基本初等函数知识总结
1. 线性函数：线性函数是最简单的基本初等函数形式之一、它的表
达式为f(x) = mx + b，其中m和b是实数常数。线性函数的图像是一条
直线，斜率m代表了线的倾斜程度，而常数b表示了线与y轴的截距。
2.平方函数：平方函数是基本初等函数的另一种形式，其表达式为
f(x)=x^2、平方函数的图像是一条开口朝上的抛物线，它的顶点位于坐标
原点，并且图像关于y轴对称。
3.立方函数：立方函数是基本初等函数的一种形式，其表达式为
f(x)=x^3、立方函数的图像是一条经过坐标原点的S形曲线，它是奇函数，即满足f(-x)=-f(x)。
4.平方根函数：平方根函数是基本初等函数的一种形式，其表达式为
f(x)=√x。平方根函数的图像是一条开口朝右的抛物线，其定义域为
x≥0，值域为y≥0。它的特点是随着自变量的增加，函数值增加速度逐
渐变缓。
5.绝对值函数：绝对值函数是一种基本初等函数，其表达式为f(x)=，x。绝对值函数的图像是一条以y轴为对称轴的V形曲线，其定义域为所
有实数，值域为非负实数。
6.指数函数：指数函数是一种基本初等函数，其表达式为f(x)=a^x，其中a是一个正常数且不等于1、指数函数的图像是一条增长非常快的曲线，在x轴的右侧部分与x轴无交点，并且随着x的增大，函数值以指数
级别增加。
7. 对数函数：对数函数是一种基本初等函数，其表达式为f(x) = log_a(x)，其中a是一个正常数且不等于1、对数函数的图像是关于y轴对称的曲线，其定义域为x>0，值域为所有实数。
8. 正弦函数：正弦函数是一种基本初等函数，其表达式为f(x) = sin(x)。正弦函数是周期性的，其周期为2π，图像呈现出波浪形状，振幅为1，且在x=0处达到最小值。
9. 余弦函数：余弦函数是一种基本初等函数，其表达式为f(x) = cos(x)。余弦函数也是周期性的，其周期为2π，图像也呈现波浪形状，振幅为1，但在x=0处达到最大值。
10. 正切函数：正切函数是一种基本初等函数，其表达式为f(x) = tan(x)。正切函数的图像是一条无穷直线，其周期为π，且在x=0时函数值为0，当x趋于π/2或-x趋于-π/2时，函数的值趋于正无穷或负无穷。
这些基本初等函数是数学中常见的函数形式，它们具有不同的特点和性质，在数学和物理等学科中有着广泛的应用。通过研究和理解这些基本初等函数，可以更好地理解和分析其他更复杂的函数形式，并且可以在实际问题中应用它们来建立数学模型。
高数是一门重要的数学课程，其中最基础的内容就是16个基本初等函数。这些函数在数 学和实际应用中都有着广泛的应用，下面我们将逐一介绍这16个函数。 一、常数函数 常数函数是指函数f(x)=c，其中c为常数。这个函数的图像是一条平行于x轴的直线，它的斜率为0。常数函数在实际应用中常用于表示一些固定的量，如重力加速度g=9.8m/s²。 二、幂函数 幂函数是指函数f(x)=x^a，其中a为常数。幂函数的图像随着a的不同而变化，当a>1时，函数的图像呈现出上升的趋势，当0 基本初等函数 1.根式的运算性质： ①当n 为任意正整数时，(n a )n =a ②当n 为奇数时，n n a =a ；当n 为偶数时，n n a =|a|=? ??<-≥)0() 0(a a a a 2.分数指数幂的运算性质： ) ()(),()() ,(Q n b a ab Q n m a a Q n m a a a n n n mn n m n m n m ∈?=∈=∈=?+ 3.指数式与对数式的互化：log b a a N N b =?= 4.重要公式： 01log =a ，1log =a a 对数恒等式N a N a =log 5.对数的运算法则：如果0,1,0,0a a N M >≠>>有 log ()log log a a a MN M N =+；log log log a a a M M N N =-；log log n a a M n M = 6.对数换底公式：a N N m m a log log log = ( a > 0 ,a ≠ 1 ，m > 0 ,m ≠ 1,N>0) 7.指数函数)1,0(≠>=a a a y x 与对数函数)1,0(log ≠>=a a x y a 的图象与性质 x=1x=1 y=1 y=1在(0,+∞)内是 减函数 在(0,+∞)内是 增函数 在(- ∞,+∞)内是 减函数在(- ∞,+∞)内是 增函数 0 基本初等函数知识总结 含义:常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数 1.常数函数（y=C） （1）定义域: D（f）＝（-∞，+∞）（2）值域: Z(f)=C (3) 性质: 它的图像是一条平行 于x轴并通过点(0，C)在y轴上截距为C的直线 (4 )图像： (5)周期性：常值函数是一个周期函数. 因对于任何x∈(-∞,+∞)和实数T，f(x+T)=f(x)=T,但并无最小正周期【注】常值函数不含自变量且不存在反函数 2.幂函数 (1)定义：形如y=x^a(a为常数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常量的函数称为幂 函数. (2)性质：在(0，+∞)内总有意义 ①当α＞0时函数图像过点(0，0)和(1，1)，在(0，+∞)内单调增加且无界②当α＜0时函数图像过点(1，1)，在(0， +∞)内单调 减少且无界 (3)图像： 3.指数函数 y=a^x(a>0且a≠1) (1)定义域：x∈R (2)值域：(0，+∞) (3)性质：①单调性：1.当0＜a＜1时，在(-∞，+∞)内单调减少 2.当a ＞1时，在(-∞，+∞)内单调增加②奇偶性：非奇非偶函数③周期性：非周期函数④有界性：无界函数 (4)图像： ①由指数函数y=a^x与直线x=1 相交于点（1，a)可知：在y轴 右侧，图像从下到上相应的底 数由小变大。 ②由指数函数y=a^x与直线 x=-1相交于点（-1，1/a）可知：在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小。 ③指数函数的底数与图像间的关系可概括的记忆为：在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低” 如图： 1 / 6 指数函数及其性质 一、指数与指数幂的运算 （一）根式的概念 1、如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次方根用符号n a 表示；当n 是偶数时，正数a 的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号n a -表示；0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根． 2、式子n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥． 3、根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时， n n a a =；当n 为偶数时， (0) || (0) n n a a a a a a ≥⎧==⎨ -<⎩． （二）分数指数幂的概念 1、正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m n a a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0． 2、正数的负分数指数幂的意义是： 11 ()()(0,,,m m m n n n a a m n N a a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． 3、a 0=1 (a ≠0) a p = 1/a p (a ≠0；p ∈N *) 4、指数幂的运算性质 (0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 5、0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义。 二、指数函数的概念 一般地，函数)1a ,0a (a y x ≠>=且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 注意：○ 1 指数函数的定义是一个形式定义； ○ 2 注意指数函数的底数的取值范围不能是负数、零和1． 函数名称 指数函数 定义 函数(0x y a a =>且1)a ≠叫做指数函数 图象 1a > 01a << 定义域 R 值域 （0,+∞） 过定点 图象过定点（0,1），即当x=0时，y=1． 奇偶性 非奇非偶 x a y =x y (0,1) O 1 y =x a y =x y (0,1)O 1 y = 基本初等函数总结表格 1. 常数函数： - 定义：常数函数是一个恒定的值，不随自变量的变化而变化。 - 表达式：f(x) = c，其中c为常数。 - 特点：图像是一条水平直线，斜率为0。 2. 幂函数： - 定义：幂函数是自变量以某个常数为指数的函数。 - 表达式：f(x) = x^n，其中n为实数。 - 特点： - 当n为正数时，图像从原点出发，并随着x增大而增大，斜率逐渐变大； - 当n为负数时，图像从正无穷大或负无穷大出发，并随着x增大而逐渐趋近于0； - 当n为偶数时，图像关于y轴对称； - 当n为奇数时，图像关于原点对称。 3. 指数函数： - 定义：指数函数是以一个正常数为底数，自变量为指数的函数。 - 表达式：f(x) = a^x，其中a为正常数且不等于1。 - 特点： - 当a大于1时，图像从原点出发，并随着x增大而变大，斜率逐渐变大； - 当0 < a < 1时，图像从正无穷大出发，并随着x增大而逐渐趋近于0； - 当a等于1时，图像是一条水平直线，斜率为0。 4. 对数函数： - 定义：对数函数是指以一个正常数为底数，自变量为函数值的指数的函数。 - 表达式：f(x) = logₐ(x)，其中a为一个正常数且不等于1，x为正实数。 - 特点：与指数函数为互逆函数，反映了指数运算的逆运算关系。 5. 三角函数： - 正弦函数： - 定义：正弦函数是一个周期性函数，描述了单位圆上的y 坐标值。 - 表达式：f(x) = sin(x)，其中x为弧度。 - 特点： - 周期为2π； - 在x为0、π、2π等整数倍时，达到最大值1； - 在x为π/2、3π/2等奇数倍时，达到最小值-1； - 在x为π、2π等偶数倍时，取0。 - 余弦函数： - 定义：余弦函数是一个周期性函数，描述了单位圆上的x 坐标值。 - 表达式：f(x) = cos(x)，其中x为弧度。 - 特点： - 周期为2π； - 在x为0、2π等整数倍时，达到最大值1； - 在x为π/2、3π/2等奇数倍时，取0； 基本初等函数 中学阶段（初高中）我们只要求掌握基本初等函数及其复合函数即可。什么是基本初等函数？就是那些：幂函数（一次二次负一次）、指数、对数、三角等。力求在这些具体函数中，运用函数的性质（奇偶性、周期、单调等的性质），掌握某些函数的特殊技巧。 一、一次函数 初中的一个函数，Primary基本、简单而又很重要。解析式：y=kx+b或y=ax+b，通常我们会这样设。那么高中我们在什么地方会用到它呢？解析几何中我们会设直线；线性规划会有好多跟直线；也容易在函数里面作为条件表达一下…… 画出以下解析式的图像：要求快 （1）y=x+1; (2)y=x-1 (3)y=-x+1 (4)y=-x-1 (5)x=1(6)y=1 (7)y=2x 根据以下条件，设出一次函数的解析式： (1)直线经过(1,2)点 (2)直线的斜率是2 总结：两个参数主宰斜率和与y轴的交点位置。因为两个参数，所以要有两个条件才能解得解析式。 二、二次函数 二次函数的大部分内容在另外一个讲义里面已经讲述了，这里补遗强调一下。十分重要的内容，属于幂函数中最重要的一类。二次函数图象的应用与其最值问题是高考的热点，题型多以小题或大题中关键的一步的形式出现，主要考查二次函数与一元二次方程及一元二次不等式三者的综合应用，幂函数的内容要求较低，只要求会简单幂函数的图象与性质． 