用对偶单纯形法求解线性规划问题

管理运筹学多选 简答多选：3.对取值无约束的变量x j 通常令x j =x j ′- x j 〞，其中x j ′≥0，x j 〞≥0，在用单纯形法求得的最优解中，不可能出现的是最后的情形。

4．线性规划问题maxZ=X 1+CX 2其中4≤c≤6，一1≤a≤3，10≤b≤12，则当c=6 a=-1 b=10和c=4 a=3 b=12时，该问题的最优目标函数值分别达到上界或下界。

9．下列数学模型，只有B 为非线性规划模型(模型中a ．b ．c 为常数；θ为可取某一常数值的参变量，x ，Y 为变量)，因为它所表达的列变量是不够的。

10．下列模型中，不属于线性规划问题的标准形式的是前三个模型，只有最后一个才是标准的。

4.在下图中，根据（a ） 生成的支撑树有三个b 、c 、d ，如下：7．在下图各边中，平行边有e 1 、 e 2、 e 5 、 e 6, e 1等边则是非平行边。

下列知识点可出简答题1. 简答：运筹学的数学模型有哪些优点?答：（1）通过模型可以为所要考虑的问题提供一个参考轮廓，指出不能直接看出的结果。

（2）节省时间和费用。

（3）模型使人们可以根据过去和现在的信息进行预测，可用于教育训练，训练人们看到他们决策的结果，而不必作出实际的决策。

（ 4）数学模型有能力揭示一个问题的抽象概念，从而能更简明地揭示出问题的本质。

（5）数学模型便于利用计算机处理一个模型的主要变量和因素，并易于了解一个变量对其他变量的影响。

这些都是使得运筹学能够快速发展的有利条件。

2. 简答：运筹学的系统特征是什么?答：运筹学的系统特征可以概括为以下四点：（1）用系统的观点研究功能关系（2）应用各学科交叉的方法（3）采用计划方法（4）为进一步研究揭露新问题。

新发现的问题，可能要求用修正过去的模型、输入新的数据以及调整以前类似项目的解，获得解决。

6.简答：根据已知条件建立线性规划数学模型某工厂生产A 、B 、C 三种产品，每种产品的原材料消耗量、机械台时消耗量以及这些资源的限量，单位产品的利润如下表所示：根据客户订货，三种产品的最低月需要量分别为200，250和100件，最大月销售量分别为250，280和120件。

管理运筹学多选 简答多选：3.对取值无约束的变量x j 通常令x j =x j ′- x j 〞，其中x j ′≥0，x j 〞≥0，在用单纯形法求得的最优解中，不可能出现的是最后的情形。

4．线性规划问题maxZ=X 1+CX 2其中4≤c≤6，一1≤a≤3，10≤b≤12，则当c=6 a=-1 b=10和c=4 a=3 b=12时，该问题的最优目标函数值分别达到上界或下界。

9．下列数学模型，只有B 为非线性规划模型(模型中a ．b ．c 为常数；θ为可取某一常数值的参变量，x ，Y 为变量)，因为它所表达的列变量是不够的。

10．下列模型中，不属于线性规划问题的标准形式的是前三个模型，只有最后一个才是标准的。

4.在下图中，根据（a ） 生成的支撑树有三个b 、c 、d ，如下：7．在下图各边中，平行边有e 1 、 e 2、 e 5 、 e 6, e 1等边则是非平行边。

下列知识点可出简答题1. 简答：运筹学的数学模型有哪些优点?答：（1）通过模型可以为所要考虑的问题提供一个参考轮廓，指出不能直接看出的结果。

（2）节省时间和费用。

（3）模型使人们可以根据过去和现在的信息进行预测，可用于教育训练，训练人们看到他们决策的结果，而不必作出实际的决策。

（ 4）数学模型有能力揭示一个问题的抽象概念，从而能更简明地揭示出问题的本质。

（5）数学模型便于利用计算机处理一个模型的主要变量和因素，并易于了解一个变量对其他变量的影响。

这些都是使得运筹学能够快速发展的有利条件。

2. 简答：运筹学的系统特征是什么?答：运筹学的系统特征可以概括为以下四点：（1）用系统的观点研究功能关系（2）应用各学科交叉的方法（3）采用计划方法（4）为进一步研究揭露新问题。

