.第8题图第9题图三、利用全等进行等积替换9.如图,在△ABC中,CA=CB,∠ACB=90°,AB=2,点D为AB的中点,以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF,点C恰在弧EF上,则图中阴影部分的面积为________.◆类型四折叠问题中求面积10.如图,半径为1的半圆形纸片,按如图方式折叠,使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合,则图中阴影部分的面积是________.参考答案与解析1.2π2.2 解析:∵四边形ABCD 是矩形,点E ,F 是边AD 的三等分点,点G ,H 是边BC 的三等分点,BC =3cm ,∴AE =EF =BG =GH =1cm ,四边形ABGE 是矩形.∴S 阴影=S 矩形ABGE +S 扇形EGC -S 扇形ABH =S 矩形ABGE =2×1=2(cm 2).3.解:由题意,得△B ′OC ′≌△BOC .∵∠BCO =90°,∠BOC =60°,∴∠B ′C ′O =90°,∠B ′OC ′=60°,∴∠B ′OC =60°,∠C ′B ′O =30°,∴∠B ′OB =120°.∵AB =2cm ,∴OB =1cm ,∴OC =12cm ,∴S 扇形B ′OB =120π×12360=π3(cm 2),S 扇形C ′OC =120π×⎝ ⎛⎭⎪⎫122360=π12(cm 2),∴S 阴影=S 扇形B ′OB +S △B ′C ′O -S △BCO -S 扇形C ′OC =S 扇形B ′OB -S 扇形C ′OC =π3-π12=π4(cm 2). 4.2π-4 5.2π+26.π4解析:∵AB 为⊙O 的直径,∴∠ACB =90°.∵AC =BC =2,∴△ACB 为等腰直角三角形,∴OC ⊥AB ,∴△AOC 和△BOC 都是等腰直角三角形,∴S △AOC=S △BOC ,OA =22AC =1,∴S 阴影=S 扇形AOC =90·π·12360=π4. 7.D 解析:如图,连接AB .由题意得阴影部分的面积为2(S 扇形AOB -S △AOB )=2⎝ ⎛⎭⎪⎫90π×22360-12×2×2=2π-4.故选D.8.2π3解析:连接OC ,OD ,BD .∵点C ,D 是半圆O 的三等分点,∴∠AOC =∠COD =∠DOB =60°.∵OC =OD =OB ,∴△COD ,△OBD 是等边三角形,∴∠COD=∠ODB =60°,OD =CD =2,∴OC ∥BD ,∴S △BDC =S △BDO ,∴S 阴影=S 扇形OBD =60π·22360=2π3.9.π4-12 解析:连接CD ,过点D 作DM ⊥BC 于点M ,作DN ⊥AC 于点N .∵CA =CB ,∠ACB =90°,点D 为AB 的中点,∴DC =12AB =1,四边形DMCN 是矩形,CD 平分∠ACB ,∴DM =DN ,∴四边形DMCN 是正方形.在Rt △CDN 中,DC =1,∠DCN =45°,∴DN =22.∵∠GDH =∠MDN =90°,∴∠GDM =∠HDN .在△DMG 和△DNH 中,⎩⎨⎧∠DMG =∠DNH ,DM =DN ,∠GDM =∠HDN ,∴△DMG ≌△DNH (ASA),∴S 四边形DGCH =S 四边形DMCN =⎝ ⎛⎭⎪⎫222=12.∴S 阴影=S 扇形FDE -S 四边形DGCH =90π×12360-12=π4-12. 10.32-π6解析:如图,连接OM 交AB 于点C ,连接OA ,OB .由题意,得OM ⊥AB ,OC =MC =12.在Rt △AOC 中,∵OA =1,OC =12,∴cos ∠AOC =OC OA =12,AC =OA 2-OC 2=32,∴∠AOC =60°,AB =2AC =3,∴∠AOB =2∠AOC =120°,∴S 弓形ABM =S 扇形OAB -S △AOB =120π×12360-12×3×12=π3-34,∴S 阴影=S 半圆O -2S 弓形ABM =12π×12-2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3-34=32-π6.掌握的三个数学答题方法树枝答题法关注数学题的解题过程2014年上海市中考状元徐瑜卿认为,数学是一门思维学科,并不是平时做题多就一定会拿高分。
类比探究专题1.如图1,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D,E分别在边AB,AC上,AD=AE,连接DC,BE,点P为DC的中点.(1)观察猜想图1中,线段AP与BE的数量关系是________,位置关系是________;(2)探究证明把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置,小航猜想(1)中的结论仍然成立,请你证明小航的猜想;(3)拓展延伸把△ADE绕点A在平面内自由旋转,若AD=4,AB=10,请直接写出线段AP 的取值范围.P EDAB C图1PEDAB C图22. (1)操作:如图1,点O 为线段MN 的中点,直线PQ 与MN 相交于点O ,请利用图1画出一对以点O 为对称中心的全等三角形.(不写画法) 根据上述操作得到的经验完成下列探究活动:(2)探究一:如图2,在四边形ABCD 中,AB ∥DC ,E 为BC 边的中点,∠BAE =∠EAF ,AF 与DC 的延长线相交于点F .试探究线段AB 与AF ,CF 之间的等量关系,并证明你的结论.(3)探究二:如图3,DE ,BC 相交于点E ,BA 交DE 于点A ,且BE :EC =1:2,∠BAE =∠EDF ,CF ∥AB .若AB =5,CF =1,求DF 的长度.图1MNQ PO图2F EDC B AAB C D E F图33.特殊:(1)如图1,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°.作CM平分∠ACB交AB于点M,点D为射线CM上一点,以点C为旋转中心将线段CD逆时针旋转90°得到线段CE,连接DE交射线CB于点F,连接BD,BE.填空:①线段BD,BE的数量关系为_________________;②线段BC,DE的位置关系为_________________.一般:(2)如图2,在等腰三角形ABC中,∠ACB=α,作CM平分∠ACB交AB于点M,点D为△ABC外部射线CM上一点,以点C为旋转中心将线段CD逆时针旋转α度得到线段CE,连接DE,BD,BE.请判断(1)中的结论是否成立,请说明理由.特殊:(3)如图3,在等边三角形ABC中,作BM平分∠ABC交AC于点M,点D为射线BM上一点,以点B为旋转中心将线段BD逆时针旋转60°得到线段BE,连接DE交射线BA于点F,连接AD,AE.若AB=4,当△ADM 与△AFD全等时,请直接写出DE的值.M F ED CB A图1EMDCBA图2MFEDC BA图34. 已知△ABC 中,CA =CB ,0°<∠ACB ≤90°.点M ,N 分别在边CA ,CB 上(不与端点重合),BN =AM ,射线AG ∥BC 交BM 延长线于点D ,点E 在直线AN 上,EA =ED .(1)【观察猜想】如图1,点E 在射线NA 上,当∠ACB =45°时, ①线段BM 与AN 的数量关系是_________; ②∠BDE 的度数是____________.(2)【探究证明】如图2,点E 在射线AN 上,当∠ACB =30°时,判断并证明线段BM 与AN 的数量关系,求∠BDE 的度数;(3)【拓展延伸】如图3,点E 在直线AN 上,当∠ACB =60°时,AB =3,点N 是BC 边上的三等分点,直线ED 与直线BC 交于点F ,请直接写出线段CF 的长.图1A B CD ENMG图2AB CD MN EG 图3A BCG5.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC mAC n=,CD⊥AB于点D,点E是直线AC上一动点,连接DE,过点D作FD⊥ED,交直线BC于点F.(1)探究发现:如图1,若m=n,点E在线段AC上,则DEDF=__________.(2)数学思考:①如图2,若点E在线段AC上,则DEDF=__________(用含m,n的代数式表示);②当点E在直线AC上运动时,①中的结论是否仍然成立?请仅就图3的情形给出证明.(3)拓展应用:若ACBC=DF=CE的长.FEDC BA图1图2ABCDEFDB FECA图3DC BA备用图6.(1)【问题发现】如图1,△ABC和△CEF都是等腰直角三角形,∠BAC=∠EFC=90°,点E 与点A重合,则线段BE与AF的数量关系为__________;(2)【拓展研究】在(1)的条件下,将△CEF绕点C旋转,连接BE,AF,线段BE与AF的数量关系有无变化?