浙江省2020学年第二学期高三年级线上考试试题数学(无答案)

2020届浙江省“山水联盟”高三下学期高考模拟数学试题一、单选题1．已知集合{}22A x x =-<<，{}2log 1B x x =≤，则A B =（ ）A ．{}|22x x -<<B ．{}|22x x -≤≤C ．{}2|0x x <≤D ．{}02x x << 【答案】D【解析】由题意结合对数不等式可得{}02B x x =<≤，再由集合的交集运算即可得解. 【详解】由题意{}{}2log 102B x x x x =≤=<≤，所以{}{}{}2202|02A B x x x x x x ⋂=-<<⋂<≤=<<. 故选：D. 【点睛】本题考查了对数不等式的求解及集合交集的运算，考查了运算求解能力，属于基础题.2．已知双曲线()22210y x b b-=>，其虚轴长为2，则双曲线的离心率是（ ）A ．BC ．3D 【答案】A【解析】由虚轴长为2，得1b =，然后求出c ，从而可求出离心率. 【详解】解：由题可知，1a = 因为虚轴长为2，所以1b =，所以222112c a b =+=+=，得c =所以离心率ce a== 故选：A 【点睛】此题考查求双曲线的离心率，属于基础题.3．若实数x ，y 满足约束条件10100y x x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则32z x y =-的最大值是（ ）A ．3B ．-2C ．-3D ．1【答案】A【解析】由题意画出可行域，转化目标函数为322zy x =-，数形结合即可得解. 【详解】由题意画出可行域，如图：转化目标函数32z x y =-为322zy x =-， 数形结合可得当直线322zy x =-过点1,0A 时，z 取最大值，max 3z =. 故选：A. 【点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合思想，属于基础题.4．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何的体积（单位：3cm ）是（ ）A ．12B ．4C ．24D ．8【答案】D【解析】由三视图还原出原几何体，然后计算体积． 【详解】由三视图可知原几何体是四棱锥P ABCD -，它在长方体中的位置如图，尺寸见三视图， 其体积为1(34)283V =⨯⨯⨯=． 故选：D ．【点睛】本题考查由三视图求几何体的体积，解题关键是由三视图还原出原几何体．借助于长方体或正方体还原原几何体表事半功倍的效果． 5．随机变量X 的分布列如下表，已知()122P x ≤=，则当b 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭内增大时（ ）X 1 2 3 P abcA ．()E X 递减，()D X 递减B ．()E X 递增，()D X 递减C ．()E X 递减，()D X 递增 D ．()E X 递增，()D X 递增【答案】B【解析】由题意结合分布列的性质可得12a b +=，12c =，再由离散型随机变量的期望、方差公式结合函数的知识即可得解. 【详解】 因为()122P x ≤=，所以12a b +=，12c =，所以()232E X a b c b =++=+，所以当b 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内增大时，()E X 递增；所以()()()()2222115122232224D X a b b b b b ⎛⎫=-++-++-+=-++⎡⎤⎡⎤⎡⎤ ⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭， 所以当b 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内增大时，()D X 递减. 故选：B. 【点睛】本题考查了分布列性质的应用及离散型随机变量期望和方差的求解，考查了运算求解能力，属于中档题.6．在直角坐标系中，函数()2xe f x ax x=+的图象如图所示，则a 可能取值是（ ）A ．4-B ．1-C ．1D ．0【答案】C【解析】由题意可知函数()y f x =在(),0-∞上单调递增，在()0,∞+上先减后增，且函数()y f x =的值域为R ，然后利用导数分析函数()y f x =的单调性以及该函数在(),0-∞上的符号变化，结合排除法可得出合适的选项.【详解】()2xe f x ax x =+，定义域为{}0x x ≠，()()()33322x x e x e x ax f x a x x--+'=+=. （1）当0a <时，令()()32xg x ex ax =-+，对任意的0x <，()()2130x g x e x ax '=-+<，则函数()y g x =在区间(),0-∞上单调递减，()00g <. ①若4a =-，则()()324xg x ex x =--，()3140g e-=->， 由零点存在定理可知，存在()01,0x ∈-，使得()00g x =，当0x x <时，()0g x >，()0f x '<，此时函数()y f x =单调递减； 当00x x <<时，()0g x <，()0f x '>，此时函数()y f x =单调递增. 所以，函数()y f x =在区间(),0-∞上不单调，不合乎题意；②若1a =-，同理可知，函数()y f x =在区间(),0-∞上不单调，不合乎题意； 所以，排除A 、B 选项；（2）当0a =时，对任意的0x <，()20xe f x x=>，不合乎题意，排除D 选项；故选：C. 【点睛】本题考查利用函数图象确定函数解析式中的参数，一般利用导数分析函数单调性、函数值或极值符号、零点等进行判断，考查推理能力，属于中等题.7．设A 、B 、C 三点不共线，则“AB 与AC 的夹角是钝角”是“AB AC BC +<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】首先设命题:p AB 与AC 的夹角是钝角，命题:q AB AC BC +<，根据AB 与AC 的夹角是钝角推得AB AC BC +<，又根据AB AC BC +<推得AB 与AC的夹角是钝角，即可得到答案. 【详解】设命题:p AB 与AC 的夹角是钝角，命题:q AB AC BC +<， 若AB 与AC 的夹角是钝角， 则()2222cos =AB ACAB AC AB AC A +++，()22222cos =BC AC AB AC AB AB AC A =-+-，所以()224cos 0AB AC BC AB AC A +=<-，故()22AB ACBC +<，AB AC BC +<，即p q ⇒.若AB AC BC +<， 则()224cos 0AB ACBC AB AC A +=<-，因为A 、B 、C 三点不共线所以cos 0A <，故AB 与AC 的夹角是钝角，即q p ⇒.所以“AB 与AC 的夹角是钝角”是“AB AC BC +<”的充分必要条件. 故选：C 【点睛】本题主要考查充分必要条件，同时考查了向量的模长计算，属于中档题.8．已知正方体1111ABCD A B C D -，P 是平面11A BCD 上的动点，M 是线段11B C 的中点，满足PM 与1CC 所成的角为6π，则动点P 的轨迹为（ ） A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线【答案】B【解析】采用数形结合的方法，并建立空间直角坐标系，计算1,PM CC ，根据空间向量夹角公式，可得结果. 【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，连接11,C D CD 相交于点O 所以11C D CD ⊥，又BC ⊥平面11CDD C ，所以1C D BC ⊥ 又1⋂=BC CD C ，所以1C D ⊥平面11A BCD以O 为原点，1,OC OC 分别为z 轴和y 轴， 然后过点O 作BC 的平行线为x 轴 建立如图所示空间直角坐标系O xyz -设2AB =，(),,0P x y所以(()(12,2,0,2M C C ()(11,,2,0,2,2=--=-PM x y CC由PM 与1CC 所成的角为6π 所以()()122123cos6212--⋅π===-+-+y PM CC PM CC x y化简可得()()2231226-+-=x y ，即()(22221126--+=y x所以点P 的轨迹为椭圆 故选：B 【点睛】本题考查立体几何中点的轨迹，采用数形结合的方法以及向量的使用，将几何问题代数化，使问题更加简洁明了，属中档题. 9．已知()()()21ln 0x f x ax ax ax ea -=-->在()0,∞+内存在零点，则实数a 的取值范围（ ） A ．(]0,e B ．(]0,1C ．[),e +∞D ．[)1,+∞【答案】D【解析】引入新函数()()f x g x ax =，两者零点相同，求得导数()g x '11()x x ea ax x--=-，先研究1x e y a x -=-（0,0a x >>）的单调性与最值，然后对a 分类：01,1,1a a a <<=>，进行讨论后可得结论．【详解】∵0a >，∴()()()21ln 0x f x ax ax ax ea -=-->在()0,∞+内存在零点，即1()()ln()x f x e g x x ax ax ax -==--在(0,)+∞零点， 111211()1()x x x xe e x e g x a x ax ax x-----'=--=-， 令1x e y a x -=-（0,0a x >>），则12(1)x e x y x--'=-，令0y '=得1x =，(0,1)x ∈时，0y '>，y 递增，(1,)x ∈+∞时，0y '<，y 递减，故max (1)1y y a ==-，（1）当01a <<时，max 10y a =-<，令()0g x '=，得1x =，(0,1)x ∈，()0g x '>，()g x 递增，(1,)x ∈+∞，()0g x '<，()g x 递减，故max 1()(1)1ln g x g a a==--， 令1()1ln h a a a =--，22111()ah a a a a-'=-+=，当01a <<时，()0'>h a ，()h a 单调递增，所以()(1)0h a h <=，∴函数()g x 无零点． （2）1a = 时，(1)0g =，()g x 在(0,)+∞上有零点．（3）1a >时，令11()()0x x e g x a ax x --'=-=，解得1x x =或1或2x ，其中1201x x <<<，（实质上12,x x x x ==是10x e y a x-=-=的两个解）， 当1(0,)x x ∈或2(1,)∈x x 时，()0g x '>，在1(,1)x x ∈或2(,)x x ∈+∞时，()0g x '<， 所以()g x 在1(0,)x 上递增，在1(,1)x 上递减，在2(1,)x 上递增，在2(,)x +∞上递减， 当1x x =或2x x =时，()g x 极大值＝0，此时()g x 在(0,)+∞上有两个零点． 综上所述，()f x 在(0,)+∞上有零点，则a 的取值范围是[1,)+∞． 故选：D ．【点睛】本题考查导数在研究函数的单调性与零点存在性问题中的应用，难度较大，解题关键是对导函数关系式的变形及对参数的分类讨论，其中对函数()f x 的变形也是一个神来之笔．10．已知数列{}n a 满足(2*12nn n a a a n N ++=+∈,，则下列错误的是（ ）A ．若()13,4a ∈时，则数列{}n a 单调递增B ．