2013.9.4相似形中考综合--比例线段的计算--精讲精练

相似形和比例线段知识点一、知识精讲放缩与相似形1.图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动．2.我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似形．3.如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例．比例线段1.在四条线段中，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．2.如果、、、是比例线段，即（或），那么线段、是比例外项，、是比例内项．3.比例线段的基本性质：（1）如果，那么．（2）比例线段的比例式中，只要乘积形式不变，、、、的位置可以灵活变化．若，则、、．4.合比性质：如果，那么；如果，那么；5.等比性质：如果，那么（）．黄金分割1.古今中外，人们把黄金分割誉为“天赋的比例法则”．符合这种分割的物体或几何图形，使人感到和谐悦目，被认为是最优美的．黄金分割被广泛应用于建筑设计、美术、音乐、艺术及几何作图等方面．如果点把线段分割成和（>）两段，其中是和的比例中项，那么称这种分割为黄金分割．即，点称为线段的黄金分割点．【注意】一般来说，一条线段的黄金分割点有两个；例1.“相似的图形”是（ ） （A ）形状相同的图形； （B ）大小不相同的图形；（C ）能够重合的图形； （D ）大小相同的图形．例2. 在相似ABC Δ与111C B A Δ中，32111111===C B BC C A AC B A AB ，若 cm 40BC AC AB =++°=55∠A 则111C B A Δ的周长是 ；=1A ∠ .例3、（1）已知23a b =，那么a b= ； （1）如果线段a 、b 、c 、d 满足13a c b d ==，那么+a c b d=+ ；例4、已知线段3a =，6b =，那么线段a ，b 的比例中项等于 ；例5、（1）如果C 是线段AB 的黄金分割点，并且AC BC >，1AB =，那么AC 的长度为·········（ ）A 、23；B 、12；C 、512-； D 、352- （2）已知线段AB 的长为10厘米，点P 是线段AB 的黄金分割点，那么较长的线段AP 的长等于 厘米例5、如图，矩形草坪长为20m ，宽为10m ，沿草坪四周处围有1m 宽的环形小路，问：小路内外边缘所成的两个矩形相似吗？为什么？例6、在比例尺为1:8000的学校地图上，矩形运动场的图上尺寸是1cm ×3cm ，矩形运动场 例题精讲的实际尺寸是多少？例7、（1）已知343=+b b a ，求b a 的值。

第01讲相似形与比例线段掌握相似多边形的概念和性质重点是理解相似形的相关概念和相似多边形性质的运用掌握比例线段的有关概念和性质重点是理解不同概念和性质之间的联系和区别，熟练比例线段之间的转换结合具体图形，运用比例线段的性质进行解题模块一：相似形的概念及性质1、相似形的概念相似形：我们把形状相同的两个图形称为相似的图形，简称相似形．2、相似多边形的性质如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例．当两个相似的多边形是全等形时，它们对应边的长度的比值为1．【例1】下列给出的图形中，不是相似形的是（）（A）由同一张底片印出来大小不同的照片（B）一张巨幅画像和用照相机把它拍出来的照片（C）小明在平面镜和在哈哈镜里看到的他自己的像（D）五星红旗上的大五角星和小五角星【答案】C【解析】哈哈镜反映人像及物件的扭曲面貌，呈现出与原物不同的像，即不是相似形．【总结】考查相似图形的特征，形状完全相同．【例2】下列各组中的两个图形一定相似的有（）（1）两个等腰三角形；（2）两个直角三角形；（3）两个等腰直角三角形；（4）两个等边三角形；（5）两个矩形；（6）两个菱形；（7）两个正方形；（8）两个等腰梯形；（9）两个圆．（A ）3组（B ）4组（C ）5组（D ）6组【答案】B【解析】相似的是（3）（4）（7）（9）【总结】考查相似图形的特征，形状完全相同，对于三角形来说，三个角大小相等即可，对于其它多边形来说，除了考虑角的大小，还要考虑边的大小对应．【例3】已知四边形ABCD 和四边形''''A B C D 是相似的图形，并且点A 与点'A 、点B 与点'B 、点C 与点'C 、点D 与点'D 分别是对应顶点，已知4BC =， 3.6CD =，'' 3.3A B =，''3B C =，75B ∠=︒，105C ∠=︒，95D ∠=︒，求AB ，''C D 的长和'A ∠的度数．