高考理科数学：《基本初等函数》题型归纳与训练

高考理科数学：基本初等函数题型归纳与训练【题型归纳】题型一 指数运算与对数运算例1 已知函数2log ,0,()31,0,x x x f x x ->⎧=⎨+≤⎩则f (f (1))＋f 31log 2⎛⎫ ⎪⎝⎭的值是( )A.5B.3C.－1D.72【答案】A【解析】由题意可知f (1)＝log 21＝0，f (f (1))＝f (0)＝30＋1＝2，31log 0,2<∴f 31log 2⎛⎫ ⎪⎝⎭＝31log 23-+1＝2＋1＝3，所以f (f (1))＋f ⎝⎛⎭⎫log 312＝5. 【易错点】确定31log 2的范围再代入. 【思维点拨】本题较简单，分段函数计算题代入时要先确定范围，再代入函数. 例2 定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝2log 1,0,6,0,x x f x x -≤⎧⎨->⎩（）（）则f (2 019)＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2 【答案】D【解析】∵2 019＝6×337－3，∴f (2 019)＝f (－3)＝log 2(1＋3)＝2.故选D. 【易错点】转化过程【思维点拨】x >6时可以将函数看作周期函数，得到f (2 019)＝f (3)，然后再带入3，得出f (3)＝f (－3). 题型二 指对幂函数的图象与简单性质 例1 函数f (x )＝a x－b的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A.a >1，b <0B.a >1，b >0C.0<a <1，b >0D.0<a <1，b <0【答案】D 【解析】由f (x )＝a x－b 的图象可以观察出，函数f (x )＝a x－b在定义域上单调递减，所以0<a <1.函数f (x )＝a x－b的图象是在f (x )＝a x 的基础上向左平移得到的，所以b <0.【易错点】注意b 的符号【思维点拨】(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除；(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．例2 已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.a ＜b ＜c B.c ＜a ＜b C.a ＜c ＜bD.c ＜b ＜a【答案】B【解析】由函数f (x )＝2|x－m |－1为偶函数，得m ＝0，所以f (x )＝2|x |－1，当x ＞0时，f (x )为增函数，log 0.53＝－log 23，∴log 25＞|－log 23|＞0， ∴b ＝f (log 25)＞a ＝f (log 0.53)＞c ＝f (2m )＝f (0)，故选B.【易错点】①对称性的条件转化；②利用单调性或图象转化到同一单调区间比较大小. 【思维点拨】函数()fx m -的图象关于x m =对称；指对幂函数比较大小时像本题中a,b 一样可以换成同底数的数，可以化为一样的底数利用单调性比较大小. 题型三 二次函数的图象与性质例1 已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________． 【答案】（－22，0） 【解析】由于f (x )＝x 2＋mx －1＝mx ＋(x 2－1)，可视f (x )为关于m 的一次函数，故根据题意有 2222()10,(1)(1)(1)10,f m m m f m m m m ⎧=++<⎪⎨+=++++<⎪⎩解得－22<m <0. 【思维点拨】恒成立问题转化为最值问题. 例2 已知f (x )＝ax 2－2x (0≤x ≤1)，求f (x )的最小值． 【答案】a<1时,f (x )min =a -2；a ≥1时，f (x )min =－1a.【解析】①当a ＝0时，f (x )＝－2x 在[0，1]上单调递减，∴f (x )min ＝f (1)＝－2. ②当a >0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的开口方向向上，且对称轴为直线x ＝1a .当1a ≤1，即a ≥1时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的对称轴在[0，1]内， ∴f (x )在⎣⎡⎦⎤0，1a 上单调递减，在⎣⎡⎦⎤1a ，1上单调递增． ∴f (x )min ＝1()f a＝1a －2a ＝－1a .当1a >1，即0<a <1时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的对称轴在[0，1]的右侧， ∴f (x )在[0，1]上单调递减．∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.③当a <0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的开口方向向下，且对称轴x ＝1a <0，在y 轴的左侧，∴f (x )＝ax 2－2x 在[0，1]上单调递减． ∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.综上所述，f (x )min ＝2,1,1, 1.a a a a-<⎧⎪⎨-≥⎪⎩【易错点】忽略a ＝0情形；对称轴不确定分类讨论【思维点拨】二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (不妨设a >0)在区间[m ，n ]上的最大或最小值如下：(1)当2ba-∈[m ，n ]，即对称轴在所给区间内时，f (x )的最小值在对称轴处取得，其最小值是2424b ac bf a a -⎛⎫-= ⎪⎝⎭；若2b a -≤m ＋n 2，f (x )的最大值为f (n )；若2b a -≥m ＋n 2，f (x )的最大值为f (m )．