存在14,33a ⎛⎫⎪⎝⎭∈时，使数列{}n a 为常数列 C ．若114,23a ∈⎛⎫⎪⎝⎭时，则{}n a 单调递减数列D ．若2122a =-时，则1n a <≤ 【答案】C【解析】利用单调性的定义证明A ，C ，举例说B ，再根据 【详解】（1）∵(2*12nn n a a a n N ++=+∈,，∴2211(((22n n n n n n n a a a a a a a +-=+--=+，由数学归纳法思想，(i)1n =时，1a >221111((02a a a a -=+>，21a a >>(ii)假设n k =时，n a ，则由211((2n n n n a a a a +-=+得1n n a a +>>综合(i)(ii)得对所有*n N ∈，1n n a a +> ∴数列{}n a 是递增数列，A 正确，（2）若14(,3)3a =，则21a a =，依次得到1n n a a +=，数列{}n a 是常数列，B 正确；（3）设21()(2f x x x =()21()32f x x '=+，当3x <-或0x >时，()0f x '>，当03x -<<时，()0f x '<，∴()f x 在,3⎛-∞- ⎝⎭上递增，在⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上递减．在(0,)+∞是递增，极小值为(0)0f =<，极大值为0f ⎛=< ⎝⎭，所以()f x 有唯一零点，且零点在(0,)+∞上，进一步102f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，4840393f ⎛⎫⎛=> ⎪ ⎝⎭⎝，即零点在14,23⎛⎫⎪⎝⎭上，设其为0x ，若10a x =，则20a =，3a =，4a =，3)n a n =≥，数列{}n a 不是递减数列，C 错；（4）212a =时，21111(2222a a +=-+=， 由（3）知此方程有唯一解，11a =，又由（3）当(,0)x ∈-∞时，()027f x ≤-<，而21022a =-<，所以30a <，40a <，…，01n a <≤，∵0n a ≠，∴由(2*12nn n a a a n N +=∈,，可得1n n a a +>⇔>，*n N ∈，而2122a =->，所以n a >，综上1n a <≤．D 正确． 故选：C ． 【点睛】本题考查数列的单调性，考查数列不等式的证明，解题时注意递推公式的形式，因此引入函数21()(2f x x x =的性质．考查了学生分析问题解决问题的能力．二、双空题11．《数书九章》卷五中第二题，原文如下：问有沙田一段，有三斜，其小斜一十二里，中斜一十四里，大斜一十五里.里法三百步，欲知为田几何？答曰：田积三百一十五顷.术曰：以少广求之，以小斜幂（2c ）并大斜幂（2a ），减中斜幂（2b ），并半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，以四约之，为实：以为从偶，开平方，得积（S ）.译成现代式子是这个式子S =称为秦九韶三斜求积公式；已知三角形的三边分别为5，6，7时，则面积为_________，最小角的余弦值为_________.【答案】57【解析】由题意可得2c 、2a 、2b ，代入公式即可得面积；由三角形面积公式可得最小角α满足sin α=. 【详解】由题意22525c ==，22497a ==，22366b ==，所以S ==设最小角为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则167sin 2S α=⨯⨯=，解得sin α=所以5cos 7α==.故答案为：；57. 【点睛】本题考查了数学文化及三角形面积公式、同角三角函数关系的应用，考查了理解能力与运算求解能力，属于基础题. 12．复数212iz i-=-（i 为虚数单位），则z =_________，2z =_________. 【答案】172425i+ 【解析】由题意结合复数的除法运算可得4355z i =+，再由复数模的运算、复数的乘法运算即可得解. 【详解】 由题意()()()()21224312121255i i i z i i i i -+-===+--+，所以1z ==，2243162497245525252525i i i z +⎛⎫+=+-=⎪= ⎝⎭. 故答案为：1；72425i+. 【点睛】本题考查了复数的运算及复数模的求解，考查了运算求解能力，属于基础题.13．二项式5x⎛+ ⎝的展开式的所有项的系数和为_________，展开式中有理项的项数为_________.【答案】243 3【解析】在二项式中令1x =可得出展开式中所有项的系数和，然后写出展开式的通项，令x 的指数为整数，求得对应的参数值，由此可得出结论. 【详解】在二项式5x⎛+ ⎝中，令1x =，可得出展开式中所有项的系数和为53243=，展开式的通项为35521552rr rrr r r T C xC x --+=⋅⋅=⋅⋅， 当0r =、2、4时，x 的指数为整数，因此，展开式中有理项的项数为3. 故答案为：243；3. 【点睛】本题考查二项展开式所有项系数和的求解，同时也考查了展开式中有理项项数的计算，考查计算能力，属于中等题.三、填空题14．在矩形ABCD 中，3AB =，4=AD ，P 为矩形ABCD 所在平面上一点，满足PB PD ⊥，则PA 的最大值是_________，PA PC +的值是_________.【答案】5 5【解析】由题意结合圆的性质可得点P 的轨迹为以BD 为直径的圆（不含点B 、D ），由圆的性质即可得maxPA；由平面向量的线性运算法则结合矩形的性质可得2PA PC PO +=，即可求得PA PC +；即可得解.【详解】因为PB PD ⊥，所以点P 的轨迹为以BD 为直径的圆（不含点B 、D ），如图：设BD 的中点为O ，由题意5BD =，所以圆O 的半径52r =， 由圆的性质可得max max25PAPA r ===；由矩形的性质可得O 也为AC 中点，所以225PA PC PO r +===. 故答案为：5；5. 【点睛】本题考查了圆的性质及平面向量线性运算法则的应用，考查了转化化归思想，属于基础题.15．将6个相同的球全部放入甲、乙、丙三个盒子里，每个盒子最多放入3个球，共有_________种不同的放法. 【答案】10【解析】由题意将所有放法分类，结合排列、组合的知识运算即可得解. 【详解】将6个相同的球全部放入甲、乙、丙三个盒子里，每个盒子最多放入3个球，可分为以下三种情况：①其中有两个盒子各放入3个小球，共有233C =种不同放法；②三个盒子中均放入2个小球，共有1种不同放法；③一个盒子放入3个小球，一个盒子放入2个小球，最后一个盒子放入1个小球，共有336A =种放法；所以不同的放法共有31610++=种. 故答案为：10.【点睛】本题考查了计数原理的应用，考查了运算求解能力与分类讨论思想，合理分类是解题关键，属于基础题.16．已知点P 为抛物线24y x =上的动点，过点P 作圆()2231x y +-=的切线，切点为A ，则PA 的最小值为_________. 【答案】1【解析】由直线与圆相切的性质可得当PC 取最小值时，PA 最小，设200,4y P y ⎛⎫⎪⎝⎭，由两点间距离公式可得PC =()426916x f x x x =+-+，求导求得()f x 的最小值后即可得解. 【详解】圆()2231x y +-=的圆心()0,3C ，半径1r =，由切线的性质可得PA ==，若要使PA 最小，则PC 取最小值，设200,4y P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则PC == 令()426916x f x x x =+-+，则()3264x f x x '=+-，易知()f x '单调递增，且()20f '=，所以()f x 在(),2-∞上单调递减，在()2,+∞上单调递增， 所以()()22f x f ≥=，所以420006916y y y +-+的最小值为2即PC ，所以min 1PA ==.故答案为：1. 【点睛】本题考查了抛物线方程、直线与圆相切的性质的应用，考查了利用导数求最值的应用及转化化归思想，属于中档题.17．已知函数()()2,f x a x b a R b R =+-∈∈，当[]0,4x ∈时，()f x 的最大值为(),M a b ，则(),M a b 的最小值为_________. 【答案】5【解析】先根据绝对值不等式的性质得(,)5M a b ≥，即必要性成立，再取值验证这个最大值的最小值能取到，即充分性成立，即得解． 【详解】设t =，则由[0,4]x ∈得[0,2]t ∈，2()()2f x g t t a t b ==-+-，则(,)(0)2(,)(2)282M a b g a b M a b g a b ⎧≥=+⎪⎨≥=-+-⎪⎩，所以2(,)2282228210M a b a b a b a a b b ≥++-+-≥+-++-=， 所以(,)5M a b ≥，当且仅当02a ≤≤且04b ≤≤时取等号，取1,2a b ==，222252,01,()12223,122t t t g t t t t t t t t t ⎧--≤<⎪⎪=-+-=-++≤≤⎨⎪+-<≤⎪⎩，2()52(01)g t t t t =--≤<是减函数，max ()(0)5g t g ==，2()23(1g t t t t =-++≤≤是减函数，max ()(1)2g t g ==，2()22)g t t t t =+-<≤是增函数，max ()(2)5g t g ==，∴max ()5g t =，综上所述，(,)M a b 的最小值是5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查求含绝对值函数的最值，涉及了利用绝对值不等式的性质，二次函数的性质等知识点，考查了学生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于困难题．四、解答题18．已知函数()()sin cos f x x x x =⋅. （1）求函数()f x 的最小正周期和对称轴；（2）若()0f x ≤0x 的取值范围. 【答案】（1）π，5,122k x k Z ππ=+∈；（2）00,23x k x k k Z ππππ⎧⎫-+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭.【解析】（1）先用二倍角公式、降幂公式、辅助角公式对函数化简，然后根据正弦函数的周期和对称轴求结果；（2）直接由0sin 23x π⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭04222,333k x k k πππππ-+≤-≤+∈Z 化简即可得结果. 【详解】解：（1）因为())21sin cos sin 21cos 22f x x x x x x ==+-1sin 2cos 2sin 222232x x x π⎛⎫=-+=-+⎪⎝⎭ 所以()f x 的最小正周期T π=. 由2,32x k k πππ-=+∈Z 得5,122k x k ππ=+∈Z ， 故()f x 的对称轴为5,122k x k ππ=+∈Z .（2）因为()0f x ≤0sin 23x π⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭即0sin 23x π⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭， 所以04222,333k x k k πππππ-+≤-≤+∈Z ， 即0,23k x k k ππππ-+≤≤+∈Z ，即0x 的取值范围00,23x k x k k ππππ⎧⎫-+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z . 