【答案】'''4.4 2.785AB C D A ==∠=︒，，．【解析】相似形形状完全相同，由此相似形各内角对应相等，各边对应成比例．有''''''43AB CD BC A B C D B C ===，将''3.6 3.3CD A B ==，代入，求得：''4.4 2.7AB C D ==，，根据四边形内角和，可求得：360360751059585A B C D ∠=︒-∠-∠-∠=︒-︒-︒-︒=︒，相似图形对应角相等可知'85A A ∠=∠=︒．【总结】考查相似图形的定义，注意相应的边角对应关系．【例4】如图，矩形ABCD 中，2AB AD =，线段10EF =，在EF 上取一点M ，分别以EM 、MF 为一边作矩形EMNH 、矩形MFGN ，使矩形MFGN 与矩形ABCD 相似，且点M 与点A 、点F 与点B ，点G 与点C ，点N 与点D 分别是对应顶点，令MN x =．求出矩形EMNH 的面积S 与x 的函数关系式．【答案】()221005S x x x =-+<<．【解析】根据矩形MFGN 与矩形ABCD 相似，可对应得222MF GF MN x===，因此102EM x =-，进而可求得：()2102210S MN EM x x x x =⋅=-=-+．【总结】考查简单的函数对应关系，找准线段关系即可进行准确表示相关结果．模块二：比例的性质1、比和比例一般来说，两个数或两个同类的量a 与b 相除，叫做a 与b 的比，记作:a b （或表示为a b）；如果::a b c d =（或a cb d=），那么就说a 、b 、c 、d 成比例．2、比例的性质（1）基本性质：如果a cb d =，那么ad bc =；如果a c b d =，那么b d a c =，a b c d =，c d a b =．（2）合比性质：如果a c b d =，那么a b c d b d ++=；如果a c b d =，那么a b c d b d--=．（3）等比性质：如果(0)a c k b d b d ==+≠，那么a c a c k b d b d+===+．【例5】（1）6是a 和b=；（2）b 是9和4的比例中项，则b =；（3）线段6a =厘米，16b =厘米，则线段a 和b 的比例中项是．【答案】（1）356；（2）6±；（3）．【解析】（1）由题意可知26ab =6=135666=-=；（2）由题意可知29436b =⨯=，可解得6b =±；（3）a 、b 都为线段，因此其比例中项只能是线段，取正值，即为=【总结】考查比例中项的定义，注意线段比例中项和数字比例中项的区别．【例6】（1）若23x y =，则x yy -=；（2）若45a b =，则2a ba b+=-；（3）若250x y -=，则()()3:43x y x y +-=．【答案】（1）13-；（2）13-；（3）17:14．【解析】（1）根据比例的合比性，23133x y y --==-；（2）由45a b =，可得45a b =，原式=4251345b bb b ⨯+=--；（3）由250x y -=，可得52x y =，原式=553:4317:1422y y y y ⎛⎫⎛⎫⨯+⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【总结】考查比例性质运用中的基本计算，确定单位“1”再准确计算．【例7】设线段x 、y 、z 满足23418x y z x y zx y z +++⎧==⎪⎨⎪++=⎩，求x 、y 、z 的值．【答案】2610x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩．【解析】由（1）可得()2234234x y z x y z x y z +++++===++，再结合（2）18x y z ++=，可得：21842349x y z x y z +++⨯====，由此可得到81216x y z x y z +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，结合（2）式可解得2610x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩．【总结】考查比例的等比性质的应用．【例8】设()()23a b b c c aa b b c c a +++==---，求895a b c ++的值．【答案】0．【解析】根据分式基本性质，得()()()()()()632666a b b c c a a b b c c a +++==---，令()()()()()()632666a b b c c a k a b b c c a +++===---，则有()()66a b k a b +=-，()()36b c k b c +=-，()()26c a k c a +=-，三式相加，即得8950a b c ++=．