第二讲 有理数的认识

《认识有理数》讲义一、有理数的定义在数学的世界里，有理数是一个非常基础且重要的概念。

那什么是有理数呢？有理数是能够表示为两个整数之比的数，包括整数、有限小数和无限循环小数。

比如说，整数 5 可以写成 5/1，－3 可以写成－3/1；有限小数 025可以写成 1/4，07 可以写成 7/10；无限循环小数 0333 可以写成 1/3。

这里要注意的是，像圆周率π（约等于 314159）和自然常数 e（约等于 271828）这样的无限不循环小数就不是有理数，它们被称为无理数。

二、有理数的分类有理数可以分为正有理数、零和负有理数三大类。

正有理数包括正整数和正分数。

正整数就是我们平常说的1、2、3、4、5……正分数则是大于 0 的分数，比如 1/2、3/4 等等。

零是一个特殊的有理数，它既不是正数也不是负数。

负有理数包括负整数和负分数。

负整数是像－1、－2、－3 这样的数，负分数则是小于 0 的分数，比如－1/2、－3/4 等等。

我们可以用下面这个图来更直观地表示有理数的分类：（此处可以插入一个简单的分类图）三、有理数的性质1、有理数的运算性质有理数的加、减、乘、除运算都有明确的规则。

加法：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。

乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

除法：除以一个数等于乘以这个数的倒数。

2、有理数的大小比较在数轴上，右边的数总比左边的数大。

正数都大于 0，负数都小于 0，正数大于负数。

两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的反而小。

四、有理数在生活中的应用有理数在我们的日常生活中有着广泛的应用。

比如，在购物时，商品的价格就是有理数。

如果一件商品的价格是155 元，这就是一个有理数。

在计算路程和速度时，比如汽车以每小时 60 千米的速度行驶了 25 小时，我们通过计算 60×25 ＝ 150 千米，这里的速度、时间和路程都是有理数。

第二讲 有理数的有关概念一. 知识要点1. 有理数的分类有理数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数正整数整数0 有理数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数正分数正整数正有理数0 2. 什么是数轴？ 数轴的三要素是 、 、 .3. 什么叫做相反数？有何特征？相反数等于本身的数是 .4. 什么叫做倒数？倒数具有什么性质？倒数等于本身的数是 .5.在数轴上比较大小(1)数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大；正数大于0，负数小于0，正数大于负数.(2)差值比较法：设a 、b 为两个任意数，-b 0,a b a 〉〉若则；-b 0,a b a 〈〈若则；-b=0,a=b a 若则；基础知识自测1、把下列各数填在相应额大括号内：1，－0.1，-789，25，0，-20，-3.14，-590，6/7正整数集｛ …｝；正有理数集｛ …｝； 负有理数集｛ …｝负整数集｛ …｝； 自然数集｛ …｝；正分数集｛ …｝ 负分数集｛ …｝2、画一条数轴，并画出表示下列各数的点－5， 0， 5， ＋3.5， －1.53、在数轴上点A 表示-4,如果把原点O 向负方向移动1个单位,那么在新数轴上点A 表示的数是4、－2的相反数是 ，0.5的相反数是 ，0的相反数是5、 如果3－m 与2m ＋1互为相反数，则m ＝ .6、如果 a 的相反数是最大的负整数,b 的相反数是最小的正整数,则a+b= .7、若m 、n 互为倒数，则mn= ，倒数等于113-的数是 。

典型例题精讲例1、青蛙落在数轴上表示2 004这个数的点上．它第一步往左跳1个单位，第二步往右跳2个单位，第三步往左跳3个单位，第四步往右跳4个单位，依此类推，当跳了100步时，青蛙恰好落在了K 点．你能求出点K 所表示的数吗？例2、 已知a+b ＝0，a ≠b ，则求a b (a+1)＋b a (b+1)的值．例3、,a b 互为相反数，,c d 互为倒数，m =4，且0m >，求20072()23a cd b m-+-的值。

第二讲有理数的概念知识点一：负数大家知道，数学与数是分不开的，它是一门研究数的学问．现在我们一起来回忆一下，小学里已经学过哪些类型的数？学生答后，教师指出：小学里学过的数可以分为三类：自然数(正整数)、分数和零(小数包括在分数之中)，它们都是由于实际需要而产生的。

在我们实际生活中，还有很多不能用上述所说的自然数，零或分数、小数表示。

比如说：某市某一天的最高温度是零上5℃，最低温度是零下5℃．要表示这两个温度，如果只用小学学过的数，都记作5℃，我们能把它们区分清楚吗？我们说是不能的，它们是具有相反意义的两个量。

现实生活中，像这样的相反意义的量还有很多。

例如，珠穆朗玛峰高于海平面8848米，吐鲁番盆地低于海平面155米，“高于”和“低于”其意义是相反的．同学们能举例子吗？我们要怎样区别相反意义的量才好呢？待学生思考后，请学生回答、评议、补充。

教师小结现在，数学中采用符号来区分，规定零上5℃记作+5℃(读作正5℃)或5℃，把零下5℃记作-5℃(读作负5℃)．这样，只要在小学里学过的数前面加上“+”或“-”号，就把两个相反意义的量简明地表示出来了。

