小学奥数经典专题点拨几何图形旋转

4-1-4.几何中的空间想象
知识点拨
　空间想象不仅是认识现实世界空间形式不可缺少的能力因素，而且是形成和发展创造力的源泉，因此，空间想象能力是数学教学必须培养的基本数学能力之一。

空间想象能力的培养与几何教学有关。

直观几何教学的主要任务是通过学生制作模型、搭积木、画图、模块一、对称图形
果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做对称图形。

【考点】几何中的空间想象【难度】1星【题型】填空
色面的对面涂的是什么色？黄色面的对面涂的是什么色？黑色面的对面是什么色？
【题型】解答
直三棱柱的体积是多少几何中的空间想象。

四年级奥数旋转平移题目摘要：一、旋转与平移的基本概念1.旋转的定义与性质2.平移的定义与性质二、旋转与平移在奥数中的应用1.旋转在奥数中的应用2.平移在奥数中的应用三、四年级奥数旋转平移题目的解答技巧1.如何解决旋转题目2.如何解决平移题目3.旋转和平移的综合运用四、四年级奥数旋转平移题目的例题解析1.旋转题目例题解析2.平移题目例题解析3.旋转和平移的综合运用例题解析正文：一、旋转与平移的基本概念旋转是指将一个图形绕着一个定点旋转一定的角度，而平移是指将一个图形沿着一定的方向和距离移动。

这两种变换都不会改变图形的形状和大小，只会改变其位置。

二、旋转与平移在奥数中的应用在四年级的奥数中，旋转和平移常常被用来解决一些复杂的题目，比如在图形题中，通过旋转或平移可以使得原本复杂的图形变得简单，从而更容易进行计算。

三、四年级奥数旋转平移题目的解答技巧对于旋转题目，我们需要先确定旋转的中心和旋转的角度，然后根据旋转的性质，计算出旋转后图形的位置和大小。

对于平移题目，我们需要先确定平移的方向和距离，然后根据平移的性质，计算出平移后图形的位置和大小。

对于旋转和平移的综合运用题目，我们需要先确定旋转和平移的先后顺序，然后按照上述方法进行计算。

四、四年级奥数旋转平移题目的例题解析例如，一道旋转题可能是：“一个正方形，边长为4 厘米，绕其中心点逆时针旋转45 度后，求旋转后正方形的中心点到原正方形边界的距离。

