第一节 圆的基本性质

九年级圆的基础知识点圆，作为几何学中的一个常见概念，是我们在学习数学的过程中经常接触到的内容之一。

本文将为你介绍九年级学生需要掌握的圆的基础知识点，帮助你更好地理解和应用圆的相关概念。

一、圆的定义和基本性质圆是由平面上到一个定点的距离恒定的所有点的集合。

其中，到定点的距离称为圆的半径，定点称为圆心。

在圆上任意取两点，其连接线段称为弦，如果弦的中垂线恰好经过圆心，那么该弦称为直径。

圆的基本性质包括：1. 任意两点都在圆上；2. 定义圆心为O，若点P在圆上，则OP为半径；3. 圆的半径相等；4. 相交于一点的两弦相等时，这两弦的有公共的中点；5. 互补的两弧对应的弦相等。

二、圆的元素与相关术语1. 圆弧：圆上两点间的弧称为圆弧。

圆周长为360°，因此圆弧的度数也是以360°为单位来计算的。

2. 弦：连接圆上两点的线段称为弦。

可以根据弦的位置分为直径、半径和弦等。

3. 弧度：圆的弧度是指一条弧所对圆心角所对应的弧长与半径之比。

4. 扇形：以圆心为顶点，圆周上的两条边为边的图形称为扇形。

扇形的面积可以通过计算它所对的圆心角所占的比例求解。

5. 切线：切线是指在圆的圆周上，与切点相切且垂直于半径的直线。

切线与半径的夹角为90°。

三、圆的重要定理1. 圆心角定理：同一个圆的圆心角所对的弧长相等。

2. 弧长定理：圆心角为θ的弧所对的弧长等于整个圆的周长乘以θ和360°之比。

3. 正多边形的内角和定理：一个正n边形的内角和等于(n-2) ×180°，其中n为正整数且大于等于3。

四、常见计算问题在计算圆的相关问题时，我们可以运用以下公式和方法：1. 圆的面积计算公式：S = πr^2，其中S为圆的面积，r为半径。

2. 扇形面积计算公式：S = (θ / 360°) × πr^2，其中S为扇形的面积，r为半径，θ为圆心角的度数。

3. 圆弧长度计算公式：L = (θ / 360°) × 2πr，其中L为圆弧的长度，r为半径，θ为圆心角的度数。

2023-11-05•圆的基本性质•圆的几何性质•圆的切线与弦的性质目录•圆的方程与性质的应用•圆的面积与体积计算•圆的综合应用与拓展01圆的基本性质圆是一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形。

其中，线段OA叫做半径，记作r，点O叫做圆心，固定的端点叫做中心。

圆的定义可以推广到空间，即一个球体或球面被通过球心的平面截得的图形叫做球或球面。

在二维平面上，圆是一种特殊的椭圆，当椭圆的长轴和短轴相等时，即成为圆。

圆的概念与定义圆的半径与直径圆的半径是从圆心到圆周任一点的距离，通常用字母r表示。

圆的直径是从圆周经过圆心的任一直线段，通常用字母d表示。

根据勾股定理，直径d等于半径r的2倍，即d=2r。

圆的直径和半径是成对出现的，直径是半径的2倍，半径是直径的一半。

在同一个圆中，直径是半径的2倍，这个关系是不变的。

圆的标准方程是$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^2$，其中圆心坐标为$(a,b)$，半径为r。

