13 机械振动解答
13-1 有一弹簧振子，振幅A=2.0 ×10
-2 m，周期T=1.0s ，初相=3π/4。试写出它的运动方程，并做出x--t 图、v--t 图和a--t 图。
13-1
分析弹簧振子的振动是简谐运动。振幅
A 、初相、角频率是简谐运动方程
x A cos t 的三个特征量。求运动方程就
要设法确定这三个物理量。题中除A、已知外，
可通过关系式2
T
确定。振子运动的速度
和加速度的计算仍与质点运动学中的计算方法相同。
解因2
T
，则运动方程
x A c os t A cos 2
T
t
t
根据题中给出的数据得
x ( 2.0 10 2 m s 1 t
) cos[( 2 )
0.75 ]
振子的速度和加速度分别为
v dx / dt (4 10 2 m s 1 s 1 t
) sin[( 2 )
0.75 ]
a d 2 x dt2 2 2 m s 1 s 1 t
/ (8 10 ) cos[( 2)
0.75
x-t 、v-t 及a-t 图如图13-l 所示
13-2 若简谐运动方程为x(0 .01m) cos (20 s ) ，求：（1）振幅、频率、角频率、周期和
1 t
1 t
4
初相；（2）t=2s 时的位移、速度和加速度。
13-2
分析可采用比较法求解。将已知的简谐运动方程与简谐运动方程的一般形式x A cos t 作比较，即可求得各特征量。运用与上题相同的处理方法，写出位移、速度、加速度的表达式，代入t 值后，即可求得结果。
1 t
解（l ）将x (0.10m) c os[( 20 s ) 0 .25 ] 与x A cos t 比较后可得：振幅A= 0.10
m，角频率 1
20 s ，初相0.25 ，则周期T 2 / 0 .1s ，频率1/ T 10 H z 。
（2）t= 2s 时的位移、速度、加速度分别为
2
x ( 0. 10m) c os(40 0.25 ) 7.07 10 m
v dx / dt (2 m s 1 ) s in( 40 0. 25 )
a d 2 x dt2 2 m s
/ (402 x dt2
2 m s 2
) cos(40 0 .25 )
13-3 设地球是一个半径为R 的均匀球体，密度ρ5.5×10
3kg? m-3
。现假定沿直径凿一条隧道。若有一质量为m的质点在此隧道内做无摩擦运动。（1）证明此质点的运动是简谐振动；（2）计算其周期。
13-3
分析证明方法与上题相似。分析质点在隧道内运动时的受力特征即可。
证（l ）取图13-3 所示坐标。当质量为m的质点位于x 处时，它受地球的引力为
F G m m
x
2
x
3
式中G为引力常量，m x 是以x 为半径的球体质量，即x 4 x / 3。令k 4 Gm / 3，则质点受
m
力
F 4 Gmx / 3 kx
因此，质点作简谐运动。
（2）质点振动的周期为
T 2 m / k 3 / G
5.07 3
10 s
13-4 如图所示，两个轻弹簧的劲度系数分别为k1 和k2，物体在光滑斜面上振动。（1）证明其运动仍是简谐振动；（2）求系统的振动频率。
13-4
分析从上两题的求解知道，要证明一个系统作简谐运动，首先要分析受力情况，然后看是否满足简谐运动的受力特征（或简谐运动微分方程）。为此，建立如图13-4 （b）所示的坐标。设系统平衡时物体所在位置为坐标原点O，Ox轴正向沿斜面向下，由受力分析可知，沿Ox轴，物体受弹性力及重力分力的作用，其中弹性力是变力。利用串联时各弹簧受力相等，分析物体在
任一位置时受力与位移的关系，即可证得物体作简谐运动，并可求出频率。
证设物体平衡时两弹簧伸长分别为x1、x2，则由物体受力平衡，有
mg s in k x k x
1 1
2 2
按图（b）所取坐标，物体沿x 轴移动位移x 时，两弹簧又分别被拉伸x ' 和x2 ' ，即x x1 ' x2 '。
1
则物体受力为
)
F mg s in k2 x x ' mg sin k x x
( ) ( '
2 2 1 1 1
将式（1）代人式（2）得
'
F k1x'k x
1 2 2
由式（3）得x1 ' F / k 、x ' F / k ，而x x1 ' x2 '，则得到
1 2 2
F k k /( k k )x
kx
1 2 1 2
式中/( )
k k1k k k 为常数，则物体作简谐运动，振动频率
2 1 2
m
1 1
/ 2 k / m k1k2 /( k1 k2 ) /
2 2
讨论（1）由本题的求证可知，斜面倾角对弹簧是否作简谐运动以及振动的频率均不产生
影响。事实上，无论弹簧水平放置、斜置还是竖直悬挂，物体均作简谐运动。而且可以证明它们的频率相同，均由弹簧振子的固有性质决定，这就是称为固有频率的原因。（2）如果振动系统如图13-4 （c）（弹簧并联）或如图13-4 （d）所示，也可通过物体在某一位置的受力分析得出
1
其作简谐运动，且振动频率均为(k k ) / m
1 2
2
读者可以一试。通过这些例子可以知道，证明物体是否作简谐运动的思路是相同的
13-5 为了测得一物体得质量m，将其挂在一弹簧上让其自由振动，测得振动频率 1 1.0 H z 。
'
而将另一质量m 0.5kg 的物体单独挂在该弹簧上时，测得振动频率 2 2.0Hz 。设振动均在弹簧的弹性限度内进行，求被测物体的质量。
13-5
1
，即1/ m。采用比较分析物体挂在弹簧上组成弹簧振子系统，其振动频率k/m
2
频率的方法可求出未知物体的质量。