”对于这类题目，我们需要先确定旋转的中心（即正方形的中心点），旋转的角度（即45 度），然后根据旋转的性质，计算出旋转后正方形的中心点到原正方形边界的距离。

再比如，一道平移题可能是：“一个长方形，长为6 厘米，宽为4 厘米，向右平移2 厘米，求平移后长方形的宽。

”对于这类题目，我们需要先确定平移的方向（即向右），平移的距离（即2 厘米），然后根据平移的性质，计算出平移后长方形的宽。

三年级奥数-第1讲几何变换的巧算
介绍
本讲主要介绍几何变换的巧算方法。

几何变换是数学中的重要概念，包括平移、旋转和翻转等操作。

通过巧妙的计算方法，我们可以简化几何变换的过程，提高计算效率。

平移
平移是指在平面上将图形沿着某个方向移动一段距离的操作。

平移的关键在于确定平移的方向和距离。

对于简单的平移，我们可以利用平移的特点来进行巧算。

旋转
旋转是指将图形围绕某个固定点旋转一定角度的操作。

旋转的关键在于确定旋转的中心和角度。

对于特定的角度，我们可以使用巧算方法快速计算旋转后的图形。

翻转
翻转是指将图形沿着某个轴线翻转的操作。

翻转的关键在于确定翻转的轴线位置。

通过巧算方法，我们可以迅速计算出翻转后的图形。

总结
几何变换的巧算方法可以简化计算过程，提高计算效率。

通过熟练掌握几何变换的巧算方法，我们可以更加轻松地应对各类几何问题。

以上是三年级奥数第1讲《几何变换的巧算》的内容介绍。

通过学习和理解这些巧算方法，同学们可以在几何学习中更加得心应手。

希望大家都能在奥数学习中取得好成绩！。

旋转图形知识点小学六年级在小学六年级的数学学习中，旋转图形是一个重要的知识点。

通过了解旋转图形的概念、性质和应用，可以帮助学生更好地理解和应用几何知识。

本文将介绍旋转图形的相关知识点，并给出一些例题来帮助学生巩固所学内容。

一、旋转图形的概念旋转图形是指通过旋转一个图形来得到另一个图形。

在旋转过程中，图形的形状和大小保持不变，只是在平面内发生了旋转。

旋转图形可以分为顺时针旋转和逆时针旋转两种。

二、旋转图形的性质1. 旋转图形前后的相对位置关系不变。

旋转图形前后，图形之间的相对位置保持不变，即图形之间的距离和相互间的角度关系保持不变。

2. 旋转角度可以是90°，180°或360°。

旋转角度可以是90°、180°或者360°，也可以是它们的整数倍。

3. 旋转图形的旋转中心可以是任意一点。

旋转中心可以选择在图形内部或者图形外部，旋转中心的位置不影响旋转后图形的形状和大小。

三、旋转图形的应用1. 旋转图形的实际应用可以见于生活中的各种物体。

例如，风扇叶片、车轮都是旋转图形，它们的旋转使得它们可以完成特定的功能。

2. 旋转图形在设计和制图中也有广泛应用。

建筑师、工程师、设计师等各行各业都需要使用旋转图形来进行设计和制作各种图纸和平面布置。

例题1：已知如图所示的图形A经过顺时针旋转90°得到图形B，那么图形B经过逆时针旋转90°得到的图形是什么？（这里给出一个图形的示意图）解析：根据题意，图形A经过顺时针旋转90°得到图形B，反过来，图形B经过逆时针旋转90°就得到了图形A。

例题2：如下图所示，图形C经过顺时针旋转180°得到的图形是什么？（这里给出一个图形的示意图）解析：根据题意，顺时针旋转180°相当于逆时针旋转180°，即图形C经过旋转后与原图形完全重合。

通过这些例题，我们可以进一步巩固和应用旋转图形的知识。

捆地球的绳子假设地球上即无山，又无海，完全像一个大圆球，现在想用一根很长很长的绳子，沿着赤道用绳子捆上一圈，问绳长多少？如果绳长加上1米，绳子围成一个大圆圈之后，就要离开赤道一段距离，形成围绕地球的一个等距离的圆环，问圆环和地球之间的间隔有多大？（已知地球半径约为6400千米，π取3.14） 答案提示：地球赤道长：22 3.14640040192r π=⨯⨯=（千米），所以绳长40192千米； 一般我们会想对于4万多千米来说，仅仅延长1米，会有多大的间隔？即使有间隔，恐怕也只能在显微镜下才能看见！让我们来计算一下吧！假如绳长加上1米变为40192001米，则有：40192001264000000.159π÷-≈（米），大约为16厘米，差不多有一支铅笔长。

简直不可思议！圆的知识：1. 当一条线段绕着它的一个端点O 在平面上旋转一周时，它的另一端点所画成的封闭曲线叫做圆，点O 叫做这个圆的圆心.2. 连结一个圆的圆心和圆周上任一点的线段叫做圆的半径.3. 连结圆上任意两点的线段叫做圆的弦；过圆心的弦叫做圆的直径.4. 圆的周长与直径的比叫做圆周率；圆周上任意两点间的部分叫做弧.5. 圆周长=直径×π=半径×2π 圆面积=π×半径2扇形的知识：1. 扇形是圆的一部分，它是由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧组成的图形.顶点在圆心的角叫做圆心角. 2. 我们经常说的12圆、14圆、16圆等等其实都是扇形，而这个几分之几表示的其实是这个扇形的圆课前预习知识框架包含与排除和旋转对称心角占这个圆周角的几分之几．那么一般的求法是什么呢？关键是360n． 3. 扇形中的弧长= 180r n π.扇形的周长= 180r n π+2r.扇形的面积=3602r n π =.弓形的知识：弦与它所对的弧所组成的图形叫做弓形。

【一般来说，弓形面积=扇形面积-三角形面积．(除了半圆)】常用方法：1. 常用的思想方法：①转化思想(复杂转化为简单，不熟悉的转化为熟悉的) ②等积变形(割补、平移、旋转等) ③借来还去(加减法)④外围入手(从会求的图形或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的”关系”)2. 包含与排除法：重叠想减就是应用了包含与排除的思想，用包含与排除求面积时，关键是考虑重叠部分的面积如何正确处理，应该加上还是减去，要仔细思考，正确选择。