【点睛】此题考查三角函数的恒等变换公式和正弦函数的性质，考查计算能力和转化能力，属于基础题.19．四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，侧面PBC 为正三角形，平面PBC ⊥平面ABCD ，3ABC π∠=，点M 为AD 中点.（1）求证：CM PB ⊥；（2）若点N 是线段PA 上的中点，求直线MN 与平面PCM 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）3020. 【解析】（1）连AC ，由题意结合平面几何的知识可得CM BC ⊥，由面面垂直的性质可得CM ⊥平面PBC ，再由线面垂直的性质即可得证；（2）设2AB =，取BC 中点O ，连接OD 、OP 、OA ，过点O 作OE PC ⊥于E ，由题意求得所需长度，由面面垂直的性质与判定可得点O 到平面PCM 的距离为OE ，进而可得点A 、N 到平面PCM 的距离，再由线面角的概念即可得解. 【详解】（1）证明：连AC ，如图：由题知ACD △为等边三角形，因为M 为AD 中点，所以CM AD ⊥， 又//AD BC ，所以CM BC ⊥，因为平面ABCD ⊥平面PBC ，且平面ABCD 平面PBC BC =，CM ⊂平面ABCD ，所以CM ⊥平面PBC ，又PB ⊂平面PBC ，故CM PB ⊥；（2）设2AB =，取BC 中点O ，连接OD 、OP 、OA ，过点O 作OE PC ⊥于E ，如图：可得3OP =222cos1207DO DC CO DC CO +-⋅=2210DP DO PO =+=1102MN DP ==，3OE =记MN 与平面PCM 所成角为θ， 因为点N 是线段P A 上的中点，所以点N 到平面PCM 的距离d 是点A 到平面PCM 的距离的一半， 因为//AM CO ，AM CO =，所以//AO MC ，//AO 平面PCM ， 因为CM ⊥平面PBC ，所以平面PCM ⊥平面PBC ， 所以OE ⊥平面PCM ，所以点O 到平面PCM 的距离为32OE =， 所以点A 到平面PCM 3 所以点N 到平面PCM 的距离3d ， 所以3304sin 2010d MN θ===. 所以直线MN 与平面PCM 30. 【点睛】本题考查了面面垂直、线面垂直性质与判定的应用，考查了线面角的求解及空间思维能力，属于中档题.20．已知公差不为0的等差数列{}n a 满足：11a =，2a ，4a ，8a 成等比数列，数列{}n b 满足：11b =，()1n n n b n b b n++=，（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记数列1n n n c b a =+，数列{}n c 的前n 项和为n T ，证明：112n T ≤<.【答案】（1）n a n =；（2）证明见解析.【解析】（1）利用2a ，4a ，8a 成等比数列，求出公差d 后可得通项公式； （2）由()1nn n b n b b n++=得数列{}nb 单调递增，从而2112121n b b b b +≥=+=，已知等式变形为1111n n n b n b b +=-+，这样由裂项相消法求得111n n T b +=-，于是题设不等式得证． 【详解】解：（1）设等差数列{}n a 的公差为()d d ≠0. ∵2a ，4a ，8a 成等比数列，∴2428a a a =⋅，即()()()211137a d a d a d +=++， 整理得：21d a d =.又0d ≠，解得11d a ==，n a n =.（2）∵210nn n b b b n+-=>，∴{}n b 单调递增，211121n b b b +≥+=，∴[)12,n b +∈+∞，11112n b +-≥， 又()1n n n b n b b n ++=得：()1111n n n n n n b b n b b b n +==-++,即1111=n n n b n b b +-+， 又11111=n n n n n n c b a b n b b +==-++，1211112n n T b b b n =++++++12231111111nn b b b b b b +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111n n b b b ++=-=-. 故1111n n T b +=-<. ∴112n T ≤<．. 【点睛】本题考查求等差数列的通项公式，考查用裂项相消法求数列的和，考查等比数列的性质，用基本量法求等差数列和等比数列的通项公式与前n 项和公式是最基本的方法务必掌握．21．如图，已知椭圆2222:1x y C a b+=经过()2,0和()0,2，过原点的一条直线l 交椭圆于A ，B 两点（A 在第一象限），椭圆C 上点D 满足AD AB ⊥，连直线BD 与x 轴、y 轴分别交于M 、N 两点，ABD △的重心在直线1321x =的左侧.（1）求椭圆的标准方程；（2）记AOM 、OMN 面积分别为1S 、2S ，求12S S -的取值范围.【答案】（1）22142x y +=；（2）60,8⎛ ⎝⎭. 【解析】（1）将点代入椭圆方程，求出2242a b ⎧=⎨=⎩后，即可得解；（2）设()11,A x y ，()11,B x y --，()22,D x y ，()0,0M x ，作差可得()()()()1212121212y y y y x x x x +-+=--，由中位线的性质可得12AD BD k k ⋅=-，进而可得01x x =，设直线()111:2y BM y x x x =-，联立方程组结合韦达定理可得3112214123x x x x ++=，由重心的性质可得223131x <，进而可得101x <<，转化条件为12S S =-可得解. 【详解】（1）椭圆2222:1x y C a b+=经过()2,0和(，∴224121a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得2242a b ⎧=⎨=⎩，∴椭圆的标准方程为22142x y +=；（2）设()11,A x y ，()11,B x y --，()22,D x y ，()0,0M x ，由22112222142142x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩作差得22221212042x x y y --+=即()()()()1212121212y y y y x x x x +-+=--， 记AD 的中点为E ，则1212OE y y k x x ++=，由//OE BD 可得OE BD k k =，∴()()()()1212121212AD BD AD OE y y y y k k k k x x x x ⋅=⋅+-==-+-， 又AD AB ⊥，∴1AD AB k k =-⋅，∴22AB BD BM k k k ==即11101222y y x x x =⋅+， ∴01x x =，AM ⊥x 轴，N 为BM 的中点， ∴点()1,0M x ，直线()111:2y BM y x x x =-， 则()111222142y y x x x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 得222111211240212y y y x x x x -⎛⎫+ ⎭⋅⎝+-=⎪，>0∆，∴21121212112y x x x y x -+=，结合2211142x y +=可得3112214123x x x x ++=， 又ABD △的重心在直线1321x =的左侧，∴223131x <即311211341237x x x ++<， 化简得()()21111732520x x x --+<，∴101x <<，11,22AOM BOM ONM BON AOM BOM S S S S S S ====△△△△△△，∴1111211112224AOM ONMAOM S S S S x y x S -==⋅⋅===-△△△0,8⎛= ⎝⎭， ∴12SS -的取值范围为0,8⎛ ⎝⎭.【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求解，考查了直线与椭圆的综合应用，细心计算、合理转化条件是解题关键，属于难题. 22．已知()ln f x a x = （1）当1a =时，求()f x 的单调区间； （2）当10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求证：()()'>xf x f x ； （3）满足（2）条件下的任意1x 、2x ，求证：()()()1212f x x f x f x +>+. 【答案】（1）单调递增区间为(0,2+，单调递减区间为()2++∞；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】（1）求得函数()y f x =的定义域和导数，分析导数的符号变化，由此可得出函数()y f x =的增区间和减区间； （2）求得函数()y f x =的导数为()a f x x '=()()'>xf x f x ，即证()ln 10a x -<，构造函数()()ln 10g x a x =--<，然后分(]0,x e ∈和(),x e ∈+∞证明出()0g x <，即可证得结论成立； （3）构造函数()()f x p x x=，利用导数分析得出函数()y p x =在()0,∞+上单调递增，可推导出()()112112x f x x f x x x +>+以及()()212212x f x x f x x x +>+，两个不等式相加可得出所证不等式成立. 【详解】（1）当1a =时，()ln f x x =()0,∞+，()1f x x '==令()0f x '=，得2x =+当(0,2x ∈+，()0f x '>；当()2x ∈++∞，()0f x '<.所以，函数()y f x =的单调递增区间为()2，单调递减区间为()2,+∞； （2）当10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()a f x x '=-，()()()ln 1ln 1g x a x a x =--=--()axf x x a x ⎛'== ⎝， 要证：()()ln xf x f x a a x '>⇔->()ln 10a x ⇔-<.设()()()ln 1ln 1g x a x a x =--=--，即证：()0g x <.当(]0,x e ∈时，10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，ln 10x -≤，()0g x ≤<显然成立；当(),x e ∈+∞时，10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，ln 10x ->，()()()1=ln 1ln 12g x a x x -<-t =>()()()22222111111ln 11ln 1ln 222222t t t h t t t t t t t +++⎡⎤=---<--=--⎣⎦， 先证：()()21ln 012t t t t t ϕ-=-<>，()()222222111210222t t tt t t t t tϕ-+-+'=-=-=-<.所以，函数()21ln 2t t t t ϕ-=-在()1,t ∈+∞单调递减，()()10t ϕϕ<=，()2221111111ln 0222222t t t h t t t t t t +-+∴=--<--=--<在)t ∈+∞上恒成立.()0g x ∴<，即()()'>xf x f x ，证毕；（3）设()()f x p x x=，()()()20xf x f x p x x '-'=>，函数()y p x =在()0,x ∈+∞单调递增，121x x x +>，()()()()()()121112*********f x x f x x f x x p x x p x f x x x x x x ++∴+>⇒>⇒>++，同理()()212212x f x x f x x x +>+，相加得()()()()112212121212x f x x x f x x f x f x x x x x +++>+++， 即()()()1212f x x f x f x +>+，证毕. 【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间，同时也考查了利用导数证明函数不等式，考查计算能力与推理能力，属于难题.。

