数据的代表

第五讲、数据分析一、数据的代表（一）、（1）平均数：一般地，如果有n 个数,,,,21n x x x 那么，)(121n x x x n x +++=叫做这n 个数的平均数，x 读作“x 拔”。

注：如果有n 个数n x x x ,,,21 的平均数为x ，则①n ax ax ax ,,,21 的平均数为a x ； ②b x b x b x n +++,,,21 的平均数为x +b ； ③b ax b ax b ax n +++,,,21 的平均数为a x b +。

（2）加权平均数：如果n 个数中，1x 出现1f 次，2x 出现2f 次，…，k x 出现k f 次（这里n f f f k =++ 21），那么，根据平均数的定义，这n 个数的平均数可以表示为nf x f x f x x k k ++=2211，这样求得的平均数x 叫做加权平均数，其中k f f f ,,,21 叫做权。

（3）平均数的计算方法 ①定义法:当所给数据,,,,21n x x x 比较分散时，一般选用定义公式：)(121n x x x nx +++=②加权平均数法：当所给数据重复出现时，一般选用加权平均数公式：nf x f x f x x k k ++=2211，其中n f f f k =++ 21。

③新数据法：当所给数据都在某一常数a 的上下波动时，一般选用简化公式：a x x +='。

其中，常数a 通常取接近这组数据平均数的较“整”的数，a x x '11=，a x x '22=，…，a x x n n '=。

)'''(1'21n x x x nx +++= 是新数据的平均数（通常把,,,,21n x x x 叫做原数据，,',,','21n x x x 叫做新数据）。

（4）算术平均数与加权平均数的区别与联系①联系：都是平均数，算术平均数是加权平均数的一种特殊形式（它特殊在各项的权相等，均为1）。

期末复习：第八章 数据的代表［复习要求］1. 理解平均数、中位数、众数的含义，会求一组数据的平均数、中位数、众数，能从条形及扇形统计图中获取信息，求出相关数据的平均数、中位数、众数，能利用计算器求一组数据的算术平均数。

2. 能利用加权平均数解释现实生活中一些简单的现象。

重点、难点：能根据收集和提供的信息，熟练地求出一组数据的平均数、中位数、众数，并体会它们在不同情境中的应用与差别。

［知识概括］ （一）平均数1. 算术平均数：()一般地，对于个数，，…，，我们把…叫做这个n x x x n x x x n n n 12121+++数的算术平均数，简称平均数，记为x .2. 加权平均数：实际问题中，一组数据里的各个数据的“重要程度”未必相同。

因而，在计算这组数据的平均数时，往往给每个数据一个“权”。

根据重要性的差异所求得的平均数称加权平均数。

注：（1）算术平均数是加权平均数的一种特殊情况即各项的权相等； （2）平均数与数据组中各个数据的变化相同。

（二）中位数一般地，n 个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。

（三）众数一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。

（四）平均数、中位数和众数有哪些特征？（联系与区别） 1. 联系：平均数、中位数和众数都是数据的代表，它们刻画了一组数据的“平均水平”。

2. 区别：计算平均数时，所有数据都参加运算，它能充分地利用数据所提供的信息，因此在现实生活中较为常用，但它容易受极端值的影响。

中位数的优点是计算简单，受极端值影响较小，但不能充分利用所有数据的信息。

一组数据中某些数据多次重复出现时，众数往往是人们尤为关心的一个量，但各个数据的重复次数大致相等时，众数往往没有特别意义。

（五）用计算器求平均数的一般步骤是：（1）打开计算器；（2）清除机器中原有统计数据； （3）输入数据；（4）显示结果；（5）退出。

数据的代表一、知识点：1.平均数、加权平均数的定义：①平均数：一般地，如果有n个数x1，x2，……，x n，那么，叫做这n个数的平均数，读作“x拔”。

②加权平均数：如果n个数中，x1出现f1次,x2出现f2次，……，x k出现f k次，(这里f1+f2+……+f k=n)，那么，根据平均数的定义，这n个数的平均数可以表示为这样求得的平均数叫做加权平均数，其中f1，f2，……,f k叫做权。

2.中位数和众数的定义：中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数。

（一组数据的中位数只有一个）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。

二、例题：例1：某学校要了解期末数学考试成绩，从考试卷中抽取部分试卷，其中有一人得100分，2人得95分，8人得90分，10人得80分，15人得70分。

求这些同学的平均成绩。

分析：这个平均数是加权平均数。

解：平均成绩:=（1001+952+90×8＋80×10＋70×15）≈79.4例2：某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中的一个数据105输入为15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是______。

解：由一组数据的平均数定义知实际平均数: =(x1+x2+……+x29+105)求出的平均数: 错=(x1+x2+……+x29+15)错-==-3所以由此错误求出的平均数与实际平均数的差是-3。

提示：解此类题一定要对平均数的定义十分清楚。

例3：设两组数a1,a2,a3……a n和b1,b2,b3……b n的平均数为和，那么新的一组数a1+b1,a2+b2,a3+b3……a n+b n的平均数是[]A.(+)B. +C.(+)D.以上都不对错解：好像是(A)正解：根据平均数的定义应选（B）例4：选择题：(1)已知一组数据为1，0，-3，2，-6，5，这组数据的中位数为[ ]A．0 B．1 C．1.5 D．0.5(2)已知一组数据为-3，6，-3，6，13，20，6，1，这组数据的众数是[]A．2 B．-3C．6D．3.5分析：求一组数据的中位数，只需将数据由小到大排列起来，如果数据个数是奇数，中间一个即是，如果数据个数是偶数，中间两个数字的平均数就是中位数。

