2017-2018学年浙江省台州市高二下学期期中考试数学试题Word版含答案

台州市书生中学2016学年第二学期起始考高二数学试卷一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分．）1.函数的定义域是（）A. B. C. D. R2.设集合A={1，2，3，4，5}，B={y|y=2x,},则A B=( )A. {1,2,3,4,5}B. {1,2,3,4,5,6,8,10}C. {2,4}D.3.已知数列{a n}是等比数列，若a2=2，a3=﹣4，则a5等于（）A. 8B. ﹣8C. 16D. ﹣164.已知，且是钝角，则等于A. B. C. D.5.设∈R，则a=1是直线与直线垂直的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.若正方形ABCD的边长为1，则等于（）A. B. 1 C. D. 27.函数y=sin(2x+)的图象可由函数y=sin2x的图象经过平移而得到，这一平移过程可以是（）A. 向左平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向右平移个单位8.双曲线的离心率是A. B. C. D.9.在空间中，设m，n为两条不同直线，α，β为两个不同平面，则下列命题正确的是（）A. 若m∥α且α∥β，则m∥βB. 若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nC. 若m⊥α且α∥β，则m⊥βD. 若m不垂直于α，且n⊂α，则m必不垂直于n10.已知且那么等于（）A. -26B. -18C. -10D. -811.已知，，则使不等式一定成立的条件是A. B. C. D.12.在正三棱锥中，异面直线与所成角的大小为A. B. C. D.13.直线x θ+y i θ=1与圆x2+y2=1的位置关系是（）A. 相切B. 相交C. 相离D. 以上都有可能14.已知平面向量满足且向量与向量的夹角为，则=（）A. 2B.C.D.15.若正四棱锥的侧棱长为，侧面与底面所成的角是45°，则该正四棱锥的体积是（）A. B. C. D.16.已知实数，满足，，，，则的最小值是A. B. C. D.17.设函数若不等式对任意x>0恒成立，则实数m的取值范围是（）A. B. C. D.18.如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=1，BC=，点M在棱CC1上，且MD1⊥MA，则当△MAD1的面积最小时，棱CC1的长为（）A. B. C. 2 D.二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）19.设函数，则）_______，方程的解为_______。

台州市书生中学2016学年第二学期起始考高二数学试卷一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分．每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1.函数的定义域是（）A. B. C. D. R【答案】A【解析】由题设可得，应选答案A。

2.设集合A={1，2，3，4，5}，B={y|y=2x,},则A B=( )A. {1,2,3,4,5}B. {1,2,3,4,5,6,8,10}C. {2,4}D.【答案】C【解析】，，所以，故选C.3.已知数列{a n}是等比数列，若a2=2，a3=﹣4，则a5等于（ ）A. 8B. ﹣8C. 16D. ﹣16【答案】D【解析】设是等比数列的公比为，，由，得，则，故选D．4.已知，且是钝角，则等于A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：,,考点：同角三角函数的基本关系.5.设∈R，则a=1是直线与直线垂直的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由两直线垂直等价于，即或，所以是直线与直线垂直的是充分不必要条件，故选A.6.若正方形ABCD的边长为1，则等于（）A. B. 1 C. D. 2【答案】B【解析】试题分析：由向量的三角形法则,则,又,则.故本题答案选B.考点：1.向量的三角开法则；2.向量的数量积.7.函数y=sin(2x+ )的图象可由函数y=sin2x的图象经过平移而得到，这一平移过程可以是（）A. 向左平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向右平移个单位【答案】A【解析】函数的图象通过向左平移而得到函数，就是函数的图象，故选A.8.双曲线的离心率是A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以，故离心率，应选答案D。

9.在空间中，设m，n为两条不同直线，α，β为两个不同平面，则下列命题正确的是（ ）A. 若m∥α且α∥β，则m∥βB. 若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nC. 若m⊥α且α∥β，则m⊥βD. 若m不垂直于α，且n⊂α，则m必不垂直于n【答案】C【解析】因为为两条不同直线，为两个不同平面，在中，若且，则或，故错误；在中，若，则与相交、平行或异面，故错误；在中，若且，则由线面垂直的判定定理得，故正确；在中，若不垂直于，且，则有可能垂直于，故错误，故选C．【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定与性质、面面垂直的性质及线面垂直的判定，属于难题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.10.已知且那么等于（）A. -26B. -18C. -10D. -8【答案】A【解析】，构造函数，则为奇函数，，，，故选A.11.已知，，则使不等式一定成立的条件是A. B. C. D.【答案】D【解析】因为若，则，已知不等式不成立，所以，应选答案D。