1、二次函数的三种表示形式 (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c，(a≠0)； (2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(顶点坐标为(h，k))； (3)双根式：y＝a(x－x1)(x－x2)(图象与x轴的交点为(x1,0)，(x2,0)) 求一元二次解析式:将题目有的条件表示一下，没有难度，过场的题目而已 Eg：已知二次函数f(x)同时满足条件：(1)f(1＋x)＝f(1－x)；(2)f(x)的最大值为15；(3)f(x)＝0的两根平方和等于7.求f(x)的解析式． Ans：f(1＋x)＝f(1－x)知二次函数对称轴为x＝1. ∴已知最大值和对称轴，用顶点式，设f(x)＝a(x－1)2＋15＝ax2－2ax＋15＋a. ∵x21＋x22＝7 即(x1＋x2)2－2x1x2＝7 高一数学必修1 知识点总结 基本初等函数 一、指数函数 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫 做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *． ◆ 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。 当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时， ?? ?<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： )1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m ， )1,,,0(1 1*>∈>= = -n N n m a a a a n m n m n m ◆ 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>； （3）s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>． （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数 a y x且叫做指数函数，其中x是自变=a a )1 > ,0 (≠ 量，函数的定义域为R． 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1． 2、指数函数的图象和性质 注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出： （1）在[a ，b]上，)1a 0a (a )x (f x ≠>=且值域是 )]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [； （2）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有 a )1(f =； 二、对数函数 （一）对数 1．对数的概念：一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ， 那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数，记作： N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对 数式） 说明：○1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ； ○ 2 x N N a a x =?=log ； ○ 3 注意对数的书写格式．两个重要对数： ○ 1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○ 2 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 指数式与对数式的互化 幂值 真数 ＝ N 基本初等函数公式总结 基本初等函数是数学中非常重要和常用的一类函数，它们的定义域和值域都是实数集合。它们包括多项式函数、有理函数、指数函数、对数函数和三角函数等。这些函数有一些特殊的性质和公式，下面将对这些基本初等函数进行总结。 1.多项式函数： 多项式函数是一个由常数项、一次幂、二次幂等有限次幂的项组成的函数。它的一般形式为： f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a2x2 + a1x + a0 其中n为非负整数，ai为常数。多项式函数的性质包括： -定义域为实数集合； -值域为实数集合； -对称性：奇次多项式函数关于原点对称，偶次多项式函数关于y轴对称； -当x趋向于正无穷大时，最高次幂项的次数决定函数的变化趋势； -多项式函数的导数是比它次数低一阶的多项式函数。 2.有理函数： 有理函数是一个多项式函数除以另一个多项式函数的商。它的一般形式为： f(x)=P(x)/Q(x) 其中P(x)和Q(x)都是多项式函数，Q(x)不为零。有理函数的性质包括： -定义域为实数集合，除去使得分母为零的点； -值域为实数集合； -有理函数的奇点是使得分母为零的点； -当x趋向于无穷大时，有理函数的变化趋势由最高次幂项的次数和系数决定； -有理函数的导数可以通过求导法则得到。 3.指数函数： 指数函数的一般形式为： f(x)=a^x 其中a为正常数且不等于1、指数函数的特点包括： -定义域为实数集合； -值域为正实数集合； -指数函数的图像是逐渐增长或逐渐衰减的曲线； -指数函数的性质和变化趋势与底数a的大小有关； -指数函数的导数是函数本身的常数倍。 4.