专题 全等三角形模型——截长补短与倍长中线(解析版)

全等三角形模型——截长补短与倍长中线

截长补短截长：即在一条较长的线段上截取一段较短的线段

在线段AB上截取ADAC=补短：即在较短的线段上补一段线段使其和较长的线段相等

延长AC，使得ADAB=1.ABCD中，AD是BACÐ的平分线，且ABACCD=+．若60BCAÐ=°，则ABCÐ的大小为( )

A．30°B．60°C．80°D．100°

【分析】可在AB上取ACAC¢=，则由题中条件可得BCCD¢=¢，即2CACDBÐ=Т=Ð，再由三角形的外

角性质即可求得BÐ的大小．

【解答】解：如图，在AB上取ACAC¢=，ADQ是角平分线，

DACDAC¢\Ð=Ð，ACD\D@△()ACDSAS¢，

CDCD¢\=，

又ABACCD=+Q，ABACCB¢¢=+，

BCCD\¢=¢

，D

CBA

A

BC

D截长补短法是几何证明题中十分重要的方法，通常来证明几条线段的数量关系，常见做辅助线方法有：截长法：⑴过某一点作长边的垂线；⑵在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。补短法：⑴延长短边。⑵通过旋转等方式使两短边拼合到一起，证与长边相等。260CACDB¢\Ð=Ð=Ð=°，

30B\Ð=°．

故选：A．

2.阅读：探究线段的和．差．倍．分关系是几何中常见的问题，解决此类问题通常会用截长法或补短法，

具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，

再利用三角形全等的有关性质加以说明．

（1）请完成下题的证明过程：如图1，在ABCD中，2BCÐ=Ð，AD平分BACÐ．求证：

ABBDAC+=．证明：在AC上截取AEAB=，连接DE

（2）如图2，//ADBC，EA，EB分别平分DABÐ，CBAÐ，CD过点E，求证：ABADBC=+．

【分析】（1）在AC上截取AEAB=，连接DE，证明ABDAEDD@D，得到BAEDÐ=Ð，再证明EDEC=即可；

（2）由等腰三角形的性质知AEFE=，再证明ADEFCED@D即可解决本题．

【解答】证明：在AC上截取AEAB=，连接DE，如图1:

ADQ平分BACÐ

，BADDAC\Ð=Ð，

在ABDD和AEDD中，

AEABBADDACADAD=ìïÐ=Ðíï=î，

()ABDAEDSAS\D@D，

BAED\Ð=Ð，BDDE=，又2BCÐ=Ð，

2AEDC\Ð=Ð，

而2AEDCEDCCÐ=Ð+Ð=Ð，

CEDC\Ð=Ð，

DECE\=，

ABBDAECEAC\+=+=；

（2）延长AE、BC交于F，

ABBF=Q，BE平分ABFÐ，

AEEF\=，

在ADED和FCED中，

DAEFAEEFAEDCEFÐ=Ðìï=íïÐ=Ðî，

()ADEFCEASA\D@D，

ADCF\=，

ABBFBCCFBCAD\==+=+．

3.如图，在ABCD中，AD平分BACÐ交BC于D，在AB上截取AEAC=．

（1）求证：ADEADCD@D；

（2）若6AB=，5BC=，4AC=，求BDED

的周长．【分析】（1）根据SAS证明ADEADCD@D即可；

（2）根据全等三角形的性质和线段之间的关系进行解答即可．

【解答】证明：（1）ADQ平分BACÐ，

EADCDA\Ð=Ð，

在ADED与ADCD中，

AEACEADCDAADAD=ìïÐ=Ðíï=î，

()ADEADCSAS\D@D，

（2）ADEADCD@DQ，

EDDC\=，

BDE\D的周长

6457BEBDDEABAEBCDCDCABACBCDCDCABACBC=++=-+-+=-+-+=-+=-+=4.（2020秋•武昌区期中）如图，ABCD中，60ABCÐ=°，AD、CE分别平分BACÐ、ACBÐ，AD、

CE相交于点P

（1）求CPDÐ的度数；

（2）若3AE=，7CD=，求线段AC的长．

【分析】（1）利用60ABCÐ=°，AD、CE分别平分BACÐ，ACBÐ，即可得出答案；

（2）由题中条件可得APEAPFD@D，进而得出APEAPFÐ=Ð，通过角之间的转化可得出CPFCPDD@D，

进而可得出线段之间的关系，即可得出结论．

【解答】解：（1）60ABCÐ=°Q，AD、CE分别平分BACÐ，ACBÐ

，120BACBCA\Ð+Ð=°，1()602PACPCABACBCAÐ+Ð=Ð+Ð=°，

120APC\Ð=°，

60CPD\Ð=°．

（2）如图，在AC上截取AFAE=，连接PF．

ADQ平分BACÐ，

BADCAD\Ð=Ð，

在APED和APFD中

AEAFEAPFAPAPAP=ìïÐ=Ðíï=î，

()APEAPFSAS\D@D，

APEAPF\Ð=Ð，

120APCÐ=°Q，

60APE\Ð=°，

60APFCPDCPF\Ð=Ð=°=Ð，

在CPFD和CPDD中，

FPCDPCCPCPFCPDCPÐ=Ðìï=íïÐ=Ðî，

()CPFCPDASA\D@D

CFCD\=，

3710ACAFCFAECD\=+=+=+=．

5.如图，在ABCD中，60BACÐ=°，AD是BACÐ的平分线，且ACABBD=+，求ABCÐ

的度数．【分析】在AC上截取AEAB=，根据角平分线的定义可得BADCADÐ=Ð，然后利用“边角边”证明ABDD

和AEDD全等，根据全等三角形对应边相等可得BDDE=，全等三角形对应角相等可得BAEDÐ=Ð，再求

出CEBD=，从而得到CEDE=，根据等边对等角可得CCDEÐ=Ð，根据三角形的一个外角等于与它不相

邻的两个内角的和可得2AEDCÐ=Ð，然后根据三角形的内角和定理列方程求出CÐ，即可得解．

【解答】解：如图，在AC上截取AEAB=，ADQ平分BACÐ，

BADCAD\Ð=Ð，

在ABDD和AEDD中，AEABBADCADADAD=ìïÐ=Ðíï=î，

()ABDAEDSAS\D@D，

BDDE\=，BAEDÐ=Ð，

ACAECE=+Q，ACABBD=+，

CEBD\=，

CEDE\=，

CCDE\Ð=Ð，

即2BCÐ=Ð，

在ABCD中，180BACBCÐ+Ð+Ð=°，

602180CC\°+Ð+Ð=°，

解得40CÐ=°，

24080ABC\Ð=´°=°．6.如图，五边形ABCDE中，ABAE=，BCDECD+=，120BAEBCDÐ=Ð=°，180ABCAEDÐ+Ð=°，

连接AD．求证：AD平分CDEÐ．

【分析】连接AC，将ABCD绕A点旋转120°到AEFD，由ABAE=，120BAEÐ=°，得到AB与AE重合，

并且ACAF=，又由180ABCAEDÐ+Ð=°，得到180AEFAEDÐ+Ð=°，即D，E，F在一条直线上，

而BCDECD+=，得CDDF=，则易证ACDAFDD@D，于是ADCADFÐ=Ð．

【解答】证明：如图，连接AC，将ABCD绕A点旋转120°到AEFD，ABAE=Q，120BAEÐ=°，

AB\与AE重合，并且ACAF=，

又180ABCAEDÐ+Ð=°Q，

而ABCAEFÐ=Ð，

180AEFAEDÐ+Ð=°Q，

D\，E，F在一条直线上，

而BCEF=，BCDECD+=，

CDDF\=，

又ACAF=Q，

ACDAFD\D@D，

ADCADF\Ð=Ð，

即AD平分CDEÐ．

7.已知：如图，在ABCD中，D是BA延长线上一点，AE是DACÐ的平分线，P是AE上的一点（点P

不与点A重合），连接PB，PC．通过观察，测量，猜想PBPC+与ABAC+之间的大小关系，并加

以证明．【分析】根据全等三角形的判定与性质，可得FPCP=，根据三角形的两边之和大于第三边，可得答案．

【解答】解：PBPCABAC+>+，理由如下：

在BA的延长线上截取AFAC=，连接PF，

在FAPD和CAPD中，

AFACFAPCAPAPAP=ìïÐ=Ðíï=î，

()FAPCAPSAS\D@D，

FPCP\=．

在FPBD中，FPBPFAAB+>+，

即PBPCABAC+>+．8.已知ABCD中，ABAC=，BE平分ABCÐ交边AC于E．

（1）如图（1），当108BACÐ=°时，证明：BCABCE=+；

（2）如图（2），当100BACÐ=°时，（1）中的结论还成立吗？若不成立，是否有其他两条线段之和等于

BC，若有请写出结论并完成证明．【分析】（1）如图1中，在BC上截取BDBA=．只要证明BEABEDD@D，CECD=即可解决问题；

（2）结论：BCBEAE=+．如图2中，在BA、BC上分别截取BFBE=，BHBE=．则EBHEBFD@D，

再证明EAEHEFCF===即可解决问题；

【解答】解：（1）如图1中，在BC上截取BDBA=．

BABD=Q，EBAEBDÐ=Ð，BEBE=，

BEABED\D@D，

BABD\=，108ABDEÐ=Ð=°，

ABAC=Q，

36CABC\Ð=Ð=°，72EDCÐ=°，

72CED\Ð=°，

CECD\=，

BCBDCDABCE\=+=+．

（2）结论：BCBEAE=+．

理由：如图2中，在BA、BC上分别截取BFBE=，BHBE=．则EBHEBFD@D，

EFEH\=，

100BACÐ=°Q，ABAC=，

40ABCC\Ð=Ð=°，

20EBAEBC\Ð=Ð=°，

80BFEHEAH\Ð=Ð=Ð=°，

AEEH\=，

BFECFECÐ=Ð+ÐQ，

40CEFC\Ð=Ð=°

，