第1页（共17页）页） 2015-2016学年浙江省台州中学高二下学期期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）5名运动员争夺3项比赛冠军（每项比赛无并列冠军），获得冠军的可能种数为（ ）A ．35B ．C ．D ．532．（5分）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．13．（5分）若a ，b ∈R ，则复数（a 2﹣4a +5）+（﹣b 2+2b ﹣6）i 表示的点在（ ）A ．在第一象限B ．在第二象限C ．在第三象限D ．在第四象限 4．（5分）已知=（﹣2，1，3），=（﹣1，2，1），若⊥（﹣λ），则实数λ的值为（ ）A ．﹣2B ．C ．D ．25．（5分）从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ ）A ．至少有一个黑球与都是黑球B ．至少有一个黑球与至少有一个红球C ．恰好有一个黑球与恰好有两个黑球D ．至少有一个黑球与都是红球6．（5分）某班级有一个7人小组，现任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案的种数有（ ）A ．35B ．70C ．210D ．1057．（5分）将5封信投入3个邮箱，个邮箱，每个邮箱至少投每个邮箱至少投1封，不同的投法有不同的投法有（（ ）A ．125种B ．81种C ．150种D ．240种8．（5分）定义在（﹣，）上的函数f（x）的导函数为f'（x），且当x∈（0，）时，f'（x）＞sin2x•f（x）﹣cos2x•f'（x），若a=f（），b=2f（0），c=f （），则a，b，c的大小关系是（ ）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．b＞c＞a 二、填空题：（本题共7小题，多空每题6分，单空每题4分，共36分．把正确答案填在答题卷相应横线上．）9．（4分）若5个同学排成一排，其中甲、乙不相邻的有 排法． 10．（6分）若复数z=，则复数z的虚部为 ，复数•（2﹣i）的模为 ．11．（6分）已知A n4=24C n6，且（2x﹣3）n=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a n（x﹣1）n，则n= ，a1+a2+a3+…+a n= ．12．（6分）若直线y=﹣x+1与曲线f（x）=﹣e x+b相切于点A（0，1），则实数a= ，b= ．13．（6分）已知O是边长为1正四面体ABCD内切球的球心，且=x+y+z （x，y，z∈R），则x+y+z= ．•= ．14．（4分）9人排成3×3方阵（3行，3 列），从中选出3人分别担任队长、副队长、纪律监督员，要求这3人至少有两人位于同行或同列，则不同的任取方法数为 ．（用数字回答）15．（4分）已知奇函数f（x）=ax3+bx2+cx+d，（a，b，c，d∈R），满足f（1）=1，若对任意的x∈[﹣1，1]，都有|f（x）|≤1成立，则实数a的取值范围是 ． 三、解答题：（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．（14分）已知复数z1=（a﹣1）+（2﹣a）i，z2=2a﹣1+（1﹣2a）i（其中i 为虚数单位，a∈R），若z1+z2为实数．（1）求实数a的值；（2）求z1z2+z12016+z22的值．17．（15分）已知的展开式中，某一项的系数是它前一项系数的2倍，而又等于它后一项系数的．（1）求展开后所有项的系数之和及所有项的二项式系数之和；（2）求展开式中的有理项．18．（15分）如图（1），等腰直角三角形ABC的底边AB=4，点D在线段AC上，DE⊥AB于E，现将△ADE沿DE折起到△PDE的位置（如图（2））． （Ⅰ）求证：PB⊥DE；（Ⅱ）若PE⊥BE，直线PD与平面PBC所成的角为30°，求PE长．19．（15分）在数列{a n}中，a1=1、，且．（Ⅰ） 求a3、a4，猜想a n的表达式，并加以证明；（Ⅱ） 设，求证：对任意的自然数n∈N*，都有．20．（15分）已知f（x）=xlnx﹣x2+a．（Ⅰ）当a=1时，判断函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若函数F（x）=f（x）﹣x有两个不同的极值点x1，x2．（i）求实数a的取值范围；（ii）求证：f（x2）＞．2015-2016学年浙江省台州中学高二下学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）5名运动员争夺3项比赛冠军（每项比赛无并列冠军），获得冠军的可能种数为（ ）A．35 B． C． D．53【解答】解：每一项冠军的情况都有5种，故5名学生争夺三项冠军，获得冠军的可能的种数是 53，故选：D．2．（5分）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（ ）A． B． C． D．1【解答】解：这是一个古典概型，从15个球中任取2个球的取法有；∴基本事件总数为105；设“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”为事件A；则A包含的基本事件个数为=50；∴P（A）=．故选：B．3．（5分）若a，b∈R，则复数（a2﹣4a+5）+（﹣b2+2b﹣6）i表示的点在（ ） A．在第一象限 B．在第二象限 C．在第三象限 D．