2014年江西高考理科数学模拟试题及答案(必备) 2

江西省重点高中2014届下学期高三年级模拟考试数学试卷（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 复数31()1i i+-的共轭复数为 A. 1B. －1C. iD. i -2.函数ln y x=的定义域为 A. (0,2]B. (0,2)C. (0,1)(1,2) D. (0,1)(1,2]3. 在正项等比数列{}n a 中，1a 和19a 为方程210160x x -+=的两根，则81012a a a 等于 A. 16B. 32C. 64D. 2564. 物价部门对九江市的5家商场的某商品的一天销售量与价格进行调查，5家商场的价格x 元和销售量y 件之间的一组数据如下表所示：是 3.240y x =-+，且20m n +=，则其中的n 等于A. 9B. 10C. 11D. 125. 设2,[0,1]()1,(1,]x x f x x e x⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩，则0()e f x dx ⎰的值为A. 1B. 2C.43D.236. 函数sin()6y x π=+图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），右平移3π个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为A. 4x π=-B. 2x π=-C. 8x π=D. 4x π=7. 已知正整数对按如下规律排成一列：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），…，则第60个数对是A. （5，7）B. （6，7）C. （7，6）D. （7，5）8. 下列各命题中正确的命题是①命题“p 或q ”为真命题，则命题“p ”和命题“q ”均为真命题；②命题“2000,13x R x x ∃∈+>”的否定是“2,13x R x x ∀∈+≤”；③“函数22()cos sin f x ax ax =-最小正周期为π”是“1a =”的必要不充分条件； ④“平面向量a 与b 的夹角是钝角”的充分必要条件是“0a b ⋅<”。

2014年江西省上饶市高考数学二模试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.复数在复平面内的对应点到原点的距离为（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】解：∵，对应点为（，），此点到原点的距离为=，故选B．先利用两个复数的除法法则，求出复数的化简结果，并求出此复数在复平面内的对应点的坐标，利用两点间的距离公式求出此点到原点的距离．本题考查两个复数的除法法则的应用，复数对应点的坐标，以及两点间的距离公式的应用．2.设集合A={x|y=x2-1}，B={y|y=x2-1}，C={（x，y）|y=x2-1}，则下列关系中不正确的是（）A.A∩C=∅B.B∩C=∅C.B⊆AD.A∪B=C【答案】D【解析】解：由题意可知，集合A=R；集合B中的函数y=x2-1≥-1，所以集合B=[-1，+∞）；而集合C中的元素为二次函数y=x2-1图象上任意一点的坐标．则A∩C=∅，B∩C=∅，且B⊆A，所以答案D错误，故选D求出y=x2-1的定义域得到集合A，求出y=x2-1的值域得到集合B，集合C中的元素为二次函数图象上任一点的坐标，利用交集、并集及子集的定义即可判断答案的正确与否．此题考查学生掌握交集、并集及子集的定义，是一道基础题．3.给出两个命题：p：|x|=x的充要条件是x为正实数；q：存在反函数的函数一定是单调函数．则下列复合命题中的真命题是（）A.p且qB.p或qC.￢p且qD.￢p或q【答案】D【解析】解：p中x=0时有|x|=x，故p为假命题，-p为真命题，所以-p或q一定为真命题；q中若f（x）=在定义域上不是单调函数，但存在反函数，故q为假命题，由真值表知A、B、C均为假命题．首先判断两个命题的真假，再由真值表选择答案．p中，由绝对值得意义，考虑x=0的情况；q中可取特殊函数．本题考查命题和复合命题真假判断，属基础知识的考查．4.设α，β，γ是三个不重合的平面，l是直线，给出下列四个命题：①若α⊥β，l⊥β，则l∥α；②若l⊥α，l∥β，则α⊥β；③若l上有两点到α的距离相等，则l∥α；④若α⊥β，α∥γ，则γ⊥β．其中正确命题的序号是（）A.①④B.②③C.①③D.②④【答案】D【解析】解：①错误，l可能在平面α内；②正确，l∥β，l⊂γ，β∩γ=n⇒l∥n⇒n⊥α，则α⊥β；③错误，直线可能与平面相交；④∵α⊥β，α∥γ，⇒γ⊥β，故④正确．故选D．根据直线与平面平行的判断定理及其推论对①、②、③、④四个命题进行一一判断；此题主要考查空间中线面的位置关系，因此要熟记直线与平面垂直、平行的判定定理、性质定理．已知x，y的关系符合线性回归方程，．当单价为4.2元时，估计该小卖部销售这种品牌饮料的销量为（）A.20B.22C.24D.26【答案】D【解析】解：===3.5；==40，∴a=40-（-20）×3.5=110，∴回归直线方程为：=b+a=-20+110，当=4.2时，=-20×4.2+110=26，故选：D．利用平均数公式计算平均数，，利用b=-20求出a，即可得到回归直线方程，把x=4.2代入回归方程求出y值．本题考查回归方程的求法，考查学生的计算能力，运算要细心．6.二项式展开式中的常数项为（）【答案】B【解析】解：二项式展开式的通项公式为T r+1=••（-2）r•x-r=•，令=0，可得r=2，故展开式中的常数项为4=60，故选B．在二项式展开式的通项公式中，令x的幂指数等于零，求出r的值，即可求出展开式中的常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．7.等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S17＞0，S16＜0，则，，，中最大的项为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：∵数列{a n}为等差数列，且S15＞0，S16＜0，∴a8＞0，a8+a9＜0，即a9＜0，则，，，的前8项为正，第9到15项为负，且前8项中，分子不断变大，分母不断减小∴，，，中最大的项为故选C．根据数列{a n}为等差数列，根据S15＞0，S16＜0，我们可以得到a8＞0，a9＜0，由此结合等差数列的性质，即可得到结论．本题考查等差数列的性质，其中根据已知中S15＞0，S16＜0，判断a8＞0，a9＜0，是解答本题的关键．8.设点（a，b）是区域＞内的随机点，函数f（x）=ax2-4bx+1在区间[1，＞+∞）上是增函数的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：作出不等式组＞对应的平面区域如图：对应的图形为△OAB，其中对＞应面积为S=，若f（x）=ax2-4bx+1在区间[1，+∞）上是增函数，则满足a＞0且对称轴x=，＞，对应的平面区域为△OBC，即由，解得，∴对应的面积为S，∴根据几何概型的概率公式可知所求的概率为，故选：C作出不等式组对应的平面区域，根据概率的几何概型的概率公式进行计算即可得到结论．本题主要考查几何概型的概率公式的计算，作出不等式组对应的平面区域是解决本题的关键．9.有红、蓝、黄、绿四种颜色的球各6个，每种颜色的6个球分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中任取3个标号不同的球，这3个颜色互不相同且所标数字互不相邻的取法种数为（）A.80B.84C.96D.104【答案】C【解析】解：所标数字互不相邻的方法有：135，136，146，246，共4种方法．这3种颜色互不相同有C43A33=4×3×2×1=24种，∴这3种颜色互不相同且所标数字互不相邻的有4×24=96种．故选：C．所标数字互不相邻的方法有4种，这3种颜色互不相同有C43A33种，根据分步计数原理，即可求出颜色互不相同且所标数字互不相邻的取法种数．本题主要考查了排列组合，以及两个基本原理的应用，解题的关键是不遗漏不重复，属于中档题．10.菱形ABCD的边长为，∠ABC=60°，沿对角线AC折成如图所示的四面体，M为AC的中点，∠BMD=60°，P在线段DM上，记DP=x，PA+PB=y，则函数y=f（x）的图象大致为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解：∵DP=x，∴MP=1-x，∵菱形ABCD的边长为，∠ABC=60°，∴AM==，BM=MD=1，在直角三角形AMP中，PA=，在三角形BMP中由余弦定理可得PB=，∴y=PA+PB=，∵当0时，函数y单调递减，当x≥1时，函数y单调递增，∴对应的图象为D，故选D．根据菱形的性质，利用余弦定理和勾股定理分别求出PA，PB，然后建立函数关系，根据函数关系确定函数图象．本题主要考查函数图象的识别和判断，根据直角三角形的勾股定理和三角形的余弦定理分别求出PA，PB的值是解决本题的关键，本题综合性较强，难度较大．二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)11.在数列{a n}中，a1=1，a n=a n-1+n，n≥2，为计算这个数列前10项的和S，现给出该问题算法的程序框图（如图所示），则图中判断框（1）处合适的语句是【答案】i≥10【解析】解：由已知可得程序的功能是：计算满足条件①a1=1②a n=a n-1+n，n≥2的数列的前10项的和，由于S的初值为0，故循环需要执行十次，又因为循环变量的初值为0，故循环变量的值为小于10（最大为9）时，循环继续执行，当循环变量的值大于等于10时，结束循环，输出累加值S．故该语句应为：i≥10故答案为：i≥10由已知可得程序的功能是：计算满足条件①a1=1②a n=a n-1+n，n≥2的数列的前10项的和，由于S的初值为0，故循环需要执行十次，又因为循环变量的初值为0，故循环变量的值为小于10（最大为9）时，循环继续执行，当循环变量的值大于等于10时，结束循环，输出累加值S．据此可逐一分析几个答案，即可选中满足条件的语句．算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．12.已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是______ cm3．【答案】【解析】解：由三视图知几何体是一个三棱锥，三棱锥的底面是一个底边是2，高是2的三角形，面积是=2三棱锥的高是2，∴三棱锥的体积是=故答案为：由三视图知几何体是一个三棱锥，三棱锥的底面是一个底边是2，高是2的三角形，做出面积是，三棱锥的高是2，根据三棱锥的体积公式得到结果．本题考查由三视图还原几何体并且看出几何体各个部分的长度，本题解题的关键是要求体积需要求出几何体的底面面积和高．本题是一个基础题．13.已知椭圆（a＞b＞0），圆O：x2+y2=b2，过椭圆上任一与顶点不重合的点P引圆O的两条切线，切点分别为A，B，直线AB与x轴、y轴分别交于点M，N，则= ______ ．【答案】解：设A（x A，y A），B（x B，y B），则切线PA、PB的方程分别为x A•x+y A•y=b2，x B•x+y B•y=b2．由于点P 是切线PA、PB的交点，故点P的坐标满足切线PA的方程，也满足切线PB的方程．故A，B是x P•x+y P•y=b2和圆x2+y2=b2的交点，故点M（，0），N（0，）．