高中数学人教新课标必修二B版教案两条直线的位置关系(1)

人教版高中必修2(B版)2.2.3两条直线的位置关系课程设计1. 课程背景在平面直角坐标系中，探究两条直线的位置关系是数学课程中的重要内容。

这不仅是因为在日常生活中，我们经常会遇到两条直线相交、互相平行或重合的情况，还因为这种探究可以促进学生运用数学知识解决实际问题的能力。

因此，对于学习高中数学的学生而言，学会判断两条直线的位置关系，以及运用相关定理和方法求解问题是必不可少的。

2. 教学目标•掌握两条直线的位置关系：相交、平行、重合。

•学会判断两条直线的位置关系的方法和定理。

•运用判断两条直线的位置关系的方法和定理解决实际问题。

3. 教学内容3.1 两条直线的位置关系3.1.1 相交的情况两条不重合的直线在平面直角坐标系中有且只有一个交点。

3.1.2 平行的情况两条直线没有交点，且在平面直角坐标系中具有完全相同的方向。

3.1.3 重合的情况两条直线有无限多个交点，且在平面直角坐标系中完全重合。

3.2 判断两条直线的位置关系的方法和定理3.2.1 用斜率判断两条直线的位置关系当两条不重合的直线的斜率不相等时，它们必相交。

如果两条直线的斜率相等且不相交，那么它们必平行。

3.2.2 用截距判断两条直线的位置关系当两条不重合的直线的截距不相等时，它们必相交。

如果两条直线的截距相等且不相交，那么它们必平行。

3.2.3 用一般式判断两条直线的位置关系两条直线的一般式方程分别为Ax+By+C=0和Dx+Ey+F= 0，如果A/D eqB/E，则表示它们必相交；如果A/D=B/E eqC/F，则表示它们必平行；如果A/D=B/E=C/F，则表示它们重合。

3.3 运用方法和定理解决实际问题讲解完判断两条直线的位置关系的方法和定理后，分别进行计算和解答下列实际问题：1.已知两条直线L1,L2的一般式分别为2x−3y+4=0和4x−6y−2=0，试求它们的位置关系。