新发现的问题，可能要求用修正过去的模型、输入新的数据以及调整以前类似项目的解，获得解决。

6.简答：根据已知条件建立线性规划数学模型某工厂生产A 、B 、C 三种产品，每种产品的原材料消耗量、机械台时消耗量以及这些资源的限量，单位产品的利润如下表所示：根据客户订货，三种产品的最低月需要量分别为200，250和100件，最大月销售量分别为250，280和120件。

对偶单纯形法例题详细步骤
对偶单纯形法是一种常用的解除线性规划问题的数学方法，由美国数学家鲍门士（George B. Dantzig）在1950年提出，早期更多用于研究管理科学问题，现在广泛用于线性规划问题的求解。

先来回顾一下线性规划的定义：给定线性约束条件和目标函数，要求寻找这样一组变量使目标函数极值化，称为线性规划问题，其中的线性约束条件主要可以分为等于约束和不等于约束，可以分为最大化型和最小化型。

由于线性规划问题本身涉及到多个变量约束严格，可能由于几何等原因不容易采取直接解决，而且有可能会涉及到多目标求解，因此对偶单纯形法是一种更为合理的求解方法。

该方法的目标是建立一个对偶问题，该问题只有一个变量，可以用单纯形法解决。

通过构建相应的对偶问题，将多个目标变量整合为一个，用一个变量来表示即可，这样只需解决一个线性规划问题，就可以根据对偶变量的极值情况，求出原始变量的最优解。

具体到此例来说，我们的目标就是要找出最优解。

我们先要把问题抽象为一个线性规划问题，它包括等式约束条件和不等式约束。

接下来我们可以根据问题性质来分析模型，确定问题的类型，然后找出原始最优解，剩余的就是利用对偶单纯形法求解，方法往往是把原始的规划问题转换为对偶的单纯形问题，求出对偶变量的最优解，再把它转换成原始问题的最优解。

总之，对偶单纯形法是一种非常灵活有效的求解线性规划问题的数学方法，其安全可靠性被广泛应用于解决众多线性规划问题。

运筹学作业王程信管1302130404026目录运筹学作业 (1)第一章线性规划及单纯形法 (3)第二章线性规划的对偶理论与灵敏度分析 (24)第三章运输问题 (53)第四章目标规划 (63)第五章整数规划 (73)第六章非线性规划 (85)第七章动态规划 (94)第八章图与网络分析 (97)第九章网络计划 (99)第一章 线性规划及单纯形法1.1分别用图解法和单纯形法求下列线性规划问题，⑴指出问题具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解；⑵当具有限最优解时，指出单纯形表中的各基可行解对应图解法中可行域的哪一顶点。

121212121min 23466 s.t.324,0z x x x x x x x x =++≥⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩（） 1212121,22max 3222s.t.34120z x x x x x x x x =++≤⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩（）121212123max 105349 s.t.528 ,0z x x x x x x x x =++≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩（） 121212124max 5622 s.t.232,0z x x x x x x x x =+-≥⎧⎪-+≤⎨⎪≥⎩（）解：⑴图解法：当212133x x z =-经过点6155（，）时，z 最小，且有无穷多个最优解。

⑵图解法：1x该问题无可行解。

⑶图解法：当21125x x z =-+经过点312（，）时，z 取得唯一最优解。

单纯形法：在上述问题的约束条件中分别加入松弛变量34,x x ， 化为标准型：12341231241234max 10+500349s.t.528,,,0z x x x x x x x x x x x x x x =++++=⎧⎪++=⎨⎪≥⎩由线性规划问题的标准型可列出单纯初始形表逐步迭代，计算结果如下表所示：**33(,1,0,0),10512022(0,0,9,8)821(,0,,0)553(1,,0,0)2T T T T X Z X O X C X B ==⨯+⨯====（0）（1）（2）单纯形表的计算结果表明：单纯形表迭代的第一步得，表示图中原点（0,0）单纯形表迭代的第二步得，表示图中点单纯形表迭代的第三步得，表示图中点⑷图解法：当215166x x z =-经过点2,2（）时，z 取得唯一最优解。

