中考数学基础训练2

正确.综上所述，正确的是①②⑤，共3个.
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11. （2023·东营）分解因式：3ma2－6mab＋3mb2＝
3m（a－b）2 .
解析：3ma2－6mab＋3mb2＝3m（a2－2ab＋b2）＝3m（a－b）2.
12. （2023·天津）不透明的袋子中装有10个球，其中有7个绿球、3个红
交于点C.∴ CD＝CE.易得当涂色部分周长取得最小值时，AC＋CD＝
AC＋CE＝AE.在扇形AOB中，∠AOB＝60°，OD平分∠AOB，
∴ ∠AOD＝∠BOD＝30°.由轴对称的性质，得∠BOE＝∠BOD＝30°，
OE＝OD.∴ ∠AOE＝90°.∴ △AOE是等腰直角三角形.∵ OA＝1，∴
×
8. （2023·眉山）若关于x的不等式组ቊ
的整数解仅有4
5 − 2 < 4 + 1
个，则m的取值范围是（ A ）
A. －5≤m＜－4
B. －5＜m≤－4
C. －4≤m＜－3
D. －4＜m≤－3
解析：∵ 不等式组有解，∴ 解不等式组，得m＋3＜x＜3.由题意，得－
2≤m＋3＜－1，解得－5≤m＜－4.

෽
AE＝ .∵ 的长＝
＝ ，∴ 涂色部分周长的最小值为 ＋ .

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10. （2023·达州）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数）关于

湖北省各地市2023-中考数学真题分类汇编-03解答题（较难题）知识点分类②一．一次函数综合题（共1小题）1．（2023•鄂州）如图1，在平面直角坐标系中，直线l⊥y轴，交y轴的正半轴于点A，且OA ＝2，点B是y轴右侧直线l上的一动点，连接OB．（1）请直接写出点A的坐标；（2）如图2，若动点B满足∠ABO＝30°，点C为AB的中点，D点为线段OB上一动点，连接CD．在平面内，将△BCD沿CD翻折，点B的对应点为点P，CP与OB相交于点Q，当CP⊥AB时，求线段DQ的长；（3）如图3，若动点B满足＝2，EF为△OAB的中位线，将△BEF绕点B在平面内逆时针旋转，当点O、E、F三点共线时，求直线EB与x轴交点的坐标；（4）如图4，OC平分∠AOB交AB于点C，AD⊥OB于点D，交OC于点E，AF为△AEC 的一条中线．设△ACF，△ODE，△OAC的周长分别为C1，C2，C3．试探究：在B点的运动过程中，当＝时，请直接写出点B的坐标．二．二次函数综合题（共5小题）2．（2023•随州）如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B （2，0）和C（0，2），连接BC，点P（m，n）（m＞0）为抛物线上一动点，过点P作PN ⊥x轴交直线BC于点M，交x轴于点N．（1）直接写出抛物线和直线BC的解析式；（2）如图2，连接OM，当△OCM为等腰三角形时，求m的值；（3）当P点在运动过程中，在y轴上是否存在点Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与以B，C，N为顶点的三角形相似（其中点P与点C相对应），若存在，直接写出点P 和点Q的坐标；若不存在，请说明理由．3．（2023•十堰）已知抛物线y＝ax2+bx+8过点B（4，8）和点C（8，4），与y轴交于点A．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，连接AB，BC，点D在线段AB上（与点A，B不重合），点F是OA的中点，连接FD，过点D作DE⊥FD交BC于点E，连接EF，当△DEF面积是△ADF面积的3倍时，求点D的坐标；（3）如图2，点P是抛物线上对称轴右侧的点，H（m，0）是x轴正半轴上的动点，若线段OB上存在点G（与点O，B不重合），使得∠GBP＝∠HGP＝∠BOH，求m的取值范围．4．（2023•鄂州）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y＝ax2（a＞0）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点P到定点F（0，）的距离PF，始终等于它到定直线l：y＝﹣的距离PN（该结论不需要证明）．他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y＝﹣叫做抛物线的准线方程．准线l与y轴的交点为H．其中原点O为FH的中点，FH＝2OF＝．例如，抛物线y＝2x2，其焦点坐标为F（0，），准线方程为l：y＝﹣，其中PF＝PN，FH＝2OF＝．【基础训练】（1）请分别直接写出抛物线y＝x2的焦点坐标和准线l的方程： ， ；【技能训练】（2）如图2，已知抛物线y＝x2上一点P（x0，y0）（x0＞0）到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，求点P的坐标；【能力提升】（3）如图3，已知抛物线y＝x2的焦点为F，准线方程为l．直线m：y＝x﹣3交y轴于点C，抛物线上动点P到x轴的距离为d1，到直线m的距离为d2，请直接写出d1+d2的最小值；【拓展延伸】该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线y＝ax2（a＞0）平移至y＝a（x﹣h）2+k（a＞0）．抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a＞0）内有一定点F（h，k+），直线l过点M（h，k﹣）且与x轴平行．当动点P在该抛物线上运动时，点P到直线l的距离PP1始终等于点P到点F的距离（该结论不需要证明）．例如：抛物线y＝2（x﹣1）2+3上的动点P到点F（1，）的距离等于点P到直线l：y＝的距离．请阅读上面的材料，探究下题：（4）如图4，点D（﹣1，）是第二象限内一定点，点P是抛物线y＝x2﹣1上一动点．当PO+PD取最小值时，请求出△POD的面积．5．（2023•湖北）已知抛物线与x轴交于A，B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，2）．点P为第一象限抛物线上的点，连接CA，CB，PB，PC．（1）直接写出结果；b＝ ，c＝ ，点A的坐标为 ，tan∠ABC＝ ；（2）如图1，当∠PCB＝2∠OCA时，求点P的坐标；（3）如图2，点D在y轴负半轴上，OD＝OB，点Q为抛物线上一点，∠QBD＝90°．点E，F分别为△BDQ的边DQ，DB上的动点，且QE＝DF，记BE+QF的最小值为m．①求m的值；②设△PCB的面积为S，若，请直接写出k的取值范围．6．（2023•宜昌）如图，已知A（0，2），B（2，0）．点E位于第二象限且在直线y＝﹣2x上，∠EOD＝90°，OD＝OE，连接AB，DE，AE，DB．（1）直接判断△AOB的形状：△AOB是 三角形；（2）求证：△AOE≌△BOD；（3）直线EA交x轴于点C（t，0），t＞2．将经过B，C两点的抛物线y1＝ax2+bx﹣4向左平移2个单位，得到抛物线y2．