2.在平面直角坐标系中，有一对平行的铁路轨道，其中一条距离x轴的距离为3，另一条距离x轴的距离为7。

《两条直线的位置关系》教案
教学目标：
2.掌握判断两条直线的位置关系的方法。

3.能够用数学语言准确描述两条直线的位置关系。

教学重点：
2.判断两条直线是否平行或垂直。

教具准备：
黑板、白板、彩色粉笔、草图纸、直尺。

教学过程：
一、导入新课（8分钟）
通过黑板上的两条平行直线和两条垂直直线的草图，让学生猜测两条直线之间的关系，并引出本课的主题：“两条直线的位置关系”。

二、知识讲解（15分钟）
在平面直角坐标系中，两条直线之间的位置关系可分为以下几种：
（1）两条直线相交
相交的两条直线必定有一个交点。

平行的两条直线在平面上没有任何交点。

重合的两条直线完全重合，每个点都相同。

垂直的两条直线在平面上互相垂直，构成直角。

（1）两条直线的斜率相等，则两条直线平行。

（4）若已知两条直线的方程，则可通过求解直线的交点或合并方程，通过比较系数得出两条直线的位置关系。

三、练习训练（20分钟）
请学生完成练习册中与本节课相关的习题。

四、课堂小结（5分钟）
通过本节课的学习，学生应该能够了解两条直线的位置关系，掌握判断两条直线的位置关系的方法，并能用数学语言准确描述两条直线的位置关系。

五、课后作业（2分钟）
教学反思：。

2.2.3两条直线的位置关系（一）
教学目标：掌握两条直线相交、平行和重合的判定
教学重点：掌握两条直线相交、平行和重合的判定
教学过程：
一、复习：平面内不重合的两条直线的两条直线的位置关系有几种？
二、（1）设直线l1，l2的方程分别为y＝k1x＋b1，y＝k2x＋b2则：
l1与l2相交 <=> k1≠k2； l1∥l2 <=> k1＝k2，且b1≠b2
l1与l2重合 <=> k1＝k2，且b1＝b2；
（2）设直线l1，l2的方程分别为 A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0 (A1、A2、B1、B2均不为0)则
l1与l2相交；
l1∥l2；
l1与l2重合；
三、1、直线l1：x+my+6=0和直线l2：(m-2)x+3y+2m=0互相平行，则m 的取值为？
2、方程x2+6xy+9y2+3x+9y-4=0表示的图形是
3、当三条直线2x+3y+8=0，x-y-1=0和x+ky=0相交于一点，则k的值等于
4、直线x+my+6=0与直线(m-2)x+3y+m=0相交，则m的范围是____
5、二直线mx+y-n=0和x+my+1=0平行的条件是______
6、直线mx+10y=2与3x+(n-1)y=-1重合，则m=_____，n=_____
7、过直线l1：2x+3y-5=0与直线l2：3x-2y-3=0的交点P且平行于直线2x+y-3=0的直线方程是_______。

