上海市静安区2021届高三上学期一模数学试题(word版 含答案)
- 格式：docx
- 大小：717.51 KB
- 文档页数：17
试卷第1页，总4页 上海市静安区2021届高三上学期一模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．已知,abR，命题：若0ab，则0a且0b≠的逆否命题是__．
2．6212xx的展开式中的常数项是_______________.
3．如图所示，弧长为2，半径为1的扇形(及其内部)绕OB所在的直线旋转一周，所形成的几何体的表面积为___________.
4．设 i是虚数单位，复数12aii为纯虚数，则实数a为________________
5．在△ABC中，AB＝2，AC＝1，D为BC的中点，则ADBC＝____________.
6．某校的“希望工程”募捐小组在假期中进行了一次募捐活动.他们第一天得到15元，从第二天起，每一天收到的捐款数都比前一天多10元.要募捐到不少于1100元，这次募捐活动至少需要___________天.(结果取整)
7．某校开设9门选修课程，其中A，B，C三门课程由于上课时间相同，至多选一门，若规定每位学生选修4门，则一共有___________种不同的选修方案.
8．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，动点P以每秒2的角速度从点A出发，沿半径为2的上半圆逆时针移动到B，再以每秒3的角速度从点B沿半径为1的下半圆逆时针移动到坐标原点O，则上述过程中动点P的纵坐标y关于时间t的函数表达式为___________. 试卷第2页，总4页
二、单选题
9．若ab，cd，则下面不等式中成立的一个是（ ）．
A．adbc B．acbd C．dacb D．abcd
10．下列四个选项中正确的是（ ）
A．关于,xy的方程220xyDxEyF(,,RDEF)的曲线是圆
B．设复数12,zz是两个不同的复数，实数0a，则关于复数z的方程122zzzza的所有解在复平面上所对应的点的轨迹是椭圆
C．设,AB为两个不同的定点，k为非零常数，若|PAPBk，则动点P的轨迹为双曲线的一支
D．双曲线221259xy与椭圆22135xy有相同的焦点
11．在平面直角坐标系xOy中，、是位于不同象限的任意角，它们的终边交单位圆(圆心在坐标原点O)于A、B两点.若A、B两点的纵坐标分别为正数a、b，且os0()c，则a+b的最大值为( )
A．1 B．2 C．2 D．不存在
三、解答题
12．如图所示，等腰梯形ABFE是由正方形ABCD和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成，1AB，2CF.现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起，点F移至点G，使二面角EBCG的大小为60.
试卷第3页，总4页
（1）求四棱锥GABCE的体积；
（2）求异面直线AE与BG所成角的大小.
13．设2()12xxafx，其中常数Ra.
（1）设0a，(1,)D，求函数()yfx(xD)的反函数；
（2）求证：当且仅当1a时，函数()yfx为奇函数.
14．如图所示，在河对岸有两座垂直于地面的高塔CD和EF.张明在只有量角器(可以测量从测量人出发的两条射线的夹角)和直尺(可测量步行可抵达的两点之间的直线距离)的条件下，为了计算塔CD的高度，他在点A测得点D的仰角为30，75CAB，又选择了相距100米的B点，测得60ABC.
（1）请你根据张明的测量数据求出塔CD高度；
（2）在完成（1）的任务后，张明测得90BAE，并且又选择性地测量了两个角的大小(设为､).据此，他计算出了两塔顶之间的距离DF.
请问：①张明又测量了哪两个角？(写出一种测量方案即可) 试卷第4页，总4页 ②他是如何用,表示出DF的？(写出过程和结论)
15．2(5)nn个正数排成n行n列方阵，其中每一行从左至右成等差数列，每一列从上至下都是公比为同一个实数q的等比数列.
111213121222323132333123nnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaa
已知121a，142a，55532a.
（1）设1nnba，求数列nb的通项公式；
（2）设1121311nnSaaaa，求证：1nS(nN)；
（3）设112233nnnTaaaa，请用数学归纳法证明：*22()2NnnnTn.
16．如图所示，定点F到定直线l的距离3MF.动点P到定点F的距离等于它到定直线l距离的2倍.设动点P的轨迹是曲线.
（1）请以线段MF所在的直线为x轴，以线段MF上的某一点为坐标原点O，建立适当的平面直角坐标系xOy，使得曲线经过坐标原点O，并求曲线的方程；
（2）请指出（1）中的曲线的如下两个性质：①范围；②对称性.并选择其一给予证明.