对数函数： 对数函数的一般形式为： 基本初等函数 一、指数函数 一指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地,如果a x n =,那么x 叫做a 的n 次方根,其中n >1,且n ∈N ． ◆ 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0,记作00=n ; 当n 是奇数时,a a n n =,当n 是偶数时,⎩ ⎨ ⎧<≥-==)0() 0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义,规定： ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m , )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m ◆ 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质 1r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>； 2rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>； 3 s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>． 二指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地,函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域为R ． 注意：指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1． 2、指数函数的图象和性质 注意：利用函数的单调性,结合图象还可以看出： 1在a,b 上,)1a 0a (a )x (f x ≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [； 2对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且,总有a )1(f =； 二、对数函数 一对数 1．对数的概念：一般地,如果N a x =)1,0(≠>a a , 那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数,记作：N x a log =a — 底数,N — 真数,N a log — 对数式 说明：错误! 注意底数的限制0>a ,且1≠a ； 错误! x N N a a x =⇔=log ； 错误! 两个重要对数： 错误! 常用对数：以10为底的对数N lg ； 错误! 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 指数式与对数式的互化 基本初等函数知识点归纳 1.常值函数：常值函数是指在定义域上的值始终相同的函数。常见的常值函数有恒等于0的零函数和恒等于1的单位函数。常值函数的图像是一条与x轴平行的直线。 2.幂函数：幂函数是指形如y=x^n的函数，其中n是一个实数。当n 为正偶数时，函数的图像在原点右侧递增；当n为正奇数时，图像在全定义域递增；当n为负数时，图像在全定义域递减。特殊地，当n为0时，函数为常值函数1 3.指数函数：指数函数是形如y=a^x的函数，其中a为正实数且 a≠1、指数函数的图像可以是递增或递减的曲线，具体取决于底数a的大小关系。当a>1时，函数递增；当0 们的定义域和值域与所对应的三角函数的范围正好相反。反三角函数的图像和所对应的三角函数的图像关于y = x对称。 以上是基本初等函数的主要内容，它们是数学中最常见的函数，不仅在实际问题中有着广泛的应用，而且还在高中数学的教学中起到了重要的作用。通过对这些函数的学习与理解，可以更好地掌握数学知识，提高数学解题的能力。 函数概念与基本初等函数高中数学知识点总结函数是数学中一种重要的概念，它描述了一种特定的关系，将一个集 合的元素映射到另一个集合的元素。函数在高中数学中占据了重要的地位，是数学学习的基础。在这篇文章中，我们将总结函数的概念以及一些基本 的初等函数的知识点。 一、函数的概念 函数是一种特定的关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合的元素。通常用字母f表示函数，例如f(x)。其中x是函数的自变量，f(x) 是函数的值或因变量。函数的定义域是自变量可能取值的集合，值域是函 数可能取值的集合。函数可以用图像、表格或公式来表示。 函数有一些重要的特点： 1.单值性：对于定义域中的每个自变量值，函数只能有一个对应的值。 2.定义域：函数的自变量可能取值的集合。 3.值域：函数的值可能取值的集合。 4.对称性：函数可能具有一些对称性质，例如奇函数和偶函数。 5.增减性：函数可能随着自变量的增大或减小而增加或减少。 初等函数是一类经过常见运算（加法、减法、乘法、除法、乘方、开 方等）和函数复合（如求和、求积、复合函数等）得到的函数。下面是一 些常见的初等函数及其特点和知识点： 1.幂函数： 幂函数的表达式是y=x^m，其中m是实数。幂函数的图像可能是一条直线、二次曲线、指数曲线等。幂函数的正负性、单调性和奇偶性与指数m的关系密切。 2.指数函数： 指数函数的表达式是y=a^x，其中a是大于0且不等于1的实数。指数函数的图像是一个递增的曲线。指数函数的性质包括连续性、正负性、单调性和极限等。 3.对数函数： 对数函数的表达式是 y = log_a(x)，其中 a 是大于 0 且不等于 1 的实数。对数函数是指数函数的反函数，其图像是对数曲线。对数函数的性质包括连续性、正负性、单调性和极限等。 4.三角函数： 三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。它们的图像是周期性的波浪曲线。三角函数的性质包括周期性、奇偶性、单调性和求导等。 5.反三角函数： 反三角函数是指正弦函数、余弦函数、正切函数的反函数，用 sin^(-1)(x)、cos^(-1)(x)、tan^(-1)(x) 表示。