2.2.3 两条直线的位置关系(一)【学习要求】1．理解直线相交、平行、重合的概念，会利用直线的几何特征判定直线相交、平行、重合．2．会求两条直线的交点，会利用平行、重合研究直线的其它问题．【学法指导】通过把研究两条直线的相交、平行与重合问题， 转化为研究两条直线的斜率的关系问题，培养运用已有知识解决新问题的能力， 以及数形结合能力.填一填：知识要点、记下疑难点1．两条直线相交的条件：设l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，l 1与l 2相交的条件是 A 1B 2－A 2B 1≠0 或 A 1A 2≠B 1B 2(A 2B 2≠0) ． 2．两直线平行的条件：(1)设l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，l 1与l 2平行的条件有两种表达形式： ① A 1B 2－A 2B 1＝0 且 B 1C 2－C 1B 2≠0或A 2C 1－A 1C 2≠0 ；②A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2(A 2B 2C 2≠0)． (2)与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线的方程可表示为 Ax ＋By ＋D ＝0 (C≠D) ．3．两直线重合的条件：设l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2重合的条件是 A 1＝λA 2，B 1＝λB 2，C 1＝λC 2(λ≠0) 或A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2(A 2B 2C 2≠0)． 4．设l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，l 1与l 2相交的条件是： k 1≠k 2 ；l 1与l 2平行的条件是： k 1＝k 2且b 1≠b 2 ；l 1与l 2重合的条件是： k 1＝k 2且b 1＝b 2 .研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境]已知两条直线的方程l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则这两条直线相交、平行、重合的条件是怎样的？ 探究点一 两条直线的位置关系问题1 两条直线的方程l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0相交、平行、重合与两条直线对应的方程组的解有怎样的关系？答：当两直线对应方程组有唯一解时，两条直线相交；当方程组无解时，两条直线没有交点，两直线平行；当方程组中的两个方程解集相同时，两条直线重合．问题2 阅读教材82页，你能说出两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0相交、平行、重合的条件是怎样的吗？答：l 1与l 2相交⇔A 1B 2－A 2B 1≠0或A 1A 2≠B 1B 2(A 2B 2≠0)． l 1与l 2平行⇔⎩⎪⎨⎪⎧ A 1B 2－A 2B 1＝0，而B 1C 2－C 1B 2≠0或A 2C 1－A 1C 2≠0；或A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2 2B 2C 2l 1与l 2重合⇔⎩⎪⎨⎪⎧A 1＝λA 2，B 1＝λB 2，C 1＝λC 2λ≠0；或A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2 2B 2C 2 问题3 已知两直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，用斜率判定l 1与l 2相交、平行、重合的条件是怎样的？ 答：l 1与l 2相交的条件是：k 1≠k 2；l 1与l 2平行的条件是：k 1＝k 2且b 1≠b 2；l 1与l 2重合的条件是：k 1＝k 2且b 1＝b 2.问题4 若两直线平行，它们的斜率一定相等吗？答：不一定．例如直线x ＝3和x ＝－2平行，但是，两条直线斜率不存在．探究点二 判定两条直线的位置关系例1 已知直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0，求证：当C 1≠C 2时，l 1与l 2平行．证明：因为AB －BA ＝0，所以l 1与l 2平行或重合．又因为BC 2－BC 1＝B(C 2－C 1)；当B≠0时，已知C 1≠C 2，所以BC 2－BC 1≠0，因此两直线平行；当B ＝0时，由直线方程的定义，知A≠0，于是两条直线的方程变为x ＝－C 1A ，x ＝－C 2A， 这是两条与x 轴垂直的直线，所以它们平行或重合，又由于C 1≠C 2，所以它们是平行的直线．