浙江省2020届高三高考模拟试题数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知U＝R，集合A={x|x＜32}，集合B＝{y|y＞1}，则∁U（A∩B）＝（）A．[32，+∞)B．(−∞，1]∪[32，+∞)C．(1，32)D．(−∞，32)2．已知i是虚数单位，若z=3+i1−2i，则z的共轭复数z等于（）A．1−7i3B．1+7i3C．1−7i5D．1+7i53．若双曲线x2m−y2=1的焦距为4，则其渐近线方程为（）A．y=±√33x B．y=±√3x C．y=±√55x D．y=±√5x4．已知α，β是两个相交平面，其中l⊂α，则（）A．β内一定能找到与l平行的直线B．β内一定能找到与l垂直的直线C．若β内有一条直线与l平行，则该直线与α平行D．若β内有无数条直线与l垂直，则β与α垂直5．等差数列{a n}的公差为d，a1≠0，S n为数列{a n}的前n项和，则“d＝0”是“S2nS n∈Z”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．随机变量ξ的分布列如表：ξ﹣1012P13a b c其中a，b，c成等差数列，若E(ξ)=19，则D（ξ）＝（）A．181B．29C．89D．80817．若存在正实数y，使得xyy−x =15x+4y，则实数x的最大值为（）A．15B．54C．1D．48．从集合{A，B，C，D，E，F}和{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复）．则每排中字母C 和数字4，7至少出现两个的不同排法种数为（ ） A ．85B ．95C ．2040D ．22809．已知三棱锥P ﹣ABC 的所有棱长为1．M 是底面△ABC 内部一个动点（包括边界），且M 到三个侧面P AB ，PBC ，P AC 的距离h 1，h 2，h 3成单调递增的等差数列，记PM 与AB ，BC ，AC 所成的角分别为α，β，γ，则下列正确的是（ ）A ．α＝βB ．β＝γC ．α＜βD ．β＜γ10．已知|2a →+b →|=2，a →⋅b →∈[−4，0]，则|a →|的取值范围是（ ） A ．[0，1]B ．[12，1]C ．[1，2]D ．[0，2]二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 11．若α∈(0，π2)，sinα=√63，则cosα＝ ，tan2α＝ ．12．一个长方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则该几何体与原长方体的体积之比是 ，剩余部分表面积是 ．13．若实数x ，y 满足{x +y −3≥02x −y +m ≤0y ≤4，若3x +y 的最大值为7，则m ＝ ．14．在二项式(√x +1ax 2)5(a ＞0)的展开式中x﹣5的系数与常数项相等，则a 的值是 ．15．设数列{a n }的前n 项和为S n ．若S 2＝6，a n +1＝3S n +2，n ∈N *，则a 2＝ ，S 5＝ ． 16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．已知a cos B ＝b cos A ，∠A =π6，边BC 上的中线长为4．则c ＝ ；AB →⋅BC →= ．17．如图，过椭圆C：x2a2+y2b2=1的左、右焦点F1，F2分别作斜率为2√2的直线交椭圆C上半部分于A，B两点，记△AOF1，△BOF2的面积分别为S1，S2，若S1：S2＝7：5，则椭圆C离心率为．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）已知函数f(x)=sin(2x+π3)+sin(2x−π3)+2cos2x，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）求函数f（x）在区间[−π4，π2]上的最大值和最小值．19．（15分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1．（1）求证：AB1⊥平面A1BC1；（2）若D在B1C1上，满足B1D＝2DC1，求AD与平面A1BC1所成的角的正弦值．20．（15分）已知等比数列{a n}（其中n∈N*），前n项和记为S n，满足：S3=716，log2a n+1＝﹣1+log2a n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n•log2a n}（n∈N*）的前n项和T n．21．（15分）已知抛物线C：y=12x2与直线l：y＝kx﹣1无交点，设点P为直线l上的动点，过P作抛物线C的两条切线，A，B为切点．（1）证明：直线AB恒过定点Q；（2）试求△P AB面积的最小值．22．（15分）已知a为常数，函数f（x）＝x（lnx﹣ax）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）．（1）求a的取值范围；（2）证明：f(x1)−f(x2)＜12．一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【详解详析】∵U＝R，A={x|x＜32}，B＝{y|y＞1}，∴A∩B=(1，32)，∴∁U(A∩B)=(−∞，1]∪[32，+∞)．故选：B．2．【详解详析】∵z=3+i1−2i =(3+i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=15+75i，∴z=15−75i．故选：C．3．【详解详析】双曲线x2m−y2=1的焦距为4，可得m+1＝4，所以m＝3，所以双曲线的渐近线方程为：y=±√33x．故选：A．4．【详解详析】由α，β是两个相交平面，其中l⊂α，知：在A中，当l与α，β的交线相交时，β内不能找到与l平行的直线，故A错误；在B中，由直线与平面的位置关系知β内一定能找到与l垂直的直线，故B正确；在C中，β内有一条直线与l平行，则该直线与α平行或该直线在α内，故C错误；在D 中，β内有无数条直线与l 垂直，则β与α不一定垂直，故D 错误． 故选：B ．5．【详解详析】等差数列{a n }的公差为d ，a 1≠0，S n 为数列{a n }的前n 项和， “d ＝0”⇒“S 2n S n∈Z ”，当S2nS n∈Z 时，d 不一定为0，例如，数列1，3，5，7，9，11中，S 6S 3=1+3+5+7+9+111+3+5=4，d ＝2，故d ＝0”是“S 2n S n∈Z ”的充分不必要条件．故选：A ．6．【详解详析】∵a ，b ，c 成等差数列，E （ξ）=19， ∴由变量ξ的分布列，知：{a +b +c =232b =a +c (−1)×13+b +2c =19，解得a =13，b =29，c =19，∴D （ξ）＝（﹣1−19）2×13+（0−19）2×13+（1−19）2×29+（2−19）2×19=8081．故选：D ．7．【详解详析】∵xyy−x =15x+4y ， ∴4xy 2+（5x 2﹣1）y +x ＝0， ∴y 1•y 2=14＞0， ∴y 1+y 2=−5x 2−14x ≥0，∴{5x 2−1≥0x ＜0，或{5x 2−1≤0x ＞0， ∴0＜x ≤√55或x ≤−√55①， △＝（5x 2﹣1）2﹣16x 2≥0， ∴5x 2﹣1≥4x 或5x 2﹣1≤﹣4x ， 解得：﹣1≤x ≤15②，综上x 的取值范围是：0＜x ≤15；x的最大值是15，故选：A．8．【详解详析】根据题意，分2步进行分析：①，先在两个集合中选出4个元素，要求字母C和数字4，7至少出现两个，若字母C和数字4，7都出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出1个字母，有5种选法，若字母C和数字4出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出1个字母，在1、2、3、5、6、8、9中选出1个数字，有5×7＝35种选法，若字母C和数字7出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出1个字母，在1、2、3、5、6、8、9中选出1个数字，有5×7＝35种选法，若数字4、7出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出2个字母，有C52＝10种选法，则有5+35+35+10＝85种选法，②，将选出的4个元素全排列，有A44＝24种情况，则一共有85×24＝2040种不同排法；故选：C．9．【详解详析】依题意知正四面体P﹣ABC的顶点P在底面ABC的射影是正三角形ABC的中心O，由余弦定理可知，cosα＝cos∠PMO•cos＜MO，AB＞，其中＜MO，AB＞表示直线MO与AB的夹角，同理可以将β，γ转化，cosβ＝cos∠PMO•cos＜MO，BC＞，其中＜MO，BC＞表示直线MO与BC的夹角，cosγ＝cos∠PMO•cos＜MO，AC＞，其中＜MO，AC＞表示直线MO与AC的夹角，由于∠PMO是公共的，因此题意即比较OM与AB，BC，AC夹角的大小，设M到AB，BC，AC的距离为d1，d2，d3则d1＝sinℎ1θ，其中θ是正四面体相邻两个面所成角，sinθ=2√23，所以d1，d2，d3成单调递增的等差数列，然后在△ABC中解决问题由于d1＜d2＜d3，可知M在如图阴影区域（不包括边界）从图中可以看出，OM与BC所成角小于OM与AC所成角，所以β＜γ，故选：D．10．【详解详析】选择合适的基底．设m →=2a →+b →，则|m →|=2，b →=m →−2a →，a →⋅b →=a →⋅m →−2a →2∈[−4，0]， ∴（a →−14m →）2=a →2−12a →•m →+116m →2≤8+116m →2 |m →|2=m →2＝4，所以可得：m→28=12，配方可得12=18m →2≤2(a →−14m →)2≤4+18m →2=92，所以|a →−14m →|∈[12，32]， 则|a →|∈[0，2]． 故选：D ．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 11．【详解详析】∵α∈(0，π2)，sinα=√63， ∴cosα=√1−sin 2α=√33，tanα=sinαcosα=√2，∴tan2α=2tanα1−tan 2α=√21−(√2)2=−2√2．故答案为：√33，﹣2√2．12．【详解详析】根据几何体的三视图转换为几何体为： 如图所示：该几何体为长方体切去一个角．