小学数学点知识归纳几何形的旋转和对称旋转和对称是小学数学中的重要概念，涉及到几何形的变化和性质。

通过对旋转和对称的归纳总结，可以提高学生对几何形的认识和理解。

本文将对小学数学中常见的几何形的旋转和对称进行归纳总结，帮助学生掌握相关知识。

一、旋转旋转是指将一个几何形按照某一点为中心进行旋转，使其形状保持不变的变换。

常见的旋转有90度、180度和360度旋转。

1.1 90度旋转90度旋转即将几何形按照某一点为中心顺时针或逆时针旋转90度。

经过90度旋转后，几何形的形状不变，但位置发生了改变。

例如，正方形经过90度顺时针旋转后变为另一个正方形，但位置与原来不同。

1.2 180度旋转180度旋转即将几何形按照某一点为中心顺时针或逆时针旋转180度。

经过180度旋转后，几何形的形状依然不变，但位置发生了改变。

例如，三角形经过180度旋转后，仍然是一个三角形，但位置和原来不同。

1.3 360度旋转360度旋转即将几何形按照某一点为中心顺时针或逆时针旋转360度。

经过360度旋转后，几何形的位置和形状均不变。

例如，圆经过360度旋转后，回到原来的位置和形状。

二、对称对称是指几何形中的一部分与另一部分关于某一条线、点或平面成镜像关系。

常见的对称有轴对称和中心对称。

2.1 轴对称轴对称即几何形中的一部分与另一部分关于一条线对称。

这条线被称为轴线。

经过轴对称后，几何形的形状保持不变。

例如，正方形的两条对角线相交于中心点，进而形成两条轴对称的轴线；而长方形以及各种多边形的对角线，也可以形成轴对称的轴线。

2.2 中心对称中心对称即几何形中的一部分与另一部分关于某个点对称。

这个点被称为中心。

经过中心对称后，几何形的形状保持不变。

例如，正方形、长方形和圆都具有中心对称。

正方形和长方形的中心点为图形的中心，而圆的中心即为圆心。

三、几何形的旋转和对称综合应用几何形的旋转和对称在实际应用中有广泛的运用，例如在艺术设计中、建筑构造中以及制造工艺中等。

奥数 专题 图形运动问题——旋转
二.[典例示范]
例8.如图，点O 是等边ABC △内一点,110AOB BOC α∠=∠=，.将BOC △绕 点C 按顺时针方向旋转60得ADC △,连接OD ． （1）求证:COD △是等边三角形；
(2)当150α=时,试判断AOD △的形状,并说明理由; (3)探究：当α为多少度时，AOD △是等腰三角形?
备用图
题7.如图，一块含有30º角的直角三角形ABC ，在水平
桌面上绕点C 按顺时针方向旋转到 Ａ’B ’C ’
若B Ｃ的长为15c ｍ，那么顶点A 从开始到结束所 经过的路径长为
_______＿＿__.
题8．如图,在Ｒt △ＡBC 中, ∠C=90º,∠B =3０º， 将△AB
Ｃ
绕着点Ｃ逆时针旋转后得到的△A ′Ｂ′Ｃ的斜边A ′B ′ 经过点Ａ, 那么旋转角的度数是_＿__＿_＿____．
题1４.如图,把一个直角三角形ACB 绕着︒30角的顶点B
A
B
C
D
O
110
α
A B
C D O 110 α A
B C D
O
110 α
顺时针旋转，使点A与CB的延长线上的点E重合， 的度数是．
这时BDC。

图形变换，是指不改变图形的大小、形状，只通过位置关系的改变（旋转、平移、折叠等），构成新的图形． 【例 1】 右图是一块长方形草地，长方形的长是16，宽是10．中间有两条道路，一条是长方形，一条是平行四边形，它们的宽都是2，求草地部分的面积（阴影部分）有多大？【考点】平移、旋转、割补 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 如图所示，将道路平移后的()()162102112-⨯-=。

