湖北省孝感市应城市第一高级中学2020-2021学年高二下学期复学摸底测试数学试题

湖北省孝感市应城市第一高级中学【最新】高二下学期复学摸底测试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知全集U =R ，集合{|24,}A x x x =-≤∈Z 与{}|2,k B x x k ==∈Z 的关系如图所示，则阴影部分所表示的集合的元素共有( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个 2．设复数z满足(1)|1|i z -=+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．若a ，b 是任意实数，且a b >，则（ ）A ．()lg 0a b ->B ．1122a b ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．1a b > D>4．孪生素数猜想是希尔伯特在1900年国际数学家大会的报告上第8个问题中提出的，其可以描述为：存在无穷多个素数p 使得2p +是素数，素数p 、2p +称为孪生素数．【最新】5月，华人数学家张益唐证明了这一猜想的一个弱化形式，在孪生素数猜想的证明道路上前进了一大步．若从20以内的素数中任取两个，则其中能构成孪生素数的概率为（ ）A ．13B ．15C ．17D ．195．已知函数()cos (0)f x x x ωωω=+>的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为2π的等差数列,把函数()f x 的图象沿x 轴向左平移6π个单位,得到函数()g x 的图象.关于函数()g x ,下列说法正确的是（ ）A ．在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数 B ．其图象关于直线4πx =-对称 2π⎡⎤是[2,1]-6．已知函数()[)()1222,0,2,,0x m x f x x mx x +⎧+∈+∞⎪=⎨-∈-∞⎪⎩的最小值为2m ，则实数m 的值为（ ） A ．2- B ．4- C ．8- D ．16-7．在公差大于0的等差数列{}n a 中，71321a a -=，且1a ，31a -，65a +成等比数列，则数列{}1(1)n n a --的前21项和为（ ） A ．21 B ．21- C ．441 D ．441-8．已知直线l 与直线30x +-=垂直，且与x 轴关于双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线对称，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．3BC ．3或2D 或43二、多选题9．居民消费价格指数（Consumer Price Index ，简称CPI ），是度量居民生活消费品和服务价格水平随着时间变动的相对数，综合反映居民购买的生活消费品和服务价格水平的变动情况.如图为国家统计局于【最新】4月公布的【最新】3月至【最新】3月CPI 数据同比和环比涨跌幅折线图：（注：同比CPI CPI =本月去年同月，同比涨跌幅=100%CPI CPI CPI-⨯本月去年同月去年同月，环比CPI CPI =本月上月，环比涨跌幅100%CPI CPI CPI-=⨯本月上月上月），则下列说法正确的是( )A ．【最新】12月与【最新】12月CPI 相等B ．【最新】3月比【最新】3月CPI 上涨4.3%C ．【最新】7月至【最新】11月CPI 持续增长D ．【最新】1月至【最新】3月CPI 持续下降10．下列选项中说法正确的是（ ）A ．若非零向量a ，b 满足0a b ⋅>，则a 与b 的夹角为锐角B ．若命题p ：存在0x R ∈，使得20010x x -+<，则p ⌝：对任意x ∈R ，都有210x x -+>C ．已知()y f x =是R 上的可导函数，则“()0'0f x =”是“0x 是函数()y f x =的极值点”的必要不充分条件D ．在ABC 中，cos cos B A >是A B >的充要条件11．泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交会的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交会，却在转瞬间无处寻觅．已知点()10M ，，直线l ：2x =-，若某直线上存在点P ，使得点P 到点M 的距离比到直线l 的距离小1，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论正确的是（ ）A ．点P 的轨迹曲线是一条线段B ．点P 的轨迹与直线'l ：1x =-是没有交会的轨迹(即两个轨迹没有交点)C ．