小结：当两条直线的斜率存在且斜率相等时，未必有两直线平行，应进一步作判断是否有两直线重合；当两条直线的斜率均不存在时，则两直线重合或平行．跟踪训练1 已知A(2, 3)，B(－4, 0)，P(－3, 1)，Q(－1, 2)，试判断直线BA 与PQ 的位置关系，并证明你的结论．解：直线BA 的斜率k 1＝3－02－－＝0.5，直线BA 的方程为y ＝0.5(x ＋4)＝0.5x ＋2. 直线PQ 的斜率k 2＝2－1－1－－＝0.5, 直线PQ 的方程为y －1＝0.5(x ＋3)，即y ＝0.5x ＋2.5，因为k 1＝k 2＝0.5，且2≠2.5，所以直线BA ∥PQ.例2 求通过下列各点且与已知直线平行的直线方程：(1)(－1,2)，y ＝12x ＋1；(2)(1，－4)，2x ＋3y ＋5＝0. 解：(1)因为所求直线与已知直线平行，所以可设所求直线为y ＝12x ＋b. 由于所求直线过点(－1,2)，代入方程，得b ＝52，因此所求方程为y ＝12x ＋52，即x －2y ＋5＝0. (2)设所求的直线方程为2x ＋3y ＋D ＝0.由于所求直线过点(1，－4)，代入方程，得D ＝10，因此，所求直线方程为2x ＋3y ＋10＝0.小结：与直线y ＝kx ＋b 平行的直线可设为y ＝kx ＋c(c≠b); 与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线可设为Ax ＋By ＋D ＝0 (D≠C)．跟踪训练2 已知直线l 1：(m －2)x ＋2y ＋m －2＝0，l 2：2x ＋(m －2)y ＋3＝0，当m 为何值时，满足下列条件：(1)l 1与l 2相交；(2)l 1∥l 2；(3)l 1与l 2重合．解：(1)A 1B 2－A 2B 1＝(m －2)(m －2)－2×2＝(m －2)2－4≠0，得(m －2)2≠4即m －2≠±2，∴当m≠4且m≠0时l 1与l 2相交．(2)由A 1B 2－A 2B 1＝0得m ＝0或m ＝4，当m ＝0时，两直线方程分别为－2x ＋2y －2＝0,2x －2y ＋3＝0，此时l 1∥l 2； 当m ＝4时，两直线方程为2x ＋2y ＋2＝0,2x ＋2y ＋3＝0，此时l 1∥l 2.故m ＝0或m ＝4，两直线l 1∥l 2.(3)由(2)知：直线l 1与l 2不可能重合．例3 已知四边形ABCD 的四个顶点分别为A(0,0)，B(2，－1)，C(4,2)，D(2,3)，试判断四边形ABCD 的形状，并给出证明．解：AB 边所在直线的斜率k AB ＝－12，CD 边所在直线的斜率k CD ＝－12，BC 边所在直线的斜率k BC ＝32， DA 边所在直线的斜率k DA ＝32.因为k AB ＝k CD ，k BC ＝k DA ，所以AB ∥CD ，BC ∥DA.因此，四边形ABCD 是平行四边形． 小结：熟记斜率公式：k ＝y 2－y 1x 2－x 1，该公式与两点的顺序无关，已知两点坐标(x 1≠x 2)时，根据该公式可求出经过两点的直线的斜率．当x 1＝x 2，y 1≠y 2时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°.跟踪训练3 求证：顺次连接A(2，－3)，B(5，－72)，C(2,3)，D(－4,4)四点所得的四边形是梯形． 证明： ∵k AB ＝－72－－5－2＝－16，k CD ＝4－3－4－2＝－16，∴k AB ＝k CD ，从而AB ∥CD.又∵k BC ＝3－－722－5＝－136，k DA ＝－3－42－－＝－76，∴k BC ≠k DA ，从而直线BC 与DA 不平行，∴四边形ABCD 是梯形.练一练：当堂检测、目标达成落实处1．已知过A(－2，m)和B(m,4)的直线与斜率为－2的直线平行或重合，则m 的值是( ) A ．－8 B ．0 C ．2 D ．10 解析：由题意可知，k AB ＝4－m m ＋2＝－2，所以m ＝－8. 2．直线l 1：x ＝1与直线l 2：x ＝0的位置关系是( ) A ．相交 B ．平行 C ．重合 D ．不确定解析： 直线l 1与l 2的斜率都不存在，且1≠0，∴l 1∥l 2.3．经过点A(1,1)和点B(－3,2)的直线l 1与过点C(4,5)和点D(a ，－7)的直线l 2平行，则a 等于 ( )A ．1B ．4C ．52D ．44解析： 因为k 1＝2－1－3－1＝－14，又l 1∥l 2，所以k 2＝－7－5a －4＝－14，故a ＝52. 课堂小结：1．在两条直线相交、平行和重合的条件中，有一个共同的代数式A 1B 2－A 2B 1.2．判定两条直线平行的方法有三种：A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0具有一般性，对含字母系数的两条直线平行的问题，用此式可避免讨论，非常方便；应用A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2或k 1＝k 2且b 1≠b 2时，必须在A 2B 2C 2≠0以及斜率存在条件下方可使用．。