【答案】112【例 2】 如图所示，一个正十二边形的边长是1厘米，空白部分是等边三角形，一共有12个．请算出阴影部分的面积．1cm【考点】平移、旋转、割补 【难度】3星 【题型】解答【解析】 如图，将阴影部分分割成一个正六边形和12个小三角形，再把正六边形分割成6个正三角形，由于正十二边形的每个内角为()180********︒⨯-÷=︒，所以阴影小三角形的顶角等于15060230︒-︒⨯=︒，每个顶角的两边和与其相邻的正三角形的底边所成的角都是306090︒+︒=︒，所以通过如右上图所示的平移可以组成6个边长为1厘米的正方形，所以所求阴影部分面积为2166⨯=平方厘米．【答案】6【例 3】 如图所示，梯形ABCD 中，AB 平行于CD ，又4BD =，3AC =，5AB CD +=．试求梯形ABCD 的面积．D CBAEDCBA【考点】平移、旋转、割补 【难度】3星 【题型】解答【解析】 如右图，将AB 沿AC 平移至CE ,连接BE ,在三角形BDE 中，有4BD =，3BE AC ==，5DE AB CD =+=，有222BD BE DE +=，所以三角形BDE 为直角三角形．由于ABD ABC BCE S S S ∆∆∆==，所以梯形ABCD 的面积与三角形BDE 的面积相等，为13462⨯⨯=．例题精讲4-2-5.平移、旋转、割补【例 4】 如下图，六边形ABCDEF 中，AB ED =，AF CD =，BC EF =，且有AB 平行于ED ，AF 平行于CD ，BC 平行于EF ，对角线FD 垂直于BD ，已知24FD =厘米，18BD =厘米，请问六边形ABCDEF 的面积是多少平方厘米？FD BAGFE DCBA【考点】平移、旋转、割补 【难度】5星 【题型】解答【解析】 如图，我们将BCD ∆平移使得CD 与AF 重合，将DEF ∆平移使得ED 与AB 重合，这样EF 、BC 都重合到图中的AG 了．这样就组成了一个长方形BGFD ，它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形BGFD 的面积为2418432⨯=平方厘米，所以六边形ABCDEF 的面积为432平方厘米．【答案】432【例 5】 如图2，六边形ABCDEF 为正六边形，P 为对角线CF 上一点，若PBC 、PEF 的面积为3与4，则正六边形ABCDEF 的面积是．E【考点】平移、旋转、割补 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】2007年，迎春杯、中年级、初赛、7题【解析】 这是一道几何问题，考察同学们对常见图形性质的认识．正六边形的六条边都相等，每个角都是，每一组对边都互相平行，正六边形可以看作是由六个正三角形拼成的（如图（1））．其中正六边形的面积是正三角形面积的6倍．每相邻两个正三角形拼成的是一个平行四边形．如图（2），连结BF ，三角形ABF 的面积是平行四边形ABFO 面积的一半．六边形ABCDEF 的面积是平行四边形ABFO 的3倍，故六边形ABCDEF 的面积是三角形ABF 的面积的6倍． 如图（3），连结BF ，CE ，三角形BCP 的面积与三角形EFP 的面积和是平行四边形BFEC 面积的一半．而六边形ABCDEF 的面积是平行四边形BFEC 的1.5倍，故六边形ABCDEF 的面积是三角形BCP 的面积与三角形EFP 的面积和的3倍．图（1）OAB CDEF图（2）OB ACDEF图（3）E所以，由PBC △、PEF △的面积分别为3与4， 可知正六边形ABCDEF 的面积是(34)321+⨯=．【例 6】 正六边形A1A2A3A4A5A6的面积是2009平方厘米，B1,B2,B3,B4,B5,B6分别是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是 平方厘米．A 3【考点】平移、旋转、割补 【难度】5星 【题型】解答 【关键词】2009年、迎春杯、六年级、初赛、14题【解析】 如图，设62B A 与13B A 的交点为O ，则图中空白部分由6个与23A OA △一样大小的三角形组成，只要求出了23A OA △的面积，就可以求出空白部分面积，进而求出阴影部分面积.4A 3A 654连接63A A 、61B B 、63B A设116A B B △的面积为“1”，则126B A B △面积为“1”，126A AB △面积为“2”，那么636A A B △面积为126A A B △的2倍，为“4”，梯形1236A A A A 的面积为224212⨯+⨯=，263A B A △的面积为“6”，123BAA △的面积为2 根据蝴蝶定理，1263261316B A B A A B B O A O S S ===△△∶∶，故21233612167A OAB A A S S ==+△△， 所以231236A A A A 121277A OA S S =△梯形∶∶∶1∶，即23A OA △的面积为梯形1236A A A A 面积的17，故为六边形123456A A A A A A 面积的114，那么空白部分的面积为正六边形面积的136147⨯=，所以阴影部分面积为32009111487⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭(平方厘米).【答案】1148【例 7】 按照图中的样子，在一平行四边形纸片上割去了甲、乙两个直角三角形．已知甲三角形两条直角边分别为2cm 和4cm ，乙三角形两条直角边分别为3cm 和6cm ，求图中阴影部分的面积．【考点】平移、旋转、割补 【难度】3星 【题型】解答【解析】 如右图，我们将三角形甲与乙进行平移，就会发现平行四边形面积等于平移后两个长方形面积之和．