26y x =+不是“最远距离直线”D ．112y x =+是“最远距离直线” 12．对于函数()()13cos ,,22132,,22x x f x f x x π⎧⎡⎤∈-⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎛⎫⎪-∈+∞ ⎪⎪⎝⎭⎩，下面结论正确的是（ ） A ．任取121,,2x x ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭，都有()()122f x f x -≤恒成立 B ．对于一切1,2x ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭，都有()()()*22N k f x f x k k =+∈ C ．函数()1ln 2y f x x ⎛⎫=--⎪⎝⎭有3个零点 D ．对任意0x >，不等式()k f x x ≤恒成立，则实数k 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭三、填空题13．已知()f x 是R 上的奇函数，则“120x x +=”是“f ()1x f + ()20x =”的__________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)14．已知函数()log (1)a f x x a =>的图象与直线(1)()y k x k R =-∈相交.若其中一个交点的纵坐标为1，则k a +的最小值是__.15．已知圆22:1C x y +=，点()00P x y ，是直线:4360l x y +-=上的动点，若在圆C 上总存在不同的两点A B ，使得OA OB OP +=，则0x 的取值范围是________． 16．为响应国家号召，打赢脱贫致富攻坚战，武汉大学团队带领湖北省大悟县新城镇熊湾村村民建立有机、健康、高端、绿色的蔬菜基地，并策划“生产、运输、销售”一体化的直销供应模式，据统计，当地村民两年时间成功脱贫.蔬菜种植基地将采摘的有机蔬菜以每份三斤称重并保鲜分装，以每份10元的价格销售到生鲜超市，每份15元的价格卖给顾客，如果当天前8小时卖不完，则超市通过促销以每份5元的价格卖给顾客（根据经验，当天能够把剩余的有机蔬菜都低价处理完毕，且处理完毕后，当天不再进货）.该生鲜超市统计了100天有机蔬菜在每天的前8小时内的销售量（单位：份），制成如下表格（注：*,x y N ∈，且30x y +=）.若以100天记录的频率作为每日前8小时销售量发生的概率，该生鲜超市当天销售有机蔬菜利润的期望值为决策依据，若购进17份比购进18份的利润的期望值大，则x 的最小值是________.四、解答题17．如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径.一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C ，现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50m /min.在甲出发2min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1min 后，再匀速步行到.C 假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min ，山路AC 长为1260m ，经测量得12cos 13A =，63sin 65B =．（1）问乙出发多少min 后，乙在缆车上与甲的距离最短⋅（2）为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min ，乙步行的速度应控制在什么范围内.18．在①221n n b b =+，②212a b b =+，③1b ，2b ，4b 成等比数列这三个条件中选择符合题意的两个条件，补充在下面的问题中，并求解.已知数列{}n a 中11a =，13n n a a +=公差不等于0的等差数列{}n b 满足_________，求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S . 19．如图，已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，2AB =，PA PB BC ===PD PC ==（1）求证：平面PAB ⊥平面PCD ；（2）求直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值.20．定义：()int x 为不超过x 的最大整数，如()2.32int =，()2.33int -=-．