故：V =2×1×1−13×12×2×1×1=53．所以：V 1V =532=56．S ＝2（1×2+1×2+1×1）−12(1×2+1×2+1×1)+12×√2×√2=9．故答案为：56，9．13．【详解详析】作出不等式组{x +y −3≥02x −y +m ≤0y ≤4对应的平面区域如图：（阴影部分）．令z ＝3x +y 得y ＝﹣3x +z ， 平移直线y ＝﹣3x +z ， 由图象可知当3x +y ＝7．由 {3x +y =7y =4，解得 {x =1y =4，即B （1，4），同时A 也在2x ﹣y +m ＝0上， 解得m ＝﹣2x +y ＝﹣2×1+4＝2． 故答案为：2．14．【详解详析】∵二项式(√x +1ax2)5(a ＞0)的展开式的通项公式为 T r +1=C 5r •(1a)r•x5−5r 2，令5−5r 2=−5，求得r ＝3，故展开式中x﹣5的系数为C 53•(1a )3；令5−5r 2=0，求得r ＝1，故展开式中的常数项为 C 51•1a =5a ， 由为C 53•(1a )3=5•1a ，可得a =√2，故答案为：√2．15．【详解详析】∵数列{a n }的前n 项和为S n ．S 2＝6，a n +1＝3S n +2，n ∈N *， ∴a 2＝3a 1+2，且a 1+a 2＝6，解得a 1＝1，a 2＝5，a 3＝3S 2+2＝3（1+5）+2＝20， a 4＝3S 3+2＝3（1+5+20）+2＝80， a 5＝3（1+5+20+80）+2＝320， ∴S 5＝1+5+20+80+320＝426． 故答案为：5，426．16．【详解详析】由a cos B ＝b cos A ，及正弦定理得sin A cos B ＝sin B cos A ， 所以sin （A ﹣B ）＝0， 故B ＝A =π6，所以由正弦定理可得c =√3a ，由余弦定理得16＝c 2+（a2）2﹣2c •a2•cos π6，解得c =8√217；可得a =8√77，可得AB →⋅BC →=−ac cos B =−8√77×8√217×√32=−967．故答案为：8√217，−967． 17．【详解详析】作点B 关于原点的对称点B 1，可得S △BOF 2=S△B′OF 1，则有S 1S2=|y A ||y B 1|=75，所以y A =−75y B 1．将直线AB 1方程x =√2y4−c ，代入椭圆方程后，{x =√24y −c x 2a 2+y 2b 2=1，整理可得：（b 2+8a 2）y 2﹣4√2b 2cy +8b 4＝0， 由韦达定理解得y A +y B 1=4√2b 2cb 2+8a 2，y A y B 1=−8b 4b 2+8a 2，三式联立，可解得离心率e =ca =12． 故答案为：12．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．【详解详析】（1）f （x ）＝sin2x +cos2x +1=√2sin(2x +π4)+1 所以最小正周期为π． 因为当π2+2kπ≤2x +π4≤3π2+2kπ时，f （x ）单调递减．所以单调递减区间是[π8+kπ，5π8+kπ]．（2）当x ∈[−π4，π2]时，2x +π4∈[−π4，5π4]，当2x +π4=π2函数取得最大值为√2+1，当2x +π4=−π4或5π4时，函数取得最小值，最小值为−√22×√2+1＝0．19．【详解详析】（1）在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1， 根据已知条件易得AB 1⊥A 1B ，由A 1C 1⊥面ABB 1A 1，得AB 1⊥A 1C 1， A 1B ∩A 1C 1＝A 1，以AB 1⊥平面A 1BC 1；（2）以A 1B 1，A 1C 1，A 1A 为x ，y ，z 轴建立直角坐标系，设AB ＝a ， 则A （0，0，a ），B （a ，0，a ），C 1(0，a ，0)，D(a3，2a 3，0)，所以AD →=(a3，2a 3，−a)，设平面A 1BC 1的法向量为n →，则n →=(1，0，−1)， 可计算得到cos ＜AD →，n →＞=2√77，所以AD 与平面A 1BC 1所成的角的正弦值为2√77． 20．【详解详析】（1）由题意，设等比数列{a n }的公比为q ， ∵log 2a n +1＝﹣1+log 2a n ， ∴log 2a n+1−log 2a n =log 2a n+1a n=−1，∴q =a n+1a n =12．由S 3=716，得a 1[1−(12)3]1−12=716，解得a 1=14．∴数列{a n }的通项公式为a n =12n+1．（2）由题意，设b n ＝a n •log 2a n ，则b n =−n+12n+1． ∴T n ＝b 1+b 2+…+b n =−(222+323+⋯+n+12n+1) 故−T n =222+323+⋯+n+12n+1，−T n2=223+⋯+n2n+1+n+12n+2．两式相减，可得−T n2=12+123+⋯+12n+1−n+12n+2=34−n+32n+2．∴T n=n+32n+1−32．21．【详解详析】（1）由y=12x2求导得y′＝x，设A（x1，y1），B（x2，y2），其中y1=12x12，y2=12x22则k P A＝x1，P A：y﹣y1＝x1（x﹣x1），设P（x0，kx0﹣1），代入P A直线方程得kx0﹣1+y1＝x1x0，PB直线方程同理，代入可得kx0﹣1+y2＝x2x0，所以直线AB：kx0﹣1+y＝xx0，即x0（k﹣x）﹣1+y＝0，所以过定点（k，1）；（2）直线l方程与抛物线方程联立，得到x2﹣2kx+2＝0，由于无交点解△可得k2＜2．将AB：y＝xx0﹣kx0+1代入y=12x2，得12x2−xx0+kx0−1=0，所以△=x02−2kx0+2＞0，|AB|=2√1+x02√△，设点P到直线AB的距离是d，则d=02√1+x02，所以S△PAB=12|AB|d=(x02−2kx0+2)32=[(x0−k)2+2−k2]32，所以面积最小值为(2−k2)32．22．【详解详析】（1）求导得f′（x）＝lnx+1﹣2ax（x＞0），由题意可得函数g（x）＝lnx+1﹣2ax有且只有两个零点．∵g′(x)=1x −2a=1−2axx．当a≤0时，g′（x）＞0，f′（x）单调递增，因此g（x）＝f′（x）至多有一个零点，不符合题意，舍去；当a＞0时，令g′（x）＝0，解得x=12a，所以x∈(0，12a )，g′(x)＞0，g(x)单调递增，x∈(12a，+∞)，g′(x)＜0，g(x)单调递减．所以x=12a 是g（x）的极大值点，则g(12a)＞0，解得0＜a＜12；（2）g（x）＝0有两个根x1，x2，且x1＜12a＜x2，又g（1）＝1﹣2a＞0，所以x1＜1＜12a＜x2，从而可知f（x）在区间（0，x1）上递减，在区间（x1，x2）上递增，在区间（x2，+∞）上递减．所以f(x1)＜f(1)=−a＜0，f(x2)＞f(1)=−a＞−1，2．所以f(x1)−f(x2)＜12。

2020届浙江省杭州市高考数学二模试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知R为实数集，集合A={x|x>0}，B={x|x2−x−2>0}，则A∩(∁R B)=()A. (0,2]B. (−1,2)C. [−1,2]D. [0,4]2.定义运算∣∣∣a,bc,d∣∣∣=ad−bc，则符合条件∣∣∣z,1+i−i,2i∣∣∣=0的复数z对应的点在()A. 第一象限B. 第二象限C. C第三象限D. 第四象限3.对于二项式(1x+x3)n(n∈N∗),4位同学做出了4种判断：①存在n∈N∗，展开式中有常数项；②对于任意n∈N∗，展开式中没有常数项；③对于任意n∈N∗，展开式中没有x的一次项；④存在n∈N∗，使展开式中有x的一次项．上述判断中正确的是()A. ①③B. ②③C. ②④D. ①④4.已知p：0≤x≤1，q：1x<1，则p是q的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件5.某多面体的三视图如图所示，则该几何体的体积与其外接球的体积之比为()A. √618πB. √69πC. √63πD. √62π6.函数的图象关于对称，则图象的对称一个中心为A. B. C. D.7.从某企业生产的某种产品中随机抽取10件，测量这些产品的一项质量指标，其频率分布表如下：则可估计 这批产品的质量指标的方差为( )A. 140B. 142C. 143D. 134.88. 已知函数f(x)={e x −ax 2,x ≤12a +lnx,x >1在定义域(−∞,+∞)上是单调增函数，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,e2]B. [e3,+∞)C. [e 3,e2]D. (e 3,e2)9. 在数列{a n }中，a 1=1，且a n+1=an1+na n ，则其通项公式为a n =( )A. 1n 2−n+1B. 1n 2−n+2C. 2n 2−n+1D. 2n 2−n+210. 椭圆x 2a 2+y 2=1的一个焦点在抛物线y 2=4x 的准线上，则该椭圆的离心率为( )A. 12B. √22C. 13D. √33二、单空题（本大题共3小题，共12.0分）11. 10次投篮中，投中5次，其中恰有1个2连中和1个3连中的情形有______种(用数字作答)． 12. 已知a ⃗ =(2,0)，b ⃗ =(−1,2)，则b ⃗ 在a⃗ 方向上的投影为______． 13. 若正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则三棱锥A −BDA 1的体积为______ ． 三、多空题（本大题共4小题，共24.0分） 14. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，A 1，A 2分别是双曲线的左、右顶点，M(x 0,y 0)是双曲线上除两顶点外的一点，直线MA 1与直线MA 2的斜率之积是169，则双曲线的离心率为 ；若该双曲线的焦点到其渐近线的距离是4，则双曲线的方程为 ．15. 已知函数f(x)={(12)x −2,x ≤−1(2−x)(x +1),x >−1，则f(−2)= (1) ，若f (t)≥2，则t 的取取值范围是 (2)16. 在△ABC 中，已知A =π4，cosB =2√55，若BC =2√5，D 为AB 的中点，则cosC = (1) ，CD 的长为 (2) ．17. 变量x ，y 满足约束条件{y ≤2x +y ≥1x −y ≤1，则目标函数z =(12)2x+y 的最大值是 (1) ，最小值是 (2) ．四、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.设函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,−π2<φ<π2,x∈R)的部分图象如图所示．(Ⅰ)求函数y=f(x)的解析式；(Ⅱ)将函数y=f(x)的图象沿x轴方向向右平移π6个单位长度，再把横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数y=g(x)的图象，当x∈[−π12,π3]时，求函数g(x)的值域．19.如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，H为PC的中点，M为AH的中点，PA=AC=2，BC=1．(Ⅰ)求证：AH⊥平面PBC；(Ⅱ)求PM与平面AHB成角的正弦值；(Ⅲ)设点N 在线段PB 上，且PNPB =λ，MN//平面ABC ，求实数λ的值．20. 