所以阴影部分面积为：2346236242211cm ⨯+⨯-⨯÷+⨯÷=（）（）【答案】11【例 8】在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段(见右图)，求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几.【考点】平移、旋转、割补 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 阴影总值是一个梯形.我们用三种方法解答.⑴ 割补法从顶点作底边上的高，得到两个相同的直角三角形.将这两个直角三角形拼成一个长方形(见下图).显然，阴影部分正好是长方形的13，所以原题阴影部分占整个图形面积的13.⑵ 拼补法将两个这样的三角形拼成一个平行四边形(下页左上图).显然，图中阴影面积占平行四边形面积的13.根据商不变性质，将阴影面积和平行四边形面积同时除以2，商不变.所以原题阴影部分占整个图形面积的13.⑶ 等分法将原图等分成9个小三角形(见右上图)，阴影部分占3个小三角形，所以阴影部分占整个图形面积的3193=. 注意，后两种方法对任意三角形都适用.也就是说，将例题中的等腰三角形换成任意三角形，其它条件不变，结论仍然成立. 【答案】13【例 9】 如下左图，有两个大小相同的完全重叠在一起的正方形，现在以点P 为中心转动一个正方形．当5AB =厘米，13BC =厘米，12CA =厘米时(如下右图)，求右图中的两个正方形相重叠部分的面积(注意，图的尺寸不一定准确)．P【考点】平移、旋转、割补 【难度】3星 【题型】解答【解析】 右图由左图旋转而得，则右图中的8个空白小三角形都是完全相同的，右图中重叠部分的面积等于正方形面积减去4个小三角形的面积，从右图中可以看出正方形的边长为5131230++=厘米，所以重叠部分的面积为：2304(5122)780-⨯⨯÷=(平方厘米)．【答案】780【例 10】 如图，在直角三角形中有一个正方形，已知10BD =厘米，7DC =厘米，求阴影部分的面积．【考点】平移、旋转、割补 【难度】4星 【题型】解答【解析】 绕D 点逆时针旋转CED ∆，使E 与F 重合，则C 点落在AB 边上的'C 点处，且'C D CD =．则阴影部分面积转化为直角三角形'BC D 的面积，所以阴影部分的面积为107235⨯÷=平方厘米．【答案】35【例 11】 四边形ABCD 中,AB =30,AD =48,BC =14,CD =40.又已知∠ABD +∠BDC =900,求四边形ABCD 的面积．DBA【考点】平移、旋转、割补 【难度】5星 【题型】解答【解析】 如下图,以BD 的垂直平分线为对称轴L ,做△ABD 关于L 的对称图形△A 'BD .连接A 'C ．A 1IABCD因为∠ABD +∠BDC =9000而∠ABD =∠A 'DB =900,所以有∠A 'DB +∠BDC =900． 那么A 'CD 为直角三角形,由勾股定理知2A C '=22AB CD +=2500,所以50A C '=.而在△A 'BC 中,有A 'B =AD =48,有482+142=2500,即A 'B 2+BC 2=A 'C 2,即△A 'BC 为直角三角形． 有A CD A BCSS''+130402=⨯⨯114489362+⨯⨯=. 而|ABCDS 四边形A CD A BC S S ''=+936=.评注:Ⅰ.本题以∠ABC +∠BDC =900突破口,通过对称变换构造出与原图形相关的角三角形Ⅱ.对于这道题我们还可以将△BCD 作L 的对称图形.如下：C 1lABCD【答案】936【例 12】 如图,在三角形ABD 中,当AB 和CD 的长度相等时,请求出“?”所示的角是多少度,给出过程．DCAB?30°40°【考点】平移、旋转、割补 【难度】5星 【题型】解答【解析】 因为AB =CD ,于是可以将三角形ABC 的边BA 边与CD 对齐,如下图． 在下图中有∠BCA =110°,所以∠ACD =70°于是∠AC C '=∠ACD +∠DC C '=∠ACD +∠ABC =70°+40°=110°；A 1D C 1CB 1BA即∠AC C '=110°=∠CC D '；又因为C A ''只是CA 移动的变化,所以C A ''=CA ；则A B CA ''是一等腰梯形．于是,∠ADC '=180°-110°=70°；又∠CDC '=30°,所以∠ADC =70°-30°=40°.【答案】40°【例 13】 如图所示的四边形的面积等于多少？DB13131212【考点】平移、旋转、割补 【难度】4星 【题型】解答【解析】 题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积.我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：把三角形OAB 绕顶点O 逆时针旋转，使长为13的两条边重合，此时三角形OAB 将旋转到三角形OCD 的位置.这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为12的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面积.因此，原来四边形的面积为1212144⨯=.(也可以用勾股定理)【答案】144【例 14】 如图，三角形ABC 是等腰直角三角形，P 是三角形外的一点，其中90BPC ∠=︒，10cm AP =，求四边形ABPC 的面积．