反三角函数的性质包括定义域、值域、奇偶性和反函数的关系等。 6.无理函数： 无理函数是指带有根号的函数，例如平方根函数和立方根函数。无理函数的性质包括定义域、值域、单调性和连续性等。 函数概念与基本初等函数高中数学知识点总结 函数贯穿整个初中和高中阶段，不但是中考的重要内容，也是高考重要内容，所以参加高考的考生务必重视，酷课网精心为今年考生准备了本章的，希望能给考生带来意想不到的帮助。 一、命题热点 分析近几年的高考试题，可以发现函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，包括解决几何问题.在近几年的高考试卷中，一般以选择题和填空题的形式考查函数的性质、函数与方程、基本初等函数等，以解答题的形式与导数交汇在一起考查函数的定义域、单调性以及函数与不等式、函数与方程等知识.其中函数与方程思想、数形结合思想等都是考考查的热点。选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有函数试题，而且常考常新.以基本函数为模型的应用题和综合题是高考命题的新趋势。 20XX 年高考热点主要有：①考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数和函数的图象.②函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念，通过对实际问题的抽象分析，建立相应的函数模型并用来解决问题，是考试的热点.③考查运用函数的思想来观察问题、分析问题和解决问题，渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想. 二、知识点总结 1．映射：注意: ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一或多对一. 2．函数值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判别式法 ；④利用函数单调性 ；⑤换元法 ； ⑥利用均值不等式 2 22 2b a b a ab +≤+≤； ⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（χχχ cos sin 、、a 等）；⑨平方法；⑩ 导数法 3．复合函数的有关问题: （1）复合函数定义域求法： ① 若f(x)的定义域为［a ，b ］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a ≤ g(x) ≤ b 解出 ② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域. （2）复合函数单调性的判定： ①首先将原函数)]([x g f y =分解为基本函数：内函数)(x g u =与外函数)(u f y = ②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性 ③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性. 4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。 5．函数的奇偶性: ⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．．．． ⑵)(x f 是奇函数)()(x f x f -=-⇔；)(x f 是偶函数)()(x f x f =-⇔. ⑶奇函数)(x f 在0处有定义，则0)0(=f ⑷在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性 ⑸若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性 6．函数的单调性: ⑴单调性的定义： ①)(x f 在区间M 上是增函数,,21M x x ∈∀⇔当21x x <时有12()()f x f x <； ②)(x f 在区间M 上是减函数,,21M x x ∈∀⇔当21x x <时有12()()f x f x >； ⑵单调性的判定：①定义法：一般要将式子)()(21x f x f -化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号；②导数法（见导数部分）；③复合函数法；④图像法 基本初等函数总结1.6种基本初等函数小结 基本初等函数之正弦函百数 解析式 y=sinx 图象 正弦曲线（如图） 1.定义域 R 2.值域 [-1，度1] 3.有界性 │y│≤1 4.最值 当x=2kπ+π/2, y max=1, 当x=2kπ-π/2, y min=-1。 5.单调知性 增区间[2kπ-π/2,2kπ+π/2]。 减区间[2kπ+π/2,2kπ+3π/2] 6.周期性 T=2π 7.奇偶性 奇函数道 8.对称性 对称轴 x=kπ+π/2, 对称中心 (kπ，0) 9.渐近线 无 10.反函数 y=arc sinx 2.6种基本初等函数小结定义域,值域,对应法则,单调性,奇偶性 基本初等函数之正弦函数解析式 y=sinx 图象正弦曲线（如图）1.定义域 R 2.值域 [-1,1] 3.有界性│y│≤1 4.最值当x=2kπ+π/2,y max=1，当x=2kπ-π/2,y min=-1. 5.单调性增区间[2kπ-π/2,2kπ+π/2].减区间[2kπ+π/2,2kπ+3π/2] 6.周期性 T=2π7.奇偶性奇函数 8.对称性对称轴x=kπ+π/2，对称中心（kπ，0）9.渐近线无 10.反函数 y=arc sinx。 3.【初等函数,一般初等函数和基本初等函数这几个概念啊 通常只要基本初等函数及初等函数这两个概念，而没有“一般初等函数”的概念.