又，∴=+=（）•=，故答案为：．设A（x A，y A），B（x B，y B），则可得切线PA、PB的方程，即可得到A，B是x P•x+y P•y=b2和圆x2+y2=b2的交点，求出点M（，0），N（0，），从而得到=+=（）•=．本题考查椭圆的标准方程，以及简单性质的应用，得到故A，B是x P•x+y P•y=b2和圆x2+y2=b2的交点，是解题的难点和关键，属于中档题．14.在极坐标系中，曲线ρ=2sinθ与ρcosθ=-的交点的极坐标为______ （0≤θ＜2π）．【答案】（1，）、（，）【解析】解：曲线ρ=2sinθ即ρ2=2ρsinθ，即x2+（y-1）2=1，表示以（0，1）为圆心、半径等于1的圆．ρcosθ=-，即x=-．由，可得，或．故两个交点的直角坐标为（-，）、（-，）．再根据ρ=，tanθ=，把它们化为极坐标为（1，）、（，），故答案为：（1，）、（，）．把极坐标方程化为直角坐标方程，联立方程组求得两个曲线的交点坐标，再根据ρ=，tanθ=，把它们化为极坐标．本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，求两个曲线的交点坐标，属于基础题．15.对于任意实数a（a≠0）和b，不等式|a+b|+|a-b|≥|a||x-1|恒成立，则实数x的取值范围是______ ．【答案】【解析】解：由题意可得|x-1|≤恒成立，故|x-1|小于或等于的最小值．∵≥=2，故的最小值等于2．∴|x-1|≤2，∴-2≤x-1≤2，解得-1≤x≤3，故答案为[-1，3]．由题意可得，|x-1|小于或等于的最小值．利用不等式的性质求得的最小值等于2，从而得到|x-1|≤2，由此求得实数x的取值范围．本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，求出于的最小值等于2，是解题的关键，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．三、解答题(本大题共6小题，共75.0分)16.设a∈R，函数f（x）=cosx（asinx-cosx）+cos2（-x）满足f（-）=f（0）．（1）求f（x）的单调递减区间；（2）设锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且=，求f （A）的取值范围．【答案】解：（I），由得：，∴．∴，由得：，k∈Z∴f（x）的单调递减区间为：，．（II）∵，由余弦定理得：，即2acos B-ccos B=bcos C，由正弦定理得：2sin A cos B-sin C cos B=sin B cos C，即，∴∵△ABC锐角三角形，∴＜＜，＜＜，∴的取值范围为（1，2]．【解析】（Ⅰ）根据三角函数的公式将f（x）进行化简，然后求函数的单调递减区间；（Ⅱ）根据余弦定理将条件进行化简，即可得到f（A）的取值范围．本题主要考查三角函数的图象和性质，以及正弦定理和余弦定理的应用，考查学生的计算能力．17.2014年2月21日《中共中央关于全面深化改革若干重大问题的决定》明确：坚持计划生育的基本国策，启动实施一方是独生子女的夫妇可生育两个孩子的政策．为了解某地区城镇居民和农村居民对“单独两孩”的看法，某媒体在该地区选择了3600人调查，就是否赞成“单独两孩”的问题，调查统计的结果如下表：已知在全体样本中随机抽取1人，抽到持“反对”态度的人的概率为0.05．（1）现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取360人进行问卷访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？（2）在持“反对”态度的人中，用分层抽样的方法抽取6人，按每组3人分成两组进行深入交流，求第一组中农村居民人数ξ的分布列和数学期望．【答案】解：（1）∵抽到持“反对”态度的人的概率为0.05，∴=0.05，解得x=60．∴持“无所谓”态度的人数共有3600-2100-120-600-60=720．∴应在“无所谓”态度抽取720×=72人．（2）由（1）知持“反对”态度的一共有180人，∴在所抽取的6人中，农村居民为=4人，城镇居民为=2人，于是第一组农村居民人数ξ=1，2，3，P（ξ=1）==，P（ξ=2）=，P（ξ=3）=，即ξ的分布列为：∴Eξ=1×+2×+3×=2．【解析】（Ⅰ）先由抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05，由已知条件求出x，再求出持“无所谓”态度的人数，由此利用抽样比能求出应在“无所谓”态度抽取的人数．（Ⅱ）由题设知第一组中农村居民人数ξ=1，2，3，分别求出P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），由此能求出ξ的分布列和数学期望．本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是历年高考的必考题型之一，解题时要注意排列组合知识的合理运用，是中档题．18.已知数列{a n}的前n项和为S n，对一切正整数n，点P n（n，S n）都在函数f（x）=x2+2x 的图象上，且过点P n（n，S n）的切线的斜率为k n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设Q={x|x=k n，n∈N*}，R={x|x=2a n，n∈N*}，等差数列{c n}的任一项c n∈Q∩R，其中c1是Q∩R中的最小数，110＜c10＜115，求{c n}的通项公式．【答案】解：（1）因为点P n（n，S n）都在函数f（x）=x2+2x的图象上，所以S n=n2+2n，当n≥2时，a n=S n-S n-1=2n+1，当n=1时，a n=3满足上式，所以数列{a n}的通项公式a n=2n+1；（2）由f（x）=x2+2x求导得f′（x）=2x+2，∴k n=2n+2，∴Q={x|x=2n+2，n∈N*}，又R={x|x=4n+2，n∈N*}，所以Q∩R=R，又c n∈Q∩R，其中c1是Q∩R中的最小数，所以c1=6，又{c n}是公差为4的倍数的等差数列，所以令c10=4m+6，又110＜c10＜115，解得m=27，所以c10=114，设等差数列{c n}的公差为d，则c10-c1=9d，d=12．所以{c n}的通项公式c n=6+（n-1）×12=12n-6．【解析】（1）点P n（n，S n）都在函数f（x）=x2+2x的图象上，所以S n=n2+2n，利用用数列中a n与S n关系解决．（2）先求出Q={x|x=2n+2，n∈N*}，R={x|x=4n+2，n∈N*}，利用条件求出c1=6，c10=114求{c n}的通项公式．本题考查函数与导数数列的综合．本题集函数、导数、数列、不等式于一体，体现了知识间的交汇与融合，同时又考查了数列的基本解题方法，考查了学生分析问题和解决问题．强调在“知识的交汇处”命制试题，是近年高考命题的趋势．19.如图，三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都是2，又AA1平面ABC，D、E分别是AC、CC1的中点．（1）求证：AE⊥平面A1BD；（2）求二面角D-BA1-A的余弦值；（3）求点B1到平面A1BD的距离．【答案】（1）证明：以DA所在直线为x轴，过D作AC的垂线为y轴，DB所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），C（-1，0，0），E（-1，-1，0），A1（1，-2，0），C1（-1，-2，0），B（0，0，）∴=（-2，-1，0），=（-1，2，0），=（0，0，-）∴，∴，又A1D与BD相交∴AE⊥面A1BD…（5分）（2）解：设面DA1B的法向量为=（x1，y1，z1），则，取=（2，1，0）…（7分）设面AA1B的法向量为=（x2，y2，z2），则，取=（3，0，）…（9分）∴cos＜，＞===故二面角D-BA1-A的余弦值为…（10分）（3）解：=（0，2，0），平面A1BD的法向量取=（2，1，0）则B1到平面A1BD的距离为d=|=…（13分）【解析】（1）以DA所在直线为x轴，过D作AC的垂线为y轴，DB所在直线为z轴建立空间直角坐标系，确定向量坐标，利用数量积为0，即可证得结论；（2）确定面DA1B的法向量、面AA1B的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得二面角D-BA1-A的余弦值；（3）=（0，2，0），平面A1BD的法向量取=（2，1，0），利用距离公式可求点B1到平面A1BD的距离本题考查向量知识的运用，考查线面垂直，考查面面角，考查点到面的距离，考查学生的计算能力，属于中档题．20.如图，△ABC的内切圆与三边AB、BC、CA的切点分别为D、E、F，已知B（-，，C，，内切圆圆心I（1，t）．设A点的轨迹为L（1）求L的方程；（2）过点C作直线m交曲线L于不同的两点M、N，问在x轴上是否存在一个异于点C的定点Q．使对任意的直线m都成立？若存在，求出Q的坐标，若不存在，说明理由．【答案】解：（1）由题意|AD|=|AF|．|BD|=|BE|，|CE|=|CF|．∴|AB|-|AC|=|BD|-|CF|=|BE|-|CE|=|BO|+|OE|-（|OC|-|OE|）=2|OE|I（1，t），E（1，0），|OE|=1，|AB|-|AC|=2x2-y2=1（x＞1）（2）设点Q（x0，0），设M（x1，y1），N（x2，y2）∵⇔⇔＜，＜，⇔∠MQC=∠NQC（6分）于是：①当MN⊥x，点Q（x0，0）在x上任何一点处，都能够使得：∠MQC=∠NQC成立，（8分）②当MN不垂直x时，设直线：．由得：则：，∴∵∠，∠要使∠MQC=∠NQC成立，只要tan∠MQC=tan∠NQC：⇒x2y1-x0y1+x1y2-x0y2=0即=∴⇒∴当，时，能够使：对任意的直线m成立．（15分）【解析】（1）由切线长定理得，从一点出发的切线长相等，得到A点到两个点B，C的距离之差是常数，根据双曲线的定义得A点的轨迹是双曲线，从而即可求出L的方程；（2）对于存在性问题，可先假设存在，设点Q（x0，0），再设M（x1，y1），N（x2，y2），由条件得∠MQC=∠NQC，下面分类讨论：①当MN⊥x，②当MN不垂直x时，第一种情况比较简单，对于第二种情况，将直线的方程代入双曲线方程，消去y得到关于x的二次方程，结合根与系数的关系，利用斜率相等求得，，从而说明存在点Q．本题主要考查了轨迹方程、直线与圆锥曲线的交点等知识，属于中档题．21.已知函数f（x）=alnx-x2．（1）当a=2时，求函数y=f（x）在，上的最大值；（2）令g（x）=f（x）+ax，若y=g（x）在区让（0，3）上不单调，求a的取值范围；（3）当a=2时，函数h（x）=f（x）-mx的图象与x轴交于两点A（x1，0），B（x2，0），且0＜x1＜x2，又y=h′（x）是y=h（x）的导函数．若正常数α，β满足条件α+β=1，β≥α．证明h′（αx1+βx2）＜0．【答案】解：（1）∵函数f（x）=alnx-x2，可得当a=2时，′，…（2分）故函数y=f（x）在[，1]是增函数，在[1，2]是减函数，所以．…（4分）（2）因为g（x）=alnx-x2+ax，所以′．…（5分）因为g（x）在区间（0，3）上不单调，所以g'（x）=0在（0，3）上有实数解，且无重根，由g'（x）=0，有==，，（x∈（0，3）），…（6分）综上可得，a∈，．…（8分）（3）由题意可得，′，又f（x）-mx=0有两个实根x1，x2，∴，两式相减，得，∴．…（10分）于是′=…（11分）∵β≥α，∴2α≤1，∴（2α-1）（x2-x1）≤0．要证：h′（αx1+βx2）＜0，只需证：＜，只需证：＞．（*）…（12分）令，，∴（*）化为＜，只证＜即可．…（13分）∵′，…（14分）又∵，＜＜，∴t-1＜0，∴u′（t）＞0，∴u（t）在（0，1）上单调递增，…（15分）故有u（t）＜u（1）=0，∴＜，即＜．∴h′（αx1+βx2）＜0．…（16分）【解析】（1）当a=2时，利用导数的符号求得函数的单调性，再根据函数的单调性求得函数y=f （x）在，上的最大值．（2）先求得′，因为g（x）在区间（0，3）上不单调，所以g'（x）=0在（0，3）上有实数解，且无重根．由g'（x）=0，求得=，，由此可得a的范围．（3）由题意可得，f（x）-mx=0有两个实根x1，x2，化简可得．可得h′（αx1+βx2）=，由条件知（2α-1）（x2-x1）≤0，再用分析法证明h′（αx1+βx2）＜0．本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用函数的单调性求函数在闭区间上的最值，用分析法证明不等式，体现了转化的数学思想，属于难题．。