甲、乙两个学生高二的6次数学测试成绩(测试时间为90分钟，满分100分)如下表所示：进入高三后，由于改进了学习方法，甲、乙两个学生的数学测试成绩预计会有较大的提升．设甲或乙高二的数学测试成绩为x，若210int int100x⎡⎤+-≤⎣⎦，则甲或乙高三的数学测试成绩预计为2 10int intx⎡⎤+-⎣⎦；若210int int100x⎡⎤+->⎣⎦，则甲或乙高三的数学测试成绩预计为100．（1）试预测：在将要进行的高三6次数学测试成绩(测试时间为90分钟，满分100分)中，甲、乙两个学生的成绩(填入下列表格内)；（2）记高三任意一次数学测试成绩估计值为t，规定：[]8490t∈，，记为转换分为3分；[]9195t∈，，记为转换分为4分；[]96100t∈，，记为转换分为5分．现从乙的6次数学测试成绩中任意抽取2次，记这2次成绩的转换分之和为X，求X的分布列和数学期望．21．已知抛物线C：2y x=的焦点为F，点()00.M x y，（1）若12x=-，1y=，求直线MF被抛物线C所截得的弦的长度；（2）若x，y满足()220021x y++=，过点M引抛物线C的两条切线1l，2l，记1l，2l的斜率分别为1k，2k，求1211k k-的最小值．22．已知函数321()4f x x x x=-+.（Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率为1的切线方程；（Ⅱ）当[2,4]x ∈-时，求证：6()x f x x -≤≤；（Ⅲ）设()|()()|()F x f x x a a =-+∈R ，记()F x 在区间[2,4]-上的最大值为M （a ），当M （a ）最小时，求a 的值．参考答案1．B【分析】由图可先求A B ,再根据{|24,}A x x x =-≤∈Z 求阴影部分的元素个数即可.【详解】因为{1,2,4}A B ⋂=,所阴影部分表示的集合为{2,1,0,3}--,该集合共有4个元素. 故选：B【点睛】本题主要考查了根据韦恩图求解分析集合关系的问题,属于基础题.2．A【分析】先将z 整理为a bi +的形式,再由复数的几何意义判断即可【详解】因为(1)|1|i z -=+,所以()()()21111i z i i i +====+-+,所以z 在复平面对应的点是()1,1,位于第一象限,故选:A【点睛】本题考查判断复数在复平面对应的点所在象限,考查复数的除法法则的应用3．B【分析】根据a b >，逐一判断各选项的正误即可得出答案．【详解】对选项A ，因为a b >，若01a b <-<，则()lg 0a b -<，故A 错误；对选项B ，根据()12x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，则1122a b ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确；对选项C ，若0a >，0b <，则1b a<，故C 错误；对选项D ，若,a b D 错误.故选：B【点睛】本题主要考查了不等关系中比较大小的知识以及不等式性质，以及指数、对数函数的性质，考查推理能力，属于简单题.4．C【分析】根据题意20以内的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，共8个，随机取两个，先算出基本事件总数，再找出满足孪生素数基本事件的个数，代入古典概型的概率公式求解.【详解】在20以内的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，共8个，随机取两个，共有基本事件2828C =个，满足孪生素数的有，()()()()355711131719，，，，，，，，共4个， 故概率为41.287= 故选：C ．【点睛】本题主要考查古典概型的概率计算，属于基础题．5．D【分析】由两角和的正弦把三角函数化简，结合已知求出周期，进一步得到ω，则三角函数的解析式可求，再由图象平移得到()g x 的解析式，画出其图象，即可得答案．【详解】1()cos cos )2sin()26f x x x x x x πωωωωω=+=+=+， 由题意知22T π=，则T π=，222T ππωπ∴===，∴()2sin(2)6f x x π=+， 把函数()f x 的图象沿x 轴向左平移6π个单位，得()()2sin[2()]2sin(2)2cos 26662g x f x x x x ππππ=+=++=+=． 作出函数的图象：对A ，函数在[4π，]2π上是减函数，故A 错误；对B ，其图象的对称中心为(,0)4π-，故B 错误； 对C ，函数为偶函数，故C 错误； 对D ，2cos(2)16π⨯=，22cos(2)13π⨯=-，∴当[6x π∈，2]3π时，函数()g x 的值域是[2-，1]，故D 正确． 故选：D ．【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查三角函数的图象和性质，正确画出图象对解决问题起到事半功倍的作用，是中档题． 