仅就图2的情形给出证明;(3)【问题发现】当AB=AC=2,△CEF旋转到B,E,F三点共线时,直接写出线段AF的长.F图1CB A(E)EAB C图2F备用图CBA7. (1)问题发现:如图1,在△ABC 中,∠BAC =90°,AB =AC ,点D 是BC 的中点,以点D 为顶点作正方形DFGE ,使点A ,C 分别在DE 和DF 上,连接BE ,AF ,则线段BE 和AF 数量关系是________.(2)类比探究:如图2,保持△ABC 固定不动,将正方形DFGE 绕点D 旋转α(0<α≤360°),则(1)中的结论是否成立?如果成立,请证明;如果不成立,请说明理由.(3)解决问题:若BC =DF =2,在(2)的旋转过程中,连接AE ,请直接写出AE 的最大值.图1A BCDEF G图2GFED CB A 备用图A BC DEFG8.在菱形ABCD中,∠ABC=60°,点P是射线BD上一动点,以AP为边向右侧作等边△APE,点E的位置随着点P的位置变化而变化.(1)如图1,当点E在菱形ABCD内部或边上时,连接CE,BP与CE的数量关系是__________,CE与AD的位置关系是__________.(2)当点E在菱形ABCD外部时,(1)中的结论是否还成立?若成立,请予以证明;若不成立,请说明理由(选择图2,图3中的一种情况予以证明).(3)如图4,当点P在线段BD的延长线上时,连接BE,若AB=BE= ADPE的面积.(直接写出结果)P EDCBA图1图2ABCDEPPEDCBA图3图4ABCDEP9. (1)操作发现如图1,AD 是等边三角形ABC 的角平分线,请你按下列要求画图:过点A 作AM ⊥AB ,过点C 作CN ∥AB ,AM 与CN 相交于点E .则AD 与AE 的数量关系是________,∠EAC =________°. (2)问题探究将图1中的△AEC 绕点A 逆时针旋转,点C 落在点F 的位置,连接EC ,DF ,如图2所示,请你探究DF 与EC 的数量关系并说明理由. (3)拓展延伸若(2)中等边△ABC 的边长为2,当F A ⊥AC 时,请直接写出DF 2的值.图1AB CD图2EFDCBA备用图CBA10. 在Rt △ABC 中,∠BAC =90°,AC =AB =4,D ,E 分别是边AB ,AC 的中点,若等腰Rt △ADE 绕点A 逆时针旋转,得到等腰Rt △AD 1E 1,设旋转角为α(0<α≤180°),记直线BD 1与CE 1的交点为P .(1)问题发现如图1,当α=90°时,线段BD 1的长等于__________,线段CE 1的长等于__________. (2)探究证明如图2,当α=135°时,求证:BD 1=CE 1,且BD 1⊥CE 1. (3)问题解决求点P 到AB 所在直线的距离的最大值.(直接写出结果)图1E 1(D 1)A BCDE PEDCBA D 1E 1图211. 如图1,在正方形ABCD 和正方形AB′C′D′中,AB =2,AB′=,连接CC′.(1)问题发现:CC BB'='__________; (2)拓展探究:将正方形AB′C′D′绕点A 逆时针旋转,记旋转角为θ,连接BB′,试判断:当0°≤θ<360°时,CC BB ''的值有无变化?请仅就图2中的情形给出你的证明;(3)问题解决:请直接写出在旋转过程中,当C ,C′,D′三点共线时BB′的长.D′C′B′ABCD 图1图2DCBA B′C′D′A BCD备用图12. 问题发现:如图1,△ABC 是等边三角形,点D 是边AB 上的一点,过点D作DE ∥BC 交AC 于E ,则线段BD 与CE 的数量关系为___________; 拓展探究:如图2,将△ADE 绕点A 逆时针旋转角α(0°<α<360°),上面的结论是否仍然成立?如果成立,请就图中给出的情况加以证明;问题解决:如果△ABC的边长等于AD =2,直接写出当△ADE 旋转到DE 与AC 所在的直线垂直时BD 的长.图1EDCBA 图2ABCDE备用图E D CBA13. 如图1,已知点G 在正方形ABCD 的对角线AC 上,GE ⊥BC ,垂足为点E ,GF ⊥CD ,垂足为点F . (1)证明与推断:①求证:四边形CEGF 是正方形; ②推断AGBE的值为_______. (2)探究与证明:将正方形CEGF 绕点C 顺时针方向旋转α角(0°<α<45°),如图2所示,试探究线段AG 与BE 之间的数量关系,并说明理由. (3)拓展与运用:正方形CEGF 在旋转过程中,当B ,E ,F 三点在一条直线上时,如图3所示,延长CG 交AD 于点H .若AG =6,GH=BC =________.GFDC BAE图1ABCD EFG图2H GF EDCBA 图314. (1)阅读理解利用旋转变换解决数学问题是一种常用的方法.如图1,点P 是等边三角形ABC 内一点,P A =1,PB,PC =2.求∠BPC 的度数.为利用已知条件,不妨把△BPC 绕点C 顺时针旋转60°得△AP′C ,连接PP′,则PP′的长为__________;在△P AP′中,易证∠P AP′=90°,且∠PP′A 的度数为__________,综上可得∠BPC 的度数为__________. (2)类比迁移如图2,点P 是等腰Rt △ABC 内一点,∠ACB =90°,P A =2,PB,PC =1.求∠APC 的度数. (3)拓展应用如图3,在四边形ABCD 中,BC =3,CD =5,AB =AC =12AD ,∠BAC = 2∠ADC ,请直接写出BD 的长.P′ABCP图1图2P CBAD图3C BA15.如图,在□ABCD中,AC与BD交于点O,以点O为顶点的∠EOF的两边分别与边AB,AD交于点E,F,且∠EOF与∠BAD互补.(1)观察猜想若四边形ABCD是正方形,则线段OE与OF有何数量关系?请直接写出结论.(2)延伸探究若四边形ABCD是菱形,那么(1)中的结论是否成立?若成立,请画出图形并给出证明;若不成立,请说明理由.(3)拓展证明若AB:AD=m:n,探索线段OE与OF的数量关系,并证明你的结论.ABCD OEF16. (1)阅读理解:如图1,在四边形ABCD 中,AB ∥DC ,E 是BC 的中点,若AE 是∠BAD 的平分线,试判断AB ,AD ,DC 之间的等量关系. 解决此问题可以用如下方法:延长AE 交DC 的延长线于点F ,易证△AEB ≌△FEC ,得到AB =FC ,从而把AB ,AD ,DC 转化在一个三角形中即可判断.AB ,AD ,DC 之间的等量关系为_____________;(2)问题探究:如图2,在四边形ABCD 中,AB ∥DC ,AF 与DC 的延长线交于点F ,E 是BC 的中点,若AE 是∠BAF 的平分线,试探究AB ,AF ,CF 之间的等量关系,并证明你的结论.(3)问题解决:如图3,AB ∥CF ,AE 与BC 交于点E ,BE :EC =2:3,点D 在线段AE 上,且∠EDF =∠BAE ,试判断AB ,DF ,CF 之间的数量关系,并证明你的结论.ABCD EF图1ABCDE F图2A BCDE F图317. 如图1,菱形ABCD 与菱形GECF 的顶点C 重合,点G 在对角线AC 上,且∠BCD =∠ECF =60°. (1)问题发现:AGBE的值为__________. (2)探究与证明:将菱形GECF 绕点C 按顺时针方向旋转α角(0°<α<60°),如图2所示,试探究线段AG 与BE 之间的数量关系,并说明理由. (3)拓展与运用:菱形GECF 在旋转过程中,当点A ,G ,F 三点在一条直线上时,如图3所示,连接CG 并延长,交AD 于点H ,若CE =2,GH,则AH 的长为__________.图1AB CDEFGGFED CB A图2H图3AB CD E FG18. 已知∠AOB =90°,点C 是∠AOB 的角平分线OP 上的任意一点,现有一个直角∠MCN 绕点C 旋转,两直角边CM ,CN 分别与直线OA ,OB 相交于点D ,点E .(1)如图1,若CD ⊥OA ,猜想线段OD ,OE ,OC 之间的数量关系,并说明理由.(2)如图2,若点D 在射线OA 上,且CD 与OA 不垂直,则(1)中的数量关系是否仍成立?如成立,请说明理由;如不成立,请写出线段OD ,OE ,OC 之间的数量关系,并加以证明.(3)如图3,若点D 在射线OA 的反向延长线上,且OD =2,OE =8,请直接写出线段CE 的长度.图1OABC D EMPNN PMED CBAO图2图3O ABCD E MPN19. 如图1,在△ABC 中,∠A B C =45°,AH ⊥BC 于点H ,点D 在AH 上,且DH =CH ,连接BD .(1)求证:BD =AC .(2)将△BHD 绕点H 旋转,得到△EHF (点B ,D 分别与点E ,F 对应),连接AE .①如图2,当点F 落在AC 上时(F 不与C 重合),若BC =4,tan C =3,求AE 的长.②如图3,当△EHF 是由△BHD 绕点H 逆时针旋转30°得到时,设射线CF 与AE 相交于点G ,连接GH .试探究线段GH 与EF 之间满足的等量关系,并说明理由.