【总结】考查比例的性质的综合应用．【例9】若333333x y y z z xm z x y+++===，求m 的值．【答案】6或3-．【解析】（1）0x y z ++≠时，根据比例的等比性3333336x y y z z xm z x y+++++==++；（2）0x y z ++=时，可得x y z +=-，则()333x y zm z z+-===-．【总结】考查比例的等比性质，但需要注意对式子用等比性时一定要注意根据分母是否为0进行分类讨论．模块三：比例线段1、比例线段的概念对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果::a b c d =（或表示为a cb d=），那么a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段．2、黄金分割如果点P 把线段AB 分割成AP 和PB （AP PB >）两段（如下图），其中AP 是AB 和PB 的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点P 称为线段AB 的黄金分割点．其中，510.6182AP AB =≈，称为黄金分割数，简称黄金数．【例10】（1）若0.1AB =，0.75CD =，则:AB CD =；（2）若1AB m =，25CD cm =，则:AB CD =；（3）若AB m =，CD n =，则():AB AB CD +=．【答案】（1）2:15；（2）4:1；（3）():m m n +．【解析】（1）0.1:0.752:15=；（2）1:25100:254:1m cm cm cm ==；（3）():m m n +．【总结】考查比例的化简计算，注意比例中的项带有单位时，注意单位的统一．【例11】小智发现自己的数学辅导书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长为20厘米，则它的宽约为．（精确到百分位）【答案】12.36cm ．A P B【解析】这本书的宽约为512012.362cm -⨯≈．【总结】考查黄金比的定义及其相关比值．【例12】在ABC ∆中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且34AD AE DE AB AC BC ===，则AEEC=，若ADE ∆的周长为90厘米，则ABC ∆的周长为厘米．【答案】（1）3；（2）120．【解析】（1）由34AE AC =，可得43AC AE =，即43AE EC AE +=，故13EC AE =，3AE EC=；（2）根据比例的等比性，34AD AE DE AD AE DE AB AC BC AB AC BC ++====++，即34ADE ABC C C = ，代入求得120ABC C cm = ．【总结】考查比例的合比性和等比性的综合应用．【例13】已知线段a 、b 、c ，其中c 是a 和b 的比例中项，a =4，b =9，则c 等于（）A.4B.6C.9D.36【答案】B ．【解析】由题意得24936c ab ==⨯=，c =±6，因为是线段，故舍去负值．【总结】本题主要考察了比例中项的定义．一、单选题1.（2023·上海金山·统考一模）下列各组中的四条线段成比例的是（）A ．1cm 2cm 3cm 4cm 、、、B ．2cm 3cm 4cm 5cm 、、、C ．3cm 4cm 6cm 9cm 、、、D ．2cm 3cm 4cm 6cm 、、、【答案】D【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．【详解】解：A 、∵1423⨯≠⨯，∴四条线段不成比例，不符合题意；B 、∵2534⨯≠⨯，∴四条线段不成比例，不符合题意；C 、∵3946⨯≠⨯，答案：C【答案】2 2【分析】根据相似多边形的性质得出似多边形的性质得出AE EB【答案】(2345234)-【分析】根据黄金分割的定义，线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值【详解】解：∵点P是线段51-【答案】()3,2或()1,2-【分析】他两种情况：①当点P 两侧时，分别求解即可．【详解】解：分两种情况：如图，①当在PB 上取点1B 使112PB PB =，∵()1,2P ，()5,2B ，∴PB x ，514PB =-=，∴1122PB PB ==，∴()13,2B ；②当111A B C △与△ABC ，在点2AC BC AB =⋅ ，设AC x =，则BC AC AB =-设AC x =，则1BC AC AB x =+=+。