①若直线EA与抛物线y1有唯一交点，求t的值；②若抛物线y2的顶点P在直线EA上，求t的值；③将抛物线y2再向下平移个单位，得到抛物线y3．若点D在抛物线y3上，求点D的坐标．三．四边形综合题（共1小题）7．（2023•十堰）过正方形ABCD的顶点D作直线DP，点C关于直线DP的对称点为点E，连接AE，直线AE交直线DP于点F．（1）如图1，若∠CDP＝25°，则∠DAF＝ ；（2）如图1，请探究线段CD，EF，AF之间的数量关系，并证明你的结论；（3）在DP绕点D转动的过程中，设AF＝a，EF＝b，请直接用含a，b的式子表示DF 的长．四．圆的综合题（共2小题）8．（2023•宜昌）如图1，已知AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，PA交⊙O于点C，AB ＝4，PB＝3．（1）填空：∠PBA的度数是 ，PA的长为 ；（2）求△ABC的面积；（3）如图2，CD⊥AB，垂足为D．E是上一点，AE＝5EC．延长AE，与DC，BP的延长线分别交于点F，G，求的值．9．（2023•黄石）如图，AB为⊙O的直径，DA和⊙O相交于点F，AC平分∠DAB，点C在⊙O上，且CD⊥DA，AC交BF于点P．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）求证：AC•PC＝BC2；（3）已知BC2＝3FP•DC，求的值．五．几何变换综合题（共1小题）10．（2023•湖北）【问题呈现】△CAB和△CDE都是直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，CB＝mCA，CE＝mCD，连接AD，BE，探究AD，BE的位置关系．【问题探究】（1）如图1，当m＝1时，直接写出AD，BE的位置关系： ．（2）如图2，当m≠1时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．【拓展应用】（3）当m＝，AB＝4，DE＝4时，将△CDE绕点C旋转，使A，D，E三点恰好在同一直线上，求BE的长．六．相似形综合题（共2小题）11．（2023•武汉）问题提出如图（1），E是菱形ABCD边BC上一点，△AEF是等腰三角形，AE＝EF，∠AEF＝∠ABC＝α（α≥90°），AF交CD于点G，探究∠GCF与α的数量关系．问题探究（1）先将问题特殊化，如图（2），当α＝90°时，直接写出∠GCF的大小；（2）再探究一般情形，如图（1），求∠GCF与α的数量关系．问题拓展将图（1）特殊化，如图（3），当α＝120°时，若，求的值．12．（2023•宜昌）如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边AD，AB上的点，连接CE，EF，CF．（1）若正方形ABCD的边长为2，E是AD的中点．①如图1，当∠FEC＝90°时，求证：△AEF∽△DCE；②如图2，当tan∠FCE＝时，求AF的长；（2）如图3，延长CF，DA交于点G，当GE＝DE，sin∠FCE＝时，求证：AE＝AF．湖北省各地市2023-中考数学真题分类汇编-03解答题（较难题）知识点分类②参考答案与试题解析一．一次函数综合题（共1小题）1．（2023•鄂州）如图1，在平面直角坐标系中，直线l⊥y轴，交y轴的正半轴于点A，且OA ＝2，点B是y轴右侧直线l上的一动点，连接OB．（1）请直接写出点A的坐标；（2）如图2，若动点B满足∠ABO＝30°，点C为AB的中点，D点为线段OB上一动点，连接CD．在平面内，将△BCD沿CD翻折，点B的对应点为点P，CP与OB相交于点Q，当CP⊥AB时，求线段DQ的长；（3）如图3，若动点B满足＝2，EF为△OAB的中位线，将△BEF绕点B在平面内逆时针旋转，当点O、E、F三点共线时，求直线EB与x轴交点的坐标；（4）如图4，OC平分∠AOB交AB于点C，AD⊥OB于点D，交OC于点E，AF为△AEC 的一条中线．设△ACF，△ODE，△OAC的周长分别为C1，C2，C3．试探究：在B点的运动过程中，当＝时，请直接写出点B的坐标．【答案】（1）（0，2）；（2）﹣1；（3）（4，0）或（，0）；（4）（，2）．【解答】解：（1）∵OA＝2，点A位于y轴的正半轴，∴点A坐标为（0，2），（2）∵∠ABO＝30°，直线∥y轴，OA＝2，∴OB＝＝4，AB＝OB•cos∠ABO＝4•cos30°＝2，∵点C为AB的中点，∴BC＝，又∵CP⊥AB，∴QB＝＝2，由折叠可知：∠PCD＝∠BCD，∠PCD＝∠BCD＝45°，如图2，过点D作DH⊥AB，∴CH＝＝＝DH，BH＝＝DH，∴BC＝BH+CH＝DH+DH，即DH+DH＝，∴DH＝，∴DB＝＝＝3﹣，∴DQ＝BQ﹣BD＝2﹣（3﹣）＝﹣1，（3）∵＝2，OA＝2，∴AB＝4，又∵EF为△OAB的中位线，∴BE＝2，EF＝1，EF∥OA，∴∠BEF＝90°，I．如图，将△BEF绕点B在平面内逆时针旋转90°，到如图所示位置时∵BE⊥l，直线l⊥y轴，∴BE∥OA，又∵BE＝OA＝2，∴四边形OABE是矩形，∴点E、F恰好落在x轴，OE＝AB＝4，此时直线EB与x轴交点的坐标为（4，0），II．如图3，将△BEF绕点B在平面内逆时针旋转到点O、E、F三点共线时，如图所示位置时延长EB交x轴于点K，∵∠BEF＝∠OAB＝90°，BE＝OA＝2，OB＝OB，∴Rt△OAB≌Rt△BEO（HL），∴∠ABO＝∠BOE，OE＝AB＝4，∴OR＝RB，AR＝AB﹣RB＝4﹣RB，在Rt△OAR中，OA2+AR2＝OR2，即：22+（4﹣RB）2＝RB2．解得：RB＝，∴AR＝，∴cos∠ARO＝，∵直线l⊥y轴，直线l∥x轴，∴∠ARO＝∠EOK，在Rt△OEK中，OK＝，∴OK＝＝＝，∴此时直线EB与x轴交点的坐标为（，0），综上所述：将△BEF绕点B在平面内逆时针旋转，当点O、E、F三点共线时，直线EB与轴交点的坐标为（4，0）或（，0）；（4）∵直线l⊥y轴，AD⊥OB于点D，∴∠AOC+∠ACO＝90°，∠EOD+∠OED＝90°，又∵OC平分∠AOB交AB于点C，即：∠AOC＝∠DOE，∴∠ACO＝∠OED．又∵∠AEC＝∠OED，∴∠AEC＝∠ACO．∴AE＝AC，∵AF为△AEC的一条中线．∴AF⊥EC，即：∠AFC＝90°，∵∠ACO＝∠OED＝∠ACO，∠OAC＝∠ODE＝∠AFC＝90°，∴△OAC∽△ODE∽△AFC，∴设△ACF，△ODE，△OAC的周长分别为C1，C2，C3．∴，，∵，∴，∴2AF+OD＝OA＝，∴2AF＝﹣OD，延长AF交OB于H点，如图4，∵∠ACO＝∠OED，AFO＝∠HFO＝90°，OF＝OF，∴△AFO≌△HFO（ASA），∴OH＝OA＝2，AF＝FH，∴AH＝2AF＝﹣OD，DH＝OH﹣OD＝2﹣OD，∵AD2＝OA2﹣OD2，AD2＝AH2﹣DH2，∴22﹣OD2＝（﹣OD）2﹣（2﹣OD）2，解得：OD1＝﹣（不合题意，舍去），OD2＝，∴AD＝＝，∴tan∠AOD＝＝，∴AB＝OA•tan∠AOB＝，所以点B坐标为（，2）．二．二次函数综合题（共5小题）2．