图1ABCDH20. 如图,在矩形ABCD 中,AB =8,AD =6,点E ,F 分别是边DC ,DA 的中点,四边形DFGE 为矩形,连接BG . (1)问题发现 在图1中,CEBG__________. (2)拓展探究将图1中的矩形DFGE 绕点D 旋转一周,在旋转过程中,CEBG的大小有无变化?请仅就图2的情形给出证明. (3)问题解决当矩形DFGE 旋转至B ,G ,E 三点共线时,请直接写出线段CE 的长.GFED CBA 图1图2ABCDEFG备用图ABCD21. 四边形是我们在学习和生活中常见的图形,而对角线互相垂直的四边形也比较常见,比如筝形、菱形、图1中的四边形ABCD 等.它们给我们的学习和生活带来了很多的乐趣和美感.(1)如图2,在四边形ABCD 中,AB =AD ,CB =CD ,则AC 与BD 的位置关系是__________,请说明理由.(2)试探究图1中四边形ABCD 的两组对边AB ,CD 与BC ,AD 之间的数量关系,请写出证明过程.(3)问题解决:如图3,分别以Rt △ACB 的直角边AC 和斜边AB 为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE ,连接CE ,BG ,GE ,已知AC =4,AB =5,求GE 的长.A BC D图1图2DC B AABCD EFG 图322. 观察猜想(1)如图1,在Rt △ABC 中,∠BAC =90°,AB =AC =3,点D 与点A 重合,点E 在边BC 上,连接DE ,将线段DE 绕点D 顺时针旋转90°得到线段DF ,连接BF ,BE 与BF 的位置关系是_________,BE +BF =_________; 探究证明(2)在(1)中,如果将点D 沿AB 方向移动,使AD =1,其余条件不变,如图2,判断BE 与BF 的位置关系,并求BE +BF 的值,请写出你的理由或计算过程;拓展延伸(3)如图3,在△ABC 中,AB =AC ,∠BAC =α,点D 在边BA 的延长线上,BD =n ,连接DE ,将线段DE 绕着点D 顺时针旋转,旋转角∠EDF =α,连接BF ,则BE +BF 的值是多少?请用含有n ,α的式子直接写出结论.图1A (D )B CE FD FE C B A图2图3A CDE F。
中考数学复习课件+练习:专题复习(六) 几何综合题(有答案)专题复习(六)几何综合题类型1类比探究的几何综合题1.(2019·岳阳)问题背景:已知∠EDF的顶点D 在△ABC的边AB所在直线上(不与A,B重合).DE交AC所在直线于点M,DF交BC所在直线于点N.记△ADM的面积为S1,△BND 的面积为S2.(1)初步尝试:如图1,当△ABC是等边三角形,AB=6,∠EDF=∠A,且DE∥BC,AD =2时,则S1·S2=12;(2)类比探究:在(1)的条件下,先将点D沿AB平移,使AD=4,再将∠EDF绕点D旋转至如图2所示位置,求S1·S2的值;(3)延伸拓展:当△ABC是等腰三角形时,设∠B=∠A=∠EDF=α.(Ⅰ)如图3,当点D在线段AB上运动时,设AD=a,BD=b,求S1·S2的表达式(结果用a,b和α的三角函数表示);(Ⅱ)如图4,当点D在BA的延长线上运动时,设AD=a,BD=b,直接写出S1·S2的表达式,不必写出解答过程.解:(1)在图1中,∵△ABC是等边三角形,∴AB=CB=AC=6,∠A=∠B=60°. ∵DE∥BC,∠EDF=∠A=60°,∴∠BND=∠EDF=60°.∴∠BDN=∠ADM=60°.∴△ADM,△BDN都是等边三角形.∴S1=34×22=3,S2=34×42=4 3.∴S1S2=12.(2)在图2中,设AM=x,BN=y.∵∠MDB=∠MDN+∠NDB=∠A+∠AMD,∠MDN=∠A,∴∠AMD=∠NDB.∵∠A=∠B,∴△AMD∽△BDN.∴AMBD=ADBN.∴x2=4y.∴xy=8.∵S1=12AD·AM sin60°=3x,S2=12DB·BN sin60°=32y,∴S 1S 2=3x·32y =32xy =12. (3)(Ⅰ)在图3中,设AM =x ,BN =y , 同法可证△AMD ∽△BDN ,可得xy =ab.∵S 1=12AD·AM sin α=12ax sin α, S 2=12DB·BN sin α=12by sin α, ∴S 1S 2=14(ab)2sin 2α. (Ⅱ)在图4中,设AM =x ,BN =y ,同法可证△AMD ∽△BDN ,可得xy =ab ,∵S 1=12AD·AM sin α=12ax sin α, S 2=12DB·BN sin α=12by sin α, ∴S 1S 2=14(ab)2sin 2α. 2.(2019·自贡)如图,已知∠AOB =60°,在∠AOB 的平分线OM 上有一点C ,将一个120°角的顶点与点C 重合,它的两条边分别与直线OA ,OB 相交于点D ,E.(1)当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时(如图1),请猜想OE+OD与OC的数量关系,并说明理由;(2)当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时,到达图2的位置,(1)中的结论是否成立?并说明理由;(3)当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时,上述结论是否成立?请在图3中画出图形,若成立,请给予证明;若不成立,线段OD,OE与OC之间又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,不需证明.图1图2图3解:(1)∵OM是∠AOB的平分线,∴∠AOC=∠BOC=12∠AOB=30°.∵CD⊥OA,∴∠ODC=90°.∴∠OCD=60°.∴∠OCE=∠DCE-∠OCD=60°.在Rt△OCD中,OD=OC·cos30°=32OC,同理,OE=32OC.∴OD+OE=3OC.(2)(1)中的结论仍然成立.理由:过点C作CF⊥OA于点F,CG⊥OB于点G,∴∠OFC=∠OGC=90°.∵∠AOB=60°,∴∠FCG=120°.同(1)的方法得OF=32OC,OG=32OC.∴OF+OG=3OC.∵CF⊥OA,CG⊥OB,且点C是∠AOB 的平分线OM上一点,∴CF=CG.∵∠DCE=∠FCG=120°,∴∠DCF=∠ECG.∴△CFD≌△CGE.∴DF=EG.∴OF=OD+DF=OD+EG,OG=OE-EG.∴OF+OG=OD+EG+OE-EG=OD+OE.∴OD+OE=3OC.(3)(1)中的结论不成立,结论为OE-OD=3OC.3.(2019·东营)(1)某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目:如图1,在△ABC中,点O在线段BC 上,∠BAO=30°,∠OAC=75°,AO=33,BO∶CO=1∶3,求AB的长.经过社团成员讨论发现,过点B作BD∥AC,交AO的延长线于点D,通过构造△ABD就可以解决问题(如图2).请回答:∠ADB=75°,AB=43;(2)请参考以上解决思路,解决问题:如图3,在四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AC⊥AD,AO=33,∠ABC =∠ACB=75°,BO∶OD=1∶3,求DC的长.图1图2 图3解:过点B作BE∥AD交AC于点E.∵AC⊥AD,∴∠DAO =∠BEO=90°.∵∠AOD =∠EOB,∴△AOD∽△EOB.∴BODO=EOAO=BEDA.∵BO∶OD=1∶3,∴EOAO=BEDA=13.∵AO=33,∴EO= 3.∴AE=4 3. ∵∠ABC=∠ACB=75°,∴∠BAC=30°,AB=AC.∴AB=AC=AEcos30°=8.∴BE=12AB=4,AD=3BE=12.在Rt△CAD中,AC2+AD2=CD2,即82+122=CD2,得CD=413. 4.(2019·江西)在菱形ABCD中,∠ABC=60°,点P是射线BD上一动点,以AP为边向右侧作等边△APE,点E的位置随着点P的位置变化而变化.图1图2图3图4(1)如图1,当点E在菱形ABCD内部或边上时,连接CE,BP与CE的数量关系是BP=CE,CE与AD的位置关系是AD⊥CE;(2)当点E在菱形ABCD外部时,(1)中的结论是否还成立?若成立,请予以证明;若不成立,请说明理由(选择图2,图3中的一种情况予以证明或说理);(3)如图4,当点P在线段BD的延长线上时,连接BE.若AB=23,BE=219,求四边形ADPE的面积.解:(1)提示:连接AC,延长CE交AD于点H,证明△ABP≌△ACE.(2)结论仍然成立.理由:选图2,连接AC交BD于点O,设CE交AD于点H.∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=60°,∴△ABC,△ACD都是等边三角形,∠ABD =∠CBD=30°.