设数列{a n }的前n 项和S n =2a n −a 1，且a 1，a 2+1，a 3成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列{1a n}的前n 项和T n ，求使得|T n −1|<12016成立的n 的最小值．21. 如图，已知M(m,m 2)，N(n,n 2)是抛物线C ：y =x 2上两个不同点，且m 2+n 2=1，m +n ≠0.直线l 是线段MN 的垂直平分线．设椭圆E 的方程为x 22+y 2a=1(a >0,a ≠2)．(1)当M ，N 在抛物线C 上移动时，求直线l 斜率k 的取值范围； (2)已知直线l 与抛物线C 交于A ，B 两个不同点，与椭圆E 交于P ，Q 两个不同点．设AB 中点为R ，PQ 中点为S ，若OR ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OS⃗⃗⃗⃗⃗ =0，求椭圆E 离心率的范围．22.已知函数f(x)=x2+2x+alnx(a∈R)．(1)当a=0时，求f(x)的极值点；(2)若f(x)在[1,+∞)上单调递增，求a的取值范围；(3)若定义在区间D上的函数y=f(x)对于区间D上的任意两个值x1，x2总有以下不等式1 2[f(x1)+f(x2)]≥f(x1+x22)成立，则函数y=f(x)为区间D上的“下凸函数”.试证当a≤0时，f(x)为“下凸函数”．【答案与解析】1.答案：A解析：本题考查了集合的化简与运算问题，属于基础题．先化简集合B，根据补集与交集的定义写出运算结果即可．解：R为实数集，集合A={x|x>0}，B={x|x2−x−2>0}={x|x<−1或x>2}，∴∁R B={x|−1≤x≤2}，∴A∩(∁R B)={x|0<x≤2}=(0,2]．故选A．2.答案：B解析：本题是新定义题，考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．利用新定义可得关于z的等式，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，进一步求得z得答案．解：由题意可得：∣∣∣z,1+i−i,2i∣∣∣=z(2i)−(−i)(1+i)=0，即z=−i (1+i)2i=1−i2i=(1−i)(−2i)2i(−2i)=−2−2i4=−12−i2，∴z=−12+i2，则复数z对应的点的坐标为(−12,12)，在第二象限．故选B．3.答案：D解析：解：二项式(1x +x3)n(n∈N∗)的展开式通项公式为T r+1=C n r⋅(1x)n−r⋅x3r=C n r⋅x4r−n，故当n=4r时，x的幂指数等于零，该项为常数项，故①正确，②不正确；当4r−n=1时，x的幂指数等于1，该项为x的一次项，故④正确，③不正确，故选：D．分析二项展开式的通项公式，得出结论．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．4.答案：D解析：根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式之间的关系是解决本题的关键，比较基础．解：当x=0时，不等式1x<1不成立，即充分性不成立，当x=−1时，满足1x<1但0≤x≤1不成立，即必要性不成立，故p是q的既不充分也不必要条件，故选：D5.答案：A解析：本题考查了棱锥的结构特征与三视图，几何体的体积计算，是中档题．由三视图知该几何体是三棱锥，把它放入长方体中，计算棱锥的体积和棱锥外接球的直径与体积，求出体积比．解：由三视图知该几何体是三棱锥A−BCD，把它放入长方体中，如图所示：则三棱锥A−BCD的体积为V A−BCD=13S△BCD⋅ℎ=13×12×2×4×2=83，三棱锥外接球的直径为2R=AC，所以4R2=AC2=22+22+42=24，解得R=√6；所以外接球的体积为V球=43πR3=4π3⋅(√6)3=8√6π，所以该几何体的体积与外接球的体积比为838√6π=√618π．故选A．6.答案：C解析：解：，在对称轴处取得最大值或最小值，∴，即，解得；，令，解得，当k=−1时，，函数f(x)图象的一个对称中心为，故选C。

2020年3月普通高考(浙江卷)全真模拟卷(2)数学(考试时间：120分钟 试卷满分：150分)注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．测试范围：高中全部内容。

选择题部分(共40分)一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集{}{}{}1,3,5,7,9,11,A 1,3,9,11U B ===，则()UA B =( )A ．∅B ．{1,3}C ．{9,11}D ．{5,7,9,11}2．已知在△ABC 中，4a =，3b =，c =，则角C 的度数为( ) A ．030B ．045C ．060D ．01203．若,x y 满足约束条件1,1y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩则2z x y =+的最小值为A ．3-B ．4-C ．32D ．34．用1，2，3，4，5组成一个没有重复数字的五位数，三个奇数中仅有两个相邻的五位数有( ) A ．12个B ．24个C ．36个D ．72个5．已知,a b ∈R ，则1b a <<是1|1|a b ->-的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知lg lg 0a b +=(01,01)a a b b >≠>≠且且，则函数()xf x a -=与函数()log b g x x =的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．7．已知随机变量ξ的分布列如下表：记“函数()()3sin2f x x R π=∈是偶函数”为事件A ，则( ) A ．()223E a ξ=-，()13P A = B ．2()3E ξ=，()13P A =C ．()223E ξ=，()23P A =D ．()2244233E a a ξ=-+，()23P A =8．已知点(2,1)A -，P为椭圆22:143x y C +=上的动点，B 是圆1C ：22(1)1x y -+=上的动点，则PB PA -的最大值为( )A BC ．3D ．5-9．正整数数列{}n a 满足：1,2(*)22,21n n n k a ka k N k a k +=⎧=∈⎨+=-⎩，则( ) A ．数列{}n a 中不可能同时有1和2019两项 B ．n a 的最小值必定为1 C ．当na 是奇数时，2n n a a +≥D ．n a 的最小值可能为210．在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP =λ AB +μAD ，则λ+μ的最大值为 A ．3B ．C D ．2非选择题部分(共110分)二、填空题：本题共7个小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 11．某几何体的三视图(单位：cm )如图所示，则该几何体的体积是______3cm .12．德国数学家阿甘得在1806年公布了虚数的图象表示法，形成由各点都对应复数的“复平面”，后来又称“阿甘得平面”.高斯在1831年，用实数组(,)a b 代表复数a bi +，并建立了复数的某些运算，使得复数的某些运算也象实数一样地“代数化”.若复数z 满足()347i z i ⋅+=+，则z 对应的点位于第_______象限，||z =________.13．在6⎛⎝的展开式中，各项系数的和是________，二项式系数最大的项是_________.14．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，左右焦点分别是,12F F ，过F 2且与x 轴垂直的直线交双曲线于,A B 两点，则其渐近线方程是_________，12AF F ∠=________.15．已知实数,x y 4=，则22xy +的取值范围为___________.16．在三棱锥P ABC -中，顶点P 在底面的射影为ABC ∆的垂心O ，且PO 中点为M ，过AM 作平行于BC 的截面α，记1PAM θ∠=，记α与底面ABC 所成的锐二面角为2θ，当1θ取到最大，2tan θ=___________.17．已知函数()cos ,cos 0,cos x x f x x ⎧≥⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩，则()3π=f _________，当02x π≤≤时，()sin f x x ≤的解集是__________.三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．已知函数()2sin 22cos 1f x x x =+-；(1)求函数()f x 的单调减区间；(2)将函数()f x 分别向左、向右平移()0m m >个单位相应得到()()g x h x 、，且cos 3m =，求函数()(),0,2y g x h x x π⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦∈的值域.19．已知：正三棱柱111ABC A B C -中， 13AA =， 2AB =， N 为棱AB 的中点．(1)求证： 1//AC 平面1NB C ． (2)求证：平面1CNB ⊥平面11ABB A ． (3)求四棱锥111C ANB A -的体积．20．已知数列{}n a 的前n 项和为,n S 且满足24n S n n =-，数列{}n b 中，2133a b a =+对任意正整数112,.3nn n n b b +⎛⎫≥+= ⎪⎝⎭(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)是否存在实数μ，使得数列{}3nn b μ⋅+是等比数列？若存在，请求出实数μ及公比q 的值，若不存在，请说明理由； (3)求证：121148n b b b ≤+++<.21．已知抛物线E ：214y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与E 交于A ，C 两点 (1)分别过A ，C 两点作抛物线E 的切线，求证：抛物线E 在A 、C 两点处的切线互相垂直； (2)过点F 作直线l 的垂线与抛物线E 交于B ，D 两点，求四边形ABCD 的面积的最小值.22．已知函数()2122ln 2f x ax x x =-++，a R ∈. (1).当3a =-时，求()f x 的单调增区间；(2)当1a ≥，对于任意12,(0,1]x x ∈，都有1212|||()()|x x f x f x -≤-，求实数a 的取值范围； (3)若函数()f x 的图象始终在直线32y x =-+的下方，求实数a 的取值范围.2020年3月普通高考(浙江卷)全真模拟卷(2)数学(考试时间：120分钟 试卷满分：150分)注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2020年浙江省高考数学模拟试卷一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）已知A ＝{x ∈N *|x ≤3}，B ＝{x|x 2﹣4x ≤0}，则A ∩B ＝（）A ．{1，2，3}B ．{1，2}C ．（0，3]D ．（3，4]2．（4分）设i 为虚数单位，复数??=2+3??，则z 的共轭复数是（）A ．3﹣2iB ．3+2iC ．