考研数学强化阶段重要题型攻略——线性代数(二)

2012考研数学重要知识点解析——线性代数（二）

万学海文

数学虽然属于理科科目，但是仍然有许多重要的知识点需要记忆和运用。万学海文数学考研辅导专家们在此，特别为2012年的广大考生归纳一下线性代数的部分知识点。这次我们介绍的是矩阵的线性运算。

(1) 加法 设()ijAa和()mnijBbF，规定

111112121121212222221122()nnnnijijmmmmmnmnababababababABabababab

并称AB为A与B之和．

【概念理解点睛】矩阵的加法满足以下运算律 ：

1) 交换律;ABBA

2) 结合律()();ABCABC

3) ;AOA其中O是与A同型的零矩阵

4) ();AAO

(2) 矩阵的数量乘法(简称数乘)：设k是数域F中的任意一个数，()mnijAaF，规定

111212122212()nnijmmmnkakakakakakakAkakakaka

并称这个矩阵为k与A的数量乘积．

【概念理解点睛】设,kl是数域F中的数，矩阵的数量乘法满足运算律：

1)()();klAklA

2)();klAkAlA

3)().kABkAkB

矩阵加法和数量乘法结合起来，统称为矩阵的线性运算．

2 矩阵的乘法

设A是一个mn矩阵，B是一个ns矩阵，即

111211112121222212221212,nsnsmmmnnnnsaaabbbaaabbbABaaabbb

则A与B之乘积AB(记作()ijCc)是一个ms矩阵，且

11221nijijijinnjikkjkcabababab

即矩阵CAB的第i行第j列元素ijc是A的第i行n个元素与B的第j列相应的n个元素分别相乘的乘积之和．

2017考研已经拉开序幕，很多考生不知道如何选择适合自己的考研复习资料。中公考研辅导老师为考生准备了【线性代数-二次型知识点讲解和习题】，希望可以助考生一臂之力。同时中公考研特为广大学子推出考研集训营、专业课辅导、精品网课、vip1对1等课程，针对每一个科目要点进行深入的指导分析，欢迎各位考生了解咨询。

模块十 二次型

Ⅰ经典习题

一．二次型及其矩阵

1、二次型的矩阵为

2、已知二次型22212312312(,,)(1)(1)22(1)fxxxaxaxxaxx秩为2，则a=

二．二次型的合同标准型

3、二次型的合同标准型可以是（ ）

（A） （B）

（C） （D）

4、已知二次曲面经正交变换化成椭圆柱面方程，则应满足的条件是______________.

5、用正交线性变换二次型为标准形，并给出所施行的正交变换.

6、设二次型，通过正交变换化为标准型，求常数及所用正交变换矩阵，求的最大123112233112233,,fxxxaxaxaxbxbxbx2221231231223,,542fxxxxxxxxxx22124yy22212362yyy2212yy2221234yyy2222221xyzaxybyzxz(,,)(',',')TTxyzQxyz22(')2(')1yzab和22212312132322448fxxxxxxxxx222123123121323(,,)222fxxxxxxxxxxxx22212322fyyy,,3TQxx若f值..

7、已知二次型.

（1）写出二次型的矩阵表达式;

（2）用正交变换把二次型化为标准型,并写出相应的正交矩阵.

8、已知，求正交变换，使得

9、已知二次型的秩为2.

⑴ 求参数的值及此二次型对应矩阵的特征值；

考研数学二线代的考试范围

数学二线代是考研数学二的一部分，主要涵盖线性代数的基本理论和方法。考研数学二线代的考试范围包括以下内容：

1.向量空间

向量空间是线性代数的基础概念，考研数学二线代的考试范围包括向量空间的定义、性质和相关定理。考生需要熟练掌握向量空间的基本运算规则、线性组合、线性相关性和线性无关性等内容。

2.矩阵与行列式

矩阵是线性代数中非常重要的概念，考研数学二线代的考试范围包括矩阵的定义、性质、运算规则、特征值、特征向量、相似矩阵等内容，此外还会涉及到行列式的计算、性质和相关定理。

3.线性变换

线性变换是线性代数的另一个核心概念，考研数学二线代的考试范围包括线性变换的定义、性质、矩阵表示和标准形式等内容。考生需要理解线性变换的意义及其在几何变换、坐标变换和线性微分方程中的应用。

4.线性方程组

线性方程组是线性代数中的重要应用问题，考研数学二线代的考试范围包括线性方程组的解的存在性和唯一性、齐次线性方程组和非齐次线性方程组的基础解系、解空间、列空间、零空间、秩和核等内容。考生需要掌握线性方程组的解法，包括高斯消元法、矩阵求逆法、克拉默法则和特征值法等。

5.线性空间的基

线性空间的基是线性代数中的重要概念，考研数学二线代的考试范围包括线性空间的基的定义、性质、存在性和相关定理。考生需要熟练掌握线性空间的基的概念及其在矩阵、行列式、线性方程组和线性变换中的应用。

6.线性空间的维数 线性空间的维数是线性代数中的重要概念，考研数学二线代的考试范围包括线性空间的维数定义、性质、存在性和相关定理。考生需要理解线性空间的维数及其在基、子空间、矩阵和变换中的应用。

以上是考研数学二线代的考试范围，考生需要对以上内容进行深入的理解和掌握，通过大量的练习来加深对数学二线代知识的理解和掌握，从而顺利通过考试。希望考生能够充分利用时间，认真准备，取得满意的成绩。

考研数学线性代数二次型知识点有哪些重点内容及题型

由于二次型与它的实对称矩阵式一一对应的，所以二次型的很多问题都可以转化为它的实对称矩阵的问题，可见正确写出二次型的矩阵式处理二次型问题的一个基础。

考研数学二次型重点内容：

(1)掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型的秩和标准形等概念;

(2)了解二次型的规范形和惯性定理;

(3)掌握用正交变换并会用配方法化二次型为标准形;

(4)理解正定二次型和正定矩阵的概念及其判别方法。

考研数学二次型常见题型：

(1)二次型表成矩阵形式

(2)化二次型为标准形

(3)二次型正定性的判别。

关于考研数学线性代数二次型知识点的考试重点内容及题型如上所述，希望同学们能够认真掌握。最后，预祝同学们2020考研成功。