基本初等函数只要6种：（1）常值函数（也称常数函数） y =c（其中c 为常数）（2）幂函数 y =x^a（其中a 为实常数）（3）指数函数 y =a^x(a>0,a≠1) (4)对数函数 y =loga (x)(a>0,a≠1) (5)三角函数：正弦函数 y =sinx 余弦函数 y =cosx 正切函数 y =tanx（也记成y =tgx）余切函数 y =cotx（也记成y =ctgx）正割函数 y =secx 余割函数 y =cscx (6)反三角函数：反正弦函数y =arcsinx 反余弦函数 y =arccosx 反正切函数y =arctanx 反余切函数 y =arccotx 所谓初等函数就是由基本初等函数经过有些次的四则运算和复合而成的函数.中学里学的基本都是初等函数.比如：y=3x^2+sinxy=x^x=e^(xlnx)非初等函数又叫超越函数，比如在求椭圆周长时的积分.还有一种常用的叫作“分段函数”，即便每段都可能由初等函数组成，但合在一起却可能不是初等函数.。 4.【基本初等函数的几个极限疑问】 求极限的话，我在qq空间上总结了.假如还有疑问，欢迎私聊.高等数学题目解法总结（1）刚刚总结完数学思想方法，乘热打铁再来总结一下高数题的解法.这里先总结极限的各种解法：（参考蔡老师的总结）一.求函数的极限：1.利用初等函数的连续性，把求函数极限转化为求函数在那一点处的值；2.利用极限的运算法则，其中包括四则运算，复合函数运算，反函数运算，把函数进行转化拆分；3.利用两个重要极限（由于水平有限，没方法在电脑上打出来那个符号， 五类基本初等函数知识点总结 初等函数是由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算所得到的函数。基本初等函数和初等函数在其定义区间内均为连续函数。不是初等函数的函数，称为非初等函数，如狄利克雷函数和黎曼函数。有两种分类方法：数学分析有六种基本初等函数，高等数学只有五种。 高等数学将基本初等函数归为五类：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。 数学分析将基本初等函数归为六类：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、常数函数。 1.幂函数 一般地，形如y=xα(α为有理数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数。例如函数y=x0 、y=x1、y=x2、y=x-1（注：y=x-1=1/x y=x0时x≠0）等都是幂函数。一般形式如下：（α为常数，且可以是自然数、有理数，也可以是任意实数或复数。） 2.指数函数 指数函数是数学中重要的函数。应用到值e上的这个函数写为exp(x)。还可以等价的写为ex，这里的e是数学常数，就是自然对数的底数，近似等于2.718281828，还称为欧拉数。一般形式如下：（a>0, a≠1） 3.对数函数 一般地，函数y=logax（a>0，且a≠1）叫做对数函数，也就是说以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数。 其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），即x>0。它实际上就是指数函数的反函数，可表示为x=ay。因此指数函数里对于a 的规定，同样适用于对数函数。一般形式如下： （a>0, a≠1，x>0,特别当α=e时，记为y=ln x） 4.三角函数 以角度为自变量，角度对应任意两边的比值为因变量的函数叫三角函数，三角函数将直角三角形的内角和它的两个边长度的比值相关联，也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，也是研究周期性现象的基础数学工具。在数学分析中，三角函数也被定义为无穷级限或特定微分方程的解，允许它们的取值扩展到任意实数值，甚至是复数值。 常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。在航海学、测绘学、工程学等其他学科中，还会用到如余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、半正矢函数等其他的三角函数。不同的三角函数之间的关系可以通过几何直观或者计算得出，称为三角恒等式。 常见三角函数主要有以下6 种： 正弦函数：y =sinx 余弦函数：y =cos x 基本初等函数知识点归纳 下面是一些关于基本初等函数的常见知识点归纳。 1.常数函数：常数函数是最简单的函数形式，它在定义域上的值都相等。常见的常数函数有零函数f(x)=0和恒等函数f(x)=1 2.幂函数：幂函数是形如f(x)=x^n的函数，其中n是任意实数。当 n是正整数时，幂函数表示x的多次乘方；当n是负整数时，幂函数表示 x的倒数的多次乘方；当n是分数时，幂函数是根式函数的一种特殊形式。 3.指数函数：指数函数是形如f(x)=a^x的函数，其中a是一个正实 数且a≠1、指数函数的定义域是所有实数，值域是(a^c,∞)或(0,a^c)， 其中c是任意实数。 4. 对数函数：对数函数是指以一些正实数a(a ≠ 1)为底的函数， 记作log_a(x)，表示x是底为a的对数值。对数函数的定义域是(a^c, ∞)或(0, a^c)，其中c是任意实数。 5.三角函数：三角函数是一类以单位圆上一点的坐标值为函数值的函数，常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数等。 6.反三角函数：反三角函数是三角函数的反函数，常见的反三角函数 有反正弦函数、反余弦函数和反正切函数等。 7.绝对值函数：绝对值函数是形如f(x)=，x，的函数，表示x的绝 对值。绝对值函数的定义域是所有实数，值域是非负实数。 8.整数部分函数：整数部分函数是指将实数x的小数部分舍去，只保 留整数部分的函数。常见的整数部分函数有向上取整函数和向下取整函数。 9.分段函数：分段函数是指函数的定义域被分成几个不重叠的区间，并在不同的区间上有不同的函数表达式。常见的分段函数有符号函数、阶梯函数和周期函数等。 10.