﹣3﹣2iD ．﹣3+2i3．（4分）设变量x ，y 满足约束条件{+??≥1，2??-??≤2，-??+1≥0，则z ＝（x ﹣3）2+y 2的最小值为（）A ．2B ．4√55C ．4D ．1654．（4分）已知α为任意角，则“cos2α＝13”是“sin α＝√33”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要5．（4分）函数f （x ）＝x 2+e |x|的图象只可能是（）A ．B ．C ．D ．6．（4分）如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P 为线段AD 的中点，Q 为线段B 1C 1的动点，则下列说法中错误的是（）A ．线段PQ 与平面CDD 1C 1可能平行B ．当Q 为线段B 1C 1的中点时，线段PQ 与DD 1所成角为4C ．≥√2D ．CD 1与PQ 不可能垂直7．（4分）已知0＜??＜23，随机变量ξ的分布列如图：则当a增大时，ξ的期望E（ξ）变化情况是（）ξ﹣101P13a bA．E（ξ）增大B．E（ξ）减小C．E（ξ）先增后减D．E（ξ）先减后增8．（4分）已知函数??(??)={2+4??+2，??≤02??，??＞0，且方程f（x）＝a有三个不同的实数根x1，x2，x3，则x1+x2+x3的取值范围为（）A．(-154，0]B．(-154，2]C．[﹣4，+∞）D．[﹣4，2）9．（4分）如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，M是棱A1C1上的点，记直线AM与直线BC所成的角为α，直线AM与平面ABC所成的角为β，二面角M﹣AC﹣B的平面角为γ．则（）A．α≥β，β≤γB．α≤β，β≤γC．α≥β，β≥γD．α≤β，β≥γ10．（4分）设数列{a n}满足a n+1＝a n2+2a n﹣2（n∈N*），若存在常数λ，使得a n≤λ恒成立，则λ的最小值是（）A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．1二．填空题（共7小题，满分36分）11．（6分）过点P（1，1）作直线l与双曲线??2-22=??交于A，B两点，若点P恰为线段AB的中点，则实数λ的取值范围是．12．（6分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．13．（6分）已知（1﹣x）6＝a0+a1x+a2x2+…+a6x6，则a2＝，a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6＝．14．（6分）在△ABC中，a＝1，cosC=34，△ABC的面积为√74，则c＝．15．（4分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22+??2??2=1（a＞b＞0）的上、下顶点分别为B2，B1，若一个半径为√2b，过点B1，B2的圆M与椭圆的一个交点为P（异于顶点B1，B2），且|k1-k2|=89，则椭圆的离心率为．16．（4分）如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BCD＝60°，CB＝CD＝2√3．若点M为边BC上的动点，则→→的最小值为．17．（4分）设f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，且满足f（x）+xf'（x）＞0，则不等式f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1）的解集为三．解答题（共5小题，满分74分）18．（14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b﹣c＝1，cosA=13，△ABC的面积为2√2．（Ⅰ）求a及sinC的值；（Ⅱ）求cos（2A-6）的值．19．（15分）如图，三棱锥D﹣ABC中，AD＝CD，AB＝BC＝4√2，AB⊥BC．（1）求证：AC⊥BD；（2）若二面角D﹣AC﹣B的大小为150°且BD＝4√7时，求直线BM与面ABC所成角的正弦值．20．（15分）在等差数列{a n}和正项等比数列{b n}中，a1＝1，b1＝2，且b1，a2，b2成等差数列，数列{b n}的前n项和为Sn，且S3＝14．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）令??=????，（﹣1）n d n＝nc n+n，求数列{d n}的前项和为T n．21．（15分）已知抛物线y2＝x上的动点M（x0，y0），过M分别作两条直线交抛物线于P、Q两点，交直线x＝t于A、B两点．（1）若点M纵坐标为√2，求M与焦点的距离；（2）若t＝﹣1，P（1，1），Q（1，﹣1），求证：y A y B为常数；（3）是否存在t，使得y A y B＝1且y P?y Q为常数？若存在，求出t的所有可能值，若不存在，请说明理由．22．（15分）设函数f（x）＝e x cosx，g（x）＝e2x﹣2ax．（1）当??∈[0，]时，求f（x）的值域；3恒成立（f'（x）是f（x）的导函数），求实数a的取值范围．（2）当x∈[0，+∞）时，不等式??(??)≥′(??)2??2020年浙江省高考数学模拟试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）已知A ＝{x ∈N *|x ≤3}，B ＝{x|x 2﹣4x ≤0}，则A ∩B ＝（）A ．{1，2，3}B ．{1，2}C ．（0，3]D ．（3，4]【解答】解：由题意得：A ＝{x ∈N *|x ≤3}＝{1，2，3}，B ＝{x|x 2﹣4x ≤0}＝{x|0≤x ≤4}，∴所以A ∩B ＝{1，2，3}，故选：A ．2．（4分）设i 为虚数单位，复数??=2+3??，则z 的共轭复数是（）A ．3﹣2iB ．3+2iC ．﹣3﹣2iD ．﹣3+2i【解答】解：∵??=2+3??=(2+3??)(-??)-??2=3-2??，∴??=3+2??．故选：B ．3．（4分）设变量x ，y 满足约束条件{+??≥1，2??-??≤2，-??+1≥0，则z ＝（x ﹣3）2+y 2的最小值为（）A ．2B ．4√55C ．4D ．165【解答】解：画出变量x ，y 满足约束条件{+??≥1，2??-??≤2，-??+1≥0，的可行域，可发现z ＝（x ﹣3）2+y 2的最小值是（3，0）到2x ﹣y ﹣2＝0距离的平方．取得最小值：(6-2√4+1)2=165．故选：D ．4．（4分）已知α为任意角，则“cos2α＝13”是“sin α＝√33”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要【解答】解：若cos2α＝13，则cos2α＝1﹣2sin 2α，sin α＝±√33，则cos2α＝13”是“sin α＝√33”的不充分条件；若sin α＝√33，则cos2α＝1﹣2sin 2α，cos2α＝13，则cos2α＝13”是“sin α＝√33”的必要条件；综上所述：“cos2α＝13”是“sin α＝√33”的必要不充分条件．故选：B ．5．（4分）函数f（x）＝x2+e|x|的图象只可能是（）A．B．C．D．【解答】解：因为对于任意的x∈R，f（x）＝x2+e|x|＞0恒成立，所以排除A，B，由于f（0）＝02+e|0|＝1，则排除D，故选：C．6．（4分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段AD的中点，Q为线段B1C1的动点，则下列说法中错误的是（）A．线段PQ与平面CDD1C1可能平行B．当Q为线段B1C1的中点时，线段PQ与DD1所成角为4C．≥√2D．CD1与PQ不可能垂直【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段AD的中点，Q为线段B1C1的动点，在A中，当Q为线段B1C1中点时，线段PQ与平面CDD1C1平行，故A正确；在C中，当Q为线段B1C1的中点时，PQ∥DC1，∴线段PQ与DD1所成角为∠C1DD1=4，故B正确；在C中，PQ≥√2AB，当且仅当Q为线段B1C1的中点时取等号，故C正确；在D中，当Q为线段B1C1的中点时，PQ∥DC1，CD1与PQ垂直，故D错误．故选：D．7．（4分）已知0＜??＜23，随机变量ξ的分布列如图：则当a增大时，ξ的期望E（ξ）变化情况是（）ξ﹣101P13a b A．E（ξ）增大B．E（ξ）减小C．E（ξ）先增后减D．E（ξ）先减后增【解答】解：依题可知{()=-13+??+??=23，∴??(??)=-13+23-??，∴当a 增大时，ξ的期望E （ξ）减小．故选：B ．8．（4分）已知函数??(??)={2+4??+2，??≤02??，??＞0，且方程f （x ）＝a 有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1+x 2+x 3的取值范围为（）A ．(-154，0]B ．(-154，2]C ．[﹣4，+∞）D ．[﹣4，2）【解答】解：作出函数f （x ）的图象，方程f （x ）＝a 有三个不同的实数根即等价于函数y ＝f （x ）的图象与直线y ＝a 有三个交点A ，B ，C ，故有﹣2＜a ≤2，不妨设x 1＜x 2＜x 3，因为点A ，B 关于直线x ＝﹣2对称，所以x 1+x 2＝﹣4，﹣2＜log 2x 3≤2，即14＜x 3≤4，故-154＜x 1+x 2+x 3≤0．故选：A ．9．（4分）如图，在三棱台ABC ﹣A 1B 1C 1中，M 是棱A 1C 1上的点，记直线AM 与直线BC 所成的角为α，直线AM 与平面ABC 所成的角为β，二面角M ﹣AC ﹣B 的平面角为γ．则（）A ．α≥β，β≤γB ．α≤β，β≤γC ．α≥β，β≥γD ．α≤β，β≥γ【解答】解：∵在三棱台ABC ﹣A 1B 1C 1中，M 是棱A 1C 1上的点，记直线AM 与直线BC 所成的角为α，直线AM 与平面ABC 所成的角为β，二面角M ﹣AC ﹣B 的平面角为γ．∴根据最小角定理得α≥β，根据最大角定理得β≤γ．故选：A ．10．（4分）设数列{a n }满足a n+1＝a n 2+2a n ﹣2（n ∈N *），若存在常数λ，使得a n ≤λ恒成立，则λ的最小值是（）A ．﹣3B ．﹣2C ．﹣1D ．1【解答】解：??+1-????=????2+????-2=(????+2)(????-1)，若a n ＜﹣2，则a n+1＞a n ，则该数列单调递增，所以无限趋于﹣2．若a n ＝﹣2，则a n+1＝a n ，则该数列为常数列，即a n ＝2．所以，综上所述，λ≥﹣2．∴λ的最小值是﹣2．故选：B．二．填空题（共7小题，满分36分）11．（6分）过点P（1，1）作直线l与双曲线??2-22=??交于A，B两点，若点P恰为线段AB的中点，则实数λ的取值范围是（﹣∞，0）∪（0，12）．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入双曲线可得：{12-122=??22-222=??，两式相减可得：1-??2??1-??2=2(??1+??2)??1+??2，而由题意可得，x1+x2＝2×1＝2，y1+y2＝2×1＝2，所以直线AB的斜率k=1-??21-??2=2×２2=2，所以直线AB的方程为：y﹣1＝2（x﹣1），即y＝2x﹣1，代入双曲线的方程可得：2x2﹣4x+1+2λ＝0，因为直线与双曲线由两个交点，所以△＞0，且λ≠0，即△＝16﹣4×2×（1+2λ）＞0，解得：??