在第四象限 【解答】解：配方可得a2﹣4a+5=（a﹣2）2+1≥1＞0﹣b2+2b﹣6=﹣（b﹣1）2﹣5≤﹣5＜0，∴复数（a2﹣4a+5）+（﹣b2+2b﹣6）i表示的点在第四象限，故选：D．4．（5分）已知=（﹣2，1，3），=（﹣1，2，1），若⊥（﹣λ），则实数λ的值为（ ）A．﹣2 B． C． D．2【解答】解：因为，，所以，由，所以，得﹣2（λ﹣2）+1﹣2λ+9﹣3λ=0⇒λ=2，故选：D．5．（5分）从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ ）A．至少有一个黑球与都是黑球B．至少有一个黑球与至少有一个红球C．恰好有一个黑球与恰好有两个黑球D．至少有一个黑球与都是红球【解答】解：对于A：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：两个都是黑球，∴这两个事件不是互斥事件，∴A不正确对于B：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有一个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴B不正确对于C：事件：“恰好有一个黑球”与事件：“恰有两个黑球”不能同时发生，但从口袋中任取两个球时还有可能是两个都是红球，∴两个事件是互斥事件但不是对立事件，∴C正确对于D：事件：“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，但一定会有一个发生，∴这两个事件是对立事件，∴D不正确故选：C．6．（5分）某班级有一个7人小组，现任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案的种数有（ ）A ．35B ．70C ．210D ．105【解答】解：从7个人中任选3有种方法，选出的3人相互调整座位其余4人座位不变，人座位不变，只有只有2种方法种方法（如（如a ，b ，c ，3人只有cab ，或bca 这2种方法），故不同的调整方案的种数有==70．故选：B ．7．（5分）将5封信投入3个邮箱，个邮箱，每个邮箱至少投每个邮箱至少投1封，不同的投法有不同的投法有（（ ）A ．125种B ．81种C ．150种D ．240种 【解答】解：将5封信分为（3，1，1）和（2，2，1）两组，分组的方法为C 53+=25，再分配到3个邮箱，得到25A 33=150种，故选：C ．8．（5分）定义在（﹣，）上的函数f （x ）的导函数为f '（x ），且当x ∈（0，）时，f '（x ）＞sin2x •f （x ）﹣cos2x •f '（x ），若a =f （），b =2f （0），c =f （），则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a ＞b ＞cB ．c ＞b ＞aC ．a ＞c ＞bD ．b ＞c ＞a【解答】解：由f '（x ）＞sin2x •f （x ）﹣cos2x •f '（x ），得sin2x •f （x ）﹣cos2x •f '（x ）﹣f '（x ）＜0，即sin2x •f （x ）﹣（cos2x +1）•f ′（x ）＜0，∴sin2x •f （x ）﹣2cos 2x •f ′（x ）＜0，即2sin x •cos x •f （x ）﹣2cos 2x •f ′（x ）＜0，∵x ∈（0，），则cos x ＞0，∴sin x •f （x ）﹣cos x •f ′（x ）＜0．令g （x ）=f （x ）cos x ，则g ′（x ）=cos x •f ′（x ）﹣f （x ）sin x ＞0，则函数g （x ）在（0，）上为增函数，又函数定义域为（﹣，），∴，即，∴，则＞＞2f（0）．∴a＞c＞b．故选：C．二、填空题：（本题共7小题，多空每题6分，单空每题4分，共36分．把正确答案填在答题卷相应横线上．）9．（4分）若5个同学排成一排，其中甲、乙不相邻的有 72 排法．【解答】解：插空法，先排其余3名同学共A33=6中方法，再把甲、乙插到刚才产生的4个空位中，A42=12种方法，由分步计数原理知总的方法种数为：6×12=72，故答案为：72．10．（6分）若复数z=，则复数z的虚部为 2 ，复数•（2﹣i）的模为 5 ． 【解答】解：复数z===1+2i，则z的虚部是2，∵=1﹣2i，∴•（2﹣i）=（1﹣2i）（2﹣i）=﹣5i，故•（2﹣i）的模是5，故答案为：2，5．11．（6分）已知A n4=24C n6，且（2x﹣3）n=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a n （x﹣1）n，则n= 10 ，a1+a2+a3+…+a n= 0 ．【解答】解：∵A n4=24C n6，即n（n﹣1）（n﹣2）（n﹣3）=24•，∴n=10．∵（2x﹣3）n=（2x﹣3）10═a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a n（x﹣1）n，令x=1，可得a0=1； 令x=2，可得 1=a0+a1+a2+a3+…+a n，∴a1+a2+a3+…+a n=0， 故答案为：10； 0．12．（6分）若直线y=﹣x+1与曲线f（x）=﹣e x+b相切于点A（0，1），则实数a= 1 ，b= 2 ．【解答】解：f（x）=﹣e x+b的导数为f′（x）=﹣e x，依题意，可得切线的斜率为﹣=﹣1，解得a=1；由切点（0，1）代入曲线方程，可得：1=﹣e0+b，解得b=2．故答案为：1，2．13．（6分）已知O是边长为1正四面体ABCD内切球的球心，且=x+y+z （x，y，z∈R），则x+y+z= ．•= ．【解答】解：设正四面体的高为AM，延长DM交BC于E，则E为BC的中点．∴DE=，DM==，∴AM==．设内切球半径为r，则V A﹣BCD==4×S△BCD•r．∴r==．