(2)当2b a -∉[m ，n ]，即给定的区间在对称轴的一侧时，f (x )在[m ，n ]上是单调函数．若2ba-<m ，f (x )在[m ，n ]上是增函数，f (x )的最小值是f (m )，最大值是f (n )；若n <2ba-，f (x )在[m ，n ]上是减函数，f (x )的最小值是f (n )，最大值是f (m )．(3)当不能确定对称轴2ba-是否属于区间[m ，n ]时，则需分类讨论，以对称轴与区间的关系确定讨论的标准，然后转化为上述(1)(2)两种情形求最值． 题型四 函数图象的综合考查 例1 函数ln x xy x=的图象可能是( )【答案】B.【解析】法一 函ln x x y x =的图象过点(e ，1)，排除C ，D ；函数ln x xy x=的图象过点(－e ，－1)，排除A ，选B.法二 由已知，设ln x xy x=，定义域为{x |x ≠0}.则f (－x )＝－f (x )，故函数f (x )为奇函数，排除A ，C ；当x ＞0时，f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数，排除D ，故选B.【思维点拨】含对数函数的图象要考虑定义域，对于含对数函数的复合函数图象题，要注意判断复合后的奇偶性，进而分析图象对称性.例2 函数2()x xe ef x x --=的图像大致为 （ ）【答案】B【解析】 由f (x )的奇偶性，排除A ；f (1)>0,排除D ；当x 趋近于正无穷大时，f (x )趋近于正无穷大,故选B. 【易错点】忽略正无穷大时的函数值【思维点拨】判断函数奇偶性→根据选项代入特殊值判断函数值正负→根据极限判断趋近值. 题型五 复合函数的简单性质 例1 设f (x )＝lg 2()1a x+-是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是________. 【答案】(－1，0).【解析】由f (x )是奇函数可得a ＝－1，∴f (x )＝lg11xx+-，定义域为(－1，1). 由f (x )<0，可得0<11xx+-<1，∴－1<x <0. 【易错点】奇偶性判断【思维点拨】含对数函数的复合函数如果为奇函数，代入-x 时真数部分与原真数部分互为倒数.可记住常见具有奇偶性的复合函数.常见奇函数：1()log 1ax f x x +=-或1log 1a xx-+；)()log af x x =或)log ax常见偶函数：()f x （如log a y x =）、2()f x （如21log 1ay x =+）例2 若函数22log ()y x ax a =---在区间(,1-∞上是增函数，求a 的取值范围.【答案】[22]-【解析】令2()u g x x ax a ==--，∵函数2log y u =-为减函数，∴在区间(,1-∞上递减，且满足0u >，∴12(10ag ⎧≥⎪⎨⎪≥⎩，解得22a -≤≤，所以，a的取值范围为[22]-.【易错点】对数型函数的定义域【思维点拨】利用复合函数同增异减的性质得出参数需满足的不等式组. 题型六 函数性质综合例1 设函数y ＝f (x )的图象与y ＝2x ＋a的图象关于直线y ＝－x 对称，且f (－2)＋f (－4)＝1，则a ＝( ) A ．－1 B ．1 C ．2 D ．4【答案】C.【解析】设(x ，y )是函数y ＝f (x )图象上任意一点，它关于直线y ＝－x 的对称点为(－y ，－x )，由y ＝f (x )的图象与y ＝2x＋a的图象关于直线y ＝－x 对称，可知(－y ，－x )在y ＝2x＋a的图象上，即－x ＝2－y ＋a，解得y ＝－log 2(－x )＋a ，所以f (－2)＋f (－4)＝－log 22＋a －log 24＋a ＝1，解得a ＝2，选C. 【易错点】关于直线对称的函数求法例2 设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫121－x ，则： ①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1,2)上递减，在(2,3)上递增； ③函数f (x )的最大值是1，最小值是0； ④当x ∈(3,4)时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －3.其中所有正确命题的序号是________． 【答案】①②④【解析】由已知条件：f (x ＋2)＝f (x )，则y ＝f (x )是以2为周期的周期函数，①正确；当－1≤x ≤0时，0≤－x ≤1，f (x )＝f (－x )＝⎝⎛⎭⎫121＋x，函数y ＝f (x )的图象如图所示：2()u g x x ax a ==--当3<x <4时，－1<x －4<0，f (x )＝f (x －4)＝⎝⎛⎭⎫12x －3， 因此②④正确，③不正确．【思维点拨】研究函数性质时一般要借助于函数图象，体现了数形结合思想．【巩固训练】题型一 指数运算与对数运算1. 设函数211log ,1,()2,1,x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩（2）则f (－2)＋f (log 212)＝( )A.3B.6C.9D.12【答案】C【解析】因为－2＜1，log 212＞log 28＝3＞1，所以f (－2)＝1＋log 2[2－(－2)]＝1＋log 24＝3，f (log 212)＝2log 212－1＝2log 212×2－1＝12×12＝6，故f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9，故选C.2. 