（2023•随州）如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B （2，0）和C（0，2），连接BC，点P（m，n）（m＞0）为抛物线上一动点，过点P作PN ⊥x轴交直线BC于点M，交x轴于点N．（1）直接写出抛物线和直线BC的解析式；（2）如图2，连接OM，当△OCM为等腰三角形时，求m的值；（3）当P点在运动过程中，在y轴上是否存在点Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与以B，C，N为顶点的三角形相似（其中点P与点C相对应），若存在，直接写出点P 和点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线解析式：y＝﹣x2+x+2，直线BC：y＝﹣x+2．（2）m＝1或m＝或m＝2．（3）P（），Q（0，）或P（），Q（0.）或P（），Q（0，1）或P（1+），Q（0，﹣2）．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（2，0），∴抛物线的表达式为y＝a（x+1）（x﹣2），将点C（0，2）代入得，2＝﹣2a，∴a＝﹣1，∴抛物线的表达式为y＝﹣（x+1）（x﹣2），即y＝﹣x2+x+2．设直线BC的表达式为y＝kx+t，将B（2，0），C（0，2）代入得，，解得，∴直线BC的表达式为y＝﹣x+2．（2）∵点M在直线BC上，且P（m，n），∴点M的坐标为（m，﹣m+2），∴OC＝2∴CM2＝（m﹣0）2+（﹣m+2﹣2）2＝2m2，OM2＝m2+（﹣m+2）2＝2m2﹣4m+4，当△OCM为等腰三角形时，①若CM＝OM，则CM2＝OM2，即2m2＝2m2﹣4m+4，解得m＝1；②若CM＝OC，则CM2＝OC2，即2m2＝4，解得或m＝﹣（舍去）；③若OM＝OC，则OM2＝OC2，即2m2﹣4m+4＝4，解得m＝2或m＝0（舍去）．综上，m＝1或m＝或m＝2．（3）∵点P与点C相对应，∴△POQ∽△CBN或△POQ∽△CNB，①若点P在点B的左侧，则，当△POQ∽△CBN，即∠POQ＝45°时，直线OP的表达式为y＝x，∴﹣m2+m+2＝m，解得或m＝﹣（舍去），∴，即OP＝2，∴，即，解得OQ＝，∴，当△POQ∽△CNB，即∠PQO＝45°时，，∴，即，解得m＝1±（舍去）．当△POQ∽△CNB，即∠PQO＝45°时，PQ＝，OQ＝m﹣（﹣m2+m+2）＝m2﹣2，∴，即，解得m＝，（负值舍去），∴P（），Q（0.）．②若点P在点B的右侧，则∠CBN＝135°，BN＝m﹣2，当△POQ∽△CBN，即∠POQ＝135°时，直线OP的表达式为y＝﹣x，∴﹣m2+m+2＝﹣m，解得m＝1+或m＝1﹣（舍去），∴，∴，即，解得OQ＝1，∴，当△POQ∽△CNB，即∠PQO＝135°时，PQ＝，OQ＝|﹣m2+m+2+m|＝m2﹣2m﹣2，∴，即，解得m＝1+或m＝1﹣（舍去），∴，综上，P（），Q（0，）或P（），Q（0.）或P（），Q（0，1）或P（1+），Q（0，﹣2）．3．（2023•十堰）已知抛物线y＝ax2+bx+8过点B（4，8）和点C（8，4），与y轴交于点A．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，连接AB，BC，点D在线段AB上（与点A，B不重合），点F是OA的中点，连接FD，过点D作DE⊥FD交BC于点E，连接EF，当△DEF面积是△ADF面积的3倍时，求点D的坐标；（3）如图2，点P是抛物线上对称轴右侧的点，H（m，0）是x轴正半轴上的动点，若线段OB上存在点G（与点O，B不重合），使得∠GBP＝∠HGP＝∠BOH，求m的取值范围．【答案】（1）y＝﹣x2+x+8；（2）D（6﹣2，8）；（3）0＜m≤．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+8过点B（4，8）和点C（8，4），∴，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+8；（2）∵抛物线y＝﹣x2+x+8与y轴交于点A，当x＝0时，y＝8，∴A（0，8），则OA＝8，∵B（4，8），∴AB∥x轴，AB＝4，∵点F是OA的中点，∴F（0，4），∴AB＝AF＝4，设直线BC的解析式为y＝kx+b，∵B（4，8），C（8，4），∴，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+12，设E（m，﹣m+12）（4＜m＜8），如图1，过点E作EG⊥AB交AB的延长线于G，则∠G＝90°，∴G（m，8），∴GE＝8﹣（﹣m+12）＝m﹣4，BG＝m﹣4，∴BG＝GE，∴△BGE是等腰直角三角形，设D（t，8），则AD＝t，DG＝m﹣t，∵DE⊥FD，∴∠FDE＝90°，∵∠FAD＝∠G＝∠FDE＝90°，∴∠AFD＝90°﹣∠ADF＝∠GDE，∴△AFD∽△GDE，∴＝，即＝，∴t（m﹣t）＝4（m﹣4），即（t﹣4）m＝（t﹣4）（t+4），∵m＞4，∴m＝t+4，即m﹣t＝4，∴DG＝AF，∴△AFD≌△GDE（ASA），∴DF＝DE，又∵DE⊥DF，∴△DEF是等腰直角三角形，∴S△DEF＝DF2，∵S△ADF＝AD•AF，当△DEF面积是△ADF面积的3倍时，即DF2＝3×AD•AF，∴DF2＝12AD，在Rt△ADF中，DF2＝AD2+AF2＝t2+42，∴AD2+AF2＝12AD，∴t2+42＝12t，解得：t＝6﹣2或t＝2+6（舍去），∴D（6﹣2，8）；（3）∵∠GBP＝∠HGP＝∠BOH，又∠OGH+∠HGP＝∠GBP+∠BPG，∴∠OGH＝∠BPG，∴△OGH∽△BPG，∴＝，设BP交x轴于点S，过点B作BT⊥x轴于点T，如图2，∵∠GBP＝∠BOH，∴SB＝SO，∵OT＝4，BT＝8，∴OB＝＝4，设BS＝k，则TS＝k﹣4，在Rt△TBS中，SB2＝ST2+BT2，∴k2＝（k﹣4）2+82，解得：k＝10，∴S（10，0），设直线BS的解析式为y＝ex+f，则，解得：，∴直线BS的解析式为y＝﹣x+，联立，解得：或，∴P（，﹣），∴PB＝＝，∵＝，设OG＝n，则BG＝OB﹣OG＝4﹣n，∴＝，整理得：m＝﹣＝﹣n2+n＝﹣（n﹣2）2+，∵点G在线段OB上（与点O，B不重合），∴0＜OG＜4，∴0＜n＜4，∴当n＝2时，m取得的最大值为，∴0＜m≤．4．（2023•鄂州）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y＝ax2（a＞0）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点P到定点F（0，）的距离PF，始终等于它到定直线l：y＝﹣的距离PN（该结论不需要证明）．他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y＝﹣叫做抛物线的准线方程．准线l与y轴的交点为H．其中原点O为FH的中点，FH＝2OF＝．例如，抛物线y＝2x2，其焦点坐标为F（0，），准线方程为l：y＝﹣，其中PF＝PN，FH＝2OF＝．