商品知识
语 言
50
80
75
35
55
80
公司根据实际需要，对计算机、商品知识、语言三项测试成绩分别赋 予权重4、3、2，这三人中 将被录用.
例3、（1）数据-2，0，2，4，2，5的中位数是___________．
（2）数据9，6，4，4，5，4，7，6，8，6的众数是___________ ．
（3）若数据4，6，x，8，12的平均数为8，则其中位数为___________．
4. 众数：一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数．
典型例题：
例1、数学老师布置了10道计算题作为课堂练习，小明将全班同学的解题情况
绘成了下面的条形统计图．根据图表，求平均每个学生做对了几道题？
例2、某超市招聘收银员一名，对三名申请人进行了三项素质测试．下面是三
名候选人的素质测试成绩： 素质测试 计 算 机 测试成绩 小赵 70 小钱 90 小孙 65
2. 加权平均数______________________. 其中权是指___________________.
3. 中位数：将一组数据按由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的 个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个 数是偶数，则中间两个数的平均数就是这组数据的中位数．
数据的分析
——数据的代表
北京市数学高级教师 郭洁
问题探究：
数学老师布置了10道计算题作为课堂练习，小明将全班同学的解题情况绘成 了下面的条形统计图．根据图表，你能确定平均每个学生做对了几道题吗？
通过下面的学习，我们可以解决这个问题．
教材预览：
1. 算术平均数___________________.

20.数据的分析知识点：数据的代表：平均数、众数、中位数、极差、方差知识点详解：1．解统计学的几个基本概念总体、个体、样本、样本容量是统计学中特有的规定，明确所考查的对象是解决有关总体、个体、样本、样本容量问题的关键。

2.平均数当给出的一组数据，都在某一常数a上下波动时，一般选用简化平均数公式，其中a是取接近于这组数据平均数中比较“整”的数;•当所给一组数据中有重复多次出现的数据，常选用加权平均数公式。

3.众数与中位数平均数、众数、中位数都是用来描述数据集中趋势的量。

平均数的大小与每一个数据都有关，任何一个数的波动都会引起平均数的波动，当一组数据中有个数据太高或太低，用平均数来描述整体趋势则不合适，用中位数或众数则较合适。

中位数与数据排列有关，个别数据的波动对中位数没影响；当一组数据中不少数据多次重复出现时，可用众数来描述。

4.极差用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差称为极差，极差＝最大值－最小值。

5.方差与标准差用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，计算公式是s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2]；方差是反映一组数据的波动大小的一个量，其值越大，波动越大，也越不稳定或不整齐。

课堂练习一、选择题1．一组数据3，5，7，m，n的平均数是6，则m，n的平均数是（）A.6B.7C. 7.5D. 152．小华的数学平时成绩为92分，期中成绩为90分，期末成绩为96分，若按3：3：4的比例计算总评成绩，则小华的数学总评成绩应为（）A．92 B．93 C．96 D．92.73.关于一组数据的平均数、中位数、众数，下列说法中正确的是（）A.平均数一定是这组数中的某个数B. 中位数一定是这组数中的某个数C.众数一定是这组数中的某个数D.以上说法都不对4．某小组在一次测试中的成绩为：86，92，84，92，85，85，86，94，92，83，则这个小组本次测试成绩的中位数是（）A．85 B．86 C．92 D．87.95．某人上山的平均速度为3km/h，沿原路下山的平均速度为5km/h，上山用1h，则此人上下山的平均速度为（）A.4 km/hB. 3.75 km/hC. 3.5 km/hD.4.5 km/h6．在校冬季运动会上，有15名选手参加了200米预赛，取前八名进入决赛.已知参赛选手成绩各不相同，某选手要想知道自己是否进入决赛，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的（）A.平均数B.中位数C.众数D.以上都可以二、填空题：（每小题6分，共42分）7．将9个数据从小到大排列后，第个数是这组数据的中位数8．如果一组数据4，6，x，7的平均数是5，则x = .9．已知一组数据：5，3，6，5，8，6，4，11，则它的众数是，中位数是 . 10．一组数据12，16，11，17，13，x的中位数是14，则x = .11则这组数据的平均数是，中位数是，众数是 .12．某小组10个人在一次数学小测试中，有3个人的平均成绩为96，其余7个人的平均成绩为86，则这个小组的本次测试的平均成绩为 .13．为了了解某立交桥段在四月份过往车辆承载情况，连续记录了6天的车流量(单位：千辆/日)：3．2，3．4，3，2．8，3．4，7，则这个月该桥过往车辆的总数大约为辆.14．为了培养学生的环保意识，某校组织课外小组对该市进行空气含尘调查，下面是一天中每2 3(1)(2)如果对大气飘尘的要求为平均值不超过0.025 g/m3，问这天该城市的空气是否符合要求？为什么？15． A、(1)A班众数为分，B班众数为分，从众数看成绩较好的是班；(2)A班中位数为分，B班中位数为分，A班中成绩在中位数以上的(包括中位数)学生所占的百分比是 %，B班中成绩在中位数以上的(包括中位数)学生所占的百分比是 %，从中位数看成绩较好的是班；(3)若成绩在85分以上为优秀，则A班优秀率为 %，B班优秀率为 %，从优秀率看成绩较好的是班.(4)A班平均数为分，B班平均数为分，从平均数看成绩较好的是班；16.(1)(2)平均月工资能准确反映该酒店员工工资的一般水平吗？若能，请说明理由.若不能，如何才能较准确地反映该酒店员工工资的一般水平？谈谈你的看法.总结：基本统计量的数学内涵:平均数：把一组数据的总和除以这组数据的个数所得的商。