6．D 【分析】当0x ≥时，()()0222f x f m m ≥=+>，故函数()y f x =在(),0-∞上取得最小值，由二次函数性质即可得出结果． 【详解】由题意得，当0x ≥时，函数()y f x =单调递增，()()0222f x f m m ≥=+>，故函数()y f x =在(),0-∞上取得最小值，所以20422444mm m m f m m ⎧<⎪⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎪=⨯-⨯= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，解得16m =-，故选：D ． 【点睛】本题考查了分段函数的最值，分析出函数的单调性是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 7．A 【解析】由等差数列的性质可得11212121a a d +--=，即11a =，又2316(1)(5)a a a -=+，则2456d d =+，解之得32,4d d ==-（设去），所以1{(1)}n n a --的前21项和为21132432120()()()110221S a a a a a a a =+-+-+⋅⋅⋅+-=+⨯=，应选答案A ．8．C 【分析】利用题目条件，可求出3b a =e =，即可求出双曲线C 的离心率 【详解】由直线l 与直线30x +-=垂直，可得直线l 60︒，由直线l 与x 轴关于双曲线C 的一条渐近线对称，得双曲线C 的一条渐近线的倾斜角为30或120︒，3b a =C 的离心率e =，得3e =或2， 故选：C 【点睛】本题考查利用双曲线的几何性质求离心率问题，属于基础题. 9．BC 【分析】由题意逐一考查所给选项说法的正确性. 【详解】由图可知， 【最新】12月比【最新】12月CPI 上涨4.5%，故A 不正确； 【最新】3月比【最新】3月CPI 上涨4.3%，故B 正确；【最新】7月至【最新】11月的环比均为正数，所以CPI 持续增长，故C 正确； 【最新】1月至【最新】3月的环比有正有负，所以CPI 有升有降，故D 不正确. 故选：BC 【点睛】本题考查统计中的折线图问题，考查学生数据分析、处理能力，是一道容易题. 10．CD 【分析】A.由a ，b 同向时，a 与b 的夹角为0判断；B.根据含有一个量词的命题的否定的定义判断；C.根据极值点的定义判断；D.由(),0,πA B ∈，利用cos y x =在()0,π上单调性判断. 【详解】对于A ，a ，b 同向时，a 与b 的夹角为0，不是锐角，故A 不正确；对于B ，存在0x R ∈，使得20010x x -+<的否定为：对任意x ∈R ，都有210x x -+≥，故B 不正确；对于C ，已知()y f x =是R 上的可导函数，则“()0'0f x =”时， 函数不一定有极值，若“0x 是函数()y f x =的极值点”，则一定有“()0'0f x =”，所以已知()y f x =是R 上的可导函数，则“()0'0f x =”是“0x 是函数()y f x =的极值点”的必要不充分条件，故C 正确； 对于D ，(),0,,cos ,(0,)A B y x x ππ∈=∈时单调递减，cos cos B A B A ∴>⇔<，故D 正确，故选：CD ． 【点睛】本题主要考查命题真假的判断，共线向量的性质，存在量词命题的否定及真假判定，函数的极值以及正弦函数的单调性，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题． 11．BCD 【分析】先根据题意与抛物线的概念，可以得到点P 的轨迹方程，再根据“最远距离直线”逐一判断即可． 【详解】由题意可得，点P 到点M 的距离比到直线l 的距离小1， 即等价于“点P 到点M 的距离等于到直线'l ：1x =-的距离”故P 点轨迹是以()10M ，为焦点，直线'l ：1x =-为准线的抛物线， 其方程是24y x =，故A 错误;点P 的轨迹方程是抛物线24y x =，它与直线'l 没交点， 即两者是没有交会的轨迹，故B 正确;要满足“最远距离直线”则必须满足与上述抛物线24y x =有交点，把26y x =+代入抛物线24y x =， 消去y 并整理得2590x x ++=因为25419110∆=-⨯⨯=-<，无解，所以26y x =+不是“最远距离直线”，故C 正确； 把112y x =+代入抛物线24y x =， 消去y 并整理得21240x x -+=，因为()2124141280∆=--⨯⨯=>，有解， 所以112y x =+是“最远距离直线”，故D 正确． 故选：BCD ． 