∴OM=以M为原点，建立如图所示的空间坐标系M﹣xyz，则A（0，0，），B（，﹣，0），C（﹣，﹣，0），D（0，，0），O（0，0，）．∴=（0，0，﹣），=（，﹣，﹣），=（﹣，﹣，﹣），=（0，，﹣）．∵=x+y+z，∴，解得x=y=z=．∴x+y+z=.==．故答案为：，．14．（4分）9人排成3×3方阵（3行，3 列），从中选出3人分别担任队长、副队长、纪律监督员，要求这3人至少有两人位于同行或同列，则不同的任取方法数为 468 ．（用数字回答）【解答】解：从9人任选3人分别担任队长、副队长、纪律监督员，共有A93=504种，其中位于不同行且不同列的种数为A33A33=36种，故这3人至少有两人位于同行或同列，则不同的任取方法数为504﹣36=468， 故答案为：468．15．（4分）已知奇函数f（x）=ax3+bx2+cx+d，（a，b，c，d∈R），满足f（1）=1，若对任意的x∈[﹣1，1]，都有|f（x）|≤1成立，则实数a的取值范围是 [﹣，4] ．【解答】解：∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），即﹣ax3+bx2﹣cx+d=﹣ax3﹣bx2﹣cx﹣d，∴b=d=0．∵f（1）=a+c=1，∴c=1﹣a．∴f（x）=ax3+（1﹣a）x．∵f（x）是奇函数，且对任意的x∈[﹣1，1]，都有|f（x）|≤1成立，∴f max（x）≤1，f′（x）=3ax2+1﹣a，（1）若a=0，则f（x）=x在[﹣1，1]上是增函数，∴f max（x）=1，显然符合题意；（2）若0＜a≤1，则f′（x）≥0，∴f（x）在[﹣1，1]上是增函数，∴f max（x）=f（1）=1，符合题意；（3）若a＞1，令f′（x）=0得x=±，∵=﹣，∴f（x）在[﹣1，﹣]上单调递增，则（﹣，）上单调递减，在（，1]上单调递增．∵f（1）=1，∴f（﹣）≤1，即（a﹣1）≤1，解得1＜a≤4．（4）若a＜0，令f′（x）=0得x=±，①若＜1，即a＜﹣，则f（x）在[﹣1，﹣]上单调递减，则（﹣，）上单调递增，在（，1]上单调递减．∵f（1）=1，∴f max（x）＞f（1）=1，不符合题意．②若≥1，即a≥﹣，则f（x）在[﹣1，1]上单调递增，则f max（x）=f（1）=1，符合题意；综上，a的取值范围是[﹣，4]．故答案为[﹣，4]．三、解答题：（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．（14分）已知复数z1=（a﹣1）+（2﹣a）i，z2=2a﹣1+（1﹣2a）i（其中i 为虚数单位，a∈R），若z1+z2为实数．（1）求实数a的值；（2）求z1z2+z12016+z22的值．【解答】（本小题满分14分）解：（1）复数z1=（a﹣1）+（2﹣a）i，z2=2a﹣1+（1﹣2a）i（其中i为虚数单位，a∈R），若z1+z2=a﹣2+（3﹣3a）i，z1+z2为实数，可得3﹣3a=0解得a=1；（2）由（1）可得：z1=（a﹣1）+（2﹣a）i=i，z2=2a﹣1+（1﹣2a）i=1﹣i． z1z2+z12016+z22=i（1﹣i）+i2016+（1﹣i）2=i+1+1﹣2i=2﹣i．17．（15分）已知的展开式中，某一项的系数是它前一项系数的2倍，而又等于它后一项系数的．（1）求展开后所有项的系数之和及所有项的二项式系数之和；（2）求展开式中的有理项．【解答】解：的展开式的通项，由已知，得出化简，解得（1）在展开式两端令x=1，得展开后所有项的系数之和 为37=2187．所有项的二项式系数之和 27=128．（2）当为整数时，项为有理项．所以r=0，2，4，6．有理项分别为 1，22C72x=84x，24C74x2=560x2，26C76x3=448x3．18．（15分）如图（1），等腰直角三角形ABC的底边AB=4，点D在线段AC上，DE⊥AB于E，现将△ADE沿DE折起到△PDE的位置（如图（2））． （Ⅰ）求证：PB⊥DE；（Ⅱ）若PE⊥BE，直线PD与平面PBC所成的角为30°，求PE长．【解答】解：（Ⅰ）∵DE⊥AB，∴DE⊥BE，DE⊥PE，…．（2分）∵BE∩PE=E，∴DE⊥平面PEB，又∵PB⊂平面PEB，∴BP⊥DE； …．（4分）（Ⅱ）∵PE⊥BE，PE⊥DE，DE⊥BE，∴分别以DE、BE、PE所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图），…（5分）设PE=a，则B（0，4﹣a，0），D（a，0，0），C（2，2﹣a，0），P（0，0，a），…（7分）可得，，…（8分）设面PBC的法向量，∴令y=1，可得x=1，z=因此是面PBC的一个法向量，…（10分）∵，PD与平面PBC所成角为30°，…（12分）∴，即，…（11分）解之得：a=，或a=4（舍），因此可得PE的长为．…（13分）19．（15分）在数列{a n}中，a1=1、，且． （Ⅰ） 求a3、a4，猜想a n的表达式，并加以证明；（Ⅱ） 设，求证：对任意的自然数n∈N*，都有．【解答】（Ⅰ） 解：（1）∵a1=1、，且，∴a3==，=故可以猜想，下面利用数学归纳法加以证明：（i） 显然当n=1，2，3，4时，结论成立，（ii） 假设当n=k（k≥4），结论也成立，即那么当n=k+1时，由题设与归纳假设可知：==即当n=k+1时，结论也成立，综上，成立．（Ⅱ）证明：=所以b1+b2+…+b n== 所以只需要证明只需证明只需证明：3n+1＜3n+2+1只需证明0＜2，显然成立所以对任意的自然数n∈N*，都有．20．（15分）已知f（x）=xlnx﹣x2+a．（Ⅰ）当a=1时，判断函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若函数F（x）=f（x）﹣x有两个不同的极值点x1，x2．（i）求实数a的取值范围；（ii）求证：f（x2）＞．