MS-EEPO备课方式：板块结构式（Ⅱ）
概况
课题：数据的代表与波动
学校：夕佳山中学
教师：刘相华
课型：平台互动式
课时：1课时
目标
目标1
理解平均数的意义，能计算中位数、众数、加权平均数 ，了解它们是数据集中趋势的描述．体会刻画数据离散程度的意义，会计算简 单数据的方差．
目标2
体会样本与总体的关系，知道可以通过样本平均数、样本方差推断总体平均数、总体方差．能解释统计结果，根据结果作出简单的判断和预测，并能进行交流
二让同学们理解练习、讨论总结。
中测
二、分析问题，解决问题
后测
三、小组汇报
注释或总评
三测
内容提要
T
方法/策略
反思/评价
前测
一、复习旧知
1．数据的 代表：
(1)平均数
①算术据的波动
(1)极差：
(2)方差：
10`
30
15
一【考点例析】
——见理科爱好者
考点一 平均数、中位数、众数
考点二 极差的计算与应用
考点三 方差的计算与应用
考点四统计图与方差的综合应用

在实际应用中，需要分析具体问题的情况，选择适当的量来代表数据。
⑵你想确定一个较高的目标，这个目标可定______ 。
（2）假定销售部负责人把每位营销员的月销售额定为320件，你认为是否合理？为什么？如不合理，请你给出一个较合理的销售定额。
125 127 128 130 132
运动员成绩的中位数是1.
数是15万元/月，如果你是该商场的管理人员，
⑴你想让一半左右的营业员能够达标，这个目标可定为______ ；
（注意：确定中位数时要分数据个数是奇数个还是偶数个；
3)这组数据的中位数是
,众数是
125 127 128 130 132
响,这在有些情况下是一个优点.
④某商场服装部为了调动营业员的积极性，决定实行目标管理，即确定一个月销售目标，根据目标完成情况对营业员进行适当的奖励。
数据的代表
注意：
（1）一组数据的中位数不一定出现在这组 数据中 （2）一组数据的中位数是唯一的
（3）中位数是一个位置的代表值，它仅与 数据的排列位置有关系，当一组数据的个别 数据相差较大时，可用中位数来描述这组数 据的集中趋势 （4）由一组数据的中位数可以知道中位 数以上和以下的数据各占一半
为了确定这个适当的目标，商场统计了每个营业员在某月的销售额，经计算得出销售额的平均数是20万元/月，中位数是18万元/月，众
⑴你想让一半左右的营业员能够达标， 这个目标可定为______ ；
⑵你想确定一个较高的目标，这个目标 可定______ 。
为了了解开展“孝敬父母,从家务事做起”活动的实施情况,
某校抽取八年级某班50名学生,调查他们一周做家务所用
时间,得到一组数据,并绘制成下表,请根据下表完成各题:
每周做家务 的时间(小时)

解：(1)73＋80＋4 82＋83＝79.5，应该派甲去． (2)2＋1＋3＋4＝10， 甲：85×120＋78×110＋85×130＋73×140＝79.5， 乙：73×120＋80×110＋82×130＋83×140＝80.4，应该派乙去．
16. 某校为了招聘一名优秀教师，对入选的三名候选人进行
A .3
B .4
Байду номын сангаас
C .5
D .6
3.(例 1)九年级(1)班 9 名学生参加学校的植树活动，活动结
束后，统计每人植树的情况，植了 2 棵树的有 5 人，植了
4 棵树的有 3 人，植了 5 棵树的有 1 人，那么平均每人植
____3____棵.
4. 学校篮球队员练习罚球线投篮，结果如下表，每人投 10 次，平均每人投中___5_._7___球. 人数 2 4 3 1 投中球数 7 6 5 4
7.(例 3)公司欲招聘一名员工，对甲、乙两位应聘者进行面
试和笔试，他们的成绩(百分制)如表所示.
应聘者 面试 笔试
甲
87
90
乙
91
82
若公司分别赋予面试成绩和笔试成绩 6 和 4 的权，计算甲、
乙两人各自的平均成绩，谁将被录取？ 解：甲：87×160＋90×140＝88.2，乙：91×160＋82×140＝87.4， ∴甲将被录取．
教学技能与专业知识两种考核，现将甲、乙丙三人的考核
成绩统计如下：
成绩（百分制）
候选人
教学技能考核成绩 专业知识考核成绩
（百分甲制））
85
92
乙
91
85
丙
80
90
(1)如果知道丙的成绩是 84 分，则教学技能考核成绩与专业