圆的标准方程是描述圆位置和大小的一种数学表达式，它可以帮助我们快速地求解圆的方程。

圆的标准方程02圆的几何性质圆的直径的性质直径与弦的关系在圆中，直径垂直于过直径中点的弦，并且直径平分弦所对的弧。

直径与弧的关系在圆中，直径所对的弧是圆中最长的弧，即直径与弧所成的角是圆周角。

直径是圆中最长的弦圆的直径将圆分成两个完全相等的部分，且过直径中点的任何弦都被直径平分。

1圆内角与外角23在圆内，顶点在圆心且两边与圆相交的角叫做圆内角。

圆内角的定义在圆外，顶点在圆上且两边与圆相交的角叫做圆外角。

圆外角的定义圆内角和圆外角都是锐角或钝角，它们所对的弦和弧都可以在圆内找到。

圆内角和圆外角的特征在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

圆周角定理的表述定理的证明定理的应用通过证明三角形相似或全等，利用三角形的性质来证明圆周角定理。

利用圆周角定理可以证明一些与圆有关的性质和定理，例如垂径定理、切线长定理等。

圆的基本性质内容分析圆的基本性质是初中数学九年级下学期第一章第一节的内容．需要掌握点与圆的位置关系，理解圆心角、弧、弦、弦心距的概念和掌握它们之间的关系，重点是这四者关系的灵活运用，以及垂径定理及其推论的应用．知识结构模块一：圆的确定知识精讲1、圆的概念圆：平面上到一个定点的距离等于定长的所有点所成的图形．圆心：以上概念中的“定点”；以点O 为圆心的圆称为“圆O”，记作O ．半径：联结圆心和圆上任意一点的线段；以上概念中的“定长”是圆的半径长．2、点与圆的位置关系设一个圆的半径长为R，点P 到圆心的距离为d，则有以下结论：当点P 在圆外时，d > R；当点P 在圆上时，d = R；当点P 在圆内时，0 ≤d <R ．反之亦然．3、相关定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆．三角形的三个顶点确定一个圆．经过一个三角形各顶点的圆叫做这个三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做这个三角形的外心；这个三角形叫做这个圆的内接三角形．如果一个圆经过一个多边形的各顶点，那么这个圆叫做这个多边形的外接圆，这个多边形叫做这个圆的内接多边形．OlHa 2aAB【例1】 在平面直角坐标系内，A （ -3 ， - tan 30︒ ），B （ ，0）， A 的半径为 4，试说明点 B 与 A 的位置关系．【例2】 过一个点可以画个圆，过两个点可以画 个圆，过三个点可以画个圆．【例3】 已知，如图，在 O 中，AB 、BC 为弦，OC 交 AB 于点 D ．求证：（1） ∠ODB > ∠OBD ；（2） ∠ODB > ∠OBC ．OBAD C【例4】 如图， O 的半径为 15，O 到直线 l 的距离 OH = 9，A 、B 、C 为直线 l 上的三个点，AH = 9，QH = 12，RH = 15，请分别说明点 A 、B 、C 与 O 的位置关系．【例5】 若 A （a ， -27 ）在以点 B （ -35 ， -27 ）为圆心，37 为半径的圆上，求 a 的值．【例6】 如图，作出 AB 所在圆的圆心，并补全整个圆．例题解析EBD O C A【例7】如图，CD 是半圆的直径，O 是圆心，E 是半圆上一点，且∠EOD = 45︒，A 是DC 延长线上一点，AE 与半圆交于B，若AB = OC，求∠EAD 的度数．【例8】已知，如图，AB 是O 的直径，半径OC ⊥AB ，过OC 的中点D 作EF // AB．求证：∠ABE =1∠CBE ．2CE D FAOB【例9】已知：AB 是O 的直径，点P 是OA 上任意一点，点C 是O 上任意一点．求证：PA ≤PC ≤PB ．CAO B知识精讲1、圆心角、弧、弦、弦心距的概念圆心角：以圆心为顶点的角叫做圆心角；弧：圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧；弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦就是直径；弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距．2、半圆、优弧、劣弧半圆：圆的任意一条直径的两个端点将圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．优弧：大于半圆的弧叫做优弧．劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧．如图，以A、C 为端点的劣弧记作AC，读作“弧AC”；以A、C 为端点的优弧记作ABC，读作“弧ABC”．3、等弧和等圆能够重合的两条弧称为等弧，或者说这两条弧相等．若AB 与A' B ' 是等弧，记作AB A' B ' ．半径相等的两个圆一定能够重合，我们把半径相等的两个圆称为等圆．4、圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．