（3）设（1）中的曲线除了经过坐标原点O，还与x轴交于另一点C，经过点F的直线m交曲线于A，B两点，求证：CACB.
答案第1页，总13页 参考答案
1．若0a或0b，则0ab
【分析】
根据逆否命题的定义进行求解即可．
【详解】
由逆否命题定义可得原命题的逆否命题为：若0a或0b，则0ab
故答案为：若0a或0b，则0ab.
【点睛】
本题主要考查四种命题的关系，掌握逆否命题的定义是解决本题的关键．
2．60
【分析】
由题意可得，二项展开式的通项26161(2)()(1)2rrrrrTCxx61236rrrCx，要求展开式的常数项，只要令1230r可求r，代入可求
【详解】
解：由题意可得，二项展开式的通项为：
2661231661(2)()(1)2rrrrrrrrTCxCxx，
令1230r，可得：4r，此时2456260TC，
即6212xx的展开式中的常数项为60.
故答案为：60．
【点睛】
本题考查了二项展开式项的通项公式的应用，考查解题运算能力．
3．3π
【分析】
旋转得半球进而可得表面积.
【详解】
根据题意可得得到一个半径为1的半球，
所以表面积为半个球的表面积和一个底面圆222113.
答案第2页，总13页
故答案为：3π.
4．2
【分析】
把复数化为代数形式，再由复数的分类求解．
【详解】
21(1)(2)222122(2)(2)555aiaiiiaiaiaaiiii，
它为纯虚数，则205a且1205a，解得2a．
故答案为：2．
5．32
【详解】
试题分析：22113()()()222ADBCABACACABACAB
考点：向量数量积
6．14
【分析】
由题意可知，捐款数构成一个以15为首项，以10为公差的等差数列，利用等差数列的前n项和公式可得222200nn，即可求出n的最小值.
【详解】
由题意可知，捐款数构成一个以15为首项，以10为公差的等差数列，
设要募捐到不少于1100元，这次募捐活动至少需要n天，
答案第3页，总13页 则(1)151011002nnn，整理得：222200nn，
又∵n为正整数，
∴当13n时，213213220250；
当14n时，21421422040，∴n的最小值为14，
即这次募捐活动至少需要14天．
故答案为：14.
7．75
【分析】
A，B，C三门由于上课时间相同至多选一门，A，B，C三门课都不选，A，B，C中选一门，根据分类计数原理得到结果.
【详解】
由题意知本题需要分类来解，
第一类，若从A、B、C三门选一门有133660CC，
第二类，若从其他六门中选4门有4615C，
∴根据分类计数加法得到共有601575种不同的方法，
故答案为：75.
8．π2sin,0,2,2πsin2π,2,5.3ttytt
【分析】
首先分析动点P在半径为2的上半圆上运动时，时间t的范围，再根据三角函数的定义求得点P的坐标，再分析动点P在半径为1的下半圆上运动时，时间t的范围，再根据三角函数的定义求得点P的坐标，最后写出函数表达式即可.
【详解】
由三角函数的定义可得：当动点P在半径为2的上半圆上运动时，(0,2]t，终边OP对应的角度为π2t，所以P点坐标为ππ(2cos,2sin)22tt，
答案第4页，总13页 当动点P在半径为1的下半圆上运动时，(2,5]t，终边OP对应的角度为(2)3t，
所以P点坐标为(cos[(2)],sin[(2)])33tt，
综上：动点P的纵坐标y关于时间t的函数表达式为π2sin,0,2,2πsin2π,2,5.3ttytt ，
故答案为：π2sin,0,2,2πsin2π,2,5.3ttytt
【点睛】
本题主要考查利用三角函数的定义解决实际问题，在做题过程中点的坐标与角度之间的关系，从而帮助解题.
9．C
【分析】
根据不等式的性质和关系进行判断即可．
【详解】
ab，cd，
ab，则dacb，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查不等式性质的应用，结合同向不等式相加的性质是解决本题的关键．
10．D
【分析】
A. 由圆的一般方程判断；B.由椭圆的定义判断； C.由双曲线的定义判断；D.由双曲线和椭圆的焦点判断.
【详解】
A. 当2240DEF时，方程220xyDxEyF(,,RDEF)表示的曲线是圆，故错误；
B. 设复数12,zz所对应的点A，B，复数z所对应的点C，方程122zzzza表示点