北师大版八年级数学（上）第八章数据的代表教学分析与建议一、教材分析生活中，人们离不开数据，我们不仅需要收集数据，还要对数据进行加工处理，进而作出判断。

学生通过七年级的学习，对收集数据，从数据中获取信息以及数据的处理已有初步的认识和经验，而通过本章的学习，学生学会用平均数、中位数和众数等数据的代表来刻画生活中数据问题，从而提高对信息加工、数据处理的能力。

二、教学目标1、初步经历数据的收集与处理过程，发展学生初步的统计意识和数据处理能力。

2、初步经历调查、统计、研讨等活动，在活动中发展合作交流的意识与能力。

3、掌握平均数、中位数、众数的的概念；能利用科学计算器求一组数据的算术平均数。

4、知道数的差异对平均数的影响，并能用加权平均数解释现实生活中一些简单的现象；了解平均数、中位数、众数的差别，初步体会它们在不同情景中的应用。

三、本章教材的设计理念1、“平均水平”是最为常用的一个评判数据的指标，本章通过实际背景，引入了刻画“平均水平”的三个数据代表，以让学生获取一定的评判能力。

2、在现有的认知结构中，学生多是单一地用算术平均数理解一组数据的平均水平。

为此，本章先从一个学生熟悉的现实生活背景导入算术平均数、加权平均数的概念，并让学生了解权的差异对平均数的影响；在此基础上，通过一个有争议的话题，引起学生对“平均水平”的认知冲突，从而引入中位数、众数的概念，让学生多角度在认识平均；最后，通过学生的探索，让其获得利用计算器处理数据的基本技能。

3、充分注意了数据呈现方式的多样化和知识间的前后联系。

教材有意识地安排了一些例、习题，以条形统计图、扇形统计图的方式呈现数据。

这样，既加强了知识间的联系，巩固了学生对各种图表信息的识别与获取能力，同时也增加了对学生生活中见到的统计图表进行数据处理和评判的主动意识。

4、对数据的收集，本章未作为教学重点，这是考虑到一是数据收集在七年级时已进行过，二是考虑到课堂教学时间的有限性，三只考虑到以后教材中还会专门学习。

第八章 数据的代表-----------平均数 中位数 众数学习目标：1. 掌握平均数、加权平均数的概念。

2、了解两种平均数的不同的方法计算。

3. 掌握中位数、众数等数据代表的概念，能根据所给信息求出相应的数据代表。

4.结合具体情境体会平均数、中位数和众数三者的差别，能初步选择恰当的数据代表对数据做出自己的判断。

5.对统计数据从多角度进行全面的分析，从而避免机械的、片面的解释。

重点：掌握平均数、加权平均数的概念。

掌握中位数、众数等数据代表的概念。

难点：选择恰当的数据代表对数据做出判断。

学习过程：（一）前置准备1、知道两个数2、4，则其平均数是 。

2、若两个数分别为m 、n ，则其平均数是 。

3、某次数学考试，婷婷得到78分。

全班共30人, 其他同学的成绩为1个100分，4个90分, 22个80分,以及一个2分和一个10分。

则这个班的平均分为多少分？(二)自主学习1.算术平均数的定义一般地，对于n 个数x 1,x 2,…,x n ，我们把n1 (x 1+x 2+…x n )叫做这n 个数的算术平均数(mean)，简称平均数，记为x ，读作“x 拔”.2.加权平均数的定义 X= (f 1+f 2+…f k =n)例1，某广告公司欲招聘广告策划人员一名，对A ，B ，C 三名候选人进行了三项素质测试，他们的各项测试成绩如下表所示：（1）如果根据三项测试的平均成绩确定录用人选，那么谁将被录用？（2）根据实际需要，公司将创新，综合知识和语言三项测试得分按4:3:1的比例确定各人的测试成绩，此时谁将被录用？ x 1f 1+x 2f 2+x 3f 3+…x k f k f 1+f 2+f 3…+f k3.问题1：数据误导：某次数学考试，婷婷得到78分。

全班共30人, 其他同学的成绩为1个100分，4个90分, 22个80分,以及一个2分和一个10分。

婷婷计算出全班的平均分为77分，所以婷婷告诉妈妈说，自己这次成绩在班上处于“中上水平”。

用哪个数作为数据的代表值合理平均数、中位数、众数都是数据的代表，都是描述一组数据集中趋势的量。

但它们描述的角度和适用的范围又不尽相同，在具体问题中采用哪种量来描述一组数据的集中趋势，那得看数据的特点和我们要关注的问题。

甲：有这样一道题，某销售部门有7名员工，月工资情况如下表所示（3000+1200+600×4+400）=1000，中位数为600，众这组数据的平均数为7数为600。

你说用三数中的哪个数作为月工资的平均水平乙：当然用平均数1000了。

老师说过，平均数应用最广泛，它反映了一组数据的“一般水平”。

甲：那按你的说法，用1000作为数据的代表值，在这7个人中达到这一水平的只有2个人，其余5个人都达不到标准，这不是代表少数人吗乙：那用哪个数来代表甲：我认为应该用中位数来代表。

乙：为什么甲：你观察表格，其中经理的工资为3000元，比其他员工的工资多很多，这就叫极端值。

当一组数据出现极端值时，平均数的代表性较差，此时，一般用中位数作为数据的代表值，而众数多用于描述同类产品中哪个品牌销量大，选举中谁得票最多，同学中哪个年龄的人最多，工资在哪个钱数的人最多等。