P DCBAP'PDCBA【考点】平移、旋转、割补 【难度】5星 【题型】解答【解析】 因为BAC ∠和BPC ∠都是直角，和为180︒，所以ABP ∠和ACP ∠的和也为180︒，可以旋转三角形APC ，使AC 和AB 重合，则四边形的面积转化为等腰直角三角形'AP P ，面积为1010250⨯÷=平方厘米．【答案】50【例 15】 如图所示，ABC ∆中，90ABC ∠=︒，3AB =，5BC =，以AC 为一边向ABC ∆外作正方形ACDE ，中心为O ，求OBC ∆的面积．【考点】平移、旋转、割补 【难度】5星 【题型】解答 【关键词】2008年、武汉明心奥数【解析】 如图，将OAB ∆沿着O 点顺时针旋转90︒，到达OCF ∆的位置．由于90ABC ∠=︒，90AOC ∠=︒，所以180OAB OCB ∠+∠=︒．而OCF OAB ∠=∠， 所以180OCF OCB ∠+∠=︒，那么B 、C 、F 三点在一条直线上．由于OB OF =，90BOF AOC ∠=∠=︒，所以BOF ∆是等腰直角三角形，且斜边BF 为538+=，所以它的面积为218164⨯=．根据面积比例模型，OBC ∆的面积为516108⨯=．【答案】10【例 16】 如图，直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB BC ⊥，2AD =，3BC =，将腰CD 以D 为中心逆时针旋转90︒至ED ，连接AE 、CE ，则ADE ∆的面积是 ．ED CBAH FEDCBA【考点】平移、旋转、割补 【难度】5星 【题型】解答 【关键词】2008年、武汉明心奥数【解析】 如图所示，将ADE ∆以D 为中心顺时针旋转90︒，到FDC ∆的位置．延长FD 与BC 交于H ．由于ABCD 是直角梯形，AD 与FD 垂直，则四边形ADHB 是长方形，则BH AD =．由于ADE ∆与FDC ∆面积相等，而FDC ∆的底边2FD AD ==，高321CH BC BH =-=-=，所以FDC ∆的面积为2121⨯÷=，那么ADE ∆的面积也为1．【答案】1【例 17】 如图，正方形ABCD 和DEFG 有一个公共点D ，试比较三角形ADG 和三角形CDE 的面积．GFEDC BAA'GFEDCBA【考点】平移、旋转、割补 【难度】5星 【题型】解答【解析】 因为ADC ∠和GDE ∠是直角，所以ADG ∠和CDE ∠是互补角，将三角形ADG 顺时针旋转90︒到达'A DE ∆的位置，则'A 、D 、C 在同一条直线上，且'A D AD CD ==，即D 是'A C 的中点，所以三角形CDE 和三角形'A DE 面积相等，则三角形CDE 和三角形ADG 面积相等．【答案】相等【例 18】 如图，以正方形的边AB 为斜边在正方形内作直角三角形ABE ，90AEB ∠=︒，AC 、BD 交于O ．已知AE 、BE 的长分别为3cm 、5cm ，求三角形OBE的面积．F【考点】平移、旋转、割补 【难度】5星 【题型】解答 【关键词】2008年、资优杯【解析】 如图，连接DE ，以A 点为中心，将ADE ∆顺时针旋转90︒到ABF ∆的位置．那么90EAF EAB BAF EAB DAE ∠=∠+∠=∠+∠=︒，而AEB ∠也是90︒，所以四边形AFBE 是直角梯形，且3AF AE ==，所以梯形AFBE 的面积为：()1353122+⨯⨯=(2cm )．又因为ABE ∆是直角三角形，根据勾股定理，222223534AB AE BE =+=+=，所以21172ABD S AB ∆==(2cm )．那么()17125BDE ABD ABE ADE ABD AFBE S S S S S S ∆∆∆∆∆=-+=-=-=(2cm )，所以12.52OBE BDE S S ∆∆==(2cm )．【答案】2.5【例 19】 如图，已知4cm AB AE ==，BC DC =，90BAE BCD ∠=∠=︒，10cm AC =，则S ABC ACE CDE S S ∆∆∆++= 2cm ．EDCBADEC 'A 'CBA【考点】平移、旋转、割补 【难度】5星 【题型】解答 【关键词】2008年、迎春杯、高年级、复赛、10题【解析】 将三角形ABC 绕A 点和C 点分别顺时针和逆时针旋转90，构成三角形'AEC 和'A DC ，再连接''A C ，显然'AC AC ⊥，'AC A C ⊥，''AC A C AC ==，所以''ACA C 是正方形．三角形'AEC 和三角形'A DC 关于正方形的中心O 中心对称，在中心对称图形''ACA C 中有如下等量关系： ''AEC A DC S S ∆∆=；''AEC A DC S S ∆∆=；'CED C DE S S ∆∆=．所以2'''11101050cm 22ABC ACE CDE AEC ACE CDE ACA C S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆++=++==⨯⨯=．【答案】50【例 20】 如图所示的四边形ABCD 中，45A C ∠=∠=°，105ABC ∠=°，15AB CD ==厘米，连接对角线BD ，30ABD ∠=︒．求四边形ABCD 的面积．DCB A DECBA【考点】平移、旋转、割补 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】第八届、华杯总决赛【解析】 由45A ∠=°，30ABD ∠=︒，可得1804530105ADB ∠=︒-︒-︒=︒，1053075DBC ∠=︒-︒=︒．将DBC ∆剪下来，翻转，再贴在BD 边上，即将B 点粘在D 点上，D 点粘在B 点上，如右上图所示．则C 点在E 点的位置．