【解答】解：（I）f（x）的定义域为（0，+∞）．a=1时，f（x）=xlnx﹣x2+1，f'（x）=lnx+1﹣x，∴f″（x）=﹣1=，当x＞1时，f″（x）＜0，当0＜x＜1时，f″（x）＞0，∴f′（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减，∴f′（x）≤f′（1）=0，∴f（x）在（0，+∞）上为减函数．（II）（i）F（x）=f（x）﹣x=xlnx﹣ax2﹣x+a，F'（x）=lnx﹣ax．若F（x）有两个极值点x1，x2，则F'（x）=lnx﹣ax=0有两根x1，x2，即有两根x 1，x 2．设h （x ）=，则h ′（x ）=，∴当x ＞e 时h '（x ）＜0，h （x ）单调递减；当0＜x ＜e 时h '（x ）＞0，h （x ）单调递增；∴h max （x ）=h （e ）=， 又当x ＞1时，＞0，∴a 的取值范围是．（ii ）由（i ）知x 2＞e ，a =．∴f （x 2）=x 2lnx 2﹣ax 22+a =x 2lnx 2﹣x 22+=x 2lnx 2+＞2lnx 2=lnx 2＞lne =．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =ÎÎ>，且n N +Î，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次方根用符号n a 表示；当n 是偶数时，正数a 的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号n a -表示；表示；00的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．次方根．②式子n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ³．③根式的性质：()nna a =；当n 为奇数时，nna a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nn a a a a a a ³ì==í-<î． （2）分数指数幂的概念）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n mn+且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,m mmnnnaa m n N a a-+==>Î且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +×=>Î ②()(0,,)r srsa a a r s R =>Î③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>Î【2.1.2】指数函数及其性质 （4）指数函数）指数函数 函数名称函数名称指数函数指数函数定义定义函数(0xy a a =>且1)a ¹叫做指数函数叫做指数函数图象图象1a > 01a <<定义域定义域 R值域值域 (0,)+¥过定点过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性奇偶性 非奇非偶非奇非偶单调性单调性在R 上是增函数上是增函数在R 上是减函数上是减函数xa y =xy(0,1)O1y =xa y =xy (0,1)O 1y =函数值的函数值的变化情况变化情况(1<0)0)x x a =>a 变化对变化对 图象的影响象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>¹且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．叫做真数．②负数和零没有对数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =Û=>¹>． （2）几个重要的对数恒等式）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b aa b =．（3）常用对数与自然对数）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >¹>>，那么，那么①加法：log log log ()a a aM N MN += ②减法：log log log a a a M M N N-= ③数乘：log log ()na a n M M n R =Î ④log a Na N = ⑤log log (0,)bn aa n M Mb n R b=¹Î ⑥换底公式：log log (0,1)log bab NN b b a=>¹且【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数）对数函数函数函数 名称名称 对数函数对数函数定义定义 函数log (0a yx a =>且1)a ¹叫做对数函数叫做对数函数图象图象1a > 01a <<定义域定义域 (0,)+¥值域值域 R过定点过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性奇偶性 非奇非偶非奇非偶单调性单调性在(0,)+¥上是增函数上是增函数在(0,)+¥上是减函数上是减函数函数值的函数值的 变化情况变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<a 变化对变化对 图象的影响象的影响 在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．越大图象越靠高．x yO(1,0)1x =log ay x=xyO (1,0)1x =log ay x=。