∴AB=AC.∵△APE是等边三角形,∴AP=AE,∠BAC=∠PAE=60°.∴∠BAP=∠CAE.∴△BAP≌△CAE.∴BP=CE,∠ACE=∠ABP=30°.∵∠CAH=60°,∴∠CAH+∠ACH=90°.∴∠AHC=90°,即CE⊥AD.(3)连接AC交BD于点O,连接CE交AD 于点H.由(2)可知,EC⊥AD,CE=BP.在菱形ABCD中,AD∥BC,∴EC⊥BC.∵BC=AB=23,BE=219,在Rt△BCE中,EC=(219)2-(23)2=8.∴BP=CE=8.∵AC与BD是菱形的对角线,∴∠ABD=12∠ABC=30°,AC⊥BD. ∴BD=2BO=2AB·cos30°=6.∴OA=12AB=3,DP=BP-BD=8-6=2.∴OP=OD+DP=5.在Rt△AOP中,AP=AO2+OP2=27,∴S四边形ADPE =S△ADP+S△AEP=12×2×3+34×(27)2=8 3.5.(2019·烟台)【问题解决】一节数学课上,老师提出了这样一个问题:如图1,点P是正方形ABCD内一点,PA=1,PB=2,PC=3.你能求出∠APB的度数吗?小明通过观察、分析、思考,形成了如下思路:思路一:将△BPC绕点B逆时针旋转90°,得到△BP′A,连接PP′,求出∠APB的度数;思路二:将△APB绕点B顺时针旋转90°,得到△CP′B,连接PP′,求出∠APB的度数.请参考小明的思路,任选一种写出完整的解答过程.【类比探究】如图2,若点P是正方形ABCD外一点,PA=3,PB=1,PC=11,求∠APB的度数.图1图2解:【问题解决】思路一:将△BPC绕点B逆时针旋转90°,得到△BP′A,连接PP′,∴△ABP′≌△CBP.∴∠PBP′=90°,BP′=BP=2,AP′=CP=3.在Rt△PBP′中,BP=BP′=2,∴∠BPP′=45°,根据勾股定理,得PP′=2 BP=2 2.∵AP=1,∴AP2+PP′2=1+8=9.∵AP′2=32=9,∴AP2+PP′2=AP′2.∴△APP′是直角三角形,且∠APP′=90°.∴∠APB=∠APP′+∠BPP′=90°+45°=135°.【类比探究】将△BPC绕点B逆时针旋转90°,得到△BP′A,连接PP′,∴△ABP′≌△CBP.∴∠PBP′=90°,BP′=BP=1,AP′=CP=11.在Rt△PBP′中,BP=BP′=1,∴∠BPP′=45°,根据勾股定理,得PP′=2 BP= 2.∵AP=3,∴AP2+PP′2=9+2=11.∵AP′2=(11)2=11,∴AP2+PP′2=AP′2.∴△APP′是直角三角形,且∠APP′=90°.∴∠APB=∠APP′-∠BPP′=90°-45°=45°.6.(2019·黄石)在△ABC中,E,F分别为线段AB,AC上的点(不与A,B,C重合).(1)如图1,若EF∥BC,求证:S△AEFS△ABC=AE·AFAB·AC;(2)如图2,若EF不与BC平行,(1)中的结论是否仍然成立?请说明理由;(3)如图3,若EF上一点G恰为△ABC的重心,AEAB=34,求S△AEFS△ABC的值.图1图2图3 解:(1)∵EF∥BC,∴△AEF∽△ABC.∴AEAB=AFAC.∴S△AEFS△ABC=(AEAB)2=AEAB·AFAC=AE·AFAB·AC.(2)若EF不与BC平行,(1)中的结论仍然成立.分别过点F,C作AB的垂线,垂足分别为N,H.∵FN⊥AB,CH⊥AB,∴FN∥CH.∴△AFN∽△ACH.∴FNCH=AFAC.∴S△AEFS△ABC=12AE·FN12AB·CH=AE·AFAB·AC.(3)连接AG并延长,交BC于点M,连接BG并延长,交AC于点N,连接M,N,则M,N分别是BC,AC的中点,∴MN∥AB,且MN=12AB.∴GM GA =GN GB =12,且S △ABM =S △ACM . ∴AG AM =23. 设AF AC=a , 由(2)知,S △AEG S △ABM=AE·AG AB·AM =34×23=12, S △AFG S △ACM =AG·AF AM·AC =23a , 则S △AEF S △ABC =S △AEG +S △AFG 2S △ACM =S △AEG 2S △ABM +S △AFG 2S △ACM=14+13a. 而S △AEF S △ABC =AE·AF AB·AC =34a , ∴14+13a =34a ,解得a =35. ∴S △AEF S △ABC =34×35=920. 7.(2019·河南)(1)问题发现如图1,在△OAB 和△OCD 中,OA =OB ,OC =OD ,∠AOB =∠COD =40°,连接AC ,BD 相交于点M.填空:①AC BD的值为1; ②∠AMB 的度数为40°;(2)类比探究如图2,在△OAB 和△OCD 中,∠AOB =∠COD =90°,∠OAB =∠OCD =30°,连接AC交BD 的延长线于点M.请判断AC BD的值及∠AMB 的度数,并说明理由;(3)拓展延伸在(2)的条件下,将△OCD 绕点O 在平面内旋转,AC ,BD 所在直线交于点M.若OD =1,OB =7,请直接写出当点C 与点M 重合时AC 的长.图1图2 图3解:(2)AC BD=3,∠AMB =90°. 理由如下:∵∠AOB =∠COD =90°,∠OAB =∠OCD=30°,∴CODO=AOBO=3,∠COD+∠AOD=∠AOB+∠AOD,即∠AOC=∠BOD.∴△AOC∽△BOD.∴ACBD=CODO=3,∠CAO=∠DBO.∵∠AOB=90°,∴∠DBO+∠ABD+∠BAO=90°.∴∠CAO+∠ABD+∠BAO=90°.∴∠AMB=90°.(3)AC的长为23或3 3.提示:在△OCD旋转的过程中,(2)中的结论仍然成立,即ACBD=3,∠AMB=90°.如图所示,点C与点M重合,AC1,AC2的长即为所求.8.(2019·淄博)(1)操作发现:如图1,小明画了一个等腰三角形ABC,其中AB=AC,在△ABC的外侧分别以AB,AC 为腰作了两个等腰直角三角形ABD,ACE,分别取BD,CE,BC的中点M,N,G,连接GM,GN.小明发现了:线段GM与GN的数量关系是MG=NG;位置关系是MG⊥NG;(2)类比思考:如图2,小明在此基础上进行了深入思考.把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形,其中AB>AC,其他条件不变,小明发现的上述结论还成立吗?请说明理由;(3)深入研究:如图3,小明在(2)的基础上,又作了进一步的探究.向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD,ACE,其他条件不变,试判断△GMN 的形状,并给予证明.图1图2图3解:(1)连接BE,CD相交于点H,∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形,∴AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE=90°.∴∠CAD=∠BAE.∴△ACD≌△AEB(SAS).∴CD=BE,∠ADC=∠ABE.∴∠BDC+∠DBH=∠BDC+∠ABD+∠ABE=∠BDC+∠ABD+∠ADC=∠ADB+∠ABD=90°.∴∠BHD=90°.∴CD⊥BE.∵点M,G分别是BD,BC的中点,∴MG//12CD.同理NG//12BE.∴MG=NG,MG⊥NG.故答案为MG=NG,MG⊥NG.(2)连接CD,BE,相交于点H,同(1)的方法得,MG=NG,MG⊥NG.(3)连接EB,DC,延长线相交于点H,同(1)的方法得,△ABE≌△ADC,MG=NG.∴∠AEB=∠ACD.∴∠CEH+∠ECH=∠AEH-∠AEC+180°-∠ACD-∠ACE=∠ACD-45°+180°-∠ACD-45°=90°.∴∠DHE=90°.同(1)的方法得,MG⊥NG.类型2与图形变换有关的几何综合题1.(2019·襄阳)如图1,已知点G在正方形ABCD 的对角线AC上,GE⊥BC,垂足为E,GF⊥CD, 垂足为F.(1)证明与推断:①求证:四边形CEGF是正方形;②推断:AGBE的值为2;(2)探究与证明:将四边形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角(0°<α<45°),如图2所示,试探究线段AG与BE之间的数量关系,并说明理由;(3)拓展与运用:四边形CEGF在旋转过程中,当B,E,F 三点在一条直线上时,如图3所示,延长CG交AD于点H.若AG=6,GH=22,则BC=35.图1图2图3解:(1)①证明:∵四边形ABCD是正方形,∴∠BCD=90°,∠BCA=45°.∵GE⊥BC,GF⊥CD,∴∠CEG=∠CFG=∠ECF=90°.∴四边形CEGF是矩形,∠CGE=∠ECG =45°.∴EG=EC.∴四边形CEGF是正方形.(2)连接CG,由旋转性质可知,∠BCE=∠ACG=α.在Rt△CEG和Rt△CBA中,CECG=cos45°=22,CBCA=cos45°=22.