由于10575180ADB EDB ∠+∠=︒+︒=︒，所以A 、D 、E 三点在同一条直线上．由于45A E C ∠=∠=∠=°，所以90ABE ∠=︒，即ABE ∆是等腰直角三角形，它的面积就等于四边形ABCD 的面积，所以四边形ABCD 的面积为1515112.52⨯=平方厘米．【答案】112.5【例 21】 如图，在ABD ∆中，AB CD =，求“？”的度数．40°30°?DCBAD【考点】平移、旋转、割补 【难度】5星 【题型】解答【解析】 如图，由于AB CD =，可以将ABC ∆移动到DCE ∆，由于180(3040)110AC B ∠=︒-︒+︒=︒，18011070ACD ∠=︒-︒=︒，所以7040110ACE ∠=︒+︒=︒，又110CED ∠=︒，而AC DE =，所以四边形ACED 是等腰梯形，有180********ADE CED ∠=︒-∠=︒-︒=︒，703040ADC ∠=︒-︒=︒．点评：通过构造全等三角形来转化．【答案】40°【例 22】 下图三角形ABC 是等腰三角形，AB AC =，120BAC ∠=︒．三角形ADE 是正三角形，点D 在BC边上，:2:3BD DC =．当三角形ABC 的面积是250cm 时，三角形ADE 的面积是多少？EDCB AGP R Q F EDCBA【考点】平移、旋转、割补 【难度】5星 【题型】解答【解析】 以点A 为中心，由三个三角形ABC 可拼成右图：连结QE 、RF 、GD ，则DEQFRG 是一个正六边形．连结RD 、DQ 、RQ ，显然RDQ 是一个等边三角形，并且它的面积是正六边形面积的一半，所以是三角形ADE 的面积的3倍．由于23150cm PBC ABC S S ∆∆=⨯=，根据“鸟头定理”，22336cm 3223DQC PBC S S ∆∆=⨯⨯=++， 所以2342cm RDQ PBC DQC S S S ∆∆∆=-⨯=，则2342314cm ADE RDQS S ∆∆=÷=÷=．【答案】14【例 23】 如图，正方形PQRS 有三个顶点分别在ABC ∆的三条边上，BQ QC =．求正方形PQRS 的面积．【考点】平移、旋转、割补 【难度】5星 【题型】解答【解析】 如下图，我们设ABC ∆的面积为1，有161279341()122132111311143a e c db =---+=-⨯-⨯-⨯=，所以682143a e ==，751143bcd a ++=-=， 所以6875a b c d =++．如下图左，将三角形c 和三角形d 分别以P 、R 为中心按箭头方向旋转90︒，形成由两个直角三角形连在一起的一个四边形，如下图右，b 、c 、d 被虚线分成两个直角三角形，它们的面积之和为：276292230cm b c d ++=⨯÷+⨯÷=，所以2683027.2(cm )75a =⨯=．【答案】27.2【例 24】 如下图,△ABC 是边长为1的等边三角形,△BCD 是等腰三角形BD =CD ，顶角∠BDC =1200,∠MDN =600,求△AMN 的周长.120°60°M BD CNA【考点】平移、旋转、割补 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 如下图, 延长AC 至P ,使CP =MB ,连接DP .120°60°M BD C NA则有∠MBD =600+1163ADEDQRDEQSRT SS S ==正六边形01801202-=∠PCD ；CP =BM ；BD =CD ,所以有△MBD ≌△PCD .于是∠MDC =∠PDC ；又因为∠MDB +∠NDC =600,所以∠PDC +∠NDC =∠NDP =600； MD =PD ,在△MDN 、△PND 中,∠NDM =∠NDP ,ND =ND ,MD =PD ,于是△MND ≌△PND .有MN =PN .因为NP =NP =NC +CP ,而AM =AB -MB =AB -CP , 所以AM +AN +MN =(AB -CP )+AN +(NC +CP )=AB +AN +NC =2.即△AMN 的周长为2.【答案】2【例 25】若干个大小相同的正五边形如右图排成环状，下图中所示的只是3个五边形．那么要完成这一圈共需个正五边形．【考点】平移、旋转、割补 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】2009年、迎春杯、六年级、初赛、5题【解析】 如图，设O 为圆心，A 、B 、C 、D 为五边形的顶点，连接OA 、OB 、OC .DC BAO从图中可以看出，OAB △和OBC △是完全相同的，所以OBA OBC ∠=∠，又五边形内角和为540°，所以正五边形的每个内角都为5405108÷=°°，即108ABD CBD ∠=∠=°， 那么3601082144ABC ∠=︒-︒⨯=︒，则144272OBA ∠=÷=°°， 又OAB OBA ∠=∠，所以18072236AOB ∠=︒-︒⨯=︒ 所以要用3603610+=°°个正五边形才能围成一圈.【答案】10【例 26】 如图，ABCD 是矩形，BC =6cm , AB=10cm ,AC 和BD 是对角线，图中的阴影部分以C 为轴旋转一周，则阴影部分扫过的立体的体积是多少立方厘米？（π取3.14）【考点】平移、旋转、割补 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】2006年，第十一届、华杯赛、决赛、第11题【解析】 ①设三角形BCO 以CD 为轴旋转一周所得到的立体的体积是s ，S 等于高为10厘米，底面半径是6厘米的圆锥的体积减去2个高为5厘米，底面半径是3厘米的圆锥的体积。