复合函数：复合函数是指一个函数作为另一个函数的自变量的函数。复合函数由两个或多个函数的组合形成，其中一个函数的输出是另一个函数的输入。 以上是关于基本初等函数的一些常见知识点归纳。初等函数是数学中极为重要的概念和工具，它们在各种数学问题的解决中起着重要的作用。掌握这些基本初等函数的性质和特点，对于深入理解数学和应用数学知识都具有重要意义。 基本初等函数知识点总结 基本初等函数是数学中常见的一类函数，包括多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。它们在数学和实际问题中具有广泛的应用，因此掌握基本初等函数的性质和特点对于学习和理解数学非常重要。下面将对基本初等函数的知识点进行总结。 一、多项式函数 多项式函数是由常数乘以各个整数幂的变量构成的函数。它的一般形式为： $$ f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1x+a_0 $$ 其中，$a_n, a_{n-1},\dots,a_1,a_0$为常数，$n$为正整数，$a_n \neq 0$。多项式函数的特点包括：定义域为实数集，值域为实数集，可导且导函数为次数比原来次数低一的多项式函数。 二、指数函数 指数函数的一般形式为： $$ f(x) = a^x $$ 其中，$a$为正实数且不等于1。指数函数的特点包括：定义域为实数集，值域为正实数集，可导且导函数为$a^x\ln a$。 三、对数函数 对数函数的一般形式为： $$ f(x) = \log_a x $$ 其中，$a$为正实数且不等于1，$x$为正实数。对数函数的特点包括：定义域为正实数集，值域为实数集，可导且导函数为$\frac{1}{x\ln a}$。 四、三角函数 三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。它们的一般形式为： $$ \sin x, \cos x, \tan x $$ 其中，$x$为实数。三角函数的特点包括：定义域为实数集，值域为闭区间[-1, 1]，具有周期性，可导且导函数是相关三角函数的倍数。 五、反三角函数 反三角函数包括反正弦函数、反余弦函数、反正切函数等。它们的一般形式为： $$ \arcsin x, \arccos x, \arctan x $$ 其中，$x$在相应的定义域内。反三角函数的特点包括：定义域为闭区间[-1, 1]，值域为实数集，可导且导函数是相关函数的倒数。 基本初等函数知识点总结 在数学学科中，初等函数是一类最基础、最常用的函数形式。它们的共同特点是可以通过有限次的加、减、乘、除以及有限次的有理指数、对数、乘方运算得到。本文将总结一些基本初等函数的知识点，帮助读者更好地理解和应用这些函数。 1. 一次函数： 一次函数是最简单的线性函数，其表达式为y = kx + b，其中k和b 为常数。一次函数的图像为一条直线，斜率k决定了线的倾斜程度，而截距b则决定了线与y轴的交点位置。 2. 二次函数： 二次函数是一个常见的非线性函数，其表达式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数。二次函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线，a的正负决定了抛物线的开口方向，而b和c则决定了抛物线的位置。 3. 幂函数： 幂函数是一类以自变量为底数的指数函数，其表达式为y = ax^b，其中a和b为常数。当b为正数时，幂函数的图像呈现出向上开口的形状；当b为负数时，图像则呈现出向下开口的形状。幂函数的斜率随着自变量的变化而变化，变化率在不同自变量取值点上可能不同。 4. 指数函数： 指数函数是一个以常数为底数的幂函数，其表达式为y = a^x，其中a为常数。指数函数的图像通常是一条逐渐增长或逐渐衰减的曲线，a 的大小以及正负决定了曲线的增长或衰减速度。 5. 对数函数： 对数函数是指以某个底数为真数的幂函数的逆运算函数，常见的对数函数有自然对数函数（以e=2.71828为底数）和常用对数函数（以10为底数）。对数函数的表达式为y = log_a(x)，其中a为底数，x为自变量。对数函数的图像是一条渐进于x轴的曲线，随着x的增大，函数值趋于无穷大；当x等于底数a时，对数函数的函数值等于1。 总结： 基本初等函数是数学中的基石，对于理解和应用其他更复杂的函数形式具有重要作用。本文简要总结了一次函数、二次函数、幂函数、指数函数和对数函数等基本初等函数的特点和图像形状。了解这些函数的性质和特点，有助于读者更好地理解和解决与这些函数相关的问题，提升数学学科中的应用能力。 基本初等函数知识点总结 一、指数函数 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *． ◆ 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。 当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时， ⎨⎧≥==) 0(||a a a a n n 2=a n m ◆ 03（1 （2 （3 1其中2 注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出： （1）在[a ，b]上，)1a 0a (a )x (f x ≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [； （2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈； （3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f =； 二、对数函数 （一）对数 1 底．N a x 底数 a log a log a log a 注意：换底公式 a b b c c a log log log = （0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）． 