5、圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理的推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条劣弧（或优弧）、两条弦、两条弦的弦心距得到的四组量中有一组量相等，那么它们所对应的其余三组量也分别相等．模块二：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系ADEOCB【例10】 下列命题中真命题的个数是（ ）○ 1 相等的圆心角所对的弧也相等；○ 2 在同圆中，如果两条弦相等，那么所对的弧也相等； ○ 3 A 、B 是 O 上任意两点，则 AO + BO 等于 O 的直径长； ○ 4 三角形的外心到三角形三边的距离相等．A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个 【例11】 一条弦把圆分成 1 : 3 两部分，则弦所对的圆心角为 °．A【例12】 如图，在 O 中， AB = AC ， ∠B = 70︒ ，则∠BAC = ．OBC【例13】 如图，已知 O 的半径是 6， ∠BOD = 30︒ ， BD = BC ，CD =．【例14】 如图， O 1 和O 2 是等圆，P 是O 1O 2 的中点，过点 P 作直线 AD 交 O 1 于点 A 、B ，交 O 2 于点C 、D ． 求证：AB = CD ．【例15】 已知，如图，AB 、CD 是 O 的直径，弦 AE // CD ，联结 CE 、BC ． 求证：BC = CE ．例题解析AOCBDDCBPAC DAM O N B【例16】如图，O 是∆ABC 的外接圆，AO 平分∠BAC ，∠AOB =∠BOC ，判断∆ABC 的形状，并说明理由．AOB C【例17】已知，如图，AB 是O直径，M、N 分别是AO、BO 的中点，CM ⊥AB ，DN ⊥AB ．求证：AC =BD ．【例18】如图，以点O 为圆心的圆弧上依次有四个点A、B、C、D，且∠A O B求证：四边形ABCD 是等腰梯形．=∠C O D．OA DB C1、 垂径定理如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧． 2、 相关结论（1）如果圆的直径平分弦（这条弦不是直径），那么这条直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的弧．（2）如果圆的直径平分弧，那么这条直径就垂直平分这条弧所对的弦． （3）如果一条直线是弦的垂直平分线，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧．（4）如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦．（5）如果一条直线垂直于弦，并且平分弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心， 并且平分这条弦．总结：在圆中，对于某一条直线“经过圆心”、“垂直于弦”、“平分弦”、“平分弦所对的弧”这四组关系中，如果有两组关系成立，那么其余两组关系也成立．【例19】 O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，则弦AB的长为 ． 【例20】 在半径为2 的 O 中，弦AB 的长为2 2 ，则弦AB 所对的圆心角∠AOB =°．【例21】 如图， O 是∆ABC 的外接圆，圆心 O 在这个三角形的高 CD 上，点 E 和点 F分别是边 AC 和 BC 的中点． 求证：四边形 CEDF 是菱形．模块三：垂径定理知识精讲例题解析CE OF A DBCGQODER FPHOBCA【例22】 如图，一根横截面为圆形的输水管道，阴影部分为有水部分，此时水面宽 AB为 0.6 米，污水深 CD 为 0.1 米，求圆形的下水管道的直径．【例23】 如图，在 O 中，弦 CD 、EF 的延长线相交于点 P ，G 、H 分别是CD 、EF 的中点，GH 与 PC 、PE 分别相交于 Q 、R 两点，试判断∆PQR 的形状，并证明所得到的结论．【例24】 如图，P 是 O 的弦 AB 的中点，PC ⊥ OA ，垂足为 C ，求证：PA PB = AC AO ．【例25】 位于本市浦东临港新城的滴水湖是圆形人工湖．为测量该湖的半径，小智和小方沿湖边选取 A 、B 、C 三根木柱，使得 A 、B 之间的距离与 A 、C 之间的距离相等，并测得 BC 长 240 米，A 到 BC 的距离为 5 米，如图所示．请你帮他们求出滴水湖的半径．O A D BCBPACO【例26】 如图，弦 CD 垂直于 O 的直径 AB ，垂足为 H ，且CD = 2 2 ， BD = 3 ，则AB的长为 ．C B HODA【例27】 已知 O 的半径r = 4 ，AB 、CD 为 O 的两条弦，AB 、CD 的长分别是方程x 2 - (4 + 4)x + 16 = 0 的两根，其中 AB > CD ，且 AB // CD ，求 AB 与 CD 间的距离．