2015-2016学年浙江省台州中学高二（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）5名运动员争夺3项比赛冠军（每项比赛无并列冠军），获得冠军的可能种数为（）A．35B．C．D．532．（5分）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（）A．B．C．D．13．（5分）若a，b∈R，则复数（a2﹣4a+5）+（﹣b2+2b﹣6）i表示的点在（）A．在第一象限B．在第二象限C．在第三象限D．在第四象限4．（5分）已知=（﹣2，1，3），=（﹣1，2，1），若⊥（﹣λ），则实数λ的值为（）A．﹣2B．C．D．25．（5分）从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（）A．至少有一个黑球与都是黑球B．至少有一个黑球与至少有一个红球C．恰好有一个黑球与恰好有两个黑球D．至少有一个黑球与都是红球6．（5分）某班级有一个7人小组，现任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案的种数有（）A．35B．70C．210D．1057．（5分）将5封信投入3个邮箱，每个邮箱至少投1封，不同的投法有（）A．125种B．81种C．150种D．240种8．（5分）定义在（﹣，）上的函数f（x）的导函数为f'（x），且当x∈（0，）时，f'（x）＞sin2x•f（x）﹣cos2x•f'（x），若a=f（），b=2f（0），c= f（），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．b＞c＞a二、填空题：（本题共7小题，多空每题6分，单空每题4分，共36分．把正确答案填在答题卷相应横线上．）9．（4分）若5个同学排成一排，其中甲、乙不相邻的有排法．10．（6分）若复数z=，则复数z的虚部为，复数•（2﹣i）的模为．11．（6分）已知A n4=24C n6，且（2x﹣3）n=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a n （x﹣1）n，则n=，a1+a2+a3+…+a n=．12．（6分）若直线y=﹣x+1与曲线f（x）=﹣e x+b相切于点A（0，1），则实数a=，b=．13．（6分）已知O是边长为1正四面体ABCD内切球的球心，且=x+y+z（x，y，z∈R），则x+y+z=．•=．14．（4分）9人排成3×3方阵（3行，3 列），从中选出3人分别担任队长、副队长、纪律监督员，要求这3人至少有两人位于同行或同列，则不同的任取方法数为．（用数字回答）15．（4分）已知奇函数f（x）=ax3+bx2+cx+d，（a，b，c，d∈R），满足f（1）=1，若对任意的x∈[﹣1，1]，都有|f（x）|≤1成立，则实数a的取值范围是．三、解答题：（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．（14分）已知复数z1=（a﹣1）+（2﹣a）i，z2=2a﹣1+（1﹣2a）i（其中i 为虚数单位，a∈R），若z1+z2为实数．（1）求实数a的值；（2）求z1z2+z12016+z22的值．17．（15分）已知的展开式中，某一项的系数是它前一项系数的2倍，而又等于它后一项系数的．（1）求展开后所有项的系数之和及所有项的二项式系数之和；（2）求展开式中的有理项．18．（15分）如图（1），等腰直角三角形ABC的底边AB=4，点D在线段AC上，DE⊥AB于E，现将△ADE沿DE折起到△PDE的位置（如图（2））．（Ⅰ）求证：PB⊥DE；（Ⅱ）若PE⊥BE，直线PD与平面PBC所成的角为30°，求PE长．19．（15分）在数列{a n}中，a1=1、，且．（Ⅰ）求a3、a4，猜想a n的表达式，并加以证明；（Ⅱ）设，求证：对任意的自然数n∈N*，都有．20．（15分）已知f（x）=xlnx﹣x2+a．（Ⅰ）当a=1时，判断函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若函数F（x）=f（x）﹣x有两个不同的极值点x1，x2．（i）求实数a的取值范围；（ii）求证：f（x2）＞．2015-2016学年浙江省台州中学高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）5名运动员争夺3项比赛冠军（每项比赛无并列冠军），获得冠军的可能种数为（）A．35B．C．D．53【解答】解：每一项冠军的情况都有5种，故5名学生争夺三项冠军，获得冠军的可能的种数是53，故选：D．2．（5分）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（）A．B．C．D．1【解答】解：这是一个古典概型，从15个球中任取2个球的取法有；∴基本事件总数为105；设“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”为事件A；则A包含的基本事件个数为=50；∴P（A）=．故选：B．3．（5分）若a，b∈R，则复数（a2﹣4a+5）+（﹣b2+2b﹣6）i表示的点在（）A．在第一象限B．在第二象限C．在第三象限D．在第四象限【解答】解：配方可得a2﹣4a+5=（a﹣2）2+1≥1＞0﹣b2+2b﹣6=﹣（b﹣1）2﹣5≤﹣5＜0，∴复数（a2﹣4a+5）+（﹣b2+2b﹣6）i表示的点在第四象限，故选：D．4．（5分）已知=（﹣2，1，3），=（﹣1，2，1），若⊥（﹣λ），则实数λ的值为（）A．﹣2B．C．D．2【解答】解：因为，，所以，由，所以，得﹣2（λ﹣2）+1﹣2λ+9﹣3λ=0⇒λ=2，故选：D．5．（5分）从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（）A．至少有一个黑球与都是黑球B．