利用换底公式推导下面的结论 （1）b m n b a n a m log log =；（2）a b b a log 1log =． （二）对数函数 1、对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）． 注意：对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如： x y 2log 2=，5 log 5x y =都不是对数函数，而只能称其为对数型函数． 对数函数对底数的限制：0(>a ，且)1≠a ． 2、对数函数的性质： 1、2（1（2（3当x 于+ 基本初等函数 一、指数函数 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做 a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *． ◆ 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。 当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时，⎩ ⎨⎧<≥-==)0()0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m ，)1,,,0(11 *>∈>==-n N n m a a a a n m n m n m ◆ 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>； （3）s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>． （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1． （1）在[a ，b]上，)1a 0a (a )x (f x ≠>=且值域是 )]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [； （2）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f =； 二、对数函数 （一）对数 1．对数的概念：一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数，记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式） 说明：○1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ； ○ 2 x N N a a x =⇔=log ； ○ 3 注意对数的书写格式． 两个重要对数： ○ 1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○ 2 自然对数：以无理数Λ71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 指数式与对数式的互化 幂值 真数 b a ＝ N ⇔log a N ＝ b 底数 指数 对数 （二）对数的运算性质 如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ○ 1 M a (log ·=)N M a log ＋N a log ； 函数及其基本初等函数 〖1.1〗函数及其表示 【1.1.1】函数的概念 (1)函数的概念 ①设A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个数x , 在集合 B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么这样的对应(包括集合A，B以及A到B的对应法则 f )叫做集合A到B的一个函数，记作f : A》B . ②函数的三要素：定义域、值域和对应法则.(所以进行已知对应关系f (x)的函数，一定先求出 函数的定义域) ③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数. (2)区间的概念及表示法 ①设a,b是两个实数，且a :：: b，满足a mx乞b的实数x的集合叫做闭区间，记做 ［a,b］; 满足a ::: x :: b的实数x的集合叫做开区间，记做(a,b);满足a _ x ：：：b，或 a ：：： x _ b 的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别记做［a,b) , (a,b］；满足 X_a X，a x , b x 的实数x 的集合分别记做［a, •：：),( a, •：：),(-：：,b］,(-：：,b). 注意：对于集合｛x|a ：：：x ::: b｝与区间(a,b)，前者a可以大于或等于b，而后者必须 a ::: b ,(前者可以不成立，为空集；而后者必须成立) •而且无论闭区间或者开区间， a,b均称为端点。 (3)求函数的定义域时，一般遵循以下原则： ①f(x)是整式时，定义域是全体实数. ②f(x)是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数. ③f(x)是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合. ④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等 于1. n ⑤y =tan x 中，x = k (k Z). 2 ⑥零(负)指数幕的底数不能为零.基本初等函数知识总结
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函数概念与基本初等函数高中数学知识点总结
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