最新人教版高中物理选修3-4第十一章《机械振动》

第十一章 机械振动

知识建构

专题应用

专题一 简谐运动的特点

简谐运动涉及的物理量较多，但都与简谐运动物体相对平衡位置的位移x存在直接或间接的关系。

简谐运动的对称性是指振子经过关于平衡位置对称的两个位置时，振子的位移、回复力、加速度、速度、动能、势能等均是等大的(位移、回复力、加速度的方向相反，速度的方向不确定)。运动时间也具有对称性，即在关于平衡位置对称的两段位移间运动的时间相等。理解好对称性这一点对解决有关问题很有帮助。

简谐运动具有周期性，其运动周期T的大小由振动系统本身的性质决定。理解了这一点，在解决相关问题时就不易出错。

【专题训练1】 一弹簧振子在一条直线上做简谐运动，第一次先后经过M、N两点时速度v(v≠0)相同，那么，下列说法中正确的是( )。

A．振子在M、N两点受回复力相同

B．振子在M、N两点对平衡位置的位移相同

C．振子在M、N两点加速度大小相等

D．从M点到N点，振子先做匀加速运动，后做匀减速运动

专题二 简谐运动的图象及作用

简谐运动的图象描述了振动质点的位移随时间的变化规律。从图象中可以确定位移、速度、加速度、动能和势能等物理量以及它们的变化规律，具体分析如下：

1．可以确定振动物体在任一时刻的位移。如图所示，对应t1、t2时刻的位移分别是x1＝＋7 cm、x2＝－5 cm。 2．确定振动的振幅。图中最大位移的值就是振幅，如图表示的振幅是10 cm。

3．确定振动的周期和频率，振动图象上一个完整的正弦(余弦)图形在时间轴上拉开的“长度”表示周期，由图可知，OD、AE、BF的时间间隔都等于振动周期T＝0.2 s，频率f＝1T＝5 Hz。

4．确定各时刻物体的振动方向。例如图中在t1时刻，物体正远离平衡位置运动；在t3时刻，物体正向着平衡位置运动。

5．比较各时刻物体的加速度(回复力)的方向和大小。例如在图中t1时刻物体位移x1为正，则加速度a1为负，两者方向相反；t2时刻，位移x2为负，则加速度a2为正，又因为|x1|＞|x2|，所以|a1|＞|a2|。

6．比较不同时刻物体的势能、动能的大小。因物体离平衡位置的位移越大，它所具有的势能越大，动能则越小，如图所示，在t1时刻物体的势能Ep1大于t2时刻的势能Ep2，而动能则Ek1＜Ek2。

【专题训练2】 如图所示为简谐运动的振动图象，下列说法中正确的是( )。

A．振动图象上的A、B两点处，物体的速度相同

B．在t＝0.1 s和t＝0.3 s时，物体的加速度大小相等，方向相反

C．振动图象上A、B两点处，物体的速度大小相等，方向相反

D．物体在t＝0.2 s和t＝0.3 s时的动能相等

专题三 在复合场中的单摆

单摆处在电场或磁场中，由于摆球带电，摆球会受电场力或磁场力，此时单摆的周期是否发生变化应从回复力的来源看。如果除重力外，其他的力参与提供回复力，则单摆周期变化，若不参与提供回复力，则单摆周期不变。

【专题训练3】 如图所示，单摆甲放在空气中，周期为T甲；单摆乙放在以加速度a向下加速运动的电梯中，周期为T乙；单摆丙带正电，放在匀强磁场B中，周期为T丙；单摆丁带正电，放在匀强电场E中，周期为T丁，那么( )。

A．T甲＞T乙＞T丁＞T丙 B．T乙＞T甲＝T丙＞T丁

C．T丙＞T甲＞T丁＞T乙 D．T丁＞T甲＝T丙＞T乙

专题四 利用单摆周期公式解决实际问题

根据单摆周期公式可以测量当地的重力加速度，当然如果已知当地的重力加速度也可以测量摆长。在摆长相当长而无法直接测量的情况下，可以借鉴下面的方法。

【专题训练4】 高楼顶上吊下一根长绳，给你一块秒表，一卷只有几米长的米尺，一个带钩的重球，你能否量出楼高？

答案：【专题训练1】 C 建立弹簧振子模型如图所示。由题意知，振子第一次先后经过M、N两点时速度v相同，那么，可以在振子运动路径上确定M、N两点，M、N两点应关于平衡位置O对称，且由M运动到N，振子是从左侧释放开始运动的(若M点定在O点右侧，则振子是从右侧释放的)。

