统计学分布类型

统计学常见分布、概念

⾮常有必要搞清楚统计学种⼀些常⽤的分布

离散型随机变量分布

1.两点分布/伯努利分布

伯努利分布是⼆项分布在n=1时的特例。⼀次随机试验，成功概率为p，失败概率为q=1-p。

2.⼆项分布

⼆项分布(Binomial distribution)是n重伯努利试验成功次数的离散概率分布。

⼆项分布的典型例⼦是扔硬币，硬币正⾯朝上概率为p, 重复扔n次硬币，k次为正⾯的概率即为⼀个⼆项分布概率。

3.超⼏何分布

对N件产品（其中M件次品）进⾏不放回抽样，在n次抽样种抽到次品数X，服从超⼏何分布。

4.⼏何分布

X记⾸次成功的概率，服从⼏何分布。

5.负⼆项分布

X记第k次成功时总的实验次数，当k=1时，为⼏何分布。

“⼆项分布”是固定试验总次数N的独⽴试验中，成功次数k的分布；⽽“负⼆项分布”是所有到成功r次时即终⽌的独⽴试验中，失败次数k的分布。

例⼦：Pat is required to sell candy bars to raise money for the 6th grade field trip. There are thirty houses in the neighborhood, and Pat is notsupposed to return home until five candy bars have been sold. So the child goes door to door, selling candy bars. At each house, there is a0.4 probability of selling one candy bar and a 0.6 probability of selling nothing.

What's the probability of selling the last candy bar at the nth house?

6.泊松分布

统计学上三大分布推导方法

统计学涉及到众多的概率分布，其中三大分布推导方法是统计学中的重要内容。这三种分布分别是正态分布、指数分布和泊松分布。

首先，我们来介绍正态分布。正态分布又称为高斯分布，是统计学中常见且重要的分布之一。正态分布的形状呈钟形曲线，两侧尾部逐渐递减。我们经常可以在生活中观察到符合正态分布的现象，如人的身高、体重等。正态分布的推导方法主要基于中心极限定理，通过对大量独立随机变量求平均值的方式得到。正态分布的参数包括均值和标准差，通过对原始数据进行变换和标准化，可以将任意分布转化为标准正态分布。正态分布在统计学中有广泛的应用，如假设检验、置信区间估计等。

接下来，让我们看看指数分布。指数分布是一种描述随机事件发生时间间隔的分布，常用于描述连续事件的无记忆性。例如，指数分布可以用于描述等待某件事情发生的时间，如等待公交车到站的时间。指数分布的推导方法主要基于随机过程理论中的泊松过程。指数分布的参数是速率参数，参数的倒数表示了事件发生的平均等待时间。指数分布的特点是呈右偏态分布，即事件发生的概率逐渐减小。在实际应用中，指数分布常用于可靠性分析、风险评估等方面。

最后，我们来了解一下泊松分布。泊松分布是一种用于描述单位时间内随机事件发生次数的分布。例如，泊松分布可以用于描述在一段时间内电话呼叫的次数、邮件的接收量等。泊松分布的推导方法主要基于稀有事件的统计推断，通过限制时间段内的事件次数来得到。泊松分布的参数是平均发生次数，参数越大，分布形状越集中在平均发生次数附近。泊松分布的特点是呈正偏态分布，即事件发生的概率逐渐增加后逐渐减小。在实际应用中，泊松分布常用于建模离散事件的发生情况，如交通流量、事故发生率等。

综上所述，正态分布、指数分布和泊松分布是统计学中重要的三大分布推导方法。通过对中心极限定理、随机过程理论和稀有事件统计推断的研究，我们可以得到这三种分布。这些分布在实际问题的建模和分析中有广泛的应用，对于理解和解决实际问题具有重要的指导意义。通过熟练掌握这些分布的推导方法，可以帮助我们更好地理解和应用统计学中的基本原理和方法。

不确定度统计学常用的分布

在统计学中，有几个常用的分布被广泛用于表示不确定度。以下是其中几个常见的分布的介绍。

1. 正态分布（Normal Distribution）：也被称为高斯分布，是统计学中最常见和最重要的分布之一。它的概率密度函数具有钟形曲线形状，以其对称性和很好的性质而受到广泛应用。

2. t分布（t-distribution）：t分布是对应于小样本情况下的正态分布的统计分布。它的形状类似于正态分布，但具有更宽的尾部。t分布在小样本情况下通常用于估计总体平均值的置信区间。

3. F分布（F-distribution）：F分布是用于比较两个总体方差是否相等的统计分布。它具有正偏斜和右尾较长的特点。在方差分析和回归分析中，F分布被广泛用于检验模型的显著性。

4. 卡方分布（Chi-square distribution）：卡方分布是由多个独立标准正态随机变量的平方和构成的分布。它具有非负的偏斜和右尾较长的特性。卡方分布在统计推断中被广泛用于检验分布的拟合度和估计总体方差。

5. 二项分布（Binomial distribution）：二项分布是描述一系列独立的二元试验中成功次数的分布。它的概率质量函数呈现出一个钟形，它在统计推断和贝叶斯统计学中经常用于建模离散型数据的不确定性。

这些分布都是在统计学中常见的用于表示不确定度的工具。根据具体的问题和需求，我们可以选择适当的分布来进行数据建模和分析。

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§1.4 常用的分布及其分位数

1. 卡平方分布

卡平方分布、t分布及F分布都是由正态分布所导出的分布，它们与正态分布一起，是试验统计中常用的分布。

当X1、X2、…、Xn相互独立且都服从N(0,1)时，Z= 的分布称为自由度等于n的分布，记作Z～(n)，它的分布密度 p(z)=

式中的=，称为Gamma函数，且=1， =。分布是非对称分布，具有可加性，即当Y与Z相互独立，且Y～(n)，Z～(m)，则Y+Z～(n+m)。

证明: 先令X1、X2、…、Xn、Xn+1、Xn+2、…、Xn+m相互独立且都服从N(0,1)，再根据分布的定义以及上述随机变量的相互独立性，令

Y=X+X+…+X，Z=X+X+…+X，

Y+Z= X+X+…+X+ X+X+…+X，

即可得到Y+Z～(n+m)。

2. t分布 若X与Y相互独立，且

X～N(0,1)，Y～(n)，则Z = 的分布称为自由度等于n的t分布，记作Z ～ t (n)，它的分布密度

P(z)= 。

请注意：t分布的分布密度也是偶函数，且当n>30时，t分布与标准正态分布N(0,1)的密度曲线几乎重叠为一。这时， t分布的分布函数值查N(0,1)的分布函数值表即可以得到。

3. F分布 若X与Y相互独立，且X～(n)，Y～(m)，

则Z=的分布称为第一自由度等于n、第二自由度等于m的F分布，记作Z～F (n, m)，它的分布密度

p(z)=

请注意：F分布也是非对称分布，它的分布密度与自由度的次序有关，当Z～F (n, m)时，～F (m ,n)。

4. t分布与F分布的关系