2014年江西省某校高考数学十一模试卷（理科）一、选择题（题型注释）1. 设集合A ={−1, 0, 2}，集合B ={−x|x ∈A, 且2−x ∉A}，则B =( ) A {1} B {−2} C {−1, −2} D {−1, 0}2. 若复数z 满足(1−2i)z =3+i ，则复数z 的虚部为（ ） A −73B −73i C 75D 75i3. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3=9，S 5=30，则a 7+a 8+a 9=( ) A 27 B 36 C 42 D 634. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ）A 5B 6C 143D 193 5. 已知双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的渐近线与(x −2)2+y 2＝1相切，则双曲线的离心率为（ ）A 2B √3C √32D2√336. 若下框图所给的程序运行结果为S =20，那么判断框中应填入的关于k 的条件是（ ）A k =9B k ≤8C k <8D k >87. 已知△ABC 中，D 是BC 边的中点，过点D 的直线分别交直线AB 、AC 于点E 、F ，若AE →=λAB →，AF →=μAC →，其中λ>0，μ>0，则λμ的最小值是（ ） A 1 B 12 C 13 D 148. 在平面直角坐标系中，不等式组{x ≤ax +y ≥0x −y +4≥0（a 为常数）表示的平面区域面积是9，那么实数a 的值为（ ）A 3√2+2B −3√2+2C −5D 19. 已知13≤k <1，函数f(x)=|2x −1|−k 的零点分别为x 1，x 2(x 1<x 2)，函数g(x)=|2x −1|−k 2k+1的零点分别为x 3，x 4(x 3<x 4)，则(x 4−x 3)+(x 2−x 1)的最小值为（ ）A 1B log23C log26D 310. 菱形ABCD的边长为2√33，∠ABC=60∘，沿对角线AC折成如图所示的四面体，M为AC的中点，∠BMD=60∘，P在线段DM上，记DP=x，PA+PB=y，则函数y=f(x)的图象大致为（）A B C D二、填空题（题型注释）11. 已知a=∫(202x2−x)dx，则(32ax√x)4的展开式中x的系数为________．12. 某写字楼将排成一排的6个车位出租给4个公司，其中有两个公司各有两辆汽车，如果这两个公司要求本公司的两个车位相邻，那么不同的分配方法共有________种．（用数字作答）13. 已知平面区域Ω={(x,y)|{y≥0y≤√4−x2}，直线l:y=mx+2m和曲线C:y=√4−x2有两个不同的交点，直线l与曲线C围城的平面区域为M，向区域Ω内随机投一点A，点A落在区域M内的概率为P(M)，若P(M)∈[π−22π，1]，则实数m的取值范围是________．14. 空间中任意放置的棱长为2的正四面体ABCD，下列命题正确的是________．（写出所有正确命题的编号）①正四面体ABCD的主视图面积可能是√2；②正四面体ABCD的主视图面积可能是2√63；③正四面体ABCD的主视图面积可能是√3；④正四面体ABCD的主视图面积可能是2；⑤正四面体ABCD的主视图面积可能是4．【坐标系与参数方程选做题】15. 选做题：（坐标系与参数方程）在极坐标系(ρ, θ)(0<θ≤2π)中，曲线ρ(cosθ+sinθ)=2与ρ(sinθ−cosθ)=2的交点的极坐标为________．【不等式选讲选做题】16. 对于任意θ∈R，|sinθ−2|+|sinθ−3|≥a+2a恒成立，则实数a的取值范围________．三、解答题17. 已知{a n }为单调递增的等比数列，且a 2+a 5=18，a 3⋅a 4=32，{b n }是首项为2，公差为d 的等差数列，其前n 项和为S n ． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）当且仅当2≤n ≤4，n ∈N ∗，S n ≥4+d ⋅log 2a n 2成立，求d 的取值范围．18. 如图，△ABC 中．角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c 满足c =l ，a 2+b 2=ab +1，以AB 为边向△ABC 外作等边三角形△ABD ． （1）求∠ACB 的大小；（2）设∠ABC =θ，|CD|2=f(θ)．试求函数f(θ)的最大值及f(θ)取得最大值时的θ的值． 19. 某煤矿发生透水事故时，作业区有若干人员被困．救援队从入口进入之后有L 1，L 2两条巷道通往作业区（如图），L 1巷道有A 1，A 2，A 3三个易堵塞点，各点被堵塞的概率都是12；L 2巷道有B 1，B 2两个易堵塞点，被堵塞的概率分别为34，35．（1）求L 1巷道中，三个易堵塞点最多有一个被堵塞的概率；（2）若L 2巷道中堵塞点个数为X ，求X 的分布列及数学期望EX ，并按照“平均堵塞点少的巷道是较好的抢险路线“的标准，请你帮助救援队选择一条抢险路线，并说明理由． 20. 等边三角形ABC 的边长为3，点D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，且满足AD DB=CE EA=12（如图1）．将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使二面角A 1−DE −B 成直二面角，连结A 1B ，A 1C （如图2）．(1)求证：A 1D ⊥平面BCED ；(2)在线段BC 上是否存在点P ，使直线PA 1与平面A 1BD 所成的角为60∘？若存在，求出PB 的长；若不存在，请说明理由．21.如图，已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，其上顶点为A ．已知△F 1AF 2是边长为2的正三角形． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点Q(−4, 0)任作一动直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，记MQ →=−λ⋅QN →若在线段MN 上取一点R ，使得MR →=λ⋅RN →，试判断当直线l 运动时，点R 是否在某一定直线上运动？若在，请求出该定直线的方程；若不在，请说明理由． 22. 已知函数f(x)=ax 2−4ln(x −1)，a ∈R ． （1）当a =1时，求f(x)的单调区间；（2）已知点P(1, 1)和函数f(x)图象上动点M （m, f(m)），对任意m ∈[2, e +1]，直线PM 倾斜角都是钝角，求a 的取值范围．2014年江西省某校高考数学十一模试卷（理科）答案1. A2. C3. D4. C5. D6. D7. A8. D9. B 10. D 11. 150 12. 24 13. [0, 1]14. ①②③④ 15. (2, 12π)16. (−∞, 0)∪[1, 2] 17. 解：（1）因为{a n }为等比数列，所以a 3⋅a 4=a 2⋅a 5=32 所以{a 2+a 5=18⋅所以a 2，a 5为方程 x 2−18x +32=0的两根；又因为{a n }为递增的等比数列，所以 a 2=2，a 5=16，q 3=8， 从而q =2，所以a n =a 2⋅q n−2=2⋅2n−2=2n−1；（2）由题意可知：b n =2+(n −1)d ，S n =2n +(n−1)⋅n2d ，由已知可得：2n +(n−1)⋅n2d ≥4+(2n −2)d ，所以d ⋅n 2+(4−5d)⋅n −8+4d ≥0，当且仅当2≤n ≤4，且n ∈N ∗时，上式成立，设f(n)=d ⋅n 2+(4−5d)⋅n −8+4d ，则d <0， 所以{f(1)<0f(2)≥0f(4)≥0f(5)<0⇒{d ≤0d <−3⇒d <−3，所以d 的取值范围为(−∞, −3)． 18. 解：（1）在△ABC 中，cosC =a 2+b 2−c 22ab=a 2+b 2−12ab=12∴ ∠ACB =π3… （2）由正弦定理知a =c⋅sin(2π3−θ)sin π3=√3sin(2π3−θ)…∴ f(θ)=a 2+1−2a ⋅cos(π3+θ)=43sin 2(π3+θ)+1−2×√3sin(π3+θ)cos(π3+θ)=23[1−cos(2π3+2θ)]−√3sin(2π3+2θ)+1 =53−23[√3sin(2π3+2θ)+cos(2π3+2θ)] =53−43sin(5π6+2θ)…由于θ∈(0,2π3)，故仅当θ=π3时，f(θ)取得最大值3．…19. 解：（1）设”L 1巷道中，三个易堵塞点最多有一个被堵塞”为事件A则P(A)=C 30×(12)3+C 31×12×(12)2=12（2）依题意，X 的可能取值为0，1，2P(X =0)=(1−34)×(1−35)=110P(X =1)=34×(1−35)+(1−34)×35=920P(X =2)=34×35=920所以，随机变量X 的分布列为：EX =0×110+1×920+2×920=2720设L 1巷道中堵塞点个数为Y ，则Y 的可能取值为0，1，2，3， P(Y =0)=C 30×(12)3=18， P(Y =1)=C 31×12×(12)2=38， P(Y =2)=C 32×(12)2×12=38，P(Y =3)=C 33×(12)3=18，所以，随机变量Y 的分布列为：EY =0×18+1×38+2×38+3×18=32．因为EX <EY ，所以选择L 2巷道为抢险路线为好． 20. (1)证明：∵ 正△ABC 的边长为3，且ADDB =CEEA =12, ∴ AD =1，AE =2， △ADE 中，∠DAE =60∘， 由余弦定理，得DE =√12+22−2×1×2×cos60∘=√3， ∵ AD 2+DE 2=4=AE 2， ∴ AD ⊥DE ．折叠后，仍有A 1D ⊥DE ,∵ 二面角A 1−DE −B 成直二面角， ∴ 平面A 1DE ⊥平面BCED ,又∵ 平面A 1DE ∩平面BCED =DE ，A 1D ⊂平面A 1DE ，A 1D ⊥DE , ∴ A 1D ⊥平面BCED .