【基础训练】（1）请分别直接写出抛物线y＝x2的焦点坐标和准线l的方程：　（0，1）　，　y＝﹣1　；【技能训练】（2）如图2，已知抛物线y＝x2上一点P（x0，y0）（x0＞0）到焦点F的距离是它到x 轴距离的3倍，求点P的坐标；【能力提升】（3）如图3，已知抛物线y＝x2的焦点为F，准线方程为l．直线m：y＝x﹣3交y 轴于点C，抛物线上动点P到x轴的距离为d1，到直线m的距离为d2，请直接写出d1+d2的最小值；【拓展延伸】该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线y＝ax2（a＞0）平移至y＝a（x﹣h）2+k（a＞0）．抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a＞0）内有一定点F（h，k+），直线l过点M（h，k﹣）且与x轴平行．当动点P在该抛物线上运动时，点P到直线l的距离PP1始终等于点P到点F的距离（该结论不需要证明）．例如：抛物线y＝2（x﹣1）2+3上的动点P到点F（1，）的距离等于点P到直线l：y＝的距离．请阅读上面的材料，探究下题：（4）如图4，点D（﹣1，）是第二象限内一定点，点P是抛物线y＝x2﹣1上一动点．当PO+PD取最小值时，请求出△POD的面积．【答案】（1）（0，1），y＝﹣1；（2）（，）；（3）﹣1；（4）．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2中a＝，∴＝1，﹣＝﹣1，∴抛物线y＝x2的焦点坐标为F（0，1），准线l的方程为y＝﹣1，故答案为：（0，1），y＝﹣1；（2）由（1）知抛物线y＝x2的焦点F的坐标为（0，1），∵点P（x0，y0）到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，∴＝3y0，整理得：＝8+2y0﹣1，又∵y0＝，∴4＝8+2y0﹣1，解得：y0＝或y0＝﹣（舍去），∴x0＝，∴点P的坐标为（，）；（3）过点P作PE⊥直线m交于点E，过点P作PG⊥准线l交于点G，结合题意和（1）中结论可知PG＝PF＝d1+1，PE＝d2，如图：若使得d1+d2取最小值，即PF+PE﹣1的值最小，故当F，P，E三点共线时，PF+PE﹣1＝EF﹣1，即此刻d1+d2的值最小；∵直线PE与直线m垂直，故设直线PE的解析式为y＝﹣2x+b，将F（0，1）代入解得：b＝1，∴直线PE的解析式为y＝﹣2x+1，∵点E是直线PE和直线m的交点，令﹣2x+1＝x﹣3，解得：x＝，故点E的坐标为（，﹣），∴d1+d2＝﹣1．即d1+d2的最小值为﹣1．（4）∵抛物线y＝x2﹣1中a＝，∴＝1，﹣＝﹣1，∴抛物线y＝x2﹣1的焦点坐标为（0，0），准线l的方程为y＝﹣2，过点P作PG⊥准线l交于点G，结合题意和（1）中结论可知PG＝PF，则PO+PD＝PG+PD，如图：若使得PO+PD取最小值，即PG+PD的值最小，故当D，P，G三点共线时，PO+PD＝PG+PD＝DG，即此刻PO+PD的值最小；如图：∵点D的坐标为（﹣1，），DG⊥准线l，∴点P的横坐标为﹣1，代入y＝x2﹣1解得y＝﹣，即P（﹣1，﹣），OP＝+＝，则△OPD的面积为××1＝．5．（2023•湖北）已知抛物线与x轴交于A，B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，2）．点P为第一象限抛物线上的点，连接CA，CB，PB，PC．（1）直接写出结果；b＝ ，c＝　2　，点A的坐标为　（﹣1，0）　，tan∠ABC ＝ ；（2）如图1，当∠PCB＝2∠OCA时，求点P的坐标；（3）如图2，点D在y轴负半轴上，OD＝OB，点Q为抛物线上一点，∠QBD＝90°．点E，F分别为△BDQ的边DQ，DB上的动点，且QE＝DF，记BE+QF的最小值为m．①求m的值；②设△PCB的面积为S，若，请直接写出k的取值范围．【答案】（1），2，（﹣1，0），；（2）（2，3）；（3）①；②13≤k＜17．【解答】解：（1）∵抛物线经过点B（4，0），C（0，2），∴，解得：，∴抛物线解析式为：，∵抛物线与x轴交于A、B（4，0）两点，∴y＝0时，，解得：x1＝﹣1，x2＝4，∴A（﹣1，0），∴OB＝4，OC＝2，在Rt△COB中，．故答案为：，2，（﹣1，0），；（2）过点C作CD∥x轴，交BP于点D，过点P作PE∥x轴，交y轴于点E，∵AO＝1，OC＝2，OB＝4，∴，由（1）可得，，即tan∠OCA＝tan∠ABC，∴∠OCA＝∠ABC，∵∠PCB＝2∠OCA，∴∠PCB＝2∠ABC，∵CD∥x轴，EP∥x轴，∴∠ACB＝∠DCB，∠EPC＝∠PCD，∴∠EPC＝ABC，又∵∠PEC＝∠BOC＝90°∴△PEC∽△BOC，∴，设点P坐标为，则EP＝t，，∴，解得：t＝0 （舍），t＝2，∴点P坐标为（2，3）；（3）①如图2，作DH⊥DQ，且使DH＝BQ，连接FH，∵∠BQD+∠BDQ＝90°，∠HDF+∠BDQ＝90°，∴∠BQD＝∠HDF，∵QE＝DF，DH＝BQ，∴△BQE≌△HDF（SAS），∴BE＝FH，∴BE+QF＝FH+QF≥QH，∴Q，F，H共线时，BE+QF的值最小．作QG⊥AB于点G，∵OB＝OD，∠BOD＝90°，∴∠OBD＝45°，∵∠QBD＝90°，∴∠QBG＝45°，∴QG＝BG．设G（n，0），则，∴，解得n＝1 或n＝4 （舍去），∴Q（1，3），∴QG＝BG＝4﹣1＝3，∴，∴m＝QH＝＝2；②如图3，作PT∥y轴，交BC于点T，∵BC解析式为，设，，则，∵点P在第一象限，∴0＜S≤4，∴，∴0＜17﹣k≤4，∴13≤k＜17．6．（2023•宜昌）如图，已知A（0，2），B（2，0）．点E位于第二象限且在直线y＝﹣2x上，∠EOD＝90°，OD＝OE，连接AB，DE，AE，DB．（1）直接判断△AOB的形状：△AOB是　等腰直角　三角形；（2）求证：△AOE≌△BOD；（3）直线EA交x轴于点C（t，0），t＞2．将经过B，C两点的抛物线y1＝ax2+bx﹣4向左平移2个单位，得到抛物线y2．①若直线EA与抛物线y1有唯一交点，求t的值；②若抛物线y2的顶点P在直线EA上，求t的值；③将抛物线y2再向下平移个单位，得到抛物线y3．若点D在抛物线y3上，求点D的坐标．【答案】（1）等腰直角三角形；（2）见解析；（3）①t＝3；②t＝6；③D（，）．【解答】（1）解：∵A（0，2），B（2，0），∴OA＝OB＝2，∠AOB＝90°，∴△AOB是等腰直角三角形，故答案为：等腰直角；（2）证明：∵∠EOD＝90°，∠AOB＝90°，∴∠AOB﹣∠AOD＝∠DOE﹣∠AOD，∴∠AOE＝∠BOD，∵AO＝OB，OD＝OE，∴△AOE≌△BOD（SAS）；（3）解：①设直线AC的解析式为y＝kx+b，∵A（0，2），C（t，0），∴，∴∴y AC＝﹣x+2，将C（t，0），B（2，0）代入抛物线，得，，解得，∴，∵直线与抛物线有唯一交点，∴联立解析式组成方程组解得x2﹣（t+3）x+3t＝0，∴Δ＝（t+3）2﹣4×3t＝（t﹣3）2＝0，∴t＝3；②∵抛物线向左平移2个单位得到y2，∴抛物线，∴抛物线y2的顶点，将顶点代入t2﹣6t＝0，解得t1＝0，t2＝6，∵t＞2，∴t＝6；③过点E作EM⊥x轴，垂足为M，过点D作DN⊥x轴，垂足为N．