2019届湖南省株洲市高三教学质量统一检测(一)数学(文)试题(word版)
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株洲市2019届高三年级教学质量统一检测（一）
数学试题（文科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题）
一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案填涂在答题卡上）
1. 已知集合{2,1,0,1}M，1{|24,}2xNxxZ，则MN =
A．{2,1,0,1,2}M B．{1,0,1,2}M C．{1,0,1}M D．{0,1}M
2. 已知复数z满足12izi，i为虚数单位，则z等于
A．1i B．1i C．1122i D．1122i
3. 下列说法中，错误．．的是
A. 若命题2:,0pxRx，则命题200:,0pxRx；
B.“1sin2x”是“56x”的必要不充分条件；
C．“若4ab，则, ab中至少有一个不小于2”的逆否命题是真命题；
D．函数2sin(2)3yx的图像关于3x对称 .
4. 如下的茎叶图表示甲乙两人在5次测评中的成绩，已知甲的中位数是90，则从乙的5次测评成绩中随机抽取一次成绩，其分数高于甲的平均成绩的概率为
A. 15 B. 25 C. 53 D. 54
5.已知正项等比数列{}na的前n项和为nS，
2a与4a的等差中项为5，且1632aaa，则5S
A．21 B．28 C．31 D．32
6. 已知直线310xy的倾斜角为，则sin2 =
A． 35 B．45
C． 1010 D．31010
7. 在RtABC中，点D为斜边BC的中点，||8AB，||6AC，则 ADAB 甲 乙
9 8 8 3 3 7
2 1 x 9 2 9
（第4题图） - 2 - A．48 B．40
C． 32 D． 16
8. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A. 2383 B. 823 C. 283 D. 10
9. 将函数()2sin(4)3fxx的图象向右平移6个单位，
再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数()ygx
的图象，则下列关于函数()ygx的说法正确的是
A. 最小正周期为4 B. 图象关于直线12x对称
C. 图象关于点(,0)12对称 D. 在[,]63上是增函数
10. 过棱长为1的正方体的一条体对角线作截面，则截得正方体的截面面积的最小值是
A． 1 B．2 C．32 D．26
11.双曲线)0,0(12222babxay的渐近线与抛物线12xy相切，则双曲线的离心率为
A．25 B．5 C．6 D．26
12.已知函数()(ln)xefxkxxx，若()fx只有一个极值点，则实数k的取值范围是
A. (,)e B. (,)e C. (,]e D. 1(,]e
二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡中对应题号后的
横线上）
13．已知向量,2,2,1,3,axbcx，若//ab，则||bc .
14．若,xy满足约束条件102200xyxyy，则32zxy的最大值为__________．
15. 在锐角ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，已知5ab,sinsin37,sin2CAB
4cb，则ABC的面积为 ． （第8题图） 32
2 2
1 1 正视图 侧视图
俯视图 - 3 - 16. 已知F是抛物线24xy的焦点，P为抛物线上的动点，且A的坐标为3,12，则
PFPA的最小值是___________________．
三．解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）
17. （本题满分12分）
设数列{na}的前n项和为nS，已知24,nnSa *Nn.
（Ⅰ）求通项公式na； （Ⅱ）设22log3nnba ，求数列{11nnbb}的前n项和nT．
18. （本题满分12分）
如图，平面CD平面DF，其中CD为矩形，DF为直角梯形，F//D，FF，F22D2EF．
（Ⅰ）求证：平面DBF平面BCD；
（Ⅱ）若三棱锥BADF体积为13，求BD与面BAF所成角的正弦值．
19. （本题满分12分）
经过多年的努力，炎陵黄桃在国内乃至国际上逐渐打开了销路，成为炎陵部分农民脱贫致富的好产品.为了更好地销售，现从某村的黄桃树上随机摘下了100个黄桃进行测重，其质量分布在区间[200,500]内（单位：克），统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示：
（Ⅰ）按分层抽样的方法从质量落在[350,400),[400,450)的黄桃中随机抽取5个，再从这5个黄桃中随机抽2个，求这2个黄桃质量至少有一个不小于400克的概率；
（Ⅱ）以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该村的黄桃树上大约还有100000个黄桃待出售，某电商提出两种收购方案：
.A所有黄桃均以20元/千克收购；
.B低于350克的黄桃以5元/个收购，高于或等于350克的以9元/个收购.
请你通过计算为该村选择收益最好的方案. 200 250 300 350 400 450 500 克 频率/组距
0.006
0.0048
0.004
0.0032
0.001 - 4 - （参考数据：(2250.052750.163250.243750.34250.24750.05354.5）
20. （本题满分12分）
已知12,FF分别为椭圆C：222210xyabab的左、右焦点，点0(1,)Py在椭圆上，且2PFx轴，12PFF的周长为6．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过点(0,1)T的直线与椭圆C交于A，B两点，设O为坐标原点，是否存在常数，使得7OAOBTATB恒成立？请说明理由．
21. （本题满分12分）
已知函数21()ln(1)2fxxaxax（其中0a）.
（Ⅰ）讨论)(xf的单调性；
（Ⅱ）若21()(),2agxxfx设1212,()xxxx是函数()gx的两个极值点，若32a，且12()()gxgxk恒成立，求实数k的取值范围．
请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．
22.（本题满分10分）选修4 -4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xoy中,直线l的参数方程为1xtytì=-ïïíï=ïî（t为参数），在以原点o为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线1C与曲线2C的极坐标方程分别为 =3cos,3sinrqrq=
（Ⅰ）求直线l 的极坐标方程；
（Ⅱ）设曲线1C与曲线2C的一个交点为点A（A不为极点），直线l与OA的交点为B，求||AB.
23．（本题满分10分）选修4 -5：不等式选讲
已知函数()12fxxax（a为实数）
（Ⅰ）当1a时，求函数()fx的最小值； - 5 - （Ⅱ）若1a，解不等式().fxa - 6 - 株洲市2019届高三年级教学质量统一检测（一）
数学试题答案（文科）
总分：150分 时量：120分钟
一. 选择题:共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求
请将答案填涂在答题卡上.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
12
答案 C B D B C A C A B D A
C
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡中对应题号后的
横线上）
13．已知向量,2,2,1,3,axbcx，若//ab，则||bc . 52
14．若,xy满足约束条件102200xyxyy，则32zxy的最大值为________．6
15. 在锐角ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，已知5ab,sinsin37,4sin2CAcbB，则ABC的面积为 ．374
解：由正弦定理及sinsin37,4sin2CAcbB，得37sin8A，ABC为锐角三角形，1cos8A，222222451cos2248bbbbcaAbcbb∴，解得1b，4a，4c，113737sin142284ABCSbcA∴.
16. 已知F是抛物线24xy的焦点，P为抛物线上的动点，且A的坐标为3,12，则
PFPA的最小值是_________________________.55
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三、解答题（共6小题，总计70分）
17. （本题满分12分）
设数列{na}的前n项和为nS，已知24,nnSa *Nn.
（Ⅰ）求通项公式na；
（Ⅱ）设22log3nnba ，求数列{11nnbb}的前n项和nT.
解：（Ⅰ）1124,24nnnnSaSa
相减得：122nnnaaa
12nnaa-----------------------------------------------------------3分
12,nnaa
又111124,4aSaa
11422nnna--------------------------------------------------------6分
（Ⅱ）1222log32log2321nnnban--------------------8分
1111335(21)(21)nTnn
111111(1)233521(21)nn