(2)解：假设在线段BC 上存在点P ，使直线PA 1与平面A 1BD 所成的角为60∘， 如图，作PH ⊥BD 于点H ，连结A 1H ，A 1P ，由(1)得A 1D ⊥平面BCED ，而PH ⊂平面BCED ， ∴ A 1D ⊥PH ，∵ A 1D ，BD 是平面A 1BD 内的相交直线， ∴ PH ⊥平面A 1BD ，由此可得∠PA 1H 是直线PA 1与平面A 1BD 所成的角，即∠PA 1H =60∘， 设PB =x(0≤x ≤3)，则BH =PBcos60∘=x2，PH =PBsin60∘=√32x ， 在Rt △PA 1H 中，∠PA 1H =60∘， ∴ A 1H =x2，在Rt △DA 1H 中，A 1D =1，DH =2−12x ， 由A 1D 2+DH 2=A 1H 2，得12+(2−12x)2=(12x)2，解得x =52，满足0≤x ≤3符合题意，∴ 在线段BC 上存在点P ，使直线PA 1与平面A 1BD 所成的角为60∘，此时PB =52． 21. 解：（1）∵ 已知△F 1AF 2是边长为2的正三角形，∴ c =1，a =2，… ∴ b =√a 2−c 2=√3 ∴ 椭圆C 的方程为x 24+y 23=1．…（2）直线MN 的斜率必存在，设其直线方程为y =k(x +4)，并设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)． 直线方程与椭圆方程联立，消去y 得(3+4k 2)x 2+32k 2x +64k 2−12=0，则 △=144(1−4k 2)>0，x 1+x 2=−32k 23+4k 2，x 1x 2=64k 2−123+4k 2 …由MR →=λ⋅RN →，得−4−x 1=λ(x 2+4)，故λ=−x 1+4x 2+4．…设点R 的坐标为(x 0, y 0)，则由MQ →=−λ⋅QN →得x 0−x 1=−λ(x 2−x 0)，解得 x 0=x 1−λx 21−λ=x 1+x 1+4x 2+4×x 21+x 1+4x 2+4=2x 1x 2+4(x 1+x 2)(x 1+x 2)+8=2×64k 2−123+4k 2+4×−32k 23+4k 2−32k 23+4k 2+8=−1．…故点R 在定直线x =−1上．… 22. 解：（1）当a =1时，f(x)=x 2−4ln(x −1)，x ∈(1, +∞)， ∴ f(x)=2x −4x−1=2x 2−2x−4x−1=2(x+1)(x−2)x−1，令f′(x)=0，解得：x =2，∴ a =1时，f(x)的单调递增区间为(2, +∞)，单调递减区间为(1, 2)． （2）∵ 对任意m ∈[2, e +1]，直线PM 的倾斜角都是钝角， ∴ 对任意m ∈[2, e +1]，直线PM 的斜率小于0， 即f(m)−1m−1<0，f(m)<1，即f(x)在区间[2, e +1]上的最大值小于1， f(x)=2(ax 2−ax−2)x−1，x ∈(1, +∞)，令g(x)=aa 2−ax −2①当a =0时，f(x)=−4ln(x −1)在[2, e +1]上单调递减， f(x)max =f(2)=0<1，显然成立， ∴ a =0．②当a <0时，二次函数g(x)的图象开口向下， 且g(0)=−2，g(1)=−2， ∀x ∈(1, +∞)，g(x)<0，故f′(x)<0，f(x)在(1, +∞)上单调递减，故f(x)在[2, e +1]上单调递减，f(x)max =f(2)=4a <0，显然成立，∴ a<0．（3）当a>0时，二次函数g(x)的图象开口向上，且g(0)=−2，g(1)=−2．所以∃x0∈(1, +∞)，当x∈(1, x0)时，g(x)<0．当x∈(x0, +∞)时，g(x)>0；所以f(x)在区间(1, +∞)内先递减再递增．故f(x)在区间[2, e+1]上的最大值只能是f(2)或f(e+1)．∴ {f(2)<1f(e+1)<1，即：{4a<1a(e+1)2−4<1，∴ 0<a<14．综上：a<14．。

2014年全国普通高等学校招生统一考试理科（江西卷）数学答案解析1、【答案】D【解析】试题分析：设，则由得：，由得：，所以选D.考点：共轭复数2、【答案】C【解析】试题分析：由题意得：解得或，所以选C.考点：函数定义域3、【答案】A【解析】试题分析：因为，所以即选A.考点：求函数值4、【答案】C试题分析：因为所以由余弦定理得：，即，因此的面积为选C.考点：余弦定理5、【答案】B【解析】试题分析：俯视图为几何体在底面上的投影，应为B中图形.考点：三视图6、【答案】D【解析】试题分析：根据公式分别计算得：A.， B. C. D. ，选项D 的值最大，所以与性别有关联的可能性最大为D.考点：关联判断7、【答案】B试题分析：第一次循环：第二次循环：第三次循环：第四次循环：第五次循环：结束循环，输出选B.考点：循环结构流程图8、【答案】B【解析】试题分析：设，则因此考点：定积分9、【答案】A【解析】试题分析：设直线：.因为，所以圆心C的轨迹为以O为焦点，为准线的抛物线.圆C半径最小值为，圆面积的最小值为选A.考点：抛物线定义10、【答案】C【解析】试题分析：因为，所以延长交于，过作垂直于在矩形中分析反射情况：由于，第二次反射点为在线段上，此时,第三次反射点为在线段上，此时,第四次反射点为在线段上,由图可知，选C.考点：空间想象能力11、【答案】C【解析】试题分析：因为，当且仅当时取等号，所以的最小值为，选C.考点：含绝对值不等式性质12、【答案】A试题分析：根据，得：解得，选A.考点：极坐标13、【答案】【解析】试题分析：从10件产品中任取4件，共有种基本事件，恰好取到1件次品就是取到1件次品且取到3件正品，共有，因此所求概率为考点：古典概型概率14、【答案】【解析】试题分析：设切点，则由得：，所以点的坐标是.考点：利用导数求切点.15、【答案】试题分析：因为所以考点：向量数量积及夹角16、【答案】【解析】试题分析：设，则由两式相减变形得：即，从而考点：点差法，椭圆离心率17、【答案】（1）最大值为最小值为-1. （2）【解析】试题分析：（1）求三角函数最值，首先将其化为基本三角函数形式：当时，，再结合基本三角函数性质求最值：因为，从而，故在上的最大值为最小值为-1.（2）两个独立条件求两个未知数，联立方程组求解即可. 由得，又知解得试题解析：解（1）当时，因为，从而故在上的最大值为最小值为-1.（2）由得，又知解得考点：三角函数性质18、【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）已知数列，因此对变形为所以数列是以首项，公差的等差数列，故（2）由知，是等差乘等比型，所以求和用错位相减法.,相减得所以试题解析：（1）因为，所以所以数列是以首项，公差的等差数列，故（2）由知于是数列前n项和相减得所以考点：等差数列定义，错位相减求和19、【答案】（1）在取极小值，在取极大值4.（2）【解析】试题分析：（1）求函数极值，首先明确其定义域：，然后求导数：当时，再在定义域下求导函数的零点：或根据导数符号变化规律，确定极值：当时，单调递减，当时，单调递增，当时，单调递减，故在取极小值，在取极大值4.（2）已知函数单调性，求参数取值范围，一般转化为对应导数恒非负，再利用变量分离求最值. 由题意得对恒成立，即对恒成立，即，，即试题解析：（1）当时，由得或当时，单调递减，当时，单调递增，当时，单调递减，故在取极小值，在取极大值4.（2）因为当时,依题意当时，有，从而所以b的取值范围为考点：利用导数求极值，利用导数求参数取值范围20、【答案】（1）详见解析，（2）时，四棱锥的体积P-ABCD最大. 平面BPC与平面DPC夹角的余弦值为【解析】试题分析：（1）先将面面垂直转化为线面垂直：ABCD为矩形，故AB AD，又平面PAD 平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，所以AB平面PAD，再根据线面垂直证线线垂直：因为PD平面PAD，所以AB PD（2）求四棱锥体积，关键要作出高.这可利用面面垂直性质定理：过P作AD的垂线，垂足为O，又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，所以PO平面ABCD，下面用表示高及底面积：设，则，故四棱锥P-ABCD的体积为故当时，即时，四棱锥的体积P-ABCD最大.求二面角的余弦值，可利用空间向量求解，根据题意可建立空间坐标系，分别求出平面BPC 的法向量及平面DPC的法向量，再利用向量数量积求夹角余弦值即可.试题解析：（1）证明：ABCD为矩形，故AB AD，又平面PAD平面ABCD平面PAD平面ABCD=AD所以AB平面PAD，因为PD平面PAD，故AB PD（2）解：过P作AD的垂线，垂足为O，过O作BC的垂线，垂足为G，连接PG.故PO平面ABCD，BC平面POG,BC PG在直角三角形BPC中，设，则，故四棱锥P-ABCD的体积为因为故当时，即时，四棱锥的体积P-ABCD最大.建立如图所示的空间直角坐标系，故设平面BPC的法向量，则由,得解得同理可求出平面DPC的法向量，从而平面BPC与平面DPC夹角的余弦值为考点：面面垂直性质定理，四棱锥体积，利用空间向量求二面角21、【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）求双曲线的方程就是要确定a的值，用a,c表示条件：轴，∥，即可得：直线OB方程为，直线BF的方程为，解得又直线OA的方程为，则又因为AB OB，所以，解得，故双曲线C的方程为（2）本题证明实质为计算的值.分别用坐标表示直线与AF的交点及直线与直线的交点为，并利用化简.：.试题解析：（1）设，因为，所以直线OB方程为，直线BF的方程为，解得又直线OA的方程为，则又因为AB OB，所以，解得，故双曲线C的方程为（2）由（1）知，则直线的方程为，即因为直线AF的方程为，所以直线与AF的交点直线与直线的交点为则因为是C上一点，则，代入上式得，所求定值为考点：双曲线方程，直线的交点P（2）当时，，当时（3）当时，当时，【解析】试题分析：（1）当时，将6个正整数平均分成A,B两组，不同的分组方法共有种，所有可能值为2,3,4,5.对应组数分别为4,6,6,4，对应概率为，，，，（2）和恰好相等的所有可能值为当和恰好相等且等于时，不同的分组方法有2种；当和恰好相等且等于时，不同的分组方法有2种；当和恰好相等且等于时，不同的分组方法有2种；当和恰好相等且等于时，不同的分组方法有2种；以此类推：和恰好相等且等于时，不同的分组方法有2种；所以当时，当时（3）先归纳：当时，因此当时，即证当时，这可用数学归纳法证明. 当时，，利用阶乘作差可得大小.试题解析：（1）当时，所有可能值为2,3,4,5.将6个正整数平均分成A,B两组，不同的分组方法共有种，所以的分布列为2 3 4 5（2）和恰好相等的所有可能值为又和恰好相等且等于时，不同的分组方法有2种；和恰好相等且等于时，不同的分组方法有2种；和恰好相等且等于时，不同的分组方法有2种；所以当时，当时（3）由（2）当时，因此而当时，理由如下：等价于①用数学归纳法来证明：当时，①式左边①式右边所以①式成立假设时①式成立，即成立那么，当时，①式左边=①式右边即当时①式也成立综合得，对于的所有正整数，都有成立考点：概率分布及数学期望，概率，组合性质，数学归纳法。