∴CGCE=CACB= 2.又∵∠ECG=∠ECA=∠ACB-∠ECA,即∠ACG=∠BCE,∴△ACG∽△BCE.∴AGBE=CACB= 2.∴线段AG与BE之间的数量关系为AG=2BE.2.(2019·仙桃)问题:如图1,在Rt△ABC中,AB=AC,D为BC边上一点(不与点B,C重合),将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE,连接EC,则线段BC,DC,EC之间满足的等量关系式为BC=DC+EC;探索:如图2,在Rt△ABC与Rt△ADE中,AB =AC ,AD =AE ,将△ADE 绕点A 旋转,使点D 落在BC 边上,试探索线段AD ,BD ,CD 之间满足的等量关系,并证明你的结论;应用:如图3,在四边形ABCD 中,∠ABC =∠ACB =∠ADC =45°.若BD =9,CD =3,求AD 的长.图1图2 图3解:探索:BD 2+CD 2=2AD 2.连接CE.∵∠BAD +∠DAC =90°=∠DAC +∠CAE ,∴∠BAD =∠CAE.在△ABD 和△ACE 中,⎩⎪⎨⎪⎧AB =AC ,∠BAD =∠CAE ,AD =AE ,∴△ABD ≌△ACE(SAS ).∴BD =CE ,∠B =∠ACE.∵Rt △ABC 与Rt △ADE 是等腰直角三角形,∴DE 2=2AD 2.∴∠B =45°.∴∠ACB +∠ACE =45°+45°=90°.∴∠DCE=90°.∴DC2+CE2=DE2,即BD2+CD2=2AD2.应用:以AD为腰作等腰Rt△ADE,连接CE,由“探索”可知,△ABD≌△ACE(SAS).∴CE=BD=9.∵∠ADC=∠ADE=45°,∴∠EDC=90°.在Rt△CDE中,由勾股定理,得DE=92-32=6 2.在等腰Rt△ADE中,AD=22DE=6.3.(2019·宜昌)在矩形ABCD中,AB=12,P是边AB上一点,把△PBC沿直线PC折叠,顶点B的对应点是点G,过点B作BE⊥CG,垂足为E,且在AD上,BE交PC于点F.(1)如图1,若点E是AD的中点,求证:△AEB≌△DEC;(2)如图2,①求证:BP=BF;②当AD=25,且AE<DE时,求cos∠PCB 的值;③当BP=9时,求BE·EF的值.图1 图2 图2备用图解:(1)证明:在矩形ABCD 中,∠A =∠D =90°,AB =DC ,∵点E 是AD 中点,∴AE =DE.在△AEB 和△DEC 中,⎩⎪⎨⎪⎧AB =DC ,∠A =∠D =90°,AE =DE ,∴△AEB ≌△DEC(SAS ).(2)①证明:在矩形ABCD 中,∠ABC =90°. ∵△BPC 沿PC 折叠得到△GPC ,∴∠PGC =∠PBC =90°,∠BPC =∠GPC. ∵BE ⊥CG ,∴BE ∥PG.∴∠GPF =∠PFB.∴∠BPF =∠PFB.∴BP =BF.②当AD =25时,∵∠BEC =90°,∴∠AEB +∠PEC =90°. ∵∠AEB +∠ABE =90°,∴∠DEC =∠ABE.∵∠A =∠D =90°,∴△ABE ∽△DEC.∴AB AE =DE DC.设AE=x,则DE=25-x,∴12x=25-x12.∴x=9或x=16.∵AE<DE,∴AE=9,DE=16.∴由勾股定理,得CE=20,BE=15.由折叠得,BP=PG,BC=GC,∴BP=BF =PG.∵BE∥PG,∴△ECF∽△GCP.∴EFGP=CECG.设BP=BF=PG=y,∴15-yy=2025.∴y=253,即BP=253.在Rt△PBC中,由勾股定理,得PC=25103,cos∠PCB=BCPC=31010.③连接FG,∵∠GEF=∠G=90°,∴BE∥PG. ∵BF∥PG,BF=PG=BP,∴四边形BPGF是菱形.∴BP∥GF,且BP=GF.∴∠GFE=∠EBA. ∴△GEF∽△EAB.∴EFGF=ABEB.∴BE·EF=AB·GF=AB·BP=12×9=108. 4.(2019·永州)如图1,在△ABC中,矩形EFGH 的一边EF在AB上,顶点G,H分别在BC,AC上,CD是边AB上的高,CD交GH于点I.若CI=4,HI=3,AD=92,矩形DFGI恰好为正方形.图1图2图3(1)求正方形DFGI的边长;(2)如图2,延长AB至P,使得AC=CP.将矩形EFGH沿BP的方向平移,当点G刚好落在CP上时,试判断移动后的矩形与△CBP重叠部分的形状是三角形还是四边形,为什么?(3)如图3,连接DG,将正方形DFGI绕点D顺时针旋转一定的角度得到正方形DF′G′I′,正方形DF′G′I′分别与线段DG,DB相交于点M,N,求△MN G′的周长.解:(1)∵HI∥AD,∴HIAD=CICD.∴392=4CD.∴CD=6.∴ID=CD-CI=2.∴正方形的边长为2.(2)如图2,设点G落在PC上时对应的点为点G′,点F的对应点为点F′.∵CA=CP,CD⊥PA,∴∠ACD=∠PCD,∠A=∠P.∵HG′∥PA,∴∠CHG′=∠A,∠CG′H=∠P.∴∠CHG′=∠CG′H.∴CH=CG′.∴IH=IG′=DF′=3.∵IG∥DB,∴IGDB=CICD.∴2DB=46.∴DB=3.∴DB=DF′=3.∴点B与点F′重合.∴移动后的矩形与△CBP重叠部分是三角形,即△BGG′.(3)将△DMI′绕点D顺时针旋转90°得到△DRF′,此时N,F′,R共线.∴∠MDR=90°.∵∠NDM=45°,∠NDM+∠NDR=90°,∴∠NDM=∠NDR=45°.∵DN=DN,DM=DR,∴△NDM≌△NDR.∴MN=NR=NF′+RF′=NF′+MI′.∴△MNG′的周长=MN+MG′+NG′=NF′+NG′+MI′=F′G′+I′G′=2I′G′=4. 5.(2019·岳阳)已知在Rt△ABC中,∠BAC=90°,CD为∠ACB的平分线,将∠ACB沿CD 所在的直线对折,使点B落在点B′处,连接AB′,BB′,延长CD交BB′于点E,设∠ABC=2α.(0°<α<45°)(1)如图1,若AB=AC,求证:CD=2BE;(2)如图2,若AB≠AC,试求CD与BE的数量关系;(用含α的式子表示)(3)如图3,将(2)中的线段BC绕点C逆时针旋转角(α+45°),得到线段FC,连接EF交BC 于点O,设△COE的面积为S1,△COF的面积为S2,求S1S2.(用含α的式子表示)图1图2图3解:(1)证明:∵点B,B′关于EC对称,∴BB′⊥EC,BE=EB′.∴∠DEB=∠DAC=90°.∵∠EDB=∠ADC,∴∠DBE=∠ACD.∵AB=AC,∠BAB′=∠CAD=90°,∴△BAB′≌△CAD.∴CD=BB′=2BE.(2)如图2,结论:CD=2BE·tan2α.理由:由(1)可知,∠ABB′=∠ACD,∠BAB′=∠CAD=90°,∴△BAB′∽△CAD.∴BB′CD=ABAC=1tan2α.∴2BECD=1tan2α.∴CD=2BE·tan2α.(3)如图3,在Rt△ABC中,∠ACB=90°-2α.∵EC平分∠ACB,∴∠ECB=12(90°-2α)=45°-α.∵∠BCF=45°+α,∴∠ECF=45°-α+45°+α=90°. ∴∠BEC+∠ECF=180°.∴BB′∥CF.∴△BEO∽△CFO.∴EOFO=BECF=BEBC=sin(45°-α).∵S1S2=EOFO,∴S1S2=sin(45°-α).6.(2019·潍坊)如图1,在▱ABCD中,DH⊥AB 于点H,CD的垂直平分线交CD于点E,交AB 于点F,AB=6,DH=4,BF∶FA=1∶5.(1)如图2,作FG⊥AD于点G,交DH于点M,将△DGM沿DC方向平移,得到△CG′M′,连接M′B.①求四边形BHMM′的面积;②直线EF上有一动点N,求△DNM周长的最小值;(2)如图3,延长CB交EF于点Q,过点Q作QK∥AB,过CD边上的动点P作PK∥EF,并与QK交于点K,将△PKQ沿直线PQ翻折,使点K的对应点K′恰好落在直线AB上,求线段CP的长.图1图2图3解:(1)①在▱ABCD中,AB=6,直线EF 垂直平分CD,∴DE=FH=3.又BF∶FA=1∶5,∴BF=1,FA=5.∴AH=2.∵Rt△AHD∽Rt△MHF,∴HMFH=HAHD.∴HM3=24.∴HM=3 2.根据平移的性质,得MM′=CD=6,∴S四边形BHMM′=S△BMM′+S△BHM=12×6×32+12×4×32=15 2.②连接CM交直线EF于点N,连接DN. ∴CN=DN.∵MH=32,∴DM=52.在Rt△CDM中,MC2=DC2+DM2.∴MC2=62+(52)2,即MC=132.∵MN+DN的最小值=MN+CN=MC,∴△DNM周长的最小值为9.(2)∵BF∥CE,∴△DNM周长的最小值为9.(2)∵BF∥CE,∴QFQF+4=BFCE=13.∴QF=2.∴PK=PK′=6.过点K′作E′F′∥EF,分别交CD于点E′,交QK于点F′.当点P在线段CE上时,在Rt△PK′E′中,PE′2=PK′2-E′K′2,∴PE′=2 5.