现在请同学们用同样的方法表示出前面例子中具有相反意义的量：高于海平面8848米，记作米；低于海平面155米，记作米；教师讲解：什么叫做正数？什么叫做负数？正数是大于0的数，负数就是在正数前面加上“-”号的数(负数小于0)．0既不是正数，也不是负数，0可以表示没有，也可以表示一个实际存在的数量，如0℃．正、负数的“+”“-”的符号是表示性质相反的量，符号写在数字前面，这种符号叫做性质符号．例1:下列哪些是正数？哪些是负数？-3.6，-4，0，9651，-0.1．练习1: 任意写出6个正数与6个负数，并分别把它们填入相应的大括号里：正数集合：｛…｝，负数集合：｛…｝．正、负数表示的意义是人为规定的，在使用时应联系生活实际，其表示的是两个具有相反意义的量。

例2：（1）在知识竞赛中,如果+10分表示加10分,那么扣20分怎样表示?（2）某人转动转盘,如果用+5表示沿逆时针方向转了5圈,那么沿顺时针方向转了12圈怎样表示?（3）在某次乒乓球质量检测中,一只乒乓球超出标准质量0.02克记作+0.02,那么－0.03克表示什么?（4）如果向东运动4m记作+4m，那么向西运动7m应记作什么？若在原地不动又记作什么？练习2：（1）如果零上5℃记作＋5 ℃，那么零下3 ℃记作______________.（2）东、西为两个相反方向，如果－4米表示一个物体向西运动4米，那么＋2米表示 ___________，物体原地不动记作________。

有理数基本概念1.有理数分类⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎨⎪⎭⎪⎪⎪⎨⎪⎩⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩正整数自然数零整数负整数有理数(按定义分类)正分数分数负分数⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数有理数(按符号分类)零负整数负有理数负分数⎧⎫⎪⎬⎨⎭⎪⎩有限小数可化成分数形式，是有理数小数无限循环小数无限不循环小数——不可以化成分数形式，不是有理数1. “四非”的概念⑴ 零和正数 统称为非负数； ⑵ 负数和零统称为非正数；⑶ 正整数和零统称为非 负整数 ； ⑷ 负整数和零 统称为非正整数． 2. 数轴数轴的三要素 ① 原点 ② 正方向 ③ 单位长度.1）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；2）正数都大于0,负数都小于0；正数大于一切负数；3）所有有理数都可以用数轴上的点表示。

3. 相反数⑴ 若两个数a 与b 互为相反数，则 0a b += 若0a b +=则a 与b 互为相反数. ⑵ 正数的相反数是负数，0的相反数是0 ，负数的相反数是正数．一个数的相反数等于其本身，则这个数一定是 0 ． 4. 绝对值⑴ 绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是 相反数 ；0的绝对值是 0 ．⑵ 一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点 到原点的 距离．数a 的绝对值记作a ．⑶①_____(0)___0__(0)_____(0)a aa aa a>⎧⎪==⎨⎪-<⎩②(0)(0)a aaa a⎧=⎨-<⎩≥③(0)(0)a aaa a>⎧=⎨-⎩≤⑷①绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0．②如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0 ．5.倒数（负倒数）乘积为1的两个数互为倒数，特别地，0没有倒数；正数的倒数是正数，负数的倒数是负数．负倒数：乘积为1-的两个数互为负倒数，特别地，0没有负倒数.1）a的倒数是1a（a≠0）；2）0没有倒数3）若a与b互为倒数，则ab=1.注意点:1分数与小数均有时，应先化为统一形式.2带分数可分为整数与分数两部分参与运算.3多个加数相加时，若有互为相反数的两个数，可先结合相加得零.4若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合相加.5若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起.6符号相同的数可以先结合在一起.3.有理数的运算律1) 加法交换律a+b=b+a2) 加法结合律a+b)+c=a+(b+c)3) 乘法交换律ab=ba4) 乘法结合律(ab)c=a(bc)5) 分配律a(b+c)=ab+ac有理数运算技巧一. 灵活运用运算律例1. 计算：。

第二讲 有理数第1—2课时 有理数的意义及相关概念一、知识梳理1.正、负数的概念像1、21、1.2，...这样的大于零的数叫做正数;在正数的前面加上" "号的数叫做负数. 0既不是正数也不是负数.我们常常用正数和负数表示一些相反意义的量. 2.有理数的定义及分类整数和分数统称为有理数. 有理数的分类：按符号分:有理数12,3...1112:,5.2,3,45%...235:12 3...15:,, 3.5. ...56⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪---⎧⎪⎪⎪⎨---⎪⎪⎩⎩正整数：如，正有理数正分数如，负整数如，，负有理数负分数如按定义分:有理数1,2,3...14:,,5.2,89%...232:58%0.16...3⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎩正整数：如整数负整数：如 -1,-2,-3...正分数如分数负分数如-，-，-3.数轴：画一条水平的直线，在直线上取一点表示零（叫做原点）选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴。

（三要素：原点、单位长度、正方向。

易混淆点：单位长度可任意选取。

）有理数与数轴的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示。

数轴的判断方法：要判断是否为数轴，应抓住它的三要素：原点，正方向，单位长度，三者缺一不可。

数轴的表示方法：数轴上表示数的点可用大写字母标出，写在数轴上方相对应点的上面，原点用O表出，它表示数0，数轴上的点对应的数用小写字母表示.写在数轴下方.数轴上原点位置根据需要来确定，不一定在中间，在同一数轴上，单位长度要相同。

比较大小（数轴）：数轴从左至右依次增大，所以先在数轴确定两个（或多个）数的位置，然后按它的特点进行判断。

数轴上两个点表示的数，右边的数总比左边的大。

正数大于0，负数小于0，正数大于负数。

比较两个负数的大小三大步骤：（1)先分别写出两负数的绝对值；（2）比较这两个绝对值的大小。

(3)绝对值大的反而小。