四年级奥数的旋转平移题目例题：请将右图中的三角形ABC向右平移三个单位长度，再绕B点逆时针旋转90度。

解析：1. 右图中的三角形ABC首先要向右平移三个单位长度。

这就意味着，我们需要把三角形的每一个顶点都向右平移三个单位。

根据点的平移规律，新位置的坐标是原位置的坐标加上平移的单位。

比如，A点的原始坐标是(0，0)，向右平移三个单位后，新的坐标就会变成(3，0)。

同理，B点的原始坐标是(3，0)，平移后新的坐标会是(6，0)。

而C点的原始坐标是(0，3)，平移后新的坐标会是(3，3)。

得到新的三角形A1B1C1。

2. 接下来，我们需要将三角形A1B1C1绕B1点逆时针旋转90度。

在旋转过程中，每一个顶点的坐标都会发生变化。

根据点的旋转规律，旋转90度后，新的坐标可以通过将原坐标的x轴坐标和y轴坐标互换并取负数得到。

比如，B1点的原始坐标是(6，0)，旋转90度后，新的坐标会是(0，-6)。

同理，A1点的原始坐标是(3，0)，旋转后新的坐标会是(0，-3)。

而C1点的原始坐标是(3，3)，旋转后新的坐标会是(0，-3)。

得到旋转后的三角形A2B2C2。

答案：通过以上步骤，我们得到了最终的旋转平移后的三角形A2B2C2。

通过这个例题，我们可以了解到旋转平移问题的解题技巧主要是：1. 理解并应用点的平移和旋转规律；2. 有耐心并仔细地计算每一个点的新的坐标；3. 理解并应用数学中的空间想象力，能够在头脑中形成清晰的图像，帮助我们更好地理解问题的变化过程。

同时，我们也学到了旋转平移问题的相关知识：在解决这类问题时，我们需要应用平面几何的知识，如点的平移规律、旋转规律等。

此外，我们还需要进行计算和空间想象，这些都是解决这类问题的重要技能。