至少有一个黑球与至少有一个红球C．恰好有一个黑球与恰好有两个黑球D．至少有一个黑球与都是红球【解答】解：对于A：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：两个都是黑球，∴这两个事件不是互斥事件，∴A不正确对于B：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有一个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴B不正确对于C：事件：“恰好有一个黑球”与事件：“恰有两个黑球”不能同时发生，但从口袋中任取两个球时还有可能是两个都是红球，∴两个事件是互斥事件但不是对立事件，∴C正确对于D：事件：“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，但一定会有一个发生，∴这两个事件是对立事件，∴D不正确故选：C．6．（5分）某班级有一个7人小组，现任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案的种数有（）A．35B．70C．210D．105【解答】解：从7个人中任选3有种方法，选出的3人相互调整座位其余4人座位不变，只有2种方法（如a，b，c，3人只有cab，或bca这2种方法），故不同的调整方案的种数有==70．故选：B．7．（5分）将5封信投入3个邮箱，每个邮箱至少投1封，不同的投法有（）A．125种B．81种C．150种D．240种【解答】解：将5封信分为（3，1，1）和（2，2，1）两组，分组的方法为C53+=25，再分配到3个邮箱，得到25A33=150种，故选：C．8．（5分）定义在（﹣，）上的函数f（x）的导函数为f'（x），且当x∈（0，）时，f'（x）＞sin2x•f（x）﹣cos2x•f'（x），若a=f（），b=2f（0），c= f（），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．b＞c＞a【解答】解：由f'（x）＞sin2x•f（x）﹣cos2x•f'（x），得sin2x•f（x）﹣cos2x•f'（x）﹣f'（x）＜0，即sin2x•f（x）﹣（cos2x+1）•f′（x）＜0，∴sin2x•f（x）﹣2cos2x•f′（x）＜0，即2sin x•cos x•f（x）﹣2cos2x•f′（x）＜0，∵x∈（0，），则cos x＞0，∴sin x•f（x）﹣cos x•f′（x）＜0．令g（x）=f（x）cos x，则g′（x）=cos x•f′（x）﹣f（x）sin x＞0，则函数g（x）在（0，）上为增函数，又函数定义域为（﹣，），∴，即，∴，则＞＞2f（0）．∴a＞c＞b．故选：C．二、填空题：（本题共7小题，多空每题6分，单空每题4分，共36分．把正确答案填在答题卷相应横线上．）9．（4分）若5个同学排成一排，其中甲、乙不相邻的有72排法．【解答】解：插空法，先排其余3名同学共A33=6中方法，再把甲、乙插到刚才产生的4个空位中，A42=12种方法，由分步计数原理知总的方法种数为：6×12=72，故答案为：72．10．（6分）若复数z=，则复数z的虚部为2，复数•（2﹣i）的模为5．【解答】解：复数z===1+2i，则z的虚部是2，∵=1﹣2i，∴•（2﹣i）=（1﹣2i）（2﹣i）=﹣5i，故•（2﹣i）的模是5，故答案为：2，5．11．（6分）已知A n4=24C n6，且（2x﹣3）n=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a n （x﹣1）n，则n=10，a1+a2+a3+…+a n=0．【解答】解：∵A n4=24C n6，即n（n﹣1）（n﹣2）（n﹣3）=24•，∴n=10．∵（2x﹣3）n=（2x﹣3）10═a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a n（x﹣1）n，令x=1，可得a0=1；令x=2，可得1=a0+a1+a2+a3+…+a n，∴a1+a2+a3+…+a n=0，故答案为：10；0．12．（6分）若直线y=﹣x+1与曲线f（x）=﹣e x+b相切于点A（0，1），则实数a=1，b=2．【解答】解：f（x）=﹣e x+b的导数为f′（x）=﹣e x，依题意，可得切线的斜率为﹣=﹣1，解得a=1；由切点（0，1）代入曲线方程，可得：1=﹣e0+b，解得b=2．故答案为：1，2．13．（6分）已知O是边长为1正四面体ABCD内切球的球心，且=x+y+z（x，y，z∈R），则x+y+z=．•=．【解答】解：设正四面体的高为AM，延长DM交BC于E，则E为BC的中点．∴DE=，DM==，∴AM==．==4×S△BCD•r．设内切球半径为r，则V A﹣BCD∴r==．∴OM=以M为原点，建立如图所示的空间坐标系M﹣xyz，则A（0，0，），B（，﹣，0），C（﹣，﹣，0），D（0，，0），O（0，0，）．∴=（0，0，﹣），=（，﹣，﹣），=（﹣，﹣，﹣），=（0，，﹣）．∵=x+y+z，∴，解得x=y=z=．∴x+y+z=.==．故答案为：，．14．（4分）9人排成3×3方阵（3行，3 列），从中选出3人分别担任队长、副队长、纪律监督员，要求这3人至少有两人位于同行或同列，则不同的任取方法数为468．（用数字回答）【解答】解：从9人任选3人分别担任队长、副队长、纪律监督员，共有A93=504种，其中位于不同行且不同列的种数为A33A33=36种，故这3人至少有两人位于同行或同列，则不同的任取方法数为504﹣36=468，故答案为：468．15．（4分）已知奇函数f（x）=ax3+bx2+cx+d，（a，b，c，d∈R），满足f（1）=1，若对任意的x∈[﹣1，1]，都有|f（x）|≤1成立，则实数a的取值范围是[﹣，4]．