第十八章 相似形——比例线段及相似知识点讲解【知识点讲解】一、比例线段1.线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段a ，b 的长度分别是m ，n ，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n ，或写成nm b a = ,其中a 叫做比的前项;b 叫做比的后项。

2.成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．3.比例的项：已知四条线段ａ，ｂ，ｃ，ｄ，如果dc b a = ，那么ａ，ｂ，ｃ，ｄ，叫做组成比例的项，线段ａ，d 叫做比例外项，线段ｂ，ｃ叫做比例内项，线段ｄ还叫做ａ，ｂ，ｃ的第四比例项． 4.比例中项：如果作为比例线段的内项是两条相同的线段，即a:b=b:c 或c b b a =，那么线段ｂ叫做线段ａ和ｃ的比例中项．二、比例的性质：(1)比例的基本性质：bc ad d c b a =⇔= ac b cb b a =⇔=2 (2)反比性质： cd a b d c b a =⇔= (3)更比性质: 或 d b c a d c b a =⇒=或ac bd = (4)合比性质: d d c b b a d c b a ±=±⇒= (5)等比性质: n m fe d c b a ====...且 ba n f db m ec a n fd b =++++++++⇒≠++++......0...比例线段练习 １、判断下列四条线段是否成比例① a=2，b=5,c=15，d=23； ② a=2，b=3, c=2，d=3； ③ a=4，b=6, c=5，d=10；④ a=12，b=8, c=15，d=102、已知：ad=bc（1） 将其改写成比例式；（2） 写出所有以a ，d 为内项的比例式；（3） 写出使b 作为第四项比例项的比例式；（4）若db c a =；写出以c 作第四比例项的比例式； 3 、计算.(1)已知：x ∶y=5∶4，y ∶z=3∶7.求x ∶y ∶z.(2)已知：a ，b ，c 为三角形三边长，(a-c) ∶(c+b) ∶(c-b)=2∶7∶(-1)，周长为24.求三边长.4 、在相同时刻的物高与影长成比例，如果一古塔在地面上影长为50m ，同时，高为1.5m 的测竿的影长为2.5m ，那么，古塔的高是多么米?5、EF BE CD AB =，AB=10cm ，AD=2cm ，BC=7.2cm ，E 为BC 中点.求EF ，BF 的长.6.(1)已知：x ：(x+1)=(1—x)：3，求x 。

F
D
E
A
C B
3.如图，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，CF 的延长线交AB于点G，则AG:GD等于（ ）
A、2:1
B、3:1
C、3:2
D、4:3
A
G三、简答题：
1.如图所示，D是AB的中点，CF∥AB，G、F、 E、D在一条直线上，求证 DE DG
【变式1】如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上.
D梯形ABCD中，AB∥DC,E、F分别在AD、BC上，且BF:FC=2：3，EF∥AB，交AC与点G，则 EG:DC=
.
【例2】如图，点D、E分别在△ABC的边 AB、AC上，且 AD ，AE求证 DE∥BC .
DB EC
【例3】如图，已知L1∥L2∥L3，直线AB、CD分 别与它们相交，如果AB=8cm,BN=5cm， CM=4cm，求CD的长.
（D）BD＝2，AB＝6，CE＝1，AE＝3．
（A）AD＝6，BD＝4，AE＝，CE＝；
格式：如果△ABC中，D是AB的中点，DE∥BC，那么AE＝EC，如图3
B C 如图，四边形ABCD中，取AD边上一点E，连结BE并延长交CD的延长线于F，由以下比例式能判定FC//AB的是（ ）
说明：平行线等分线段定理是平行线分线段成比问定理的特殊情况. E、D在一条直线上，求证
说明：由此定理可知推论1和推论2
推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直 线必平分另一腰.
格式：如果梯形ABCD，AD∥BC，AE＝EB，
EF∥AD，那么DF=FC，如图2
推论2：经过三角形一边的中点与另一边平 行的直线必平分第三边.
格式：如果△ABC中，D是AB的中点， DE∥BC，那么AE＝EC，如图3