化简：2lg 5＋lg 2(lg 2＋2lg 5)＋(lg 2)2＝________. 【答案】2.【解析】原式＝2lg 5＋(lg 2)2＋2lg 2·lg 5＋(1－lg 5)2＝(lg 2)2＋2lg 2·lg 5＋(lg 5)2＋1＝(lg 2＋lg 5)2＋1＝2. 3.已知2x ＝3，log 483＝y ，则x ＋2y 的值为____________． 【答案】3.【解析】原式＝2228log 3log log 833+==. 题型二 指对幂函数的图象与简单性质1. 函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为( )A.14B.12 C ．2 D ．4 【答案】B【解析】f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)是单调递增(减)函数(原因是y ＝a x 与y ＝log a (x ＋1)的单调性相同)，且在[0,1]上的最值分别在两端点处取得，最值和为f (0)＋f (1)＝a 0＋log a 1＋a ＋log a 2＝a ， ∴log a 2＋1＝0， ∴a ＝12.2.若a ＝⎝⎛⎭⎫23x，b ＝x 2，c ＝23log x ，则当x >1时，a ，b ，c 的大小关系是( ) A.c <a <b B.c <b <aC.a <b <cD.a <c <b【答案】A【解析】当x >1时，223220,1,log 0,33xa b x c x ⎛⎫<=<=>=< ⎪⎝⎭所以c <a <b .3. 当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是( )A.(0,2B.,1)2C ．(1，2)D ．(2，2) 【答案】B【解析】由题意得，当0<a <1时，要使得4x <log a x 1(0)2x <≤，即当0<x ≤12时，函数y ＝4x 的图象在函数y＝log a x 图象的下方．又当x ＝12时，124＝2，即函数y ＝4x 的图象过点1(,2)2.把点1(,2)2代入函数y ＝log a x ，得a ＝22.若函数y ＝4x 的图象在函数y ＝log a x 图象的下方，则需22<a <1(如图所示)．当a >1时，不符合题意，舍去．所以实数a的取值范围是2. 题型三 二次函数的图象与性质1.若10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时220x ax ++>恒成立,求实数a 的取值范围.【答案】9,.2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【解析】分离参数a ,可得2,a x x >--则当10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，令()()221,10,f x x f x x x '=--=-+>所以f (x )在10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时单调递增，所以199()(),.222f x f a ≤=->-也可利用二次函数性质分类讨论.2.设二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，且f (m )≤f (0)，则实数m 的取值范围是( ) A.(]－∞，0 B ．[2，＋∞) C ．(－∞，0]∪[2，＋∞) D ．[0,2] 【答案】D【解析】二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，则a ≠0，f ′(x )＝2a (x －1)＜0，x ∈[0,1]， 所以a ＞0，即函数的图象开口向上，又因为对称轴是直线x ＝1.所以f (0)＝f (2)，则当f (m )≤f (0)时，有0≤m ≤2. a ＞0也可利用f (x )＝ax 2－2ax ＋c=a (x 2－2x )＋c=a (x －1)2－a ＋c 在对称轴左边递减得到. 3.已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5(a >1)．(1)若f (x )的定义域和值域均是[1，a ]，求实数a 的值；(2)若f (x )在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，求实数a 的取值范围．【答案】（1）a ＝2；（2）[2,3]．【解析】(1)∵f (x )＝(x －a )2＋5－a 2(a >1)， ∴f (x )在[1，a ]上是减函数． 又定义域和值域均为[1，a ]． ∴22125,(1)()1251,a a f a f a a a -+==⎧⎧⎨⎨=-+=⎩⎩即解得a ＝2. (2)∵f (x )在区间(－∞，2]上是减函数， ∴a ≥2.又x ＝a ∈[1，a ＋1]，且(a ＋1)－a ≤a －1， ∴f (x )max ＝f (1)＝6－2a ，f (x )min ＝f (a )＝5－a 2. ∵对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4， ∴f (x )max －f (x )min ≤4，得－1≤a ≤3. 又a ≥2，∴2≤a ≤3.故实数a 的取值范围是[2,3]． 题型四 函数图象的综合考查1.函数的图象大致是（ ）【答案】D4lg ||||x x y x=【解析】 从奇偶性可排除B ，且易知当x >1时，原函数大于0，排除A ，当x >0时，对函数3lg y x x =求导单调性可排除C.故选D.2.函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎫x －1x 的图象是( )【答案】B.