∵Rt△PE′K′∽Rt△K′F′Q,∴PE′K′F′=E′K′F′Q.∴252=4F′Q.∴F′Q=45 5.∴PE=PE′-EE′=25-455=655.∴CP=CE-PE=15-655.同理可得,当点P在线段ED上时,CP=15+655.综上可得,CP的长为15-655或15+655.类型3与动点有关的几何综合题1.(2019·黄冈)如图,在平面直角坐标系xOy中,菱形OABC的边OA在x轴正半轴上,点B,C 在第一象限,∠C=120°,边长OA=8.点M从原点O出发沿x轴正半轴以每秒1个单位长度的速度作匀速运动,点N从A出发沿边AB-BC-CO以每秒2个单位长度的速度作匀速运动,过点M作直线MP垂直于x轴并交折线OCB 于点P,交对角线OB于点Q,点M和点N同时出发,分别沿各自路线运动,点N运动到原点O时,M和N两点同时停止运动.(1)当t=2时,求线段PQ的长;(2)求t为何值时,点P与N重合;(3)设△APN的面积为S,求S与t的函数关系式及t的取值范围.解:(1)当t=2时,OM=2,在Rt△OPM中,∠POM=60°,∴PM=OM·tan60°=2 3.在Rt△OMQ中,∠QOM=30°,∴QM=OM·tan30°=23 3.∴PQ =PM -QM =23-233=433. (2)由题意,得8+(t -4)+2t =24,解得t =203. (3)①当0<t <4时,S =12·2t·43=43t ; ②当4≤t <203时,S =12×[8-(t -4)-(2t -8)]×43=403-63t ;③当203≤t <8时,S =12×[(t -4)+(2t -8)-8]×43=63t -403;④当8≤t ≤12时,S =S 菱形ABCO -S △AON -S △ABP -S △PCN=323-12(24-2t)×43-12×[8-(t -4)]×43-12(t -4)×32[8-(24-2t)] =-32t 2+123t -56 3. 综上,S =⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧43t ;(0<t <4)403-63t ;(4≤t <203)63t -403;(203≤t <8)-32t 2+123t -56 3.(8≤t ≤12) 2.(2019·青岛)已知:如图,四边形ABCD ,AB ∥DC ,CB ⊥AB ,AB =16 cm ,BC =6 cm ,CD =8 cm .动点P 从点D 开始沿DA 边匀速运动,动点Q 从点A 开始沿AB 边匀速运动,它们的运动速度均为2 cm /s .点P 和点Q 同时出发,以QA ,QP 为边作平行四边形AQPE ,设运动的时间为t(s ),0<t <5.根据题意解答下列问题:(1)用含t 的代数式表示AP ;(2)设四边形CPQB 的面积为S(cm 2),求S 与t 的函数关系式;(3)当QP ⊥BD 时,求t 的值;(4)在运动过程中,是否存在某一时刻t ,使点E 在∠ABD 的平分线上?若存在,求出t 的值;若不存在,请说明理由.解:(1)过点D 作DH ⊥AB 于点H ,则四边形DHBC 是矩形,∴CD =BH =8,DH =BC =6.∴AH =AB -BH =8,AD =DH 2+AH 2=10,BD =CD 2+BC 2=10.∴AP =AD -DP =10-2t.(2)过点P 作PN ⊥AB 于点N ,连接PB. 在Rt △APN 中,PA =10-2t ,∴PN =PA·sin ∠DAH =35(10-2t),AN =PA·cos ∠DAH =45(10-2t). ∴BN =16-AN =16-45(10-2t), S =S △PQB +S △BCP =12·(16-2t)·35(10-2t)+12×6×[16-45(10-2t)]=65t 2-545t +72(0<t <5). (3)当PQ ⊥BD 时,∠PQN +∠DBA =90°, ∵∠QPN +∠PQN =90°,∴∠QPN =∠DBA.∴tan ∠QPN =QN PN =34.∴45(10-2t)-2t35(10-2t)=34.解得t=3527.经检验,t=3527是分式方程的解,∴当t=3527s时,PQ⊥BD.(4)存在.理由:连接BE交DH于点K,过点K作KM⊥BD于点M.当BE平分∠ABD时,△KBH≌△KBM,∴KH=KM,BH=BM=8.设KH=KM=x,在Rt△DKM中,(6-x)2=22+x2,解得x=8 3.过点E作EF⊥AB于点F,则△AEF≌△QPN,∴EF=PN=35(10-2t),AF=QN=45(10-2t)-2t,∴BF =16-[45(10-2t)-2t]. ∵KH ∥EF ,∴KH EF =BH BF. ∴8335(10-2t )=816-[45(10-2t )-2t].解得t =2518. 经检验,t =2518是分式方程的解. ∴当t =2518s 时,点E 在∠ABD 的平分线上.3.(2019·绵阳)如图,已知△ABC 的顶点坐标分别为A(3,0),B(0,4),C(-3,0).动点M ,N 同时从A 点出发,M 沿A →C ,N 沿折线A →B →C ,均以每秒1个单位长度的速度移动,当一个动点到达终点C 时,另一个动点也随之停止移动,移动的时间记为t 秒,连接MN.(1)求直线BC 的解析式;(2)移动过程中,将△AMN 沿直线MN 翻折,点A 恰好落在BC 边上点D 处,求此时t 值及点D 的坐标;(3)当点M ,N 移动时,记△ABC 在直线MN 右侧部分的面积为S ,求S 关于时间t 的函数关系式.备用图解:(1)设直线BC 的解析式为y =kx +b ,则有⎩⎨⎧b =4,-3k +b =0,解得⎩⎨⎧k =43,b =4.∴直线BC 的解析式为y =43x +4. 图1(2)如图1,连接AD 交MN 于点O′.由题意可知,四边形AMDN 是菱形,M(3-t ,0),N(3-35t ,45t), ∴O′(3-45t ,25t),D(3-38t ,45t). ∵点D 在BC 上,∴45t =43×(3-85t)+4,解得t =3011. ∴t =3011s 时,点A 恰好落在BC 边上点D 处,此时D(-1511,2411). 图2(3)如图2,当0<t ≤5时,△ABC 在直线MN 右侧部分是△AMN ,S =12×t ×45t =25t 2; 如图3,当5<t ≤6时,△ABC 在直线MN 右侧部分是四边形ABNM.图3S =S △ABC -S △CMN =12×6×4-12×(6-t)×[4-45(t -5)]=-25t 2+325t -12. 4.(2019·广东)已知Rt △OAB ,∠OAB =90°,∠ABO =30°,斜边OB =4,将Rt △OAB 绕点O 顺时针旋转60°,如图1,连接BC.(1)填空:∠OBC =60°;(2)如图1,连接AC ,作OP ⊥AC ,垂足为P,求OP的长度;(3)如图2,点M,N同时从点O出发,在△OCB边上运动,M沿O→C→B路径匀速运动,N沿O→B→C路径匀速运动,当两点相遇时运动停止.已知点M的运动速度为单位长度/秒,点N的运动速度为1单位长度/秒.设运动时间为x秒,△OMN的面积为y,求当x为何值时,y取得最大值?最大值为多少?(结果可保留根号)图1图2备用图解:(2)∵OB=4,∠ABO=30°,∴OA=12OB=2,AB=3OA=2 3.∴S△AOC =12OA·AB=12×2×23=2 3.∵△BOC是等边三角形,∴BC=BO=4.∴∠OBC=60°,∠ABC=∠ABO+∠OBC =90°.∴AC=AB2+BC2=27.∴OP=2S△AOCAC=4327=2217.(3)①当0<x ≤83时,点M 在OC 上运动,点N 在OB 上运动,此时过点N 作NE ⊥OC 且交OC 于点E.则NE =ON·sin 60°=32x , ∴y =12OM·NE =12××32x ,即y =338x 2. ∴当x =83时,y 有最大值,最大值为833. ②当83<x ≤4时,点M 在BC 上运动,点N 在OB 上运动.图3过点M 作MH ⊥OB 于点H.则BM =8-,MH =BM·sin 60°=32(8-1.5x), ∴y =12ON·MH =-338x 2+23x. ∵当x =83时,y 取最大值,∴y <833. ③当4<x ≤时,点M ,N 都在BC 上运动,过点O作OG⊥BC于点G.则MN=12-,OG=AB=23,图4∴y=12MN·OG=123-532x.∵当x=4时,y有最大值,∴y<2 3.综上所述,y有最大值,最大值为83 3.类型4与实践操作有关的几何综合题1.(2019·齐齐哈尔)折纸是一项有趣的活动,同学们小时候都玩过折纸,可能折过小动物、小花、飞机、小船等,折纸活动也伴随着我们初中数学的学习.在折纸过程中,我们可以通过研究图形的性质和运动,确定图形位置等,进一步发展空间观念,在经历借助图形思考问题的过程中,我们会初步建立几何直观.折纸往往从矩形纸片开始,今天,就让我们带着数学的眼光来玩一玩折纸,看看折叠矩形的对角线之后能得到哪些数学结论.