∴∠EMO＝∠OND＝90°，∵∠DOE＝90°，∴∠EOM+∠MEO＝∠EOM+∠NOD＝90°，∴∠MEO＝∠NOD，∵OD＝OE，∴△ODN≌△EOM（AAS），∴ON＝EM，DN＝OM，∵OE的解析式为y＝﹣2x，∴设EM＝2OM＝2m，∴DN＝OM＝m，∵EM⊥x轴，∴OA∥EM，∴△CAO∽△CEM，∴OC：CM＝OA：EM，∴，∴，∴，，∴D（，），∵抛物线y2再向下平移个单位，得到抛物线y3，∴抛物线，∴D（，），代入抛物线，∴3t2﹣19t+6＝0 解得t1＝，t2＝6，由t＞2，得t＝6，∴，∴D（，）．三．四边形综合题（共1小题）7．（2023•十堰）过正方形ABCD的顶点D作直线DP，点C关于直线DP的对称点为点E，连接AE，直线AE交直线DP于点F．（1）如图1，若∠CDP＝25°，则∠DAF＝　20°　；（2）如图1，请探究线段CD，EF，AF之间的数量关系，并证明你的结论；（3）在DP绕点D转动的过程中，设AF＝a，EF＝b，请直接用含a，b的式子表示DF 的长．【答案】（1）20°；（2）；（3）或或．【解答】解：（1）如图，连接CE，DE，∵点C关于直线DP的对称点为点E，∴CD，ED关于DP对称，∠CDP＝∠EDP＝25°，CD＝ED，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∴AD＝ED，∴．故答案为：20°；（2）结论：．理由：如图，连接DE，CE，AC，CF．由轴对称知，CF＝EF，CD＝DE＝AD，∠DEF＝∠DCF，而∠DEF＝∠DAF，∴∠DAF＝∠DCF．∵∠FAC+∠FCA＝∠FAC+∠DAF+∠DCA＝90°，∴∠AFC＝180°﹣（∠FAC+∠FCA）＝90°，在Rt△ACF中，AC2＝AF2+CF2＝AF2+EF2，在Rt△ACD中，AD2+CD2＝AC2，2CD2＝AF2+EF2，即；（3）∵∠AFC＝90°，CF＝EF＝b，∴，∵，∴．如图，当点F在D，H之间时，，如图，当点D在F，H之间时，，如图，当点H在F，D之间时，．四．圆的综合题（共2小题）8．（2023•宜昌）如图1，已知AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，PA交⊙O于点C，AB ＝4，PB＝3．（1）填空：∠PBA的度数是　90°　，PA的长为　5　；（2）求△ABC的面积；（3）如图2，CD⊥AB，垂足为D．E是上一点，AE＝5EC．延长AE，与DC，BP的延长线分别交于点F，G，求的值．【答案】（1）90°，5；（2）；（3）．【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，∴∠PBA的度数为90°，∵AB＝4，PB＝3，∴PA＝＝＝5，故答案为：90°，5；（2）∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵S△ABP＝×AP•BC＝AB•BP，∴BC＝，∴AC＝＝＝，∴S△ABC＝×AC•BC＝××＝；（3）∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°＝∠ACB，∴∠ACD+∠BCD＝90°＝∠ABC+∠BCD，∴∠ACD＝∠ABC，∵四边形ABCE是圆的内接四边形，∴∠ABC+∠AEC＝180°，∵∠ACD+∠ACF＝180°，∴∠AEC＝∠ACF，又∵∠EAC＝∠FAC，∴△EAC∽△CAF，∴，∵AE＝5EC，AC＝，∴CF＝，∵∠ADC＝90°＝∠ACB，∠BAC＝∠DAC，∴△ADC∽△ACB，∴＝，∴AD＝＝，∴CD＝，DB＝，∴DF＝CD+CF＝＝AD，∴△ADF是等腰直角三角形，∴AF＝，∴＝，∴AE＝2，∴EF＝AF﹣AE＝，∵DF∥BG，∴，∴＝，∴FG＝，∴＝＝．9．（2023•黄石）如图，AB为⊙O的直径，DA和⊙O相交于点F，AC平分∠DAB，点C在⊙O上，且CD⊥DA，AC交BF于点P．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）求证：AC•PC＝BC2；（3）已知BC2＝3FP•DC，求的值．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．【解答】（1）证明：如图1，连接OC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠OAC，∴∠DAC＝∠OCA，∴DA∥OC，∵CD⊥DA，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（2）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠BAC，∵∠DAC＝∠PBC，∴∠BAC＝∠PBC，又∵∠ACB＝∠BCP，∴△ACB∽△BCP，∴＝，∴AC•PC＝BC2；（3）解：如图2，过P作PE⊥AB于点E，由（2）可知，AC•PC＝BC2，∵BC2＝3FP•DC，∴AC•PC＝3FP•DC，∵CD⊥DA，∴∠ADC＝90°，∵AB为⊙O的直径，∴∠BCP＝90°，∴∠ADC＝∠BCP，∵∠DAC＝∠CBP，∴△ACD∽△BPC，∴＝，∴AC•PC＝BP•DC，∴BP•DC＝3FP•DC，∴BP＝3FP，∵AB为⊙O的直径，∴∠AFB＝90°，∴PF⊥AD，∵AC平分∠DAB，PE⊥AB，∴PF＝PE，∵＝＝，∴＝＝＝．五．几何变换综合题（共1小题）10．（2023•湖北）【问题呈现】△CAB和△CDE都是直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，CB＝mCA，CE＝mCD，连接AD，BE，探究AD，BE的位置关系．【问题探究】（1）如图1，当m＝1时，直接写出AD，BE的位置关系：　AD⊥BE　．（2）如图2，当m≠1时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．【拓展应用】（3）当m＝，AB＝4，DE＝4时，将△CDE绕点C旋转，使A，D，E三点恰好在同一直线上，求BE的长．【答案】（1）BE⊥AD；（2）成立，理由见解析过程；（3）BE＝6或4．【解答】解：（1）如图1，延长BE交AC于点H，交AD于N，当m＝1时，DC＝CE，CB＝CA，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠DAC＝∠CBE，∵∠CAB+∠ABE+∠CBE＝90°，∴∠CAB+∠ABE+∠DAC＝90°，∴∠ANB＝90°，∴AD⊥BE，故答案为：AD⊥BE；（2）（1）中的结论成立，理由如下：如图2，延长BE交AC于点H，交AD于N，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，又∵，∴△DCA∽△ECB，∴∠DAC＝∠CBE，∵∠CAB+∠ABE+∠CBE＝90°，∴∠CAB+∠ABE+∠DAC＝90°，∴∠ANB＝90°，∴AD⊥BE，（3）如图3，当点E在线段AD上时，连接BE，∵△DCA∽△ECB，∴＝m＝，∴BE＝AD＝（4+AE），∵AD⊥BE，∴AB2＝AE2+BE2，∴112＝AE2+3（4+AE）2，∴AE＝2或AE＝﹣8（舍去），∴BE＝6，当点D在线段AE上时，连接BE，∵△DCA∽△ECB，∴＝m＝，∴BE＝AD＝（AE﹣4），∵AD⊥BE，∴AB2＝AE2+BE2，∴112＝AE2+3（AE﹣4）2，∴AE＝8或AE＝﹣2（舍去），∴BE＝4，综上所述：BE＝6或4．