乙：我明白了。

还有这样一道题：某公司有10名销售员，去年完成销售额情况如下表这组数据的平均数是万元，众数是4万元，中位数是5万元。

为了调动员工的积极性，提高年销售额，准备采取超额有奖措施，请根据以上“三数”，合理确定今年每个销售员的销售额标准。

甲：那你怎么看乙：我认为用众数4万元作为销售额标准。

甲：我不这么认为。

乙：那你说说看。

甲：若规定4万元作为销售标准，那你看一下，去年达到这一标准的有几人 乙：10名员工中有9人达到了标准。

甲：标准定为4万元对提高促销有利吗乙：这么多人都达到了标准，对促销没利。

那你帮我分析分析。

甲：若规定平均数万元为标准，只有4人能达到标准，而多数人无法超额完成，会挫伤员工的积极性；若规定众数4万元为标准，多数人都达到了标准，不利于提高销售额。

mx ny pz qu 6、一组数据中有m个x,n个y,p个z,q个u, 则这组数据的平均数为 mnpq
7、已知:x1,x2,x3… x10的平均数是a，
x11,x12,x13… x30的平均数是b，则 x1,x2,x3… x30的平均数是（ D ）
1 1 (10a+30b) (B) (A) (a+b) 30 40 1 1 (D) (10a+20b) (a+b) (C) 30 2
(2) 生活中有哪些与权重有关的实例?
(3) 通过本节课的学习，你有哪些感悟？
下课了!
乙
73
80
85
82
应试者 甲
听 85
说 83
读 78
写 75
乙 73 80 85 82 如果这家公司想招一名口语能力较强的翻译，听、 说、读、写成绩按照3:3:2:2的比确定，计算两名应试者 的平均成绩(百分制).从他们的成绩看，应该录取谁？ 解:听、说、读、写的成绩按照3:3:2:2的比确定，则： 85 3 83 3 78 2 75 2 甲的平均成绩为 81(分) 3322
73 3 80 3 85 2 82 2 乙的平均成绩为 79.3(分) 3322
显然甲的成绩比乙高,所以从成绩上看应该录取甲.
应试者 甲 乙
听 85 73
说 83 80
读 78 85
写 75 82
如果这家公司想招一名笔译能力较强的翻译，听、 说、读、写成绩按照2:2:3:3的比确定，计算两名应试者 的平均成绩(百分制). 从他们的成绩看，应该录取谁？ 解：听、说、读、写的成绩按照2:2:3:3的比确定，则： 85 2 83 2 78 3 75 3 甲的平均成绩为 79.5(分) 2233

第三十讲数据分析【基础知识回顾】一、数据的代表：1、平均数：⑴算术平均数如果有n个数x1 ,x2 ,x3 …xn那么它们的平均数x=⑵加权平均数：若在一组数据中x1出现f1次，x2出现f2次...... xk出现fk次,则其平均数x= （其中f1+ f2+...... fk=n）2、中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在或叫做这组数据的中位数。

3、众数：在一组数据出现次数的数据，称为该组数据的众数【名师提醒：1、平均数：中位数和众数从不同的角度描述了一组数据的2、在一组数据中，平均数、中位数都是唯一的，而众数可能，求中位数时一定要先将原数据】二、数据的波动：1、极差：一组数据中与的差，叫做这组数据的极差2、方差：n个数据x1 ,x2 ,x3 …xn的平均数为x，则这组数据的方差S 2=3、标准差：方差的叫做标准差。

【名师提醒：极差、方差、标准差都是反应一组数据大小的，其值越大，说明这组数据波动】【典型例题解析】考点二：算术平均数与加权平均数例 1 •牡丹江）若五个正整数的中位数是3，唯一的众数是7，则这五个数的平均数是．思路分析：首先根据众数与中位数的定义，得出这五个数据中的三个数，再根据一组数据由五个正整数组成，得出其它两个数，最后由平均数的意义得出结果．解：∵五个正整数的中位数是3，唯一的众数是7，∴知道的三个数是3，7，7；∵一组数据由五个正整数组成，∴另两个为1，2；∴这五个正整数的平均数是（1+2+3+7+7）÷5=4；故答案为：4．点评：本题考查了平均数、众数与中位数的意义，掌握平均数、众数与中位数的计算公式是解题的关键．例2 （•北京）某中学随机地调查了50名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如下表所示：时间（小时） 5 6 7 8人数10 15 20 5则这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是（）A．6.2小时B．6.4小时C．6.5小时D．7小时思路分析：根据加权平均数的计算公式列出算式（5×10+6×15+7×20+8×5）÷50，再进行计算即可．解：根据题意得：（5×10+6×15+7×20+8×5）÷50 =（50+90+140+40）÷50 =320÷50=6.4（小时）．故这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是 6.4小时．故选B．点评：此题考查了加权平均数，用到的知识点是加权平均数的计算公式，根据加权平均数的计算公式列出算式是解题的关键．对应训练1．（•张家界）若3，a，4，5的众数是4，则这组数据的平均数是。