【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，抛物线的概念以及圆锥曲线的轨迹问题，还考查了分析问题与解决问题的能力，属于较难题． 12．ABC 【分析】先在坐标轴中画出()y f x =的图象,根据图象可判断A 选项,结合解析式可判断B 选项,再画出1ln()2y x =-与k y x=的图象,数形结合可判断C,D 选项.【详解】在坐标轴上作出函数()f x 的图象如下图所示:由图象可知()f x 的最大值为1,最小值为1-,故选项A 正确; 由题可知()()()1312,(,)(2),(,)22221f x f x x f x f x x =-∈+∞⇒+=∈-+∞, 所以*1(2)()()()2k f x k f x k N +=∈即()2(2)k f x f x k =+,故选项B 正确;作出1ln()2y x =-的图象，因为11ln(2)ln 2232-=<，由图象可知()y f x =与1ln()2y x =-有3个交点,故选项C 正确;结合图象可知,若对任意0x >,不等式()kf x x恒成立, 即2x n =时,不等式(2)2kf n n恒成立, 又11(2)()(0)()22nnf n f ==, 所以1()22n k n ,即22n nk 在*n N ∈时恒成立, 设2()2x x g x =,则2ln 4()2xxg x -⋅'=, 故[)2,x ∈+∞时,()0g x '<,函数()g x 在[)2,+∞上单调递减, 所以[)2,x ∈+∞时,max ()(2)1g x g ==,又(1)1g =,所以max212n n ⎛⎫= ⎪⎝⎭,即1k,故选项D 错误.故选:ABC. 【点睛】本题主要考查分段函数的周期性及数形结合法在处理函数问题中的应用,有一定难度. 13．充分不必要 【分析】利用奇函数的定义：若120x x +=，则12x x =-，则f ()1x f = ()2x f -=- ()2x ，可证明充分性成立；反之，通过举出反例令f ()0x =，当122x x ==时，满足f ()1x f = ()20x =，但120x x +≠，则必要性不成立． 【详解】函数f ()x 是奇函数，∴若120x x +=，则12x x =-，则f ()1x f = ()2x f -=- ()2x ， 即f ()1x f + ()20x =成立，即充分性成立；若f ()0x =，满足f ()x 是奇函数，当122x x ==时，满足f ()1x f = ()20x =， 此时满足f ()1x f + ()20x =，但1240x x +=≠，即必要性不成立． 故“120x x +=”是“f ()1x f + ()20x =”的充分不必要条件． 故答案为：充分不必要． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断以及函数的奇偶性，还考查分析求解问题的能力，属于基础题． 14．3. 【分析】由题知两函数其中一个交点(1,0)，另一个交点的纵坐标为1，得 0k >，利用交点满足两函数解析式可求出(1)1k a -=，由均值不等式求最小值即可. 【详解】 解：函数()log (1)a f x x a =>与直线(1)()y k x k R =-∈过(1,0)，∴由函数()log (1)a f x x a =>的图象与直线(1)()y k x k R =-∈相交.其中一个交点的纵坐标为1得0k >，设交点(,1)m ，代入()log a f x x =，1log a m =，m a ∴=，再把点(,1)a 代入直线方程：211(1)()2k a k a +-=-，即3k a +，当且仅当1k a =-时，等号成立，k a +取最小值3. 故答案为：3. 【点睛】本题主要考查对数函数与直线的位置关系，均值不等式的应用，属于中档题. 15．48025⎛⎫ ⎪⎝⎭， 【分析】由题知四边形OAPB 是菱形，直线AB 垂直平分OP ，分①直线AB 的斜率为0;②直线AB 的斜率不存在时;③直线AB 的斜率存在且不为0时，分别讨论得出0x 的取值范围． 【详解】在圆C 上总存在不同的两点A B ，使得OA OB OP +=，∴四边形OAPB 是菱形，∴直线AB 垂直平分OP ．①当直线AB 的斜率为0时，由直线:4360l x y +-=得()02P ，，OP 中点为()01，，此时直线AB 的方程为1y =，此时在圆C 上不存在不同的两点A B ，满足条件；②当直线AB 的斜率不存在时，由直线:4360l x y +-=可得302P ⎛⎫⎪⎝⎭，， 此时直线AB 的方程为34x =，满足条件； ③当直线AB 的斜率存在且不为0时，AB OP ⊥，0OP yk x =，00AB xk y ∴=-．