六．相似形综合题（共2小题）11．（2023•武汉）问题提出如图（1），E是菱形ABCD边BC上一点，△AEF是等腰三角形，AE＝EF，∠AEF＝∠ABC＝α（α≥90°），AF交CD于点G，探究∠GCF与α的数量关系．问题探究（1）先将问题特殊化，如图（2），当α＝90°时，直接写出∠GCF的大小；（2）再探究一般情形，如图（1），求∠GCF与α的数量关系．问题拓展将图（1）特殊化，如图（3），当α＝120°时，若，求的值．【答案】问题探究（1）45°；（2）∠GCF＝α﹣90°；问题拓展：．【解答】解：问题探究（1）如图（2）中，在BA上截取BJ，使得BJ＝BE．∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠BCD＝90°，BA＝BC，∵BJ＝BE，∴AJ＝EC，∵∠AEC＝∠AEF+∠CEF＝∠BAE+∠B，∠AEF＝∠B＝90°，∴∠CEF＝∠EAJ，∵EA＝EF，∴△EAJ≌△FEC（SAS），∴∠AJE＝∠ECF，∵∠BJE＝45°，∴∠AJE＝180°﹣45°＝135°，∴∠ECF＝135°，∴∠GCF＝∠ECF﹣∠ECD＝135°﹣90°＝45°；（2）结论：∠GCF＝α﹣90°；理由：在AB上截取AN，使AN＝EC，连接NE．∵∠ABC+∠BAE+∠AEB＝∠AEF+∠FEC+∠AEB＝180°，∠ABC＝∠AEF，∴∠EAN＝∠FEC．∵AE＝EF，∴△ANE≌△ECF（SAS）．∴∠ANE＝∠ECF．∵AB＝BC，∴BN＝BE．∵∠EBN＝α，∴，∴∠GCF＝∠ECF﹣∠BCD＝∠ANE﹣∠BCD＝；问题拓展：过点A作CD的垂线交CD的延长线于点P，设菱形的边长为3m．，∴DG＝m，CG＝2m．在Rt△ADP中，∠ADC＝∠ABC＝120°，∴∠ADP＝60°，∴m，，∴α＝120°，由（2）知，，∵∠AGP＝∠FGC，∴△APG∽△FCG．∴，∴＝，∴，由（2）知，，∴．∴．12．（2023•宜昌）如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边AD，AB上的点，连接CE，EF，CF．（1）若正方形ABCD的边长为2，E是AD的中点．①如图1，当∠FEC＝90°时，求证：△AEF∽△DCE；②如图2，当tan∠FCE＝时，求AF的长；（2）如图3，延长CF，DA交于点G，当GE＝DE，sin∠FCE＝时，求证：AE＝AF．【答案】（1）①证明见解析部分；②；（2）证明见解析部分．【解答】（1）①证明：如图1中，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠D＝90°，∵∠CEF＝90°，∴∠AEF+∠CED＝90°，∠ECD+∠CED＝90°，∴∠AEF＝∠ECD，∴△AEF∽△DCE；②解：如图2中，延长DA交CF的延长线于点G，过点G作GH⊥CE交CE的延长线于点H．∴△GEH∽△CED，∴＝，∵CD＝2，AE＝ED＝1，∴GH＝2HE，设EH＝m，GH＝2m．∵CE＝＝＝，∴CH＝m+，∵tan∠ECF＝＝，∴＝，∴m＝，∴EH＝，GH＝，∴EG＝＝＝，∴AG＝EG﹣AE＝﹣1＝，DG＝EG+DE＝+1＝，∵AF∥CD，∴＝，∴＝，∴AF＝；（3）证明：如图3中，过点G作GH⊥CE交CE的延长线于点H．设AD＝CD＝a，GE＝DE＝t，EH＝x，GH＝y，CE＝n，∵∠H＝∠D＝90°，∠GEH＝∠CED，∴△GEH∽△CED，∴＝＝∴＝＝，∴x＝，y＝，在Rt△CGH中，sin∠ECF＝＝，∴CG＝3GH，CH＝2GH，∴＝，∴2y＝x+n，∴2×＝+n，∴2at＝t2+n2，在Rt△CDE中，n2＝t2+a2，∴2at＝2t2+a2，∴a＝t，∵AF∥CD，∴＝，∴＝，∴AF＝＝a﹣＝a﹣t，∵AE＝a﹣t，∴AE＝AF．。

中考数学一轮复习基础训练（相似三角形）班级 姓名 学号 成绩一、选择题（每题4分，共28分）1.如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△A 1B 1C 1相似的是（ ）A ．BC ．D ．2.如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 和AC 边上，DE △BC ，M 为BC 边上一点(不与点B 、C 重合)连接AM 交DE 于点N ，则 （ ） A .AE AN AN AD = B .CEMNMN BD = C .MC NE BM DN = D .BMNE MC DN =第2题图 第3题图 第4题图 第5题图3.如图，在△ABC 中，AC =2，BC =4，D 为BC 边上的一点，且△CAD =△B . 若△ADC 的面积为a ，则△ABD 的面积为（ ）A .2a B .2.5a C .3a D .3.5a4.把边长分别为1和2的两个正方形按如图的方式放置.则图中阴影部分的面积为（ ）A ．61B ．31C ．51D ．41 5.如图，在△ABC 中，D 在AC 边上，AD ∶DC = 1∶2，点O 是BD 的中点，连接AO 并延长交BC 于 E ，则BE △EC =（ ）A . 1△2B . 1△3C . 1△4D . 2△36.如图， ABCD 中,点F 为BC 的中点,延长AD 至E ,使DE :AD =1:3,连接EF 交DC 于点G ,则S △DEG :S △CFG =（ ）A .2:3B .3:2C .9:4D .4:9第6题图 第7题图 第12题图 第13题图7.如图,将△ABC 沿BC 边上的中线AD 平移到△A'B'C'的位置,已知△ABC 的面积为16,阴影部分三角形的面积为9,若AA'=1,则A'D 等于（ ）A .2B .3C .4D .32 二、填空题（每空4分，共36分） N EAB C D M B A CD8.若23=+x y x ，则xy = ． 9.在某一时刻，侧的一根高为1.8m 的竹竿的影长为3m ，同时同地测得一栋楼的影长为90m ，则这栋楼的高度为 m ．10.在平面直角坐标系中，点A （4，2），B （5，0），以点O 为位似中心，相似比为1:2，把△ABO 缩小，得到△A 1B 1O ，则点A 的对应点A 1的坐标为 .11.若△ABC ∽△A B C '''，相似比为1﹕2，则△ABC 与△A B C '''的周长的比为 .12.如图，D 、E 分别是△ABC 边AB 、AC 上的点，∠ADE =∠ACB ，若AD =2，AB =6，AC =4，则AE 的长是 .13.