江西省上饶市2014届高三第二次模拟考试数学（理）试题(解析版)第Ⅰ卷一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，每题只有一个正确答案）1. 复数1ii+在复平面中所对应的点到原点的距离为( )A.12 B. 2C. 1D.2. 设集合222{1},{1},{(,)1}A x y x B y y x C x y y x ==-==-==-,则下列关系中不正确的是( ) A. AC =∅ B. B C =∅ C. B A ⊆ D. A B C =3. 给出两个命题: :p x x =的充要条件是x 为正实数; q :存在反函数的函数一定是单调函数，则下列复合命题中的真命题是( )A. p 且qB. p 或qC. p ⌝且qD. p ⌝或q4. 设,,αβγ是三个不重合的平面, l 是直线，给出下列四个命题：①若,l αββ⊥⊥则l α；②若,l l αβ⊥则αβ⊥；③若l 上有两点到α的距离相等，则l α；④若,αβαγ⊥,则γβ⊥其中正确命题的序号( )A. ②④B. ①④C. ②③D. ①② 【答案】A【解析】①中直线l 可以在α内，所以①不正确. ②正确.③中直线l 与α相交的位置关系也成立.所以③不正确. ④正确.所以②④正确.【考点】1.直线与平面的位置关系.2.平面与平面的位置关系.5. 某小卖部销售一品牌饮料的零售价x （元/评）与销售量y （瓶）的关系统计如下：已知的关系符合线性回归方程y bx a =+，其中20,b a y bx =-=-.当单价为4.2元时，估计该小卖部销售这种品牌饮料的销量为( ) A.20 B.22 C.24 D.266. 62)x展开式中常数项为( ) A.60 B.-60 C.250 D.-2507. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足15160,0S S ><,则15121215,,,S S S a a a ⋅⋅⋅中最大的项为( ) A.77S a B. 66S a C. 99S a D. 88Sa8. 设点(,)a b 是区域4000x y x y +-≤⎧⎪>⎨⎪>⎩内的随机点，函数2()41f x ax bx =-+在区间[1,)+∞上是增函数的概率为( ) A.13 B. 23 C. 14 D. 12【答案】A【解析】若函数2()41f x ax bx =-+在区间[1,)+∞上是增函数，则21ba≤，即200a b a -≥⎧⎨≥⎩或200a b a -≤⎧⎨≤⎩（舍去）.又因为点(,)a b 满足4000x y x y +-≤⎧⎪>⎨⎪>⎩所围成的区域如图. 因为A(4，0),C(0,4) ,84(,)33B .所以所求的概率为13. 【考点】1.线性规划问题.2.函数的单调性.3.几何概型问题.9. 有红，蓝，黄，绿四种颜色的球各6个，每种颜色的6个球分别标有1、2、3、4、5、6，从中任取3个标号不同的球，这3个颜色互不相同且所标数字互不相邻的取法种数为( ) A.80 B.84 C.96 D.104【答案】C【解析】依题意可得取三种颜色共有34C 种情况.六个数中取三个不相邻共有34A 种情况.所以共有34C 34A =96种取法. 【考点】1.排列组合的知识.2.插空法的使用.10. 菱形ABCD060ABC ∠=,沿对角线AC 折成如图所示的四面体，二面角B-AC-D 为060,M 为AC 的中点，P 在线段DM 上，记DP=x ，PA+PB=y,则函数y=f(x)的图象大致为( )CAxxx第Ⅱ卷二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 在数列{}n a 中，111,,2n n a a a n n -==+≥.为计算这个数列前10项的和S ，现给出该问题算法的程序框图（如图所示），则图中判断框（1）处合适的语句是___________ 【答案】10i ≥【解析】因为当i=0时运算的结果为s=1，当i=1时运算的结果为s=1+3,所以当i=10时输出前10项的和.【考点】1.程序框图.2.递推的思想.12. 已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是_______. 【答案】43【解析】由题意可得该几何体是一个三棱锥，体积114(22)2323V =⨯⨯⨯⨯=.【考点】1.三视图的知识.2.立几中的线面关系.3.三棱锥的体积公式.13. 在ABC中，若1,AB AC =AB AC BC +=,则BA BC BC⋅=________14. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，圆222:O x y b +=，过椭圆上任一与顶点不重合的点P 引圆O 的两条切线，切点分别为A,B ，直线AB 与x 轴,y 轴分别交于点M,N ，则2222a b ONOM+=_____________俯视图左视图正视图15.选做题：请在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按第一题评阅计分，本题共5分.（1）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线2sin ρθ=与cos ρθ=的交点的极坐标为_________.(02)θπ≤<（2）（不等式选讲题）对于任意实数(0)a a ≠和b 不等式1a b a b a x ++-≥-恒成立，则实数x 的取值范围是_________.三、解答题（本大题共6小题，75分.其中第16-19小题每题12分，第20题13分，第21题14分）16. 设a R ∈函数2()cos (sin cos )cos ()2f x x a x x x π=-++满足()(0)3f f π-=. （1）求()f x 的单调递减区间；（2）设锐角ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2222222a c b ca b c a c +-=+--，求()f A 的取值范围.【答案】(1)(1,2]【解析】试题分析：(1)由a R ∈函数2()cos (sin cos )cos ()2f x x a x x x π=-++，运用二倍角公式的逆运算，即可将()f x 化成一个角的和差的正余弦形式.再结合基本函数的单调性，通过解不等式即可得到()f x 的单调递减区间.17. 2014年2月21日，《中共中央关于全面深化改革若干重大问题的决定》明确：坚持计划生育的基本国策，启动实施一方是独生子女的夫妇可生育两个孩子的政策.为了解某地区城镇居民和农村居民对“单独两孩”的看法，某媒体在该地区选择了3600人调查，就是否赞成“单独两孩”的问题，调查统计的结果如下表：已知在全体样本中随机抽取1人，抽到持“反对”态度的人的概率为0.05.（1）现在分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取360人进行问卷访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？（2） 在持“反对”态度的人中，用分层抽样的方法抽取6人，按每组3人分成两组进行深入交流，求第一组中农村居民人数ξ的分布列和数学期望.18. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对一切正整数n ，点(,)n n P n S 都在函数2()2f x x x =+的图像上，且过点(,)n n P n S 的切线的斜率为n k .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设**{,},{2,}n n A x x k n N B x x a n N ==∈==∈，等差数列{}n c 的任一项n c A B ∈，其中1c 是A B 中所有元素的最小数，10110115c <<，求{}n c 的通项公式.【答案】(1) 2 1.n a n =+ ;(2)126n c n =-考点：1.函数的导数.2.数列的通项公式的求法.3.集合的运算.4.最值问题.19. 如图，正三棱柱111ABC A B C -所有棱长都是2，D 棱AC 的中点，E 是1CC 棱的中点，AE 交1A D 于点H.（1）求证：AE ⊥平面1A BD ；（2）求二面角1D BA A --的余弦值；（3）求点1B 到平面1A BD 的距离.【答案】(1)参考解析；(2) 515 ；(3)（2）由⎩⎨⎧=++-=-⇒=⋅=⋅020)3(0 0111111y x z n A n ∴取1(2,1,0)n = 设面AA 1B 的法向量为 0,0),,(12122222=⋅=⋅=A n A n z y x n ，则由)3,0,3(203222222=∴⎩⎨⎧==++-⇒n y z y x 取， 12cos ,n n <>== 由图可知二面角D —BA 1—A 的余弦值为 51520. ABC ∆的内切圆与三边,,AB BC CA 的切点分别为,,D E F ,已知(0),0)B C ，内切圆圆心(1,),0I t t ≠,设点A 的轨迹为R. （1）求R 的方程；（2）过点C 的动直线m 交曲线R 于不同的两点M,N ，问在x 轴上是否存在一定点Q （Q 不与C 重合），使QM QC QN QCQM QN ⋅⋅=恒成立，若求出Q 点的坐标，若不存在，说明理由试题解析：（1）设点),(y x A ，由题知|AB|-|AC|=|BE|-|CE|=|CE|+2|OE|-|CE|=2根据双曲线定义知，点A 的轨迹是以B 、C 为焦点，实轴长为2的双曲线的右支除去点E （1，0），故R 的方程为)1(122>=-x y x（2）设点),(),,(),0,(22110y x N y x M x Q 由（I ）可知)0,2(C ⇒==NQC MQC ∠=∠∴cos cosNQC MQC ∠=∠∴ ①当直线x MN ⊥轴时点)0,(0x Q 在x 轴上任何一点处都能使得NQC MQC ∠=∠成立21. 已知函数2()ln f x a x x =-.（1）当2a =时，求函数()y f x =在1[,2]2上的最大值；（2）令()()g x f x ax =+，若()y g x =在区间(0,3)上不单调，求a 的取值范围；（3）当2a =时，函数()()h x f x mx =-的图像与x 轴交于两点12(,0),(,0)A x B x ，且120x x <<，又'()h x 是()h x 的导函数，若正常数,αβ满足条件1,αββα+=≥.证明：12'()0h x x αβ+<.（2）因为ax x x a x g +-=2ln )(，所以a x xa x g +-='2)(， 因为)(x g 在区间)3,0(上不单调，所以0)(='x g 在（0，3）上有实数解，且无重根，由0)(='x g ，有122+=x x a =)29,0(4)111(2∈-+++x x ，（)3,0(∈x ） 所以 ∈a )29,0( （3）∵m x xx h --=22)('，又0)(=-mx x f 有两个实根21,x x ， ∴⎩⎨⎧=--=--0ln 20ln 222221211mx x x mx x x ，两式相减，得)()()ln (ln 221222121x x m x x x x -=---，∴)()ln (ln 2212121x x x x x x m +---=,。

1 / 42014年高考模拟考试试卷高三数学（理科）（考试时间120分钟，满分150分）考生注意：1． 每位考生应同时领到试卷与答题纸两份材料，所有解答必须写在答题纸上规定位置，写在试卷上或答题纸上非规定位置一律无效；2． 答卷前，考生务必将姓名、准考证号码等相关信息在答题纸上填写清楚； 3． 本试卷共23道试题，满分150分，考试时间120分钟。