2.2.3两条直线的位置关系（1）第一课时：两条直线相交、平行、重合的条件一、教案背景可以说，解析几何的精髓就是用代数方法解决几何问题.本章教材的主题就是建立代数与几何的联系，用代数方法研究几何,本课时教学内容也正是在具体认识直线方程的概念及其几种形式的基础上，用坐标法研究直线与直线的位置关系，强化解析几何的思想，体会数形结合思想，初步形成用代数方法解决几何问题的能力，为学生以后选修圆锥曲线打下基础.二、教学课题本课时教材是在理解了直线方程的含义，掌握并能熟练应用直线方程的几种形式基础上，继续学习两条直线的位置关系，从而为进一步学习点到直线的距离，两条直线的夹角，以及直线与圆的位置关系等做好先期准备.1、利用直线的点斜式方程，理解过定点的直线系及直线系方程的表示形式.2、在认识过定点的直线系的基础上进一步认识平行直线系，从而推导出两条直线位置关系的等价条件.3、利用两条直线相交、平行、重合的条件解决简单的实际应用问题.三、教材分析（一）教材内容两条直线的位置关系是人教B版必修2第二章平面解析几何初步的第二单元直线的方程的第三节课内容，本节课教材内容主要有两个：1、两条直线相交、平行与重合的条件2、两条直线垂直的条件本课时教案正是本节课教材的第一个内容，是在学生已经探索并掌握了直线方程的含义以及如何利用已知条件求出直线的方程基础上，进一步利用解方程组的思想探索两条直线的位置关系的条件，并会利用两条直线相交或平行的条件判断两条直线相交、平行和重合，进而能求出两直线的交点坐标.（二）教学目标1、理解两条直线相交或平行的等价条件，特别注意与已知直线平行的直线系的应用；2、通过学习本课时知识，进一步提高学生对直线的认识，提高学生对归纳猜想、类比转化、分类讨论、数形结合等数学思想方法的认识.（三）教学重点和难点教学重点：两条直线相交、平行、重合的条件，要求学生能熟练掌握，并灵活运用．教学难点：用代数方法推导两条直线相交、平行、重合条件的思路．四、教学方法教之道在于导，学之道在于悟，教学这门艺术在于精心设问，巧妙引导学生答问，积极引领学生感受数学，探索数学和应用数学的意识.俗话说得好：“教无定法，贵在得法”，本课时教学，教法上本着“教师为主导，学生为主体，解决问题为主线，能力发展为目标”的教学思想，主要采取“问题探究”式教学方法.通过创设问题情境，以直线的点斜式方程的特殊形式为切入点，在认知冲突中激发学生的探索欲望：通过两个探究问题，引导学生自主探究与合作交流相结合去研究，从而得出两条直线相交、平行与重合的条件；通过恰当的例题与习题的配置，引导学生积极思考，灵活掌握知识，使学生从“懂”到“会”到“悟”，从而提高学生的思维品质，力求把传授知识与培养能力融为一体.同时借助多媒体、投影辅助教学，增强教学的直观性，从而提高课堂效率.五、教学过程（一）创设情境，提出问题从课本一道习题推导斜截形式下两条直线相交、平行、重合的条件在直线方程)1k-xy中，k取遍所有实数，可得无数条直线，这无数条=(1+直线都过哪一点？回答：由直线的点斜式方程可知，这些直线都过定点)11-(，．据此引导学生探究：（1），该方程所表示的直线可以说成是过一定点的直线系吗？（2），该定点是否可以看成某两条特殊直线的交点呢？在直线方程b=中，当k值固定，b取遍所有实数，也可得无数条直线，y+kx这无数条直线又可以说成是什么样的直线系呢？回答：该方程表示斜率为k 的平行直线系.（二）自主探究，形成概念对于直线 111:b x k y l +=，222:b x k y l +=，同学们会得出:1l ∥2l ；且2121b b k k ≠=⇔；相交与2121k k l l ≠⇔.212121b b k k l l ==⇔且重合与继续探究一般形式下两条直线相交、平行、重合的条件已知两条直线的方程为 ,0:1111=++C y B x A l .0:2222=++C y B x A l为此，我们解方程组0111=++C y B x A0222=++C y B x A当01221≠-B A B A 时，得12212121B A B A B C C B x --=.12212112B A B A C A C A y --=因此，当01221≠-B A B A 时，方程组有唯一一组解.