∴直线AB 的方程为000022y x x y x y ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即220000220x x y y y x +--=，由题意得圆心到直线AB 的距离1d =<，即22004x y +<，又004360x y +-=，20025480x x ∴-<，解得00480.25x x <<∴的取值范围是48025⎛⎫ ⎪⎝⎭， 故答案为：48025⎛⎫ ⎪⎝⎭，. 【点睛】本题考查根据直线与圆的位置关系，求参数范围，属中档题. 16．25 【分析】先根据条件求出分布列和期望，再根据“购进17份比购进18份的利润的期望值大”即可得出答案． 【详解】解：若该超市一天购进17份这种有机蔬菜，1Y 表示当天的利润（单位：元），那么1Y 的分布列为1Y 的数学期望()16575100100E Y =⨯+⨯83001085100100x x --+⨯=， 若该超市一天购进18份这种有机蔬菜，2Y 表示当天的利润（单位：元），那么2Y 的分布列为2Y 的数学期望()26070100100E Y =⨯+⨯167480+90100100x -+⨯⨯854020100x -=， ∵购进17份比购进18份的利润的期望值大， ∴830010854020100100x x-->，且30x <，解得2430x <<，又*x ∈N ，∴x 的最小值为25， 故答案为：25． 【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题． 17．（1）35min 37；（2）乙步行的速度应控制在12506254314⎡⎤⎢⎥⎣⎦，范围内． 【分析】()1设乙出发min t 后，甲、乙两游客距离为m d ，由余弦定理得()22200377050d t t =-+，因10400130t ≤≤，由二次函数的知识可得； ()2由正弦定理可得BC ，设乙步行的速度为m /min v ，由题意得5007103350v -≤-≤，解得不等式得出v 的范围即可． 【详解】解()121cos 13A =，63sin 65B =， 5sin 13A ∴=，16cos 65B =-，()4sin sin 5C A B ∴=+=，在ABC 中，由正弦定理sin sin AC ABB C=，得1040m AB =， 设乙出发min t 后，甲、乙距离为d ，由余弦定理得()22212(130)(10050)21301005013d t t t t =++-⨯⨯+⨯， 即()22235625200377050200[37)3737d t t t ⎛⎤=-+=-+ ⎥⎝⎦， 10400130t ≤≤，即08t ≤≤， ∴当3537t =时，即乙出发35min 37后，乙在缆车上与甲的距离最短； ()52sin 13A =，∴由正弦定理sin sin BC AC A B=，得12605631365BC =， 500m BC ∴=，乙从B 出发时，甲已经走了()()50281550m ++=，还需走710m 才能到达C ，设乙的步行速度为/min vm ，则500710350v -≤，故5007103350v -≤-≤， 解得12506254314v ≤≤， 故为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min ，乙步行的速度应控制在12506254314⎡⎤⎢⎥⎣⎦，范围内． 【点睛】此题考查了余弦定理，锐角三角函数定义，以及勾股定理，利用了分类讨论及数形结合的思想，属于解直角三角形题型． 18．详见解析 【分析】根据已知求出{}n a 的通项公式.当①②时，设数列{}n b 公差为d ，利用赋值法得到1b 与2b 的关系式，列方程求出1b 与2b ，求出d ，写出{}n b 的通项公式，可得数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，利用错位相减法求和即可；选②③时，设数列{}n b 公差为d ，根据题意得到d 与1b 的关系式，解出d 与1b ，写出{}n b 的通项公式，可得数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，利用错位相减法求和即可；选①③时，设数列{}n b 公差为d ，根据题意得到d 与1b 的关系式，发现无解，则等差数列{}n b 不存在，故不合题意.【详解】解：因为11a =，13n n a a +=，所以{}n a 是以1为首项，3为公比的等比数列， 所以13-=n n a ，选①②时，设数列{}n b 公差为d ， 因为23a =，所以123b b +=，因为221n n b b =+，所以1n =时，2121b b =+， 解得123b =，273b =，所以53d =，所以533n n b -=. 所以533n n n b n a -=. 