用对偶单纯形法求解线性规划问题对偶单纯形法是一种常用于求解线性规划问题的方法。

它通过对原始线性规划问题进行对偶化，将原问题转化为对偶问题，并通过迭代的方式逐步优化，最终得到最优解。

本文将详细介绍对偶单纯形法的基本原理和步骤，并通过一个实例来演示其具体应用。

对偶单纯形法的基本原理是基于线性规划的对偶性理论。

根据对偶性理论，对于原始线性规划问题的最优解，一定存在一个对偶问题，其最优解与原问题的最优解相等。

因此，我们可以通过求解对偶问题来得到原问题的最优解。

对偶问题的形式如下：最大化 W = b'y约束条件为：A'y ≤ c其中，A是原始线性规划问题的约束矩阵，b是原始问题的目标函数系数矩阵，c是原始问题的约束条件矩阵，y是对偶问题的变量向量。

对偶单纯形法的步骤如下：步骤1: 初始化将原始线性规划问题转化为标准型，并初始化基变量和非基变量的初始解。

步骤2: 计算对偶变量值根据对偶问题的约束条件，计算对偶变量的初始值。

步骤3: 计算对偶目标函数值根据对偶问题的目标函数，计算初始的对偶目标函数值。

步骤4: 检验最优性判断当前解是否为最优解。

如果是，则终止算法；否则，进入下一步。

步骤5: 选择入基变量和出基变量根据当前解，选择一个入基变量和一个出基变量。

步骤6: 更新解通过列生成法或其他方法，更新当前解。

步骤7: 更新对偶变量和对偶目标函数值根据更新后的解，更新对偶变量和对偶目标函数值。

步骤8: 转至Step 4重复步骤4至步骤7，直到找到最优解。

下面以一个具体的线性规划问题为例来演示对偶单纯形法的应用。

假设有以下线性规划问题：最大化 Z = 3x1 + 5x2约束条件为：2x1 + x2 ≤ 10x1 + 3x2 ≤ 15x1, x2 ≥ 0首先，将原始问题转化为标准型：最大化 Z = 3x1 + 5x2约束条件为：2x1 + x2 + s1 = 10x1 + 3x2 + s2 = 15x1, x2, s1, s2 ≥ 0初始化基变量和非基变量的初始解为：x1 = 0, x2 = 0, s1 = 10, s2 = 15根据对偶问题的约束条件，计算对偶变量的初始值：y1 = 0, y2 = 0根据对偶问题的目标函数，计算初始的对偶目标函数值：W = 0检验最优性，发现当前解不是最优解，需要进入下一步。

应⽤运筹学基础：线性规划（4）-对偶与对偶单纯形法这⼀节课讲解了线性规划的对偶问题及其性质。

引⼊对偶问题考虑⼀个线性规划问题：$$\begin{matrix}\max\limits_x & 4x_1 + 3x_2 \\ \text{s.t.} & 2x_1 + 3x_2 \le 24 \\ & 5x_1 + 2x_2 \le 26 \\ & x \ge0\end{matrix}$$ 我们可以把这个问题看作⼀个⽣产模型：⼀份产品 A 可以获利 4 单位价格，⽣产⼀份需要 2 单位原料 C 和 5 单位原料 D；⼀份产品 B 可以获利 3 单位价格，⽣产⼀份需要 3 单位原料 C 和 2 单位原料 D。

现有 24 单位原料 C，26 单位原料 D，问如何分配⽣产⽅式才能让获利最⼤。

但假如现在我们不⽣产产品，⽽是要把原料都卖掉。

设 1 单位原料 C 的价格为 $y_1$，1 单位原料 D 的价格为 $y_2$，每种原料制定怎样的价格才合理呢？⾸先，原料的价格应该不低于产出的产品价格（不然还不如⾃⼰⽣产...），所以我们有如下限制：$$2y_1 + 5y_2 \ge 4 \\ 3y_1 + 2y_2 \ge3$$ 当然也不能漫天要价（也要保护消费者利益嘛- -），所以我们制定如下⽬标函数：$$\min_y \quad 24y_1 + 26y_2$$ 合起来就是下⾯这个线性规划问题：$$\begin{matrix} \min\limits_y & 24y_1 + 26y_2 \\ \text{s.t.} & 2y_1 + 5y_2 \ge 4 \\ & 3y_1 + 2y_2 \ge 3 \\ & y \ge 0\end{matrix}$$ 这个问题就是原问题的对偶问题。

对偶问题对于⼀个线性规划问题（称为原问题，primal，记为 P） $$\begin{matrix} \max\limits_x & c^Tx \\ \text{s.t.} & Ax \le b \\ & x \ge 0\end{matrix}$$ 我们定义它的对偶问题（dual，记为 D）为 $$\begin{matrix} \min\limits_x & b^Ty \\ \text{s.t.} & A^Ty \ge c \\ & y \ge 0\end{matrix}$$ 这⾥的对偶变量 $y$，可以看作是对原问题的每个限制，都⽤⼀个变量来表⽰。