实践操作如图1,将矩形纸片ABCD沿对角线AC翻折,使点B′落在矩形ABCD所在平面内,B′C 和AD相交于点E,连接B′D.图1图2解决问题(1)在图1中.①B′D和AC的位置关系为B′D∥AC(互相平行);②将△AEC剪下后展开,得到的图形是菱形;(2)若图1中的矩形变为平行四边形(AB≠BC),如图2所示,结论①和结论②是否成立,若成立,请挑选其中一个结论加以证明,若不成立,请说明理由;(3)小红沿对角线折叠一张矩形纸片,发现所得图形是轴对称图形,沿对称轴再次折叠后,得到的仍是轴对称图形,则小红折叠的矩形纸片的长和宽之比为1∶1或3∶1.拓展应用(4)在图2中,若∠B=30°,AB=43,当△AB′D恰好为直角三角形时,BC的长度为4或6或8或12.解:结果仍成立.①选择结论①证明.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD//BC.∴∠DAC=∠BCA.由折叠性质,得BC=B′C,∠BCA=∠ACB′,∴∠DAC=∠ACB′,B′C=AD.∴AE=CE,∴B′E=DE.∴∠CB′D=ADB′.∵∠AEC=∠B′ED,∠ACB′=∠CAD,∴∠ADB′=∠DAC.∴B′D∥AC.②选择结论②证明.设点E的对应为点F,连接AF.由折叠性质,得AE=AF,CE=CF.由①知AE=CE,∴AE=CE=AF=CF.∴四边形AECF是菱形.2.(2019·山西)综合性实践问题情境:在数学活动课上,老师出示了这样一个问题:如图1,在矩形ABCD中,AD=2AB,E是AB延长线上一点,且BE=AB,连接DE,交BC于点M,以DE为一边在DE的左下方作正方形DEFG,连接AM,试判断线段AM与DE的位置关系.探究展示:勤奋小组发现,AM垂直平分DE,并展示了如下的证明方法:证明:∵BE=AB,∴AE=2AB.∵AD=2AB,∴AD=AE.∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC.∴EMDM=EBAB.(依据1)∵BE=AB,∴EMDM=1.∴EM=DM,即AM是△ADE的DE边上的中线.又∵AD=AE,∴AM⊥DE.(依据2)∴AM垂直平分DE.反思交流:(1)①上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么?②试判断图1中的点A是否在线段GF的垂直平分线上,请直接回答,不必证明;(2)创新小组受到勤奋小组的启发,继续进行探究,如图2,连接CE,以CE为一边在CE 的左下方作正方形CEFG,发现点G在线段BC 的垂直平分线上,请你给出证明;探索发现:(3)如图3,连接CE,以CE为一边在CE 的右上方作正方形CEFG,可以发现点C,点B 都在线段AE的垂直平分线上,除此之外,请观察矩形ABCD和正方形CEFG的顶点与边,你还能发现哪个顶点在哪条边的垂直平分线上,请写出一个你发现的结论,并加以证明.图1图2 图3解:(1)①依据1:两条直线被一组平行线所截,所得到的对应线段成比例(或平行线分线段成比例).依据2:等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线及底边上的高互相重合(或等腰三角形的“三线合一”).②点A在线段GF的垂直平分线上.(2)证明:过点G作GH⊥BC于点H.∵四边形ABCD为矩形,点E在AB的延长线上,∴∠CBE=∠ABC=∠GHC=90°.∴∠BCE+∠BEC=90°.∵四边形CEFG为正方形,∴CG=CE,∠GCE=90°.∴∠BCE+∠BCG=90°.∴∠BEC=∠BCG.∴△GHC≌△CBE(AAS).∴HC=BE.∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC.∵AD=2AB,BE=AB,∴BC=2BE=2HC.∴HC=BH.∴GH垂直平分BC.∴点G在BC的垂直平分线上.(3)点F在BC边的垂直平分线上(或点F在AD边的垂直平分线上).过点F作FM⊥BC于点M,过点E作EN⊥FM于点N.∴∠BMN=∠ENM=∠ENF=90°.∵四边形ABCD是矩形,点E在AB的延长线上,∴∠CBE=∠ABC=90°.∴四边形BENM 为矩形.∴BM=EN,∠CEB+∠CEN=90°.∵四边形CEFG为正方形,∴EF=EC,∠CEF=90°.∴∠CEN+∠FEN=90°.∴∠CEB=∠FEN.∴△ENF≌△EBC(AAS).∴NE=BE.∴BM=BE.。
专项训练1.小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究.(一)猜测探究在ABC △中,AB AC =,M 是平面内任意一点,将线段AM 绕点A 按顺时针方向旋转与BAC ∠相等的角度,得到线段AN ,连接NB .(1)如图1,若M 是线段BC 上的任意一点,请直接写出NAB ∠与MAC ∠的数量关系是 ,NB 与MC 的数量关系是 ;(2)如图2,点E 是AB 延长线上点,若M 是CBE ∠内部射线BD 上任意一点,连接MC ,(1)中结论是否仍然成立?若成立,请给予证明,若不成立,请说明理由.(二)拓展应用如图3,在△111A B C 中,118A B =,11160A B C ∠=︒,11175B AC ∠=︒,P 是11B C 上的任意点,连接1A P ,将1A P 绕点1A 按顺时针方向旋转75︒,得到线段1AQ ,连接1B Q .求线段1B Q 长度的最小值.2.在图1,2,3中,已知ABCD ,120ABC ∠=︒,点E 为线段BC 上的动点,连接AE ,以AE 为边向上作菱形AEFG ,且120EAG ∠=︒.(1)如图1,当点E 与点B 重合时,CEF ∠= ︒;(2)如图2,连接AF .①填空:FAD ∠ EAB ∠(填“>”,“ <”,“=” );②求证:点F 在ABC ∠的平分线上;(3)如图3,连接EG ,DG ,并延长DG 交BA 的延长线于点H ,当四边形AEGH 是平行四边形时,求BC AB的值.3.【问题探究】(1)如图1,ABC △和DEC △均为等腰直角三角形,90ACB DCE ∠=∠=︒,点B ,D ,E 在同一直线上,连接AD ,BD .①请探究AD 与BD 之间的位置关系: ;②若10AC BC ==,2DC CE ==,则线段AD 的长为 ;【拓展延伸】(2)如图2,ABC ∆和DEC ∆均为直角三角形,90ACB DCE ∠=∠=︒,21AC =,7BC =,3CD =,1CE =.将DCE △绕点C 在平面内顺时针旋转,设旋转角BCD ∠为(0360)αα︒<︒,作直线BD ,连接AD ,当点B ,D ,E 在同一直线上时,画出图形,并求线段AD 的长.4.如图1,正方形ABDE和BCFG的边AB,BC在同一条直线上,且2AB BC=,取EF的中点M,连接MD,MG,MB.(1)试证明DM MG⊥,并求MBMG的值.(2)如图2,将图1中的正方形变为菱形,设2(090)EABαα∠=<<︒,其它条件不变,问(1)中MBMG的值有变化吗?若有变化,求出该值(用含α的式子表示);若无变化,说明理由.5.如图1,菱形ABCD 的顶点A ,D 在直线上,60BAD ∠=︒,以点A 为旋转中心将菱形ABCD 顺时针旋转(030)αα︒<<︒,得到菱形AB C D ''',B C ''交对角线AC 于点M ,C D ''交直线l 于点N ,连接MN .(1)当//MN B D ''时,求α的大小.(2)如图2,对角线B D ''交AC 于点H ,交直线l 与点G ,延长C B ''交AB 于点E ,连接EH .当HEB '△的周长为2时,求菱形ABCD 的周长.6.思维启迪:(1)如图1,A ,B 两点分别位于一个池塘的两端,小亮想用绳子测量A ,B 间的距离,但绳子不够长,聪明的小亮想出一个办法:先在地上取一个可以直接到达B 点的点C ,连接BC ,取BC 的中点P (点P 可以直接到达A 点),利用工具过点C 作CD AB ∥交AP 的延长线于点D ,此时测得200CD =米,那么A ,B 间的距离是米.思维探索:(2)在ABC △和ADE △中,AC BC =,AE DE =,且AE AC <,90ACB AED ∠=∠=︒,将ADE △绕点A 顺时针方向旋转,把点E 在AC 边上时ADE △的位置作为起始位置(此时点B 和点D 位于AC 的两侧),设旋转角为α,连接BD ,点P 是线段BD 的中点,连接PC ,PE .①如图2,当ADE △在起始位置时,猜想:PC 与PE 的数量关系和位置关系分别是 ;②如图3,当90α=︒时,点D 落在AB 边上,请判断PC 与PE 的数量关系和位置关系,并证明你的结论;③当150α=︒时,若3BC =,1DE =,请直接写出2PC 的值.7.综合与实践动手操作:第一步:如图1,正方形纸片ABCD 沿对角线AC 所在的直线折叠,展开铺平.在沿过点C 的直线折叠,使点B ,点D 都落在对角线AC 上.此时,点B 与点D 重合,记为点N ,且点E ,点N ,点F 三点在同一条直线上,折痕分别为CE ,CF .