因位移、速度、加速度和回复力都是矢量，它们要相同必须大小相等、方向相同。M、N两点关于O点对称，振子回复力应大小相等、方向相反，振子位移也是大小相等、方向相反。由此可知，A、B选项错误。振子在M、N两点的加速度虽然方向相反，但大小相等，故C选项正确。振子由M→O速度越来越大，但加速度越来越小，振子做加速运动，但不是匀加速运动。振子由O→N速度越来越小，但加速度越来越大，振子做减速运动，但不是匀减速运动，故D选项错误。由以上分析可知，该题的正确选项为C。

【专题训练2】 BC A、B两处位移相同，速度大小相等，但方向相反，因此A项错误，C项正确。在t＝0.1 s和t＝0.3 s时物体离开平衡位置的位移最大，方向相反，由F＝－kx，a＝－kxm可知B项正确。

t＝0.2 s时，物体通过平衡位置，速度最大，动能最大；而t＝0.3 s时，速度为零，动能最小，故D项错误。

【专题训练3】 B 对甲摆：T甲＝2lg。对乙摆：T乙＝2lga。对丙摆：由于摆动过程中洛伦兹力总是垂直于速度方向，故不可能产生沿圆弧切向的分力效果，而参与提供回复力，所以周期不变，即T丙＝2lg。对丁摆：由于摆球受到竖直向下的重力作用的同时，还受到竖直向下的电场力作用，电场力在圆弧切向产生分力，与重力沿切向的分力一起提供回复力，相当于重力增大了，等效重力G′＝mg＋qE，故等效重力加速度g′＝g＋qEm，故周期T丁＝2mlmgqE。所以有T乙＞T甲＝T丙＞T丁。

【专题训练4】 解析：(1)设绳长l1，将重球挂在绳的端点，让其摆动，测得周期T1(实际上需测得摆动n次全振动所需时间t，T1＝tn)。

(2)将重球挂在绳的另一位置，这时摆长为l2，用米尺量出摆长变化Δl，则Δl＝l1－l2，让摆球摆动，测得此时周期为T2。

(3)根据公式：T＝2lg可知：T1＝12lg，T2＝12llg。

解得l1＝212212TlTT。

由此测得绳长，也就测得楼高。 答案：步骤见解析，测量的楼高为212212TlTT。

真题放送

1(2011·江苏单科)将一劲度系数为k的轻质弹簧竖直悬挂，下端系上质量为m的物块。将物块向下拉离平衡位置后松开，物块上下做简谐运动，其振动周期恰好等于以物块平衡时弹簧的伸长量为摆长的单摆周期。请由单摆的周期公式推算出该物块做简谐运动的周期T。

2(2010·全国Ⅰ理综)一简谐振子沿x轴振动，平衡位置在坐标原点。t＝0时刻振子的位移x＝－0.1 m；t＝43s时刻x＝0.1 m；t＝4 s时刻x＝0.1 m。该振子的振幅和周期可能为( )。

A．0.2 m，83 s B．0.2 m,8 s

C．0.1 m，83 s D．0.1 m,8 s

3(2009·天津理综)某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x＝Asinπ4t，则质点( )。

A．第1 s末与第3 s末的位移相同

B．第1 s末与第3 s末的速度相同

C．3 s末至5 s末的位移方向都相同

D．3 s末至5 s末的速度方向都相同

4(2009·宁夏、辽宁理综)某振动系统的固有频率为f0，在周期性驱动力的作用下做受迫振动，驱动力的频率为f。若驱动力的振幅保持不变，下列说法中正确的是( )。

A．当f＜f0时，该振动系统的振幅随f增大而减小

B．当f＞f0时，该振动系统的振幅随f减小而增大

C．该振动系统的振动稳定后，振动的频率等于f0

D．该振动系统的振动稳定后，振动的频率等于f

答案：1．解析：单摆周期公式T＝2πlg，且kl＝mg

解得T＝2πmk。

答案：2πmk

2．ACD

3．AD 将t＝1 s和t＝3 s代入关系式，可得x都等于22A，A项正确。第1 s末和第3

s末，质点的运动方向相反，速度不同，B项错误。将t＝3 s和t＝5 s代入关系式，可得位移一正一负，方向不同，C项错误。第3 s末和第5 s末，质点的速度大小和方向都相同，D项正确。

4．BD 由共振条件及共振曲线可知：驱动力频率f驱越接近振动系统的固有频率f0，则振幅越大，故知：当f＜f0时，振幅随f的增大而增大，A项错误；当f＞f0时，振幅随f的增大而减小，随f的减小而增大，B项正确；系统振动稳定时，振动频率等于驱动力频率f，与固有频率f0无关，D项正确，C项错误。