如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 边上的点，DE ∥BC ，若AD =2，AB =3，DE =4，则BC 等于 .14.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AB =10，BC =6，CD ∥AB ，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点E ，DE = .第14题图 第15题图 第16题图15.如图，在一斜边长30cm 的直角三角形木板（即Rt △ACB ）中截取一个正方形CDEF ，点D 在边BC 上，点E 在斜边AB 上，点F 在边AC 上，若AF ：AC =1：3，则这块木板截取正方形CDEF 后，剩余部分的面积为 .16.如图，在△ABC 中，点D 为BC 边上的一点，AD △AB 且AD =AB =2，过点D 作DE △AD ，DE 交AC 于点E ．若DE =1，则△ABC 的面积为 .三、解答题（17至19题每题8分，20题12分，共36分）17.如图，为了测量一栋楼的高度OE ，小明同学先在操场上A 处放一面镜子，向后退到B 处，恰好在镜子中看到楼的顶部E ；再将镜子放到C 处，然后后退到D 处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E （O 、A 、B 、C 、D 在同一条直线上），测得AC =2m ，BD =2.1m ，如果小明眼睛距地面髙度BF ，DG 为1.6m ，试确定楼的高度OE ．第17题图18.如图，△ABD =△BCD =90°，DB 平分△ADC ，过点B 作BM △CD 交AD 于M ．连接CM 交DB 于N ．（1）求证：BD 2 =AD ·CD ；（2）若CD =6，AD =8，求MN 的长．第18题图19.如图，Rt△ABC 中，△ACB =90°，以AC 为直径的△O 交AB 于点D 过点D 作△O 的切线交BC 于点E ，连接OE .（1）求证：△DBE 是等腰三角形；（2）求证：△COE △△CA B.第19题图 20.如图，在等腰Rt △ABC 中，∠ACB =90°，ABD ，E 分别在边AB ，BC 上，将线段ED 绕点E 按逆时针方向旋转90°得到EF ．（1）如图1，若AD =BD ，点E 与点C 重合，AF 与DC 相交于点O ，求证：BD =2DO ．（2）已知点G 为AF 的中点．如图2，若AD =BD ，CE =2，求DG 的长．第20题图E B 图图2图1G F AB (E)CD E。

专题02截长补短【基础训练】1、如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE.2、如图，已知在△ABC中，∠C=2∠B,∠1=∠2，求证：AB=AC+CD3、如图，在五边形ABCDE中，AB=AE,BC+DE=CD,∠B+∠E=180°，求证：AD平分∠CDE.4、已知四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=BC，如图，点P,Q分别在线段AD,DC上，满足PQ=AP+CQ,求证：∠PBQ=90°-12∠ADC5、如图，在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD、CE相交于点O，求证：AE+CD=AC.6、如图所示，AB∥CD,BE,CE分别是∠ABC,∠BCD的平分线，点E在AD上，求证：BC=AB+CD.7、四边形ABCD中，BD＞AB,AD=DC,DE⊥BC,BD平分∠ABC（1）证明：∠BAD+∠BCD=180°（2）DE=3,BE=6,求四边形ABCD的面积.8、已知：在△ABC中，AB=CD-BD,求证：∠B=2∠C.9、如图，△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，且BD,CE交于点F，点G是线段CD上一点，连接AF，GF，若AF=GF,BD=CD.求∠CAF的度数判断线段FG与BC的位置关系，并说明理由.【提升训练】1．如图，在△ABC中，∠A＝60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD，CE交于点O，试判断BE，CD，BC的数量关系，并加以证明．2．如图，AD//BC，DC⊥AD，AE平分∠BAD，E是DC的中点．问：AD，BC，AB之间有何关系？并说明理由．3．如图，已知DE＝AE，点E在BC上，AE⊥DE，AB⊥BC，DC⊥BC，请问线段AB，CD和线段BC有何大小关系？并说明理由．4．如图，AB∥CD，BE，CE分别是∠ABC和∠BCD的平分线，点E在AD上．求证：BC＝AB＋CD.5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝AC，∠B＝∠CAB＝45°，AD平分∠BAC交BC于D，求证：AB＝AC＋CD.6．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD，CE分别平分∠BAC，∠ACB，AD，CE交于O.(1)求∠AOC的度数；(2)求证：AC＝AE＋CD.专题02截长补短（解析版）【基础训练】1、如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE.解析：如图，在EA上取点F,使EF=BE,连接CF,∵CE⊥AB∴CF=CB∠CFB=∠B∵∠AFC+∠CFB=180°，∠D+∠B=180°∴∠D=∠AFC∵AC平分∠BAD即∠DAC=∠FAC在△ACD和△ACF中∠D=∠AFC∠DAC=∠FACAC=AC∴ACD≌△ACF（AAS）∴AD=AF∴AE=AF+EF=AD+BE2、如图，已知在△ABC中，∠C=2∠B,∠1=∠2，求证：AB=AC+CD解析：在AB上取一点E,使AE=AC,连接DE,∵AE=AC,∠1=∠2，AD=AD∴△ACD≌△AED∴CD=DE,∠C=∠3∵∠C=2∠B∴∠3=2∠B=∠4+∠B∴∠4=∠B，∴DE=BE,CD=BE∵AB=AE+BE∴AB=AC+CD3、如图，在五边形ABCDE中，AB=AE,BC+DE=CD,∠B+∠E=180°，求证：AD平分∠CDE.解析：延长CB至点F,使BF=DE,连接BF=DE,连接AF,AC∵∠1+∠2=180°，∠E+∠1=180°∴∠2=∠E∵AB=AE,∠2=∠E,BF=DE∴△ABF≌△AED∠F=∠4，AF=AD∵BC+BF=CD即FC=CD又∵AC=AC∴△ACF≌△ACD∴∠F=∠3∵∠F=∠4∴∠3=∠4∴AD平分∠CDE.4、已知四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=BC，如图，点P,Q分别在线段AD,DC上，满足PQ=AP+CQ,求证：∠PBQ=90°-12∠ADC解析：如图，延长DC，在上面找一点K，使得CK=AP，连接BK,∵∠ABC+∠ADC=180°∴∠BAD+∠BCD=180°∵∠BCD+∠BCK=180°∴∠BAD=∠BCK在△BAP和△BKC中AP=CK∠BAP=∠BCKAB=BC∴△BPA≌△BKC（SAS）∴∠ABP=∠CBK,BP=BK∵PQ=AP+CQ∴PQ=QK∵在△BPQ和△BKQ中BP=BKBQ=BQPQ=KQ∴△BPQ≌△BKQ(SSS)∴∠PBQ=∠KBQ∴∠PBQ=12∠ABC∵∠ABC+∠ADC=180°∴∠ABC=180°-∠ADC∴12∠ABC=90°-12∠ADC∴∠PBQ=90°-12∠ADC5、如图，在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD、CE相交于点O，求证：AE+CD=AC.