数据的代表知识点一：（1）平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．（2）算术平均数：对于n 个数x 1，x 2，…，x n ，则x¯=n1（x 1+x 2+…+x n ）就叫做这n 个数的算术平均数．（3）算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均 数中的权相等时，就是算术平均数．1．在某次歌手大奖赛中，8位评委给某歌手的评分如下：9.8、9.5、9.7、9.8、9.8、9.7、9.5、9.8；按规定去掉一个最高分，去掉一个最低分，其余分数的平均数作为该选手的最后得分，该选手的最后得分精确到0.01是（ ）A ．9.70B ．9.71C ．9.72D ．9.732.已知a 、b 、c 的平均值为5，X 、Y 、Z 的平均值为7，则2a+3X ，2b+3Y ，2c+3Z 的平均值为（ ） A ．31 B.331 C.593 D.17 3.如图是小敏五次射击成绩的图，根据图示信息，则此五次成绩的平均数是（ ） A ．8.0环 B ．8.2环 C ．8.4环 D ．8.6环4.名同学在一次“引体向上”的测试中，平均每人做了10个，已知第一、二、三、五位同学分别做了9、12 9、8个，那么第四位同学做了（ ）A ．12个B ．11个C ．10个D ．9个5.某人上山的平均速度为3km/h ，沿原路下山的平均速度为5km/h ，上山用1h ，则此人上下山的平均速度为（ ）A ．4km/hB ．3.75km/hC ．3.5km/hD ．4.5km/h6.已知5个正数a 1，a 2，a 3，a 4，a 5的平均数是6，则数据a 1，a 2，a 3，0，a 4，a 5的平均数是 .7.有一组数据：x 1，x 2，x 3，…，x n （x 1≤x 2≤x 3≤…≤x n ），它们的算术平均值为10，若去掉其中最大的x n ，余下数据的算术平均值为 .8.若去掉其中最小的x 1，余下数据的算术平均值为11．则x 1关于n 的表达式为x 1= ；x n 关于n 的表达式为x n = ．9.四川•汶川大地震以后，某中学七年级（1）班40名同学开展了“我为灾区献爱心”的活动，活动结束后，生活委员小林将捐款情况进行了统计，并绘制了如图所示的不完整的统计图．请根据要求解答下列各题．（1）捐款金额为50元的同学有______人，捐30元的同学比捐20元的同学少______人． （2）补全这个条形统计图．（3）这40名同学平均捐款多少元？（本小题要求写出计算过程）10.某个学生参加军训，进行打靶训练，必须射击10次．在第6、第7、第8、第9次射击中，分别得了9.0环、8.4环、8.1环、9.3环．他的前9次射击所得的平均环数高于前5次射击所得的平均数．如果他要使10次射击的平均环数超过8.8环，那么他在第10次射击中至少要得多少环？（每次射击所得环数都精确到0.1环）知识点二：加权平均数（1）加权平均数：若n个数x1，x2，x3，…，x n的权分别是w1，w2，w3，…，w n，则x1w1+x2w2+…+xnwnw1+w2+…+wn叫做这n个数的加权平均数．（2）权的表现形式，一种是比的形式，如4：3：2，另一种是百分比的形式，如创新占50%，综合知识占30%，语言占20%，权的大小直接影响结果．（3）数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响．（4）对于一组不同权重的数据，加权平均数更能反映数据的真是信息．1.对某校八年级随机抽取若干名学生进行体能测试，成绩记为1分，2分，3分，4分4个等级，将调查结果绘制成如下条形统计图和扇形统计图．根据图中信息，这些学生的平均分数是（）A．2.25 B．2.5 C．2.95 D．32.一个班50名学生中，30名男生平均身高为1.60米，20名女生的平均身高为1.50米．那么这个班学生平均身高为（）A．1.54 B．1.55 C．1.56 D．1.573.某校食堂有4元、5元、6元三种价格的饭菜供学生们选择（每人限购一份）．三月份销售该三种价格饭菜的学生比例分别为25%、55%、20%，则该校三月份学生每餐购买饭菜的平均费用是（）A．4.9元B．4.95元C．5元D．5.05元行统计后，绘有如图1，图2尚不完整的统计图．笔试、面试成绩统计表：（1）如果按三项测试的平均成绩确定聘用人员，那么谁被聘用？（2）根据实际需要，公司将专业知识、创新能力和公关能力三项测试的得分按3：5：2的比确定个人的测试成绩，此时谁将被聘用？知识点三：中位数（1）中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．1.某射击运动员在一次射击练习中，成绩（单位：环）记录如下：8，9，8，7，10．这组数据的平均数和中位数分别是A．8，8 B．8.4，8 C．8.4，8.4 D．8，8.4A．186 cm B．187 cm C．188 cm D．190 cm3.某班七个兴趣小组人数分别为：3，3，4，x，5，5，6，已知这组数据的平均数是4，则这组数据的中位数是（）A．2 B．4 C．4.5 D．54.一组数据：2，3，4，x中，若中位数与平均数相等，则数x不可能是（）A．1 B．2 C．3 D．5已知数据：10、10、x、8的中位数与平均数相等，求这组数据的中位数．6.某校为了了解九年级学生体育测试成绩情况，以九（1）班学生的体育测试成绩为样本，按A、B、C、D四个等级进行统计，并将统计结果绘制成如下两副统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：说明：A 级：90～100分；B 级：75～89分；C 级：60～74分；D 级：60分以下． （1）求出D 级学生的人数占全班总人数的百分比； （2）求出扇形统计图中C 级所在的扇形圆心角的度数； （3）该班学生体育测试成绩的中位数落在哪个等级内．（2）请从下列三个不同的角度对测试结果进行分析：①从平均数和中位数看（谁的成绩好些）； ②从平均数和9环以上的次数看（谁的成绩好些）； ③从折线图上两人射击环数的走势看（分析谁更有潜力）．8.甲、乙两校参加区教育局举办的学生英语口语竞赛，两校参赛人数相等．比赛结束后，发现学生成绩分别为7分、8分、9分、10分（满分为10分）．依据统计数据绘制了如下尚不完整的统计图表．（1）在图1中，“7分”所在扇形的圆心角等于______°． （2）请你将图2的统计图补充完整；（3）经计算，乙校的平均分是8.3分，中位数是8分，请写出甲校的平均分、中位数；并从平均分和中位数的角度分析哪个学校成绩较好．（4）如果该教育局要组织8人的代表队参加市级团体赛，为便于管理，决定从这两所学校中的一所挑选参赛选手，请你分析，应选哪所学校？知识点四：众数（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．（2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．（3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．．1.九（2）班“环保小组”的5位同学在一次活动中捡废弃塑料袋的个数分别为：4，6，8，16，16．这组数据的中位数、众数分别为（）A．16，16 B．10，16 C．8，8 D．8，163.则这10个区县该日最高气温的众数和中位数分别是（）A．32，32 B．32，30 C．30，32 D．32，314.已知一组数据3，a，4，5的众数为4，则这组数据的平均数为（）A．3 B．4 C．5 D．6这些运动员跳高成绩的中位数和众数分别是（）A．1.70，1.65 B．1.70，1.70 C．1.65，1.70 D．3，46.安安班上有九位同学，他们的体重资料如下：57，54，47，42，49，48，45，47，50．（单位：公斤）关于此数据的中位数与众数的叙述，下列何者正确？（）A．中位数为49 B．中位数为47 C．众数为57 D．众数为477.已知数据0，-1，1，a，3，2的众数是3，则中位数为 .8.联合国规定每年的5月31日为“世界无烟日”．为配合“世界无烟日”宣传活动，小明和同学们到八个单位调查吸烟的人数，数据如下：3，1，3，0，3，2，1，2，则这组数据的众数是 .（1）求这15位营销人员销售量的平均数、中位数、众数（直接写出结果，不要求过程）；（2）假设销售部把每位销售人员的月销售定额规定为320件，你认为是否合理，为什么？如果不合理，请你从表中选一个较合理的销售定额，并说明理由．知识点三：从统计图中分析数据的集中趋势现实生活中，为了直观地反映数据，常常绘制成适当的图表。