＜12，所以实数λ的取值范围是（﹣∞，0）∪（0，12），故答案为：（﹣∞，0）∪（0，12）．12．（6分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为9．【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：下底面为直角梯形，高为3的四棱锥体，如图所示：所以：V=13×12(2+4)×3×3=9，故答案为：913．（6分）已知（1﹣x）6＝a0+a1x+a2x2+…+a6x6，则a2＝15，a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6＝64．【解答】解：由（1﹣x）6的通项为??+1=??6(-??)??可得，令r＝2，即x2项的系数a2为??62=15，即a2＝15，由（1﹣x）6＝a0+a1x+a2x2+…+a6x6，取x＝﹣1，得a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6＝[1﹣（﹣1）]6＝64，故答案为：15，64．14．（6分）在△ABC中，a＝1，cosC=34，△ABC的面积为√74，则c＝√2．【解答】解：∵a＝1，cosC=34，△ABC的面积为√74，∴sinC=√１-2??=√74，可得√74=12absinC=√78ab，解得ab＝2，∴b＝2，∴由余弦定理可得c=√??2+??2-2=√12+22-2×1×2×34=√2．故答案为：√2．15．（4分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22+??2??2=1（a＞b＞0）的上、下顶点分别为B2，B1，若一个半径为√2b，过点B1，B2的圆M与椭圆的一个交点为P（异于顶点B1，B2），且|k1-k2|=89，则椭圆的离心率为2√23．【解答】解：设P（x0，y0），B1（0，﹣b），B2（0，+b），由|k1-k2|=89，|0-??-??0+????0|=89，∴|x0|=94b，由题意得圆M的圆心在x轴上，设圆心（t，0），由题意知：t2+b2＝2b2∴t2＝b2，∴MP2＝2b2＝（x0﹣t）2+y02，∴y02=716??2，P在椭圆上，所以81??216??2+716=1，∴a2＝9b2＝9（a2﹣c2），∴e2=89，所以离心率为2√23，故答案为：2√23．16．（4分）如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BCD＝60°，CB＝CD＝2√3．若点M为边BC上的动点，则→→的最小值为214．【解答】解：如图所示：以B为原点，以BA所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴，过点D做DP⊥x轴，过点D做DQ⊥y轴，∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，==2√3，∴B（0，0），A（2，0），C（0，2√3），D（3，√3），设M（0，a），则→=（﹣2，a），→=（﹣3，a-√3），故→→=6+a（a-√3）=(??-√32)2+214≥214，故答案为：214．17．（4分）设f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，且满足f（x）+xf'（x）＞0，则不等式f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1）的解集为（1，2）【解答】解：令g（x）＝xf（x），x∈（0，+∞）．g′（x）＝f（x）+xf'（x）＞0，∴函数g（x）在x∈（0，+∞）上单调递增．不等式f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1）即不等式（x+1）f（x+1）＞（x2﹣1）f（x2﹣1），x+1＞0．∴x+1＞x2﹣1＞0，解得：1＜x＜2．∴不等式f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1）的解集为（1，2）．故答案为：（1，2）．三．解答题（共5小题，满分74分）18．（14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b﹣c＝1，cosA=13，△ABC的面积为2√2．（Ⅰ）求a及sinC的值；（Ⅱ）求cos（2A-6）的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b﹣c＝1，cosA=13，∴sinA=√１-2=2√23，∵△ABC的面积为12bc?sinA=22√23=√23bc＝2√2，∴bc＝6，∴b＝3，c＝2，∴a=√??2+??2-2=√9+4-2?3?2?13=3．再根据正弦定理可得=??，即32√23=2，∴sinC=4√29．（Ⅱ）∴sin2A＝2sinAcosA=4√29，cos2A＝2cos2A﹣1=-79，故cos（2A-6）＝cos2Acos6+sin2Asin??6=-79√32+4√29?12=4√2-7√318．19．（15分）如图，三棱锥D﹣ABC中，AD＝CD，AB＝BC＝4√2，AB⊥BC．（1）求证：AC⊥BD；（2）若二面角D﹣AC﹣B的大小为150°且BD＝4√7时，求直线BM与面ABC所成角的正弦值．【解答】解：（1）证明：取AC中点O，连结BO，DO，∵AD＝CD，AB＝BC，∴AC⊥BO，AC⊥DO，∵BO∩DO＝O，∴AC⊥平面BOD，又BD?平面BOD，∴AC⊥BD．（2）解：由（1）知∠BOD是二面角D﹣AC﹣B的平面角，∴∠BOD＝150°，∵AC⊥平面BOD，∴平面BOD⊥平面ABC，在平面BOD内作Oz⊥OB，则Oz⊥平面ABC，以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，由题意得OB＝4，在△BOD中由余弦定理得OD＝4√3，∴A（0，﹣4，0），B（4，0，0），C（0，4，0），D（﹣6，0，2√3），∴M（﹣3，2，√3），→=（﹣7，2，√3），平面ABC 的法向量??→=（0，0，1），设直线BM 与面ABC 所成角为θ，则直线BM 与面ABC 所成角的正弦值为：sin θ＝|??→→||??→|?|→|=√3√56=√4228．20．（15分）在等差数列{a n }和正项等比数列{b n }中，a 1＝1，b 1＝2，且b 1，a 2，b 2成等差数列，数列{b n }的前n 项和为Sn ，且S 3＝14．（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）令??=????，（﹣1）nd n ＝nc n +n ，求数列{d n }的前项和为T n ．【解答】解：（1）等差数列{a n }的公差设为d ，正项等比数列{b n }的公比设为q ，q ＞0，a 1＝1，b 1＝2，且b 1，a 2，b 2成等差数列，可得2a 2＝b 1+b 2，即2（1+d ）＝2+2q ，即d ＝q ，数列{b n }的前n 项和为S n ，且S 3＝14，可得2+2q+2q 2＝14，解得q ＝2，d ＝2，则a n ＝2n ﹣1，b n ＝2n ；（2）??=?????=2n +1﹣1，（﹣1）n d n ＝nc n +n ＝n?2n+1，则d n ＝2n?（﹣2）n ，前项和为T n ＝2?（﹣2）+4?4+6?（﹣8）+…+2n?（﹣2）n ，﹣2T n ＝2?4+4?（﹣8）+6?16+…+2n?（﹣2）n+1，相减可得3T n ＝﹣4+2（4+（﹣8）+…+（﹣2）n ）﹣2n?（﹣2）n+1＝﹣4+2?4(1-(-2)-1)1-(-2)-2n?（﹣2）n+1，化简可得T n =-49-6??+29（﹣2）n+1．21．（15分）已知抛物线y 2＝x 上的动点M （x 0，y 0），过M 分别作两条直线交抛物线于P 、Q 两点，交直线x ＝t 于A 、B 两点．（1）若点M 纵坐标为√2，求M 与焦点的距离；（2）若t ＝﹣1，P （1，1），Q （1，﹣1），求证：y A y B 为常数；（3）是否存在t ，使得y A y B ＝1且y P ?y Q 为常数？若存在，求出t 的所有可能值，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）解：∵抛物线y 2＝x 上的动点M （x 0，y 0），过M 分别作两条直线交抛物线于P 、Q 两点，交直线x ＝t 于A 、B 两点．点M 纵坐标为√2，∴点M 的横坐标x M ＝（√2）2＝2，∵y 2＝x ，∴p=12，∴M 与焦点的距离为MF =??+2=2+14=94．（2）证明：设M （??02，??0），直线PM ：y ﹣1=0-102-1（x ﹣1），当x ＝﹣1时，??=0-10+1，直线QM ：y+1=??0+102-1（x ﹣1），x ＝﹣1时，y B =-??0-1??0-1，∴y A y B ＝﹣1，∴y A y B 为常数﹣1．（3）解：设M （??02，??0），A （t ，y A ），直线MA ：y ﹣y 0=0-????02-??（x ﹣y 02），联立y 2＝x ，得??2-02-??0-??????+??02-????0-??????0-??02=0，∴y 0+y p =??02-????0-????，即y P =??0????-????0-????，同理得y Q =0????-10-????，∵y A ?y B ＝1，∴y P y Q =??02-0(????+????)+??202-??0(????+????)+1，要使y P y Q 为常数，即t ＝1，此时y P y Q 为常数1，∴存在t ＝1，使得y A ?y B ＝1且y P ?y Q 为常数1．22．（15分）设函数f （x ）＝e x cosx ，g （x ）＝e 2x﹣2ax ．（1）当??∈[0，3]时，求f （x ）的值域；（2）当x ∈[0，+∞）时，不等式??(??)≥′(??)2??恒成立（f'（x ）是f （x ）的导函数），求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）由题可得f '（x ）＝e x cosx ﹣e x sinx ＝e x （cosx ﹣sinx ）．令f'（x ）＝e x （cosx ﹣sin x ）＝0，得??=4∈[0，??3]．当??∈(0，4)时，f'（x ）＞0，当??∈(??4，??3)时，f'（x ）＜0，所以??(??)=??(4)=√22??4，??(??)={??(0)，??(??3)}．因为??(3)=??32＞??332=??2＞1=??(0)，所以f （x ）min ＝1，所以f （x ）的值域为[1，√224]．（2）由??(??)≥′(??)2??得??2??-2≥-，即-+??2??-2≥0．设(??)=-+??2??-2，则?′(??)=2????+2??2??-2??．设φ（x ）＝h'（x ），则??′(??)=4??3??-2√2(??+4)．当x ∈[0，+∞）时，4e 3x ≥4，2√2(??+4≤2√2)，所以φ'（x ）＞0．所以φ（x ）即h'（x ）在[0，+∞）上单调递增，则h'（x ）≥h'（0）＝4﹣2a ．若a ≤2，则h'（x ）≥h'（0）＝4﹣2a ≥0，所以h （x ）在[0，+∞）上单调递增．所以h （xa ＞2）≥h （0）＝0恒成立，符合题意．若，则h'（0）＝4﹣2a ＜0，必存在正实数x 0，满足：当x ∈（0，x 0）时，h'（x ）＜0，h （x ）单调递减，此时h （x ）＜h （0）＝0，不符合题意综上所述，a 的取值范围是（﹣∞，2]．。