这时，两条直线相交，交点的坐标就是.,）（y x 当.000211221211221≠-≠-=-C A C A B C C B B A B A 或，且时方程组无解.又由直线方程的一般形式可知2211B A B A 与，与不能同时为0，由此可进一步推知这两条直线没有公共点，也就是这两条直线平行.如果.0212121）（，，≠===λλλλC C B B A A 则方程组中两个方程的解集完全相同，由此可知两个方程表示同一条直线，即直线与重合.通过以上分析，我们可以得到一般形式下两条直线相交、平行、重合的条件：1l ∥2l .000211221211221≠-≠-=-⇔C A C A B C C B B A B A 或，且⇔相交与21l l 01221≠-B A B A ..021212121）（，，重合与≠===⇔λλλλC C B B A A l l（三）典例剖析，深化概念例题 1 已知直线,0:11=++C By Ax l ，0:22=++C By Ax l 求证：当21C C ≠时，1l ∥2l .证明：因为,0=-BA AB所以1l ∥2l ，或.21重合与l l 又因为:)(1212C C B BC BC -=-当0≠B 时，由已知有21C C ≠，所以,012≠-BC BC 因此两条直线平行;当0=B 时，又直线方程的定义可知0≠A ,于是两条直线方程变为,,21AC x A C x -=-= 这是两条与x 轴垂直的直线，所以它们平行或重合.又由于21C C ≠,所以它们是平行的直线.结论：与直线0=++C By Ax 平行的直线的方程可以表示成).(0C D D By Ax ≠=++例题2 求通过下列各点且与已知直线平行的直线方程：（1） ;1),2,1(21+=-x y （2）.0532),4,1(=++-y x解：（1） 因为所求直线与已知直线平行，所以可设所求直线为.21b x y +=由于所求直线过点),2,1(-代入方程，得.25=b 因此所求直线方程为 .0522521=+-+=y x x y ，即（2） 设所求的直线方程为.032=++D y x由于所求直线过点),4-,1(代入方程，得.10=D因此，所求直线方程为.01032=++y x（四）课堂练习，学以致用教材第84页 练习A 1, 2 (1), (3), (5) , 3(五) 课堂小结，认识升华两种不同形式下的两条直线相交、平行、重合的等价条件.若111:b x k y l +=，222:b x k y l +=，则；且平行与212121b b k k l l ≠=⇔；相交与2121k k l l ≠⇔.212121b b k k l l ==⇔且重合与若,0:11=++C By Ax l ，0:22=++C By Ax l则 .00021122121122121≠-≠-=-⇔C A C A B C C B B A B A l l 或，且平行与⇔相交与21l l 01221≠-B A B A ..021212121）（，，重合与≠===⇔λλλλC C B B A A l l (六) 课后作业，巩固提高教材第84页 练习A 2 (2), (4),练习B 1 （1），（2），（3）（七）板书设计六、教学反思课堂教学过程是一个定位，设计，操作和反思的过程，教师要向学生提供有效的学习资源，学习方法和学习氛围.这课时教学指导思想是发挥学生的主体性，以问题链的形式逐步引导深入，为了使学生的认识符合从具体到抽象，从特殊到一般的认知规律，所以充分渗透了数形结合的数学思想，在推导两直线相交、平行与重合垂直的位置关系的教学上给予学生足够的时间，并组织同学交流；但同时不应忽视教师的主导性，所以在推导过程之前，教师通过过定点的直线系的类比，培养学生自主探究问题的习惯，让学生体验探究两条直线斜率与直线的位置关系的过程，更好的理解两直线平行的条件.通过解方程或方程组这一代数思想方法，探索与讨论如何用数量关系来说明两直线的位置关系，进一步体会几何问题代数化的思想方法，从而提高学生用代数方法处理数学问题的能力和计算推理能力.。