【例28】 已知，如图， O 1 与 O 2 交于 A 、B ，过 A 的直线分别交 O 1 与 O 2 于 M 、N ，C 是 MN 的中点，P 是O 1O 2 的中点．【例29】 如图，已知四边形 ABCD 外接圆 O 的半径为 2，对角线 AC 与 BD 的交点为E ，AE = EC ， AB = 2AE ，且 BD = 2 ，求四边形 ABCD 的面积．ABD EOCB P NC AM3 3 3BDCEOA【例30】 如图，在半径为 2 的扇形 AOB 中，∠AOB = 90︒ ，点 C 是弧 AB 上的一个动点（不与点 A 、B 重合）， OD ⊥ BC ， OE ⊥ AC ，垂足分别为 D 、E ．（1）在∆DOE 中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度， 如果不存在，请说明理由．（2）设 BD = x ， ∆DOE 的面积为 y ，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出它的定义域．BA C EFOBD【习题1】已知 半径为 5，若点 P 不在上，则线段 OP 的取值范围为．【习题2】 如图，AB 是直径， BC = CD = DE ， ∠BOC = 40︒ ，则∠AOE = ．EDCAOB【习题3】如图，为方便三个村庄居民子女的上学问题，上级镇政府决定在 A 、B 、C 三个村庄旁边造一所学校，要求它到各村庄的距离相等，请你在图中画出学校的位置．（保留作图痕迹）【习题4】如图， AB = CD ， OE ⊥ AB ， OF ⊥ CD ， ∠OEF = 25︒ ，求∠EOF 的度数．【习题5】 如图，在∆ABC 中， ∠B = 90︒ ， ∠A = 60︒ ，以点 B 为圆心，AB 为半径画圆，交 AC 于点 D ，交 BC 于点 E ．求证：（1）AD = 2DE ；（2）D 是 AC 的中点．随堂检测ACADBECO OA OB CA O BDCECEFO D【习题6】如图，AB 为O直径，E 为BC的中，OE 交BC 于点D，BD = 3，AB = 10，则AC = ．【习题7】如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中的CD），点O 是CD的圆心，其中CD = 600 米，E 为CD 上一点，且OE ⊥CD ，垂足为F，EF = 90 米，求这段弯路的半径．【习题8】如图，在∆ABC 中，∠A = 70︒，O 截∆ABC 的三边所得的弦长都相等，求∠BOC 的度数．【习题9】已知，如图，∆ABC 是等边三角形，AB 是O 的直径，AE =EF =FB ，CE、CF 交AB 于点M、N．求证：AM = MN = NB．CA M NOBE F【习题10】 如图，AB 为 O 的直径，CD 为弦，过点C 、D 分别作CN ⊥ CD 、DM ⊥ CD ，分别交 AB 于点 N 、M ，请问图中的 AN 与 BM 是否相等，说明理由．【作业1】在下列命题中，正确的个数是（）○ 1 圆心角相等，则它们所对的弦必相等；○ 2 经过线段的两个端点及线段所在直线外一点可以确定一个圆； ○ 3 直径平分弦，则必垂直于弦；○ 4 如果同圆中，两条弦互相平分，那么这两条弦都是直径．A ．0 个B ．1 个C ．2 个D ．3 个【作业2】在∆ABC 中，∠C = 90︒ ，D 、E 分别是 AB 、AC 的中点，AC = 7，BC = 4．若以点 C 为圆心，BC 为半径作圆，判断点 D 、E 与 C 的位置关系．【作业3】已知直线 a 和直线外两点 A 、B ，经过 A 、B 作一圆，使它的圆心在直线 a上．aM BAN OCD课后作业ABD E F C AGOB【作业4】已知 O 外一点 A 和圆上的点最大距离为 23 厘米，最小距离为 10 厘米，则 O 的半径为厘米．【作业5】如图，在 O 中， 2AB BC ，试确定 AB 与 2BC 的大小关系．【作业6】如图，矩形 ABCD 与圆心在 AB 上的 O 交于点 G 、B 、F 、E ，GB = 8 厘米，AG = 1 厘米，DE = 2 厘米，则 EF =厘米．【作业7】 已知点 A （1，0），B （4，0）， P 是经过 A 、B 两点的一个动圆，当与 y 轴相交，且在 y 轴上两交点的距离为 3 时，求圆心 P 的坐标．【作业8】 已知，如图，在 O 中，弦 AB 的长是半径 OA 的 3 倍，C 为 AB 的中点，AB 、OC 相交于 P ．求证：四边形 OACB 为菱形．BAOCCBAP OPCAPOB D EF 【作业9】 已知：过圆 O 内一点 P 作弦 AB 、CD ，且 AB = CD ，在 BD 上取两点 E 、F ，且 BE = DF ．求证：直线 PO 是 EF 的垂直平分线．【作业10】 如图，O 1 与 O 2 交于 A 、B ，M 为O 1O 2 的中点，过点 A 作 EF ⊥ AM 分别 交 O 1 与 O 2 于点 E 、F ．若∠O 1 AO 2 = 90︒ ， AO 1 AO 2 = O 1O 2 = m （ m ≥ 2 ）， 求 EF 的长．BMFAE。