一、填空题（本大题共14小题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1、经过点 (1, 0)A 且法向量为(2, 1)n =-的直线l 的方程是 ．2、已知集合1|1, A x x R x ⎧⎫=<∈⎨⎬⎩⎭，集合B 是函数lg (1)y x =+的定义域，则A B = ．3、方程22124x y m +=+表示焦点在y 轴上的双曲线，则实数m 取值范围是 ．4、已知数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，()n S n N *∈表示数列{}n a 的前n 项和，则2lim1nn S n →∞=- ．5、在261)x x-（的展开式中，含3x 项的系数等于 ．（结果用数值作答） 6、方程sin cos 1x x +=-的解集是 ． 7、实系数一元二次方程20x ax b ++=的一根为131ix i+=+（其中i 为虚数单位），则 a b += ．8、某高中共有学生1000名，其中高一年级共有学生380人，高二年级男生有180人．如果在 全校学生中抽取1名学生，抽到高二年级女生的概率为0.19，现采用分层抽样（按年级分层） 在全校抽取100人，则应在高三年级中抽取的人数等于 ．9、已知()2x f x =的反函数为111(), ()(1)(1)y f x g x f x f x ---==--+，则不等式()0g x <的解集是．10、已知圆柱M 的底面圆的半径与球O 的半径相同，若圆柱M 与球O 的表面积相等，则它们的体积之比V V 圆柱球：= （结果用数值作答）． 11、在极坐标系中，圆4sin ρθ=的圆心到直线 ()6R πθρ=∈的距离等于 ．12、如果函数(]()210,1()311,ax x f x ax x ⎧-∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，2()log g x x =，关于x 的不等式()()0f x g x ⋅≥ 对于任意(0, )x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是 ．2 / 413、已知二次函数2() ()f x x ax a x R =-+∈同时满足：①不等式()0f x ≤的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在120x x <<，使得不等式12()()f x f x >成立．设数列{}n a 的前n 项 和为n S ，且()n S f n =．规定：各项均不为零的数列{}n b 中，所有满足10i i b b +⋅<的正整数i 的个数称为这个数列{}n b 的变号数．若令1n nab a =-（*n N ∈），则数列{}n b 的变号数等 于 ．14、已知圆22: (01)O x y c c +=<≤，点 (, )P a b 是该圆面（包括⊙O 圆周及内部）上一点，则a b c ++的最小值等于 ．二、选择题（本大题共4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。

江西省南昌二中2014届高三高考模拟考试数学（理）试题一、选择题（题型注释）1．设集合{}1,0,2A =-，集合{}2B x x A x A =-∈-∉且，则B =（ ） A ．{}1B ．{}2-C ．{}1,2--D ．{}1,0-2．若复数z 满足i z i +=-3)21(，则复数z 的虚部为（ ） A ．37-B ．i 37-C ．57D ．i 573．设等差数列{}n a的前n 项和为n S ，若39S =，530S =，则789a a a ++=（ ）． A ．27 B ．36 C ．42 D ．63 4．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ）A ．5B ．6C ．143D ．1935．若双曲线()2222100x y a b a b -=>>，的渐近线与圆()2221x y -+=相切，则双曲线的离心率为（ ）． A ．2 BCD6．若下面框图所给的程序运行结果为S ＝20，那么判断框中应填入的关于k 的条件是（ ）A ．9?k =B ．8?k ≥C ．8?k <D ．8?k >7．已知ABC ∆中，D BC 是边的中点，过点D 的直线分别交直线AB 、AC 于点E 、F ，若AE AB λ=，AF AC μ=，其中0,0λμ>>，则λμ的最小值是（ ）A ．1B ．12C ．13D ．148．在平面直角坐标系中，不等式组040x y x y x a +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩（a 为常数）表示的平面区域的面积是9.那么实数a 的值为（ ） A．2+ B．2-+ C ．5- D ．19. 已知113k ≤<，函数()21x f x k =--的零点分别为()1212,x x x x <，函数()2121x kg x k =--+的零点分别为()3434,x x x x <，则()()4321x x x x -+-的最小值为（ ）A ．1B ．2log 3C ．2log 6D ．310．菱形ABCD060ABC ∠=,沿对角线AC 折成如图所示的四面体，二面角B-AC-D 为060,M 为AC 的中点，P 在线段DM 上，记DP=x ，PA+PB=y,则函数y=f(x)的图象大致为( )CAxxxx二、填空题（题型注释） 11．已知22(2)a x x dx =-⎰，则43(2ax -的展开式中x 的系数为 ． 12．某写字楼将排成一排的6个车位出租给4个公司，其中有两个公司各有两辆汽车，如果这两个公司要求本公司的两个车位相邻，那么不同的分配方法共有________种．（用数字作答） 13．已知平面区域(){,0x y y Ω=≤≤，直线:2l y mx m =+和曲线:C y =有两个不同的交点，直线l 与曲线C 围成的平面区域为M ，向区域Ω内随机投一点A ，点A 落在区域M 内的概率为()P M ，若2(),12P M ππ-⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则实数m 的取值范围是 .14．空间中任意放置的棱长为2的正四面体ABCD .下列命题正确的是_________.（写出所有正确的命题的编号）①正四面体ABCD 的主视图面积可能是2；②正四面体ABCD 的主视图面积可能是362； ③正四面体ABCD 的主视图面积可能是3； ④正四面体ABCD 的主视图面积可能是2 ⑤正四面体ABCD 的主视图面积可能是4.15．（1）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系(,)ρθ(02)θ<≤π中，曲线(cos sin )2ρθθ+=与(sin cos )2ρθθ-=的交点的极坐标为________(2) （不等式选讲选做题）对于任意≥-+-∈3sin 2sin ,θθθR aa 2+恒成立，则实数a 的取值范围______三、解答题（题型注释）16．已知{}n a 为单调递增的等比数列，且1852=+a a ，3243=⋅a a ，{}n b 是首项为2，公差为d 的等差数列，其前n 项和为n S . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）当且仅当42≤≤n ，*N n ∈，22log 4n n a d S ⋅+≥成立，求d 的取值范围.17．如图，△ABC 中．角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c 满足c=l ，221,a b ab +=+以AB 为边向△ABC 外作等边三角形△ABD ．(1)求∠ACB 的大小；(2)设∠ABC=2,||()CD f θθ=．试求函数()f θ的最大值及()f θ取得最大值时的θ的值．18．某煤矿发生透水事故时，作业区有若干人员被困．救援队从入口进入之后有12,L L 两条巷道通往作业区(如下图)，1L 巷道有123,,A A A 三个易堵塞点，各点被堵塞的概率都是12；2L 巷道有12,B B 两个易堵塞点，被堵塞的概率分别为33,45． （1）求1L 巷道中，三个易堵塞点最多有一个被堵塞的概率；（2）若2L 巷道中堵塞点个数为X ，求X 的分布列及数学期望EX ，并按照＂平均堵塞点少的巷道是较好的抢险路线＂的标准，请你帮助救援队选择一条抢险路线，并说明理由．19．等边三角形ABC 的边长为3,点D 、E 分别是边AB 、AC 上的点,且满足AD DB =12CE EA =(如图1).将△ADE 沿DE 折起到△1A DE 的位置,使二面角1A DE B --成直二面角,连结1A B 、1AC (如图2).（1）求证1A D ⊥平面BCED ；（2）在线段BC 上是否存在点P ,使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为3π?若存在,求出PB 的长,若不存在,请说明理由.20．如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，其上顶点为.A 已知12F AF ∆是边长为2的正三角形．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点(4,0)Q -任作一动直线l 交椭圆C 于,M N 两点，记MQ QN λ=⋅．若在线段MN 上取一点R ，使得MR RN λ=-⋅，当直线l 运动时，点R 在某一定直线上运动，求出该定直线的方程．21．已知函数()()24ln 1f x ax x =--，a ∈R ．（1）当1a =时，求()f x的单调区间；（2）已知点()1,1P 和函数()f x 图象上动点()(),M m f m ，对任意[]2,1m e ∈+，直线PM 倾斜角都是钝角，求a 的取值范围．南昌二中2014届高三第十一次模拟考试试题数学(理)参考答案【解析】试题分析：由题知，k x -=121，k x +=122，12123+-=k k x ，12124++=k kx . k k x x -+=∴-11212，113234++=-k k x x k k k x x x x -+-=-+=∴-+-1431132)()(1234 又)1,31[∈k ),3[143+∞∈-+-∴k),3[log 21234+∞∈-+-∴x x x x 故选B ． 考点：1、函数的零点；2、指数运算；3、函数的最值. 10．D 【解析】因为1,BM AM ==.1,(01)MP x x AP =-<<∴==，由题意可得060BMP ∠=.BP ==所以y =.由于两个函数的对称轴分别为1x =或12x =.所以图象的走向为选项D 所示.【考点】1.立几中的线面关系.2.函数的图象近似判断.3.函数关系式的建立. 11．150 12．24 13．]1,0[ 14．①②③④【解析】对于四面体ABCD ，如下图：当光线垂直于底面BCD 时，主视图为BCD ∆，其面积为122⨯正确； 当光线平行于底面BCD ，沿CO 方向时，主视图为以BD 为底，正四面体的高AO 为高的三角形，则其面积为122⨯=，②正确； 当光线平行于底面BCD ，沿方向时，主视图为图中△ABE ，则其面积为122⨯⨯=，①正确； 将正四面体放入正方体中，如上右图，光线垂直于正方体正对我们的面时，主视图是正方形，2=，并且此时主视图面积最大，故④正确，⑤不正确. 【考点】1.几何体的三视图；2.几何图形的面积. 15．①(2,)2π ②()[]2,10,⋃∞-（2）因为sin θ∈[－1,1]，所以对于任意≥-+-∈3sin 2sin ,θθθR aa 2+恒成立， 即5-2sin θ≥a a 2+，而5-2sin θ最小值为3，所以3≥aa 2+，解得，实数a 的取值范围是()[]2,10,⋃∞-。