两条直线的位置关系一、复习目标：1．掌握两直线平行与垂直的条件，两直线的夹角和点到直线的距离公式． 2．能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系． 二、知识要点：1．已知两条直线1l 与2l ：（1）12//l l ⇔ ． （2）12l l ⊥⇔ ； （3）1l 与2l 重合⇔ ．2．直线1l 到2l 的角公式： ；直线1l 与2l 的夹角公式： ． 3．点到直线的距离公式： ；两平行直线间的距离公式： ． 三、课前预习：1．ABC ∆中，,,a b c 是内角,,A B C 的对边，且lgsin ,lgsin ,lgsin A B C 成等差数列，则直线21:(sin )(sin )0l A x A y a +-=与22:(sin )(sin )0l B x C y c +-=的位置关系（ A ）()A 重合 ()B 相交不垂直 ()C 垂直 ()D 平行2．点(1,1)到直线cos sin 1x y θθ+=的距离为()f θ的最大值是（ D ）()A 2 ()B 3()C 1()D 13．设直线1l ：(1)(2)30m x m y ++--=与直线2l ：(2)(51)20m x m y -+-+=.①若互相垂直，则m 的值为 0或2 ；②若没有公共点，则m 的值为12或52-.4．已知三角形的三个顶点为(3,3)A 、(2,2)B -、(7,1)C -．（1）A ∠=12arctan5；（2）A ∠的平分线AD 所在的直线方程为0x y -=.5．点(7,1)P -关于直线:250l x y --=的对称点Q 的坐标为(9,7)-．四、例题分析：例1．光线从点(2,4)A -射出，经直线l ：270x y --=反射，反射光线过点(5,8)B ． （1）求入射光线所在直线方程； （2）求光线从A 到B 经过的路程S .解：设点B 关于直线270x y --=的对称点是'00(,)B x y ．∴000058270228152x y y x ++⎧⋅--=⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩，解之得009,6x y ==，∴'(9,6)B ．（1）∴入射光线所在直线方程即'AB 直线方程：211480x y -+=．（2）设入射光线与直线l 交于点N ，则',,A N B 共线．∴''||||||||||S AN BN AN B N AB =+=+== 小结：例2．已知ABC ∆的顶点(31)A -，过点B 的内角平分线的方程是4100x y -+=，过点C 的中线方程为610590x y +-=，求顶点B 的坐标和直线BC 的方程．解：设点(,)B m n ，由过点B 的内角平分线方程得4100m n -+=①，又∵AB 的中点31(,)22m n +-在过C 的中线上，∴316()10()5922m n +-⋅+⋅=②，联立①、②解得10,5m n ==，∴点(10,5)B ．6AB k =1k =∴1l 、2l 之间的距离|BD|=35|87|=--.由已知|BC|=32，∴∠BCD=45°，即所求直线与1l （或2l ）的夹角为45°，设所求直线的斜率为k ，则有：tan45°=)43(1)43(-⋅+--k k ，解之得，k1=-7或k2=-71.∴所求直线的方程为y=-7(x-2)或y-3=71(x-2)，即，7x+y -17=0或x-7y+19=0.小结：1．过点(1,2)P 引直线，使它与两点(2,3)A 、(4,5)B -距离相等，则此直线方程为（ C ） ()A 2370x y +-=或460x y +-= ()B 460x y +-=()C 3270x y +-=或460x y +-= ()D 46x y +=2．把直线3y x =绕原点逆时针方向转动，使它与圆22230x y y ++-+=相切，则直线转动的最小正角是 （ B ）()A 3π ()B 2π ()C 23π ()D 56π3．等腰三角形底边所在的直线1l 的方程为10x y +-=,一腰所在的直线2l 的方程为220x y --=,点(2,0)-在另一腰上,则此腰所在的直线3l 的方程为240x y -+=.4．已知O 为坐标原点，点A 的坐标为(4,2)，P 为线段OA 垂直平分线上的一点，若OPA ∠为锐角，则点P 的横坐标x 的取值范围是3x >或1x <．5．△ABC 中，顶点(9,1)A 、(3,4)B 、内心(4,1)I ，则顶点C 的坐标为(1,4)--． 6．已知直线1l ：10x y +-=，2l ：230x y -+=，求直线2l 关于直线1l 对称的直线l 的方程.x+y-1=0， x=32-解法1 由 得2x-y+3=0， y=35∴l 过点P （32-，35）.又，显然Q （-1，1）是直线2l 上一点，设Q 关于直线1l 的对称点为'Q （0x ，0y ），则有1)1(1100-=-⋅+-x y 0x =0 解之，得1212100=+++-y x 0y =2即'Q （0，2）.直线l 经过点P 、'Q ，由两点式得它的方程为x-2y +4=0.解法2 由解法1知，1l 与2l 的交点为P （32-，35）.设直线l 的斜率为k ，且1l 与2l 的斜率分别为-1和2. ∵ 2l 到1l 的角等于1l 到l 的角，∴ 2)1(121⨯-+--=)1(1)1(-⋅+--k k ， ∴21=k . ∴直线l 的方程为y-35=21（x+32），即x-2y+4=0.解法3 设M （x ，y ）是直线l 上的任意一点，点M 关于直线1l 的对称点为'M ，坐标为（0x ，0y ），则1)1(00-=-⋅--x x y y 0x =1-y 解得12200=-+++y y x x 0y =1-x即点'M （1-y ，1-x ），因为点'M 在直线2l 上，将它的坐标代入直线2l 的方程得，x-2y+4=0，即为直线l 的方程.7．已知三条直线1l ：0mx y m -+=，2l ：(1)0x my m m +-+=，3l ：(1)(1)0m x y m +-++=，它们围成ABC ∆.（1）求证：不论m 取何值时，ABC ∆中总有一个顶点为定点；（2）当m 取何值时，ABC ∆的面积取最大值、最小值？并求出最大值、最小值. 证明⑴ 将直线1l ：mx-y+m=0化为m （x +1）-y=0， x+1=0，由 得x=-1，y=0，即直线1l 经过定点（-1，0）. -y=0，同理，将3l ：（m+1）x-y+（m+1）=0化为m （x+1）+（x-y+1）=0， x+1=0由 得x=-1，y=0，即直线3l 经过定点（-1，0）. x-y+1＝0从而，直线1l 、3l 都过同一个定点（-1，0），由于1l 、3l 的交点是△ABC 的一个顶点，故△ABC 中总有一个顶点为定点.⑵ 设1l 、3l 的交点为A （-1，0），1l 、2l 的交点为B ，2l 、3l 的交点为C （如图），mx-y+m=0， x=由 解得x+my-m （m+1）=0， y=122+m m +m 即B （12+m m ，112+-m +m+1）.x+my-m （m+1）=0， x=0 由 解得（m+1）x-y+（m+1）=0 y=m+1 即C （0，m+1）.所以，11)11()1(2222+=+-++=m m m m BC .于是，△ABC 的面积S =h BC ⋅21=112122+++⋅m m m =)11(212++m m ∵ 12+m ≥2|m|， ∴ 12+m m≤21， ∴ ]21,21[12-∈+m m ，从而S ∈[41，43]. 令S=41，则m=-1；令S=43，则m=1.所以，当m=1时，△ABC 有最大面积43；当m=-1时，△ABC 有最小面积41.8．已知正方形的中心为直线220x y --=和10x y ++=的交点，正方形一边所在直线的方程为350x y +-=，求其它三边所在的直线方程．解：∵直线220x y --=和10x y ++=的交点为14(,)33O -，且设与350x y +-=平行的边所在的直线方程为30(5)x y c c ++=≠-，则11|45||4|c ---+=，∴373c =，故此直线方程为37303x y ++=．又设与350x y +-=垂直的边所在的直线方程为''30()x y c c R -+=∈，则'114|45||3()|c --⋅--+=，∴'11c =-或'193c =． 所以其它三边所在的直线方程为37303x y ++=，19303x y -+=，3110x y --=．。