如图2.第二步:再沿AC 所在的直线折叠,ACE △与ACF △重合,得到图3. 第三步:在图3的基础上继续折叠,使点C 与点F 重合,如图4,展开铺平,连接EF ,FG ,GM ,ME .如图5,图中的虚线为折痕.问题解决:(1)在图5中,BEC 的度数是,AE BE的值是 . (2)在图5中,请判断四边形EMGF 的形状,并说明理由;(3)在不增加字母的条件下,请你以图中5中的字母表示的点为顶点,动手画出一个菱形(正方形除外),并写出这个菱形: .8.如图,在直角坐标系中,直线132y x=−+与x轴,y轴分别交于点B,点C,对称轴为1x=的抛物线过B,C两点,且交x轴于另一点A,连接AC.(1)直接写出点A,点B,点C的坐标和抛物线的解析式;(2)已知点P为第一象限内抛物线上一点,当点P到直线BC的距离最大时,求点P的坐标;(3)抛物线上是否存在一点Q(点C除外),使以点Q,A,B为顶点的三角形与ABC△相似?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.题9.已知抛物线2342y ax x =++的对称轴是直线3x =,与x 轴相交于A ,B 两点(点B 在点A 右侧),与y 轴交于点C .(1)求抛物线的解析式和A ,B 两点的坐标;(2)如图1,若点P 是抛物线上B 、C 两点之间的一个动点(不与B 、C 重合),是否存在点P ,使四边形PBOC 的面积最大?若存在,求点P 的坐标及四边形PBOC 面积的最大值;若不存在,请说明理由;(3)如图2,若点M 是抛物线上任意一点,过点M 作y 轴的平行线,交直线BC 于点N ,当3MN =时,求点M 的坐标.10.如图,抛物线2542y mx mx =−−与x 轴交于1(A x ,0),2(B x ,0)两点,与y 轴交于点C ,且21112x x −=. (1)求抛物线的解析式;(2)若1(P x ,1)y ,2(Q x ,2)y 是抛物线上的两点,当12a x a +,292x 时,均有12y y ,求a 的取值范围;(3)抛物线上一点(1,5)D −,直线BD 与y 轴交于点E ,动点M 在线段BD 上,当BDC MCE ∠=∠时,求点M 的坐标.11.如图,抛物线2y ax bx c =++经过(3,0)A −,(1,0)B ,(0,3)C 三点.(1)求抛物线的函数表达式;(2)如图1,P 为抛物线上在第二象限内的一点,若PAC △面积为3,求点P 的坐标;(3)如图2,D 为抛物线的顶点,在线段AD 上是否存在点M ,使得以M ,A ,O 为顶点的三角形与ABC △相似?若存在,求点M 的坐标;若不存在,请说明理由.12.若二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴、y 轴分别交于点(3,0)A 、(0,2)B −,且过点(2,2)C −.(1)求二次函数表达式;(2)若点P 为抛物线上第一象限内的点,且4PBA S =△,求点P 的坐标;(3)在抛物线上(AB 下方)是否存在点M ,使ABO ABM ∠=∠?若存在,求出点M 到y 轴的距离;若不存在,请说明理由.13.综合与探究如图,抛物线26y ax bx =++经过点(2,0)A −,(4,0)B 两点,与y 轴交于点C ,点D 是抛物线上一个动点,设点D 的横坐标为(14)m m <<.连接AC ,BC ,DB ,DC .(1)求抛物线的函数表达式;(2)BCD △的面积等于AOC △的面积的34时,求m 的值; (3)在(2)的条件下,若点M 是x 轴上一动点,点N 是抛物线上一动点,试判断是否存在这样的点M ,使得以点B ,D ,M ,N 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.14.如图,在平面直角坐标系中,抛物线22(0)y ax bx a =++≠与x 轴交于A ,B 两点(点A 在点B 的左侧),与y 轴交于点C ,抛物线经过点(2,3)D −−和点(3,2)E ,点P 是第一象限抛物线上的一个动点.(1)求直线DE 和抛物线的表达式;(2)在y 轴上取点(0,1)F ,连接PF ,PB ,当四边形OBPF 的面积是7时,求点P 的坐标;(3)在(2)的条件下,当点P 在抛物线对称轴的右侧时,直线DE 上存在两点M ,N (点M 在点N 的上方),且22MN =,动点Q 从点P 出发,沿P M N A →→→的路线运动到终点A ,当点Q 的运动路程最短时,请直接写出此时点N 的坐标.15.如图1,在平面直角坐标系中,抛物线233373848y x x =+−与x 轴交于点A 、B (点A 在点B 右侧),点D 为抛物线的顶点,点C 在y 轴的正半轴上,CD 交x 轴于点F ,CAD ∆绕点C 顺时针旋转得到CFE ∆,点A 恰好旋转到点F ,连接BE .(1)求点A 、B 、D 的坐标;(2)求证:四边形BFCE 是平行四边形;(3)如图2,过顶点D 作1DD x ⊥轴于点1D ,点P 是抛物线上一动点,过点P 作PM x ⊥轴,点M 为垂足,使得PAM △与1DD A △相似(不含全等).①求出一个满足以上条件的点P 的横坐标;②直接回答这样的点P 共有几个?。
2019-2020年中考北师大版中考数学专题复习:类比探究测
试题
一、知识点睛
解决类比探究问题的处理思路
1.若属于类比探究常见的结构类型,调用结构类比解决.
类比探究结构举例:中点结构、直角结构、旋转结构、平行
结构.
2.若不属于常见结构类型:
①根据题干条件,结合_______________先解决第一问.
②类比解决下一问.
如果不能,分析条件变化,寻找______________.
③结合所求目标,依据__________,大胆猜测、尝试、验
证.
二、精讲精练
1.已知:线段OA⊥OB,点C为OB中点,D为线段OA上一点.
连接AC,BD交于点P.
(1)如图1,当OA=OB,且D为OA中点时,求AP
PC
的值;
(2)如图2,当OA=OB,且
1
4
AD
OA
时,求tan∠BPC的值;
(3)如图3,当AD:OA:OB=1:n
:tan∠BPC
的值.
A B
P
D
O
A B
P
C
D
O
A
O
C
B
D
P
图1
图2
图3
2. 如图1,在Rt △ABC 中,∠BAC =90°,AD ⊥BC 于点D ,点O 是AC 边上一
点,连接BO ,交AD 于点F ,OE ⊥OB 交BC 于点E . (1)求证:ABF COE △∽△;
(2)如图2,当O 为AC 边中点,
2AC
AB
=时,求OF OE 的值;
(3)如图3,当O 为AC 边中点,AC
n AB
=时,请直接写出OF OE 的值.
D
E
F
B
A
图2
A
E
D F
B
图3
A
E
D F
B
图1
3. (1)问题发现
如图1,△ACB 和△DCE 均为等边三角形,点A ,D ,E 在同一直线上,连接BE .填空:
①∠AEB 的度数为___________;
②线段AD ,BE 之间的数量关系为___________.
(2)拓展探究
如图2,△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形,∠ACB =
∠DCE =90°,点A ,D ,E 在同一直线上,CM 为△DCE 中DE 边上的高,连接BE .请判断∠AEB 的度数及线段CM ,AE ,BE 之间的数量关系,并说明理由.
图2
M
E
D
C
B
A
(3)解决问题
如图3,在正方形ABCD 中,CD
P 满足PD =1,且∠BPD =90°,请直接写出点A 到BP 的距离.
图3
A B
C
D
图1
E
D
C
B
4. 数学课上,王老师出示图1和下面框中条件:
图1 图2
(1)①当点C 与点F 重合时,如图2所示,可得AM
DM
的值为___________; ②在平移过程中,
AM
DM
的值为______(用含x 的代数式表示). (2)将图2中的三角板ABC 绕点C 逆时针旋转,原题中的其他条件保持不变.当点A 落在线段DF 上时,如图3所示,请计算
AM
DM
的值. (3)将图1中的三角板ABC 绕点C 逆时针旋转m 度,090m ≤,原题中的其他条件保持不变,如图4所示,请计算
AM
DM
的值(用含x 的代数式表示).
图3 图4
如图1,两块等腰直角三角板ABC 和DEF 有一条边在同一条直线l 上,∠ABC =∠DEF =90°,AB =1,DE =2.将直线EB 绕点E 逆时针旋转45°,交直线AD 于点M .将图1中的三角板ABC 沿直线l 向右平移,设C ,E 两点间的距离为x .
【参考答案】
1. (1)
2AP
PC
= (2)tan ∠BPC =1
2
(3)tan ∠2. (1)证明略
(2)2OF OE
= (3)OF n OE
= 3. (1)60°,AD =BE (2)AE =2CM +BE
(3)AQ
4. (1)①1,②2
x
(2)1
(3)2
x。