解析：由题意可得∠AOC=120°∴∠AOE=∠DOC=180°-∠AOC=180°-120°=60°在AC上截取AF=AE，连接OF，如图在△AOE和△AOF中，AE=AF∠OAE=∠OAFOA=OA∴△AOE≌△AOF（SAS）∴∠AOE=∠AOF，∴∠AOF=60°∴∠COF=∠AOC-∠AOF=60°又∠COD=60°，∴∠COD=∠COF同理可得：△COD≌△COF（ASA）∴CD=CF又∵AF=AE∴AC=AF+CF=AE+CD即AE+CD=AC6、如图所示，AB∥CD,BE,CE分别是∠ABC,∠BCD的平分线，点E在AD上，求证：BC=AB+CD.解析：在BC上取点F，使BF=AB∵BE,CE分别是∠ABC,∠BCD的平分线∴∠ABE=∠FBE,∠BCE=∠DCE∵AB∥CD∴∠A+∠D=180°在△ABE和△FBE中AB=FB∠ABE=∠FBEBE=BE∴△ABE≌△FBE（SAS）∴∠A=∠BFE∴∠BFE+∠D=180°∵∠BFE+∠EFC=180°∴∠EFC=∠D在△EFC和△EDC中，∠EFC=∠D∠BCE=∠DCECE=CE∴△EFC≌△EDC（AAS）∴CF=CD∵BC=BF+CF∴BC=AB+CD7、四边形ABCD中，BD＞AB,AD=DC,DE⊥BC,BD平分∠ABC （3）证明：∠BAD+∠BCD=180°（4）DE=3,BE=6,求四边形ABCD的面积.【解析】（1）过点D作BA的垂线，得△DMA≌DEC（HL）∵∠ABC+∠MDE=180°，∠ADC=∠MDE∴∠ABC+∠ADC=180°∴∠BAD+∠BCD=180°（2）S四边形ABCD=2S△BED=188、已知：在△ABC中，AB=CD-BD,求证：∠B=2∠C.【解析】在CD上取一点M使得DM=DB则CD-BD=CM=AB∴∠AMD=∠B=2∠C9、如图，△ABC 中，BD ⊥AC 于点D ，CE ⊥AB 于点E ，且BD,CE 交于点F ，点G 是线段CD 上一点，连接AF ，GF ，若AF=GF,BD=CD.求∠CAF 的度数判断线段FG 与BC 的位置关系，并说明理由.【解析】（1）延长AF 与BC 交于点M ，可知AF ⊥BC∵BD=DC ，BD ⊥DC ∴∠FBC=45°∵AF=FG ，FD ⊥AG ∴∠AFD=GFD=45°∴AF ⊥GF∴∠CAF=45°（2）由（1）可证FG ∥BC【提升训练】1．如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，BD ，CE 分别平分∠ABC 和∠ACB ，BD ，CE 交于点O ，试判断BE ，CD ，BC 的数量关系，并加以证明．证明：在BC 上截取BF ＝BE ，连接OF .∵BD 平分∠ABC ，∴∠EBO ＝∠FBO .∴△EBO ≌△FBO .∴∠EOB ＝∠FOB .∵∠A ＝60°，BD ，CE 分别平分∠ABC 和∠ACB ，∴∠BOC ＝180°－∠OBC －∠OCB ＝180°－12∠ABC －12∠ACB ＝180°－12(180°－∠A )＝120°.∴∠EOB ＝∠DOC ＝60°.∴∠BOF＝60°，∠FOC＝∠DOC＝60°.∵CE平分∠DCB，∴∠DCO＝∠FCO.∴△DCO≌△FCO.∴CD＝CF.∴BC＝BF＋CF＝BE＋CD.2．如图，AD//BC，DC⊥AD，AE平分∠BAD，E是DC的中点．问：AD，BC，AB之间有何关系？并说明理由．解：AB＝AD＋BC.理由：作EF⊥AB于F，连接BE.∵AE平分∠BAD，DC⊥AD，EF⊥AB，∴EF＝DE.∵DE＝CE，∴EC＝EF.∴Rt△BFE≌Rt△BCE(HL)．∴BF＝BC同理可证：AF＝AD.∴AD＋BC＝AF＋BF＝AB，即AB＝AD＋BC.3．如图，已知DE＝AE，点E在BC上，AE⊥DE，AB⊥BC，DC⊥BC，请问线段AB，CD和线段BC有何大小关系？并说明理由．解：线段AB，CD和线段BC的关系是：BC＝AB＋CD.理由：在△DCE中，∠EDC＋∠DEC＝90°，∵∠AEB＋∠DEC＝90°，∴∠AEB＝∠EDC，又∵ED＝AE，∠ABE＝∠ECD＝90°，∴△ABE≌△ECD(AAS)，∴AB＝EC，BE＝CD，∴BC＝BE＋EC＝CD＋AB.4．如图，AB∥CD，BE，CE分别是∠ABC和∠BCD的平分线，点E在AD上．求证：BC＝AB＋CD.证明：在BC上取点F，使BF＝BA，连接EF，如图，∵BE，CE分别是∠ABC和∠BCD的平分线，∴∠ABE＝∠FBE，∠ECF＝∠ECD.∴△ABE≌△FBE(SAS)，∴∠A＝∠BFE，∵AB∥CD，∴∠A＋∠D＝180°，∴∠BFE＋∠D＝180°.∵∠BFE＋∠EFC＝180°，∴∠EFC＝∠D.∴△CDE≌△CFE(AAS)，∴CF＝CD.∵BC＝BF＋CF，∴BC＝AB＋CD.5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝AC，∠B＝∠CAB＝45°，AD平分∠BAC交BC于D，求证：AB＝AC＋CD.证明：如图，延长AC 到E ，使CE ＝CD ，连接DE .则∠E ＝∠CDE ＝45°，∴∠B ＝∠E .∵AD 平分∠BAC ，∴∠1＝∠2，在△ABD 和△AED 中，∠B ＝∠E ，∠2＝∠1，AD ＝AD ，∴△ABD ≌△AED (AAS)．∴AE ＝AB .∵AE ＝AC ＋CE ＝AC ＋CD ，∴AB ＝AC ＋CD .6．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝60°，AD ，CE 分别平分∠BAC ，∠ACB ，AD ，CE 交于O .(1)求∠AOC 的度数；(2)求证：AC ＝AE ＋CD .(1)解：∵∠ABC ＝60°，AD ，CE 分别平分∠BAC ，∠ACB ，∴∠AOC ＝180°－(∠OAC ＋∠OCA )＝180°－12(∠BAC ＋∠ACB )＝180°－180°－60°2＝120°；(2)证明：∵∠AOC ＝120°，∴∠AOE ＝60°，如图，在AC 上截取AF ＝AE ，连接OF ，∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠CAD ，∵AO＝AO，∴△AOE≌△AOF(SAS)，∴∠AOE＝∠AOF，∵∠AOE＝60°，∠AOC＝120°，∴∠AOF＝∠COD＝∠COF＝60°.∵∠FOC＝∠DOC，CO＝CO，∠DCO＝∠FCO，∴△COF≌△COD(ASA)，∴CF＝CD，∴AC＝AF＋CF＝AE＋CD.。