12123122712533333n n nn b b b n S a a a -=+++=++++（i ） 所以2341127125853333333n n n n n S +--=+++++（ii ） （i ）-（ii ），得：23122111535333333n nn n S +-⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭ 1125155336233n n n ++-=+--⋅ 13109223n n ++=-⋅ 所以9109443n nn S +=-⋅. 选②③时，设数列{}n b 公差为d ，因为23a =，所以123b b +=，即123b d +=，因为1b ，2b ，4b 成等比数列，所以2214b b b =，即()()21113b d b b d +=+，化简得21d b d =，因为0d ≠，所以1b d =，从而11d b ==，所以n b n =， 所以13n n n b n a -=， 120121121233333n n n n b b b nS a a a -=+++=++++（i ） 所以123111231333333n n n n nS --=+++++（ii ） （i ）-（ii ），得：1231211111333333n n nnS -=+++++- 311233n n n ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 323223n n +=-⋅， 所以1923443n n n S -+=-⋅. 选①③时，设数列{}n b 公差为d ， 因为221n n b b =+，所以1n =时，2121b b =+， 所以11d b =+.又因为1b ，2b ，4b 成等比数列，所以2214b b b =，即()()21113b d b b d +=+，化简得21d b d =，因为0d ≠，所以1b d =，从而无解， 所以等差数列{}n b 不存在，故不合题意. 【点睛】本题考查了等差（比）数列的通项公式，考查了错位相减法在数列求和中的应用，考查了转化能力与方程思想，属于中档题. 19．（1）证明见解析；（2【分析】（1）取AB ，DC 的中点E ，F ，连接EF ，PE ，PF ，利用等边三角形和等腰三角形的性质、勾股定理的逆定理，结合线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理进行证明即可； （2）解法一：利用线面垂直的判定定理、平行线的性质，结合三棱锥体积公式进行求解即可；解法二：建立空间直角坐标系，利用两点间距离公式结合已知求出点P 的坐标，最后利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】解：（1）如图，取AB ，DC 的中点E ，F ，连接EF ，PE ，PF ，因为PA PB BC ===PC PD ==所以，PE AB ⊥，PF DC ⊥， 又AB CD ∥， 所以，PE CD ⊥， 又因为2AB =，所以1PF=，所以222210PE PF BC EF +===，即PE PF ⊥，,,CDPF F CD PF =⊂平面PCD ，所以PE ⊥平面PCD ，而PE ⊂平面PAB ， 所以平面PAB ⊥平面PCD ；（2）解法一：设A 到平面PBC 的距离为d ，因为PB BC ==PC =所以PBC S =△， 由（1）PE PF ⊥，PF DC ⊥，又AB CD ∥，所以PF AB ⊥，,,ABPE E AB PE =⊂平面PAB ，所以PF ⊥平面PAB ，因为AB CD ∥，所以C 点到平面PAB 的距离为1PF =，所以111131333A PBC PBC C PAB PAB V dS V S --===⨯⨯=⨯=△△，所以d =故直线PA 与平面PBC190=. 解法二：建系法如图，建立空间坐标系，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B，D，C ， 设(),,P a b c，由PA PB ==，PC =222222222110(2)10(2a a b c a b c b a b c c ⎧⎪=⎧⎪++=⎪⎪-++=⇒=⎨⎨⎪⎪+-+=⎩⎪=⎪⎩即P ⎛ ⎝，设平面PBC 的法向量为(),,n x y z =，因为BC =，PC ⎛= ⎝，所以00x y z =⎨+-=⎪⎩，令1z =，可得n ⎫=⎪⎭， 于是||sin ||||190n PA n PA α⋅==⋅.【点睛】本题考查了线面、面面垂直的判定定理的应用，考查了三棱锥体积公式的应用，考查了利用空间向量夹角公式求线面角的正弦值，考查了推理论证能力和数学运算能力. 20．（1）答案见解析；（2）分布列见解析，8. 【分析】（1）根据题意可预测高三6次数学测试成绩，填表即可；（2）由题意得，乙有一个3分，四个4分，一个5分，故X 的可能取值为7，8，9，得出对应的概率，即可得出X 的分布列和数学期望． 