【解析】自变量x 满足2110x x x x--=>，当x ＞0时，可得x ＞1，当x ＜0时，可得－1＜x ＜0，即函数f (x )的定义域是(－1,0)∪(1，＋∞)，据此排除选项A 、D ；函数y ＝1x x -单调递增，故函数f (x )＝ln(1x x-)在(－1,0)，(1，＋∞)上单调递增，故选B. 3.函数y ＝22x x e -在[－2,2]的图象大致为( )【答案】D.【解析】利用导数研究函数y ＝22xx e -在[0,2]上的图象，利用排除法求解．∵f (x )＝22xx e -|，x ∈[－2,2]是偶函数， 又f (2)＝8－e 2∈(0,1)，故排除A ，B.设g (x )＝22xx e -，则g ′(x )＝4x －e x .又g ′(0)<0，g ′(2)>0，∴g (x )在(0,2)内至少存在一个极值点，∴f (x )＝22xx e -在(0,2)内至少存在一个极值点，排除C.故选D. 题型五 复合函数的简单性质 1.已知函数()2log 1a xf x x-=+为奇函数,则实数a 的值为 ． 【答案】1.【解析】由奇函数得：()()22+log =log 11a x a x f x f x x x -=---+-，,1=1a x x x a x--++,21a =,因为1a ≠-,所以1.a =2.若函数f (x )＝log a (x 2－ax ＋5)(a ＞0，且a ≠1)满足对任意的x 1，x 2，当x 1＜x 2≤a2时，f (x 2)－f (x 1)＜0，则实数a的取值范围为________． 【答案】(1,25).【解析】 当x 1＜x 2≤a 2时，f (x 2)－f (x 1)＜0，即函数在区间(－∞，a 2]上为减函数，设g (x )＝x 2－ax ＋5，则1()02a a g >⎧⎪⎨>⎪⎩，解得1＜a ＜2 5.3.函数1421x x y +=++的值域为( )A ．(0，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(－∞，＋∞)【答案】B【解析】令2x ＝t ，则函数1421x x y +=++可化为y ＝t 2＋2t ＋1＝(t ＋1)2(t >0)．∵函数y ＝(t ＋1)2在(0，＋∞)上递增，∴y >1. ∴所求值域为(1，＋∞)．故选B. 题型六 函数性质综合1.设方程21411log 0log 024x xx x ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与的根分别为x 1，x 2，则( )A ．0＜x 1x 2＜1B ．x 1x 2＝1C ．1＜x 1x 2＜2D ．x 1x 2≥2【答案】A.【解析】方程21411log 0log 024x x x x ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与的根分别为x 1，x 2，所以1211log 2xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21241log 4x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得x 2＝12，令f (x )＝21log 2xx ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则f (2)f (1)＜0，所以1＜x 1＜2，所以12＜x 1x 2＜1，即0＜x 1x 2＜1.故选A.11 2.若函数6,2,()(01)3log ,2a x x f x a a x x -+≤⎧=>≠⎨+>⎩且的值域是[4，＋∞)，求实数a 的取值范围． 【答案】(]1,2 【解析】当x ≤2时，f (x )＝－x ＋6，f (x )在(－∞，2]上为减函数，∴f (x )∈[4，＋∞)．当x ＞2时，若a ∈(0,1)，则f (x )＝3＋log a x 在(2，＋∞)上为减函数，f (x )∈(－∞，3＋log a 2)，显然不满足题意，∴a ＞1，此时f (x )在(2，＋∞)上为增函数，f (x )∈(3＋log a 2，＋∞)，由题意可知(3＋log a 2，＋∞)⊆[4，＋∞)，则3＋log a 2≥4，即log a 2≥1，∴1＜a ≤2.3.已知定义域为R 的函数12()2x x b f x a+-+=+是奇函数． (1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围．【答案】（1）a ＝2，b ＝1;（2）1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭. 【解析】(1)因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b 2＋a＝0，解得b ＝1. 从而有121()2x x f x a +-+=+.又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a ，解得a ＝2. (2)由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1， 由上式易知f (x )在R 上为减函数，又因为f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (－2t 2＋k )．因为f (x )是R 上的减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋k .即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k >0，从而Δ＝4＋12k <0，解得k <－13.。