运筹学作业2（第二章部分习题）答案2．1 题 （P . 77） 写出下列线性规划问题的对偶问题：（1）123123123123123m ax 224..34223343500,z x x x s t x x x x x x x x x x x x =++⎧⎪++≥⎪⎪++≤⎨⎪++≤⎪≥≥⎪⎩无约束，；解：根据原—对偶关系表，可得原问题的对偶规划问题为：123123123123123m ax 235..223424334,0,0w y y y s t y y y y y y y y y y y y =++⎧⎪++≤⎪⎪++≤⎨⎪++=⎪≥≤≤⎪⎩（2）1111m in ,1,,,1,,0,1,,;1,,m n ij ij i j n ij ij i j nij ij j j ij z c x c x a i m c x b j nx i m j n====⎧=⎪⎪⎪==⎪⎨⎪⎪==⎪⎪≥==⎪⎩∑∑∑∑ 解：根据原—对偶关系表，可得原问题的对偶规划问题为：11m ax 1,,;1,,m n i i j ji j i j ij i w a u b v u v c i m j n u ==⎧=+⎪⎪⎪+≤⎨⎪==⎪⎪⎩∑∑ j 无约束，v 无约束2．2判断下列说法是否正确，为什么？（1） 如果线性规划的原问题存在可行解，则其对偶问题也一定存在可行解； 答：错。

因为：若线性规划的原问题存在可行解，且其对偶问题有可行解，则原问题和可行问题都将有最优解。

但，现实中肯定有一些问题是无最优解的，故本题说法不对。

例如原问题1212212m ax 31..30,0z x x x x s t x x x =++≥⎧⎪≤⎨⎪≥≥⎩有可行解，但其对偶问题1211212m in 33..10,0w y y y s t y y y y =+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤≥⎩无可行解。

（2） 如果线性规划的对偶问题无可行解，则原问题也一定无可行解；答：错，如（1）中的例子。

运筹学[填空题]1用改进单纯形法求解以下线性规划问题。

[填空题]2已知某线性规划问题，用单纯形法计算得到的中间某两步的加算表见表，试将空白处数字填上。

参考答案：[填空题]3判断下列说法是否正确，并说明为什么？（1）如线性规划问题的原文题存在可行解，则其对偶问题也一定存在可行解。

（2）如线性规划的对偶问题无可行解，则原问题也一定无可行解。

（3）如果线性规划问题的原问题和对偶问题都具有可行解，则该线性规划问题一定有有限最优解。

参考答案：（1）错误，原问题有可行解，对偶问题可能存在可行解，也可能不存在；（2）错误，对偶问题没有可行解，原问题可能有可行解也可能有无界解；（3）错误，原问题和对偶问题都有可行解，则可能有有限最优解也可能有无界解；[填空题]4设线性规划问题1是：又设线性规划问题2是：参考答案：把原问题用矩阵表示：原问题和对偶问题的最优函数值相等，所以不等式成立，证毕。

[填空题]5已知线性规划问题 用单纯形法求解，得到最终单纯形表如表所示，要求： （1）求a 11，a 12，a 13，a 21，a 22，a 23，b 1，b 2的值； （2）c 1，c 2，c 3的值；参考答案：初始单纯形表的增广矩阵是：最终单纯形表的增广矩阵为C 2是C 1作初等变换得来的，将C 2作初等变换，使得C 2的第四列和第五列的矩阵成为C 2的单位矩阵。

有：[填空题]6试用对偶单纯形法求解下列线性规划问题。

参考答案：（1）取w=-z，标准形式：最优解：X=（21/13，10/13，0，0）T目标函数最优值为31/13。

（2）令：w=-z，转化为标准形式：原问题最优解：X=（3，0，0，0，6，7，0）T目标函数最优值为9。

[填空题]7现有线性规划问题先用单纯形法求出最优解，然后分析在下列各种条件下，最优解分别有什么变化？（1）约束条件1的右端常数20变为30；（2）约束条件2的右端常数90变为70；（3）目标函数中x3的系数变为8；（4）x1的系数向量变为；（5）增加一个约束条件2x1+3x2+5x3≤50；（6）将约束条件2变为10x1+5x2+10x3≤100。