中位数是(8+6)÷2=7，
此时平均数是(10+8+x+6)÷4=7
解得x=4，符合排列顺序；
（3）将这组数据从大到小的顺序排列后x，10，8，6，
中位数是(10+8)÷2=9，
平均数(10+8+x+6)÷4=9，
解得x=12，符合排列顺序．
∴x的值为4、8或12，共3个．
故答案为：3．
6．西安秦始皇陵兵马俑博物馆拟招聘一名优秀讲
解员，小婷的笔试、试讲、面试三轮测成绩分别为
94分、95分、90分，综合成绩中笔试占50%，试讲
占30%，面试占20%，那么小婷的最后成绩为
___________分.
【分析】由小婷的笔试、试讲、面试三轮测试成绩
分别为94分、95分、90分，再分别乘以各自的权
重，再求和即可得到答案．
【详解】解：小婷的最后得分为：93.5（分），
提醒 小顺序排列，再确定
众
数
定义
防错
提醒
最多
一组数据中出现次数________的数据叫做这组数据的
众数
(1)一组数据中众数不一定只有一个；(2)当一组数据中
出现异常值时，其平均数往往不能正确反映这组数据
的集中趋势，就应考虑用中位数或众数来分析
知识点二 数据的波动
表示波
动的量
方差
定义
意义
设有n个数据x1，x2，x3，…，xn，

3．一次数学课后，李老师布置了6道选择题作为课后
作业，课代表小丽统计了本班35名同学的答题情况，
结果如右图所示，则在全班同学答对的题目数这组数
据中，众数和中位数分别是（ ）
A．5，6 B．6，5 C．6，5.5 D．6，6