2014年江西省抚州市某校高考数学最后模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 定义A ×B ={z|z =xy, x ∈A 且y ∈B}，若A ={x|−1<x <2}，B ={−1, 2}，则A ×B =( )A {x|−1<x <2}B {−1, 2}C {x|−2<x <2}D {x|−2<x <4}2. 设i 为虚数单位，若复数z =(m 2+2m −3)+(m −1)i 是纯虚数，则实数m =( ) A −3 B −3或1 C 3或−1 D 13. 函数f(x)=2√x−1的零点个数为（ ）A 3B 2C 1D 04. 函数f(x)=x 13在原点处的切线方程是（ ）A x =0B y =0C x =0或y =0D 不存在 5. 已知x 与y 之间的几组数据如下表：假设根据上表数据所得线性回归直线方程为y ̂=b 数据(5, 2)和(6, 0)求得的直线方程为y =b′x +a′，则以下结论正确的是（ ） A b ̂>b′，a ̂>a′ B b ̂>b ，a ̂<a′ C b ̂<b′，a ̂<a′ D b ̂<b′，a ̂>a′6. 给出30个数：1，2，4，7，…其规律是 第1个数是1；第2个数比第1个数大1； 第3个数比第2个数大2； 第4个数比第3个数大3；…以此类推，要计算这30个数的和，现已给出了该问题的程序框图如图所示，那么框图中判断框①处和执行框②处应分别填入（ ）A i ≤29；p =p +i +1B i ≤30；p =p +i −1C i ≤30；p =p +iD i ≤31；p =p +i7.如图，O 为线段A 0A 2013外一点，若A 0，A 1，A 2，A 3，…，A 2013中任意相邻两点的距离相等，OA 0→=a →，OA 2013→=b →，用a →，b →表示OA 0→+OA 1→+OA 2→+...+OA 2013→结果为（ ）A 1006(a →+b →) B 1007(a →+b →) C 2012(a →+b →) D 2014(a →+b →)8. 已知集合A 、B 、C ，且A ={直线}，B ={平面}，C =A ∪B ，若a ∈A ，b ∈B ，c ∈C ，有四个命题①{a // b c // b ⇒a // c ；②{a ⊥bc ⊥b ⇒a // c ；③{a // b c ⊥b ⇒a ⊥c ；④{a ⊥b c // b ⇒a ⊥c ；其中所有正确命题的序号是（ ）A ①②③B ②③④C ②④D ④ 9. 设F 1，F 2分别为双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的左、右焦点，A 为双曲线的左顶点，以F 1F 2为直径的圆交双曲线某条渐过线于M ，N 两点，且满足∠MAN =120∘，则该双曲线的离心率为( ) A√213 B √193 C 23 D 7√3310. 如图是半径为4的半圆A 与它的内切半椭圆（长半轴长为4，短半轴长为3），AD 为半圆的半径，且交半椭圆于点C ．现AD 绕着A 点从AB 所在的位置逆时针以1弧度/秒的速度旋转，设圆弧BD 与AD 、AB 围成的面积为y ，椭圆弧BC 与AC 、AB 所围成的面积为x ，则函数y =f(x)的图象大致是（ ）A B C D二.选做题：请在下列两题中选一题作答.若两题都做，则按第一题评阅计分.本题共5分.【坐标系与参数方程选做题】11. 在极坐标系中，点(2, π3)到圆ρ=2cosθ的圆心的距离为( )A 2B √4+π29C √1+π29D √3【不等式选做题】12. 若正数a ，b 满足ab =a +b +3，则ab 的取值范围是（ ） A [6, +∞) B [9, +∞) C (−∞, 9] D (−∞, 6]三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线y =2x 上，则cos 2θ−sin 2θ等于________．14. 已知等差数列{a n}的公差和首项都不等于0，且a2，a4，a8成等比数列，则a3+a6+a9a4+a5=________．15. 设(2x−1)5+(x+2)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则|a0|+|a2|+ |a4|=________．16. 已知偶函数f(x)满足对任意x∈R，均有f(1+x)=f(3−x)且f(x)={m(1−x 2)，x∈[0,1]x−1,x∈(1,2]，若方程3f(x)=x恰有5个实数解，则实数m的取值范围是________．四、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知函数f(x)=sin[ωπ(x+13)]的部分图象如图所示，其中P为函数图象的最高点，A，B是函数图象与x轴的相邻两个交点，若y轴不是函数f(x)图象的对称轴，且tan∠APB=12．（1）求函数f(x)的解析式；（2）若x∈[1, 2]，求函数f(x)的取值范围．18. 在一次抢险救灾中，某救援队的50名队员被分别分派到四个不同的区域参加救援工作，其分布的情况如下表，从这50名队员中随机抽出2人去完成一项特殊任务．（1）求这2人来自同一区域的概率；（2）若这2人来自区域A，D，并记来自区域A队员中的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．19. 如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是直角梯形，CD⊥平面PAD，BC // AD，PA=PD，O，E分别为AD，PC的中点，PO=AD=2BC=2CD．（1）求证：AB⊥DE；（2）求二面角A−PC−O的余弦值．20. 已知正项数列{a n}，其前n项和S n满足8S n=a n2+4a n+3，且a2是a1和a7的等比中项．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)符号[x]表示不超过实数x的最大整数，记b n=[log2(a n+34)]，求b1+b2+b3+⋯b2n．21. 已知椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，点A、B分别为其左、右顶点，点F1、F2分别为其左、右焦点，以点A为圆心，AF1为半径作圆A；以点B为圆心，OB为半径作圆B；若直线l：y=−√33x被圆A和圆B截得的弦长之比为√156；（1）求椭圆C的离心率；（2）己知a=7，问是否存在点P，使得过P点有无数条直线被圆A和圆B截得的弦长之比为34；若存在，请求出所有的P点坐标；若不存在，请说明理由．22. 设函数f(x)=(1+x)α的定义域是[−1, +∞)，其中常数α>0．（1）若α>1，求y=f(x)的过原点的切线方程．（2）当α>2时，求最大实数A，使不等式f(x)>1+αx+Ax2对x>0恒成立．（3）证明当α>1时，对任何n∈N∗，有1<1n ∑n+1k=2（(k−1k)α+αk）<α．2014年江西省抚州市某校高考数学最后模拟试卷（理科）答案1. D2. A3. C4. B5. B6. C7. B8. D9. A10. B11. D12. B13. −3514. 215. 11016. (−83，−43)∪(43,83)17. 解：（1）过点P作PC⊥x轴于C，则BC=3AC，tan∠BPC= 3tan∠APC，所以tan∠APB=tan(∠BPC−∠APC)=2tan∠APC1+3tan2∠APC =12，解得tan∠APC=1或tan∠APC=13...2分若tan∠APC=13，则AC=13PC=13，此时函数f(x)的最小正周期T=4AC=43，从而ω=32．此时f(x)=sin[32π(x+13)]=cos3π2x，可知y轴是其图象的对称轴，不合题意，舍去．若tan∠APC=1，则AC=PC=1，此时函数f(x)的最小正周期T=4AC=4，从而ω=12．此时f(x)=sin[12π(x+13)]=sin(12πx+π6)，符合题意．故函数f(x)的解析式为f(x)=sin(12πx+π6)；…6分（2）由（1）得f(x)=sin(12πx+π6)，又x∈[1, 2]，则2π3≤12πx+π6≤7π6，所以−12≤sin(12πx+π6)≤√32，…10分即数f(x)的取值范围为[−12, √32]…12分．18. 解：（1）记“这2人来自同一区域”为事件E，那么P(E)=C202+C102+C52+C152C502=27，所以这2人来自同一区域的概率是27．…（2）随机变量ξ可能取的值为0，1，2，且P(ξ=0)=C152C352=317，P(ξ=1)=C201C151C352=60119P(ξ=2)=C202C352=38119…所以ξ的分布列是：ξ的数学期望为Eξ=0×317+1×60119+2×38119=87…19. （1）证明：设BD∩OC=F，连接EF，∵ E、F分别是PC、OC的中点，则EF // PO，…∵ CD⊥平面PAD，CD⊂平面ABCD，∴ 平面ABCD⊥平面PAD，又PA=PD，O为AD的中点，则PO⊥AD，∵ 平面ABCD∩平面PAFD=AD，∴ PO⊥平面ABCD，∴ EF⊥平面ABCD，又AB⊂平面ABCD，∴ AB⊥EF，…在△ABD中，AB2+BD2=AD2，AB⊥BD，又EF∩BD=F，∴ AB⊥平面BED，又DE⊂平面BED，∴ AB⊥DE．…（2）解：在平面ABCD内过点A作AH⊥CO交CO的延长线于H，连接HE，AE，∵ PO⊥平面ABCD，∴ POC⊥平面ABCD，平面POC∩平面ABCD=AH，∴ AH⊥平面POC，PC⊂平面POC，∴ AH⊥PC．在△APC中，AP=AC，E是PC中点，∴ AE⊥PC，∴ PC⊥平面AHE，则PC⊥HE．∴ ∠AEH是二面角A−PC−O的平面角．…设PO=AD=2BC=2CD=2，而AE2=AC2−EC2，AE=√142，AH=√22，则sin∠AEH=√77，∴ 二面角A−PC−O的余弦值为√427．…20. 解：(1)由8S n=a n2+4a n+3①，得8S n−1=a n−12+4a n−1+3(n≥2,n∈N)②，①-②得：8a n=(a n−a n−1)(a n+a n−1)+4a n−4a n−1，整理得：(a n−a n−1−4)(a n+a n−1)=0(n≥2, n∈N)，∵ {a n}为正项数列，∴ a n+a n−1>0，则a n−a n−1=4(n≥2, n∈N)，∴ {a n}为公差为4的等差数列，由8a1=a12+4a1+3，得a1=3或a1=1，当a1=3时，a2=7，a7=27，不满足a2是a1和a7的等比中项．当a 1=1时，a 2=5，a 7=25，满足a 2是a 1和a 7的等比中项． ∴ a n =1+(n −1)×4=4n −3. (2)由a n =4n −3，得b n =[log 2(a n +34)]=[log 2n]，由符号[x]表示不超过实数x 的最大整数知，当2m ≤n <2m+1时，[log 2n]=m ， 令S =b 1+b 2+b 3+⋯b 2n =[log 21]+[log 22]+[log 23]+⋯[log 22n ] =0+1+1+2+...+3+...+4+...+n −1+...+n∴ S =1×21+2×22+3×23+4×24+(n −1)×2n−1+n① 2S =1×22+2×23+3×24+4×25+(n −1)×2n +2n② ①-②得：−S =2+22+23+24+⋯+2n−1−(n −1)2n −n =2(1−2n−1)1−2−(n −1)2n −n =(2−n)2n −n −2,∴ S =(n −2)2n +n +2，即b 1+b 2+b 3+⋯b 2n =(n −2)2n +n +2． 21. 