【解答】解：∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），即﹣ax3+bx2﹣cx+d=﹣ax3﹣bx2﹣cx﹣d，∴b=d=0．∵f（1）=a+c=1，∴c=1﹣a．∴f（x）=ax3+（1﹣a）x．∵f（x）是奇函数，且对任意的x∈[﹣1，1]，都有|f（x）|≤1成立，∴f max（x）≤1，f′（x）=3ax2+1﹣a，（1）若a=0，则f（x）=x在[﹣1，1]上是增函数，∴f max（x）=1，显然符合题意；（2）若0＜a≤1，则f′（x）≥0，∴f（x）在[﹣1，1]上是增函数，∴f max（x）=f（1）=1，符合题意；（3）若a＞1，令f′（x）=0得x=±，∵=﹣，∴f（x）在[﹣1，﹣]上单调递增，则（﹣，）上单调递减，在（，1]上单调递增．∵f（1）=1，∴f（﹣）≤1，即（a﹣1）≤1，解得1＜a≤4．（4）若a＜0，令f′（x）=0得x=±，①若＜1，即a＜﹣，则f（x）在[﹣1，﹣]上单调递减，则（﹣，）上单调递增，在（，1]上单调递减．∵f（1）=1，∴f max（x）＞f（1）=1，不符合题意．②若≥1，即a≥﹣，则f（x）在[﹣1，1]上单调递增，则f max（x）=f（1）=1，符合题意；综上，a的取值范围是[﹣，4]．故答案为[﹣，4]．三、解答题：（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．（14分）已知复数z1=（a﹣1）+（2﹣a）i，z2=2a﹣1+（1﹣2a）i（其中i 为虚数单位，a∈R），若z1+z2为实数．（1）求实数a的值；（2）求z1z2+z12016+z22的值．【解答】（本小题满分14分）解：（1）复数z1=（a﹣1）+（2﹣a）i，z2=2a﹣1+（1﹣2a）i（其中i为虚数单位，a∈R），若z1+z2=a﹣2+（3﹣3a）i，z1+z2为实数，可得3﹣3a=0解得a=1；（2）由（1）可得：z1=（a﹣1）+（2﹣a）i=i，z2=2a﹣1+（1﹣2a）i=1﹣i．z1z2+z12016+z22=i（1﹣i）+i2016+（1﹣i）2=i+1+1﹣2i=2﹣i．17．（15分）已知的展开式中，某一项的系数是它前一项系数的2倍，而又等于它后一项系数的．（1）求展开后所有项的系数之和及所有项的二项式系数之和；（2）求展开式中的有理项．【解答】解：的展开式的通项，由已知，得出化简，解得（1）在展开式两端令x=1，得展开后所有项的系数之和为37=2187．所有项的二项式系数之和27=128．（2）当为整数时，项为有理项．所以r=0，2，4，6．有理项分别为1，22C72x=84x，24C74x2=560x2，26C76x3=448x3．18．（15分）如图（1），等腰直角三角形ABC的底边AB=4，点D在线段AC上，DE⊥AB于E，现将△ADE沿DE折起到△PDE的位置（如图（2））．（Ⅰ）求证：PB⊥DE；（Ⅱ）若PE⊥BE，直线PD与平面PBC所成的角为30°，求PE长．【解答】解：（Ⅰ）∵DE⊥AB，∴DE⊥BE，DE⊥PE，…．（2分）∵BE∩PE=E，∴DE⊥平面PEB，又∵PB⊂平面PEB，∴BP⊥DE；…．（4分）（Ⅱ）∵PE⊥BE，PE⊥DE，DE⊥BE，∴分别以DE、BE、PE所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图），…（5分）设PE=a，则B（0，4﹣a，0），D（a，0，0），C（2，2﹣a，0），P（0，0，a），…（7分）可得，，…（8分）设面PBC的法向量，∴令y=1，可得x=1，z=因此是面PBC的一个法向量，…（10分）∵，PD与平面PBC所成角为30°，…（12分）∴，即，…（11分）解之得：a=，或a=4（舍），因此可得PE的长为．…（13分）19．（15分）在数列{a n}中，a1=1、，且．（Ⅰ）求a3、a4，猜想a n的表达式，并加以证明；（Ⅱ）设，求证：对任意的自然数n∈N*，都有．【解答】（Ⅰ）解：（1）∵a1=1、，且，∴a3==，=故可以猜想，下面利用数学归纳法加以证明：（i）显然当n=1，2，3，4时，结论成立，（ii）假设当n=k（k≥4），结论也成立，即那么当n=k+1时，由题设与归纳假设可知：==即当n=k+1时，结论也成立，综上，成立．（Ⅱ）证明：=所以b1+b2+…+b n==所以只需要证明只需证明只需证明：3n+1＜3n+2+1只需证明0＜2，显然成立所以对任意的自然数n∈N*，都有．20．（15分）已知f（x）=xlnx﹣x2+a．（Ⅰ）当a=1时，判断函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若函数F（x）=f（x）﹣x有两个不同的极值点x1，x2．（i）求实数a的取值范围；（ii）求证：f（x2）＞．【解答】解：（I）f（x）的定义域为（0，+∞）．a=1时，f（x）=xlnx﹣x2+1，f'（x）=lnx+1﹣x，∴f″（x）=﹣1=，当x＞1时，f″（x）＜0，当0＜x＜1时，f″（x）＞0，∴f′（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减，∴f′（x）≤f′（1）=0，∴f（x）在（0，+∞）上为减函数．（II）（i）F（x）=f（x）﹣x=xlnx﹣ax2﹣x+a，F'（x）=lnx﹣ax．若F（x）有两个极值点x1，x2，则F'（x）=lnx﹣ax=0有两根x1，x2，即有两根x1，x2．设h（x）=，则h′（x）=，∴当x＞e时h'（x）＜0，h（x）单调递减；当0＜x＜e时h'（x）＞0，h（x）单调递增；∴h max（x）=h（e）=，又当x＞1时，＞0，∴a的取值范围是．（ii）由（i）知x2＞e，a=．∴f（x2）=x2lnx2﹣ax22+a=x2lnx2﹣x22+=x2lnx2+＞2lnx2=lnx2＞lne=．。