数据的代表(1)一、平均数回顾归纳1、一组数据里的各个数据的重要程度不一定相同，在计算它们的平均数时，往往给每个数据一个“权”，由此求出的平均数叫做_______平均数．2、若n个数据x1，x2，…，x n的权分别是w1，w2，…，w n，则_______叫做这n个数的加权平均数．3、在求n个数的算术平均数时，如果x1出现f1次，x2出现f2次，…，x k出现f k次（这里f1+f2+…+f k=n），那么这n个数的算术平均数为x=________________________也叫做x1，x2，…，x k这n个数的______平均数，其中f1，f2，…，f k•叫做x1，x2，…，x k的__________．做一做：一、加权平均数的意义及计算1、10位同学分别购买如下尺码的鞋子：20，20，21，21，22，22，22，22，24，24（单位：cm），计算这组数据的平均数为_______．2、为了解八（2）班学生的营养状况，随机抽取了8位学生的血样进行血色检测，以此来估计这个班学生的血色素的平均水平，测得结果如下（单位：克）：13.8，12.5，10.6，11，14.7，12.4，13.6，12.2，则这8位学生血色素的平均值为______．3．某校把学生的纸笔测试，实践能力，成长记录三项成绩分别按50%，20%，30%•的比例计入学期总评成绩，90分以上为优秀，甲，乙，丙三人的各项成绩（单位：分）•如下表，则学期总评成绩优秀的是_______．A．甲B．乙，丙C．甲，乙D．甲，丙4．（体验探究题）小明和小颖本学期的数学平时成绩，期中成绩，期末成绩分别如下：总评分谁更高？5、某学生语，数，外三门学科测试分数分别为88分，95分，96分．（1）求其平均分；（2）若需突出外语成绩，三门课按3：3：4的比确定，再求平均分．二、加权平均数1．某单位举行歌咏比赛，分两场举行，第一场8名选手平均成绩为88分，•第二场4名选手的平均成绩为94分，那么这12名选手的平均成绩为_______．2．在校运动会上参加男子跳高的18名运动员的成绩如下表所示：那么这组数据的平均数是______．3．某校举行运动会，按成绩设奖，第一名得5分，第二名得3分，第三名得2分，第四名得1分，某班派8名同学参加比赛，共得2个第一，1个第三，4个第四，则该班8•名同学的平均得分为_______．4．（体验探究题）某瓜农采用大棚栽培技术种植了一亩地的良种西瓜，•这亩地产西瓜600个，在西瓜上市前该瓜农摘下10个成熟的西瓜称重如下：计算这10个西瓜的平均质量，•并根据计算结果估计这亩地的西瓜产量约是多少千克？5．为了调查某一路口某时段的汽车流量，记录了15•天同一时段通过该路口的汽车辆数，其中有2天是142辆，2天是145辆，6天是156辆，5天是157辆，那么这15•天通过该路口汽车平均辆数为（）A．146 B．150 C．153 D．1606．某学校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间和数据，结果如图，根据此条形图估计这一天该校学生平均课外阅读时间为（）A．0.96小时B．1.07小时C．1.15小时D．1.50小时回顾归纳：1、将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于_______位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，•则中间两个数据的_________就是这组数据的中位数．2、中位数是一个位置代表值，它描述的是一组数据的______水平，它的优点是计算简单，受极端值影响较_____，缺点是不能充分利用所有数据的信息．做一做：1．小华同学记录了七天完成家庭作业所用的时间（单位：分）：50，75，90，65，•80，70，65，他做作业时间的中位数是_______．2．有100名学生参加两次科技知识测试，如图中条形图显示两次测试的分数分布情况：请你根据条形图提供的信息，回答下列问题：（1）两次测试最低分在第_____次测试中；（2）第______次测试较容易；（3）第一次测试中，中位数在______分数段，第二次测试中，中位数在______分数段．3．某班50名学生的年龄统计结果如下表所示：这个年龄的中位数是_______岁．4．销售某空调的公司有营销人员14人，销售部为制定营销人员月销售空调定额（单位：台），统计了这14人在某月的销售量如下表：根据表中数据回答：（1）这14位营销员该月销售空调的平均数是_______台，中位数是_____台；（2）你认为销售部经理给这14位营销员定出每月销售空调的定额为_____台比较合理，营销员小王在该月份销售10台，如何评价他的营销业绩：_________________________________________________________．（用一句话描述）5．数学老师布置10道选择题作为课堂练习，•课代表将全班同学的答题情况绘制成条形统计图（如图），•根据此图求每位同学答对的题数所组成的样本的中位数．回顾归纳1、一组数据中出现次数最_______的数据就是这组数据的众数．2、如果一组数据中有两个数据的频数都是最大，那么这两个数据_______这组数据的众数．做一做：1．一射击运动员在一次射击练习中打出的成绩（单位：环）是：7，8，9，8，6，8，•10，7，这组数据的众数是_______．2．在一次科技知识竞赛中，一组学生成绩统计如表：这组学生成绩的中位数是_______，众数是_______．3．（体验探究题）为了解某班学生每周做家务劳动的时间，•某综合实践活动小组至该班50名学生进行了调查，有关数据如表：根据上表中的数据，回答下列问题：（1）该班学生每周做家务劳动的平均时间是多少小时？（2）这组数据的中位数，众数分别是多少？（3）请你根据（1），（2）的结果，用一句话谈谈自己的感受．4.、某商店三，四月份出售同一品牌各种规格的空调销售台数如表，根据表中数据回答．（1）商店平均每月销售空调______（台）；（2）商店出售的各种规格的空调中，众数是______（匹）；（3）在研究六月份进货时，商店经理可决定_______（匹）的空调要多进；_______（匹）的空调要少进．5．公园里有甲，乙两群游客正在做团体游戏，两群游客的年龄（单位：岁）如下：甲群：13 13 14 15 15 15 15 16 17 17乙群：3 4 4 5 5 6 6 6 54 57解答下列各题：（1）甲群游客的平均年龄是_____岁，中位数是_____岁，众数是_____岁，•其中能较好反映甲群游客年龄特征的是_____．（2）乙群游客的平均年龄是______岁，中位数是______岁，众数是_____岁，•其中能较好反映乙群游客年龄特征的是______．。