高三数学立体几何专题训练
【考点】1.三视图；2求体积；3证线面垂直(垂直关系)；4求二面角的平面角；5求线面 角；6求异面直线所成角；7.求三角形面积；8判断平行、垂直、相交、重合位置关系。 【复习建议】
本题为低中档，一般分为两小问，可得满分。第(1)问，一般考查平行与垂直的证明 及相关问题，需要同学掌握好平行与垂直的证明的有关定理，并注意证明过程的书写规范， 如能建系。也可用向量法；第(2)问一般研究空间角，如用综合法请注意证明过程。如用 空间向量需注意：异面直线所成角(一定不大于900)、线面所成角(此类题最容易错，记 ,
住所求向量的夹角的余弦为线面所成角的正弦)、二面角(注意观察是钝角还是锐角，一般 情况下是锐角)。向量法建系要用黑色签字笔在答题卡上建，并用文字说明，注意检查所写 的点或向量坐标有无错，注意用向量数量积公式求夹角余弦时的运算，注意是否作答。特别 的说明：广东近年的立体几何题图形都比较新颖特别，但其实都很简单，无需紧张。用向量 还是综合法，视题目(更适合哪种方法)和个人情况而定。最后适当注意：求解线面所成角 要转换(比如线面所成角的正弦与向量夹角的余弦关系)和翻折问题。下面的例题仅供参考。
【题例】 1.如图3所示，在四面体P —ABC 中，已知PA=BC=6，PC=AB=10，AC=8，342=PB ．F
是线段PB 上一点，3417
15
=
CF ,点E 在线段AB 上且EF⊥PB．
(I)证明：PB⊥平面CEF ； ￥
(Ⅱ)求二面角B —CE-F 的正切。选题目的，练好计算(包括三角形各边，二面角求解)
练好规范；判定是否适用向量。
！
2．翻折问题．体积问题．函数导数)如图6所示，等腰△ABC 的底
边66=AB ,高CD=3，点E 是线段BD 上异于点B,D 的动点，点F 在BC 边上，且EF⊥AB，现沿EF 将△BEF 折起到△PEF 的位置，使PE⊥AE，记BE=x ，V(x)表示四棱锥P 一ACEF 的体积.
(1)求V(x)的表达式；
(2)当x 为何值时，V(x)取得最大值?
(3)当V(x)取得最大值时，求异面直线AC 与PF 所成角的余弦值
？
3、(组合图形问题)如图所示：边长为2的正方形ABFC 和高为2的直角梯形ADEF 所在的平面互相垂直且2=
DE ,ED∥AF,且∠DAF=900
(1)求BD 和面BEF 所成的角的正弦；
(2)线段EF 上是否存在点P 使过P 、A 、C 三点的 平面和直线DB 垂直，若存在，求EP 与PF 的比值； |
若不存在，说明理由。 ;
总结：解决存在性问题方法：1．先假设存在，再去推理，下结论： 2．运用推理证明计算得出结论，或先利用条件特例得出结论,然后再根据条件给出证明或计算。
4．(视图，无棱二面角问题)四棱锥P —ABCD 的底面与四个侧面的形状和大小如图所示．
(1)写出四棱锥P 一ABCD 中四对线面垂直关系(不要求证明)；
(2)在四棱锥P--ABCD 中，若E 为PA 的中点，求证：BE∥平面 PCD ；
(3)在四棱锥P 一ABCD 中，设面PAB 与面PCD 所在的角为θ(00<θ≤900
)，求cosθ的值．
，
5．(无棱二面角问题)如图，四棱锥S 一ABCD 的底面是边长为l 的正方形．SD 垂直于底面ABCD ，.3=
SB
(1)求证：BC⊥SC
(2)求面ASD与面BSC所成二面角的大小；
(3)设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的大小．
！
6．
如图①边长为1的正方形ABCD中，点E、
F分别为AB、BC的中点，将ABEF剪去，将
￥
△AED、△DCF分别沿DE、DF折起，使A、
C两点重合于点P得一三棱锥如图②示．
(1)求证：PD⊥EF：
(2)求三棱锥P—DEF的体积；
(3)求DE与平面PDF所成角的正弦值．
:
7、如图，在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=600，Q为AD的中点。(1)若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；
(2)点M在线段PC上，PM=tPC，试确定t的值，使PA∥平面MQB
(3)在(2)的条件下，若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2
求二面角M—BQ-C的大小。
(
@
8．(本小题满分l4分)
如图，△ABC是以∠ABC为直角的三角形，SA⊥平面ABC，
SA=BC=2。AB=4．M、N、D分别是SC、AB、BC的中点。
(1)求证：MN⊥AB；
(2)求二面角S-ND—A的余弦值：
(3)求点A到平面SND的距离。
参考答案
;
l(I)证明：2
2
2
1006436PC
AC PA ==+=+
∴△PAC 是以∠PAC 为直角的直角三角形，同理可证△PAB 是以∠PAB 为直角的直角三角形，△PCB 是以∠PCB 为直角的直角三角形．故PA⊥平面ABC,又
306102
1
||||21=⨯⨯==
∆BC AC S PBC 而
PBC S CF PB ∆==⨯⨯=301734153422
1||||21,故CF⊥PB，又已知EF⊥PB
∴PB ⊥平面CEF
(II)由(I)知PB⊥CE，PA⊥平面ABC ．∴AB 是PB 在平面ABC 上的射影，故AB⊥CE 在平面PAB 内，过F 作FF 1垂直AB 交AB 于F 1，则FF 1⊥平面ABC ，EF l 是EF 在
平面ABC 上的射影，∴EF⊥EC ,故∠FEB 是二面角B —CE —F 的平面角． ；
3
5
610tan tan ===
∠=∠AP AB BPA FEB
二面角B —CE 一F 的正切为3
5 说明：本题不适宜用向量
2(1)由折起的过程可知，PE⊥平面ABC ，2212
654,69x S x S S BDC AEF
ABC =⋅==∆∆∆ )630)(12
1
9(36)(2<<-=
x x x x V (2))4
1
9(36)(2x x V -=
'
所以)6,0(∈x 时，)(,0)(x V x V >'单调递增；
·
636<(3)过F 作MT∥AC 交AD 与M ，则
26,122,2
1======PM BE MB AB BE
BD BE BC BF AB BM
429543
66
36=+=
=
==BC PF BF MF