【详解】解（1）由已知，预测高三6次数学测试成绩如下：（2）由题意得，乙有一个3分，四个4分，一个5分，故X 的可能取值为7，8，9，()14264715C P X C ===，()242617815C P X C +===，()14264915C P X C ===． 则X 的分布列为()4747898151515E X ∴=⨯+⨯+⨯=． 【点睛】本题考查了离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量的期望，是中档题． 21．（1）2516；（2）4. 【分析】（1）求出直线MF 的方程，联立直线与抛物线方程，然后利用弦长公式即可求解； （2）写出切线1l ，2l ，方程，联立切线方程与抛物线方程，由直线1l 与抛物线相切，可得201014410∆=-+=x k y k ，同理可得202024410x k y k -+=，即可得出1k ，2k 是方程2004410x k y k -+=的两根，然后可得12k k -==12121211k k k k k k --==，从而可求答案． 【详解】（1）依题意，112M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，因为104F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， 故直线MF 的方程为4133y x =-+，联立24133y x y x ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，，整理得24310y y +-=，记直线MF 与抛物线C 交于()11A x y ，，()22B x y ，， 则1234y y +=-，故1214y y =-，故122516AB y y =-==；（2）()00M x y ，，则直线1l 方程为1100y k x k x y =-+，直线2l 方程为2200y k x k x y =-+， 由11002y k x k x y y x =-+⎧⎨=⎩，，可得211000k y y k x y --+=．因为直线1l 与抛物线相切，所以()211000101144410k k x y x k y k ∆=--+=-+=．同理可得202024410x k y k -+=，所以1k ，2k 是方程2004410x k y k -+=的两根．所以0120y k k x +=，12014k k x =，则12k k -==，又因为()220021x y ++=，则031x -≤≤-，所以12121211k k k k k k --===4⎡=⎣， 则1211k k -的最小值为4． 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系以及直线与圆锥曲线相交的弦长，属综合中档题. 22．（Ⅰ）0x y -=和2727640x y --=. （Ⅱ）见解析； （Ⅲ）3a =-. 【分析】(Ⅰ)首先求解导函数，然后利用导函数求得切点的横坐标，据此求得切点坐标即可确定切线方程；(Ⅱ)由题意分别证得()()60f x x --≥和()0f x x -≤即可证得题中的结论； (Ⅲ)由题意结合(Ⅱ)中的结论分类讨论即可求得a 的值. 【详解】 （Ⅰ）23()214f x x x '=-+，令23()2114f x x x '=-+=得0x =或者83x =.当0x =时，(0)0f =，此时切线方程为y x =，即0x y -=； 当83x =时，88()327f =，此时切线方程为6427y x =-，即2727640x y --=； 综上可得所求切线方程为0x y -=和2727640x y --=.（Ⅱ）设321()()4g x f x x x x =-=-，23()24g x x x '=-，令23()204g x x x '=-=得0x =或者83x =，所以当[2,0]x ∈-时，()0g x '≥，()g x 为增函数；当8(0,)3x ∈时，()0g x '<，()g x 为减函数；当8[,4]3x ∈时，()0g x '≥，()g x 为增函数；而(0)(4)0g g ==，所以()0g x ≤，即()f x x ≤； 同理令321()()664h x f x x x x =-+=-+，可求其最小值为(2)0h -=，所以()0h x ≥，即()6f x x ≥-，综上可得6()x f x x -≤≤. （Ⅲ）由（Ⅱ）知6()0f x x -≤-≤， 所以()M a 是,6a a +中的较大者，若6a a ≥+，即3a ≤-时，()3M a a a ==-≥； 若6a a <+，即3a >-时，()663M a a a =+=+>； 所以当()M a 最小时，()3M a =，此时3a =-. 【点睛】本题主要考查利用导函数研究函数的切线方程，利用导函数证明不等式的方法，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.。