解：（1）由k l =−√33，得直线l 的倾斜角为150∘， 则点A 到直线l 的距离d 1=asin(180∘−150∘)=a2，故直线l 被圆A 截得的弦长为L 1=2√(a −c)2−d 12=2√(a −c)2−(a2)2，直线l 被圆B 截得的弦长为L 2=2acos(180∘−150∘)=√3a ， 据题意有：L 1L 2=√156，即2√(a−c)2−(a2)2√3a=√156化简得：16e 2−32e +7=0，解得：e =74或e =14，又椭圆的离心率e ∈(0, 1)； 故椭圆C 的离心率为e =14．（2）假设存在，设P 点坐标为(m, n)，过P 点的直线为L ；当直线L 的斜率不存在时，直线L 不能被两圆同时所截； 故可设直线L 的方程为y −n =k(x −m)， 则点A(−7, 0)到直线L 的距离D 1=√1+k 2， 由（1）有e =c a=14，得r A =a −c =3a 4=214，故直线L 被圆A 截得的弦长为L 1′=2√r A 2−D 12，则点B(7, 0)到直线L 的距离D 2=√1+k 2，r B =7，故直线L 被圆B 截得的弦长为L 2′=2√r B 2−D 22，据题意有：L 1L 2=34，即有16(r A 2−D 12)=9(r B 2−D 22)，整理得4D 1=3D 2，即√1+k 2=√1+k 2，关于k 的方程有无穷多解，故有：{7m 2+350m +343=07n 2=0⇒{n =0m =−1或{n =0m =−49，故所求点P 坐标为(−1, 0)或(−49, 0)．22. （1）解：∵ f(x)=(1+x)α，∴ f′(x)=α(1+x)α−1． 若切点为原点，由f′(0)=α知切线方程为y =αx +1； 若切点不为原点，设切点为(x 0,(1+x 0)α)， ∴ 由切线过原点可知(1+x 0)αx 0=α(1+x 0)α−1在(−1, +∞)内有唯一的根x 0=1α−1∵ f′(1α−1)=αα(α−1)α−1， ∴ 切线方程为y =αα(α−1)α−1x +(αα−1)n综上，所求切线有两条：y =αx +1和y =αα(α−1)α−1x +(αα−1)n ；（2）令g(x)=f(x)−1−αx −Ax 2，则g(0)=0，g′(x)=α(1+x)α−1−α−2Ax ， 显然g′(0)=0，且g′(x)的导函数为g″(x)=α(α−1)(1+x)α−2−2A ． 若A ≤α(α−1)2，则2Aα(α−1)≤1，由α>2知(1+x)α−2>1对x >0恒成立，从而对x >0恒有g″(x)>0，即g′(x)在(0, +∞)上单调增，从而g′(x)>g′(0)=0对x >0恒成立，从而g(x)在(0, +∞)单调增，∴ g(x)>g(0)=0对x >0恒成立． 若A >α(α−1)2，则2Aα(α−1)>1，由α>2知知存在x 0>0，使得(1+x)α−2<2Aα(α−1)对x ∈(0, x 0)恒成立，即g″(x)<0对x ∈(0, x 0)恒成立，由g′(0)=0知存在x 1>0，使得g′(x)<0对x ∈(0, x 1)恒成立， ∵ g(0)=0，∴ g(x)>0不能对x >0恒成立， 综上，最大实数A 是α(α−1)2；（3）证明：当α>1时，令ℎ(x)=f(x)−αx ，则ℎ′(x)=α[(1+x)α−1−1]， ∴ x ∈(−1, 0)时，ℎ′(x)<0，即ℎ(x)=f(x)−αx 在[−1, 0]上单调递减，∴ ℎ(0)<ℎ(x)<ℎ(−1)对x ∈(−1, 0)恒成立， ∵ ℎ(0)=1，ℎ(−1)=α， ∴ 1<ℎ(x)<α，即对x ∈(−1, 0)恒有1<(1+x)α−αx <α， 在此不等式中x =−12，−13，…，−1n+1∴ 1<(1−12)α+α2<α，1<(1−13)α+α3<α，1<(1−14)α+α4<α，1<(1−15)α+α5<α，…1<(1−1n+1)α+αn+1<α，将以上不等式相加得：n <∑(n+1k=21−1k)α+αk<nα，即1<1n ∑(n+1k=2(k−1k)α+αk )<α．。

2014年江西省某校高考数学预测试卷（理科）一、解答题1.如图所示，已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F 2(1, 0)，点A(1, 32)在椭圆上．（1）求椭圆方程；（2）点M(x 0, y 0)在圆x 2+y 2=b 2上，点M 在第一象限，过点M 作圆x 2+y 2=b 2的切线交椭圆于P 、Q 两点，问|F 2P →|+|F 2Q →|+|PQ →|是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，说明理由．2. 在平面直角坐标系xoy 中，已知F 1，F 2分别是椭圆G:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，椭圆G 与抛物线y 2=−8x 有一个公共的焦点，且过点(−2, √2)． （1）求椭圆G 的方程；（2）设直线l 与椭圆G 相交于A 、B 两点，若OA →⊥OB →（O 为坐标原点），试判断直线l 与圆x 2+y 2=83的位置关系，并证明你的结论．3. 已知函数f(x)={−x 3+ax 2+bx ，(x <1)c(e x−1−1)，(x ≥1)在x =0，x =23处存在极值．（1）求实数a ，b 的值；（2）函数y =f(x)的图象上存在两点A ，B 使得△AOB 是以坐标原点O 为直角顶点的直角三角形，且斜边AB 的中点在y 轴上，求实数c 的取值范围；（3）当c =e 时，讨论关于x 的方程f(x)=kx(k >0)的实根的个数．4. 一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4．(I)从袋中随机抽取一个球，将其编号记为a ，然后从袋中余下的三个球中再随机抽取一个球，将其编号记为b ．求关于x 的一元二次方程x 2+2ax +b 2=0有实根的概率；(II)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n ．若以(m, n)作为点P 的坐标，求点P 落在区域{x −y ≥0x +y −5<0内的概率．5. 如图，在六面体ABCDEFG 中，平面ABC // 平面DEFG ，AD ⊥平面DEFG ，AB ⊥AC ，ED ⊥DG ，EF // DG ，且AC =EF =1，AB =AD =DE =DG =2． （1）求证：平面BEF ⊥平面DEFG ； （2）求证：BF // 平面ACGD ； （3）求三棱锥A −BCF 的体积．6. 设函数f(x)＝e x +sinx ，g(x)＝ax ，F(x)＝f(x)−g(x)． （1）若x ＝0是F(x)的极值点，求a 的值；（2）当a =13时，若存在x 1、x 2∈[0, +∞)使得f(x 1)＝g(x 2)，求x 2−x 1的最小值；（3）若x ∈[0, +∞)时，F(x)≥F(−x)恒成立，求a 的取值范围．7. 对于函数f(x)，若存在实数对(a, b)，使得等式f(a +x)⋅f(a −x)=b 对定义域中的每一个x 都成立，则称函数f(x)是“(a, b)型函数”．（1）判断函数f(x)=4x 是否为“(a, b)型函数”，并说明理由；（2）已知函数g(x)是“(1, 4)型函数”，当x ∈[0, 2]时，都有1≤g(x)≤3成立，且当x ∈[0, 1]，g(x)=x 2+m(1−x)+1(m >0)．试求m 的取值范围．二、选择题（共1小题，每小题6分，满分6分）8. 定义函数f(x)={4−8|x −32|，1≤x ≤2，12f (x 2)，x >2，则函数g(x)=xf(x)−6在区间[1, 2n ](n ∈N ∗)内的所有零点的和为（ ）A nB 2nC 34(2n −1) D 32(2n −1)三、填空题（共3小题，每小题3分，满分9分） 9. 设函数f(x)=xx+2(x >0)，观察： f 1(x)=f(x)=x x+2， f 2(x)=f(f 1(x))=x 3x+4， f 3(x)=f(f 2(x))=x 7x+8， f 4(x)=f(f 3(x))=x15x+16，⋯⋯根据以上事实，由归纳推理可得：当n ∈N ∗且n ≥2时，f n (x)=f(f n−1(x))=________．10. 已知函数f(x)=ln(√1−9x 2−3x)+1，则f(lg2)+f(lg 12)=________．11. 已知将给定的两个全等的正三棱锥的底面粘在一起，恰得到一个所有二面角都相等的六面体，并且该六面体的最短棱的长为2，则最远的两顶点间的距离是________．2014年江西省某校高考数学预测试卷（理科）答案1. 解：（1）∵ 右焦点为F 2(1, 0)，∴ c =1 ∴ 左焦点为F 1(1, 0)，点H(1, 32)在椭圆上， ∴ 2a =|HF 1|+|HF 2|=4， ∴ a =2，∴ b =√a 2−c 2=√3 ∴ 椭圆方程为x 24+y 23=1−−−−−−−−−−−−−−−−（2）设P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)，x 124+y 123=1(|x 1|≤2)∴ |PF 2|2=(x 1−1)2+y 12=14(x 1−4)2，∴ |PF 2|=2−12x 1，------------------------连接OM ，OP ，由相切条件知：|PM|2=|OP|2−|OM|2=x 12+y 12−3=14x 12，∴ |PM|=12x 1，∴ |PF 2|+|PM|=2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−同理可求|QF 2|+|QM|=2∴ |F 2P|+|F 2Q|+|PQ|=4为定值．-------------2. 解：（1）∵ F 1，F 2分别是椭圆G:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点， 椭圆G 与抛物线y 2=−8x 有一个公共的焦点，且过点(−2, √2)，∴ {c =24a 2+2b 2=1a 2=b 2+c 2，… 解得a 2=8，b 2=4， ∴ 椭圆C 的方程为x 28+y 24=1．…（2）结论：直线l 与圆x 2+y 2=83相切．证明：由题意可知，直线l 不过坐标原点，设A ，B 的坐标分别为(x 1, y 1)，(x 2, y 2)，y 1>y 2，（1）当直线l ⊥x 轴时，直线l 的方程为x =m ，(m ≠0)，且−2√2<m <2√2， 则x 1=m ，y 1=√1−m 22，x 2=m ，y 2=−√4−m 22，∵ OA →⊥OB →，∴ x 1x 2+y 1y 2=0，∴ m 2−(4−m 22)=0，解得m =±2√63，故直线l 的方程为x =±2√63， 因此，点O(0, 0)到直线l 的距离为d =2√63， 又圆x 2+y 2=83的圆心为O(0, 0)， 半径r =2√63=d ，∴ 直线l 与圆x 2+y 2=83相切．…（2）当直线l 不垂直于x 轴时，设直线l 的方程为y =kx +n ，联立直线和椭圆方程消去y 得： (1+2k 2)x 2+4knx +2n 2−8=0， ∴ x 1+x 2=−4kn 1+2k2，x 1x 2=2n 2−81+2k 2，y 1y 2=(kx 1+n)(kx 2+n) =k 2x 1x 2+nk(x 1+x 2)+n 2 =n 2−8k 21+2k 2，∵ OA →⊥OB →，∴ x 1x 2+y 1y 2=0， ∴2n 2−81+2k2+n 2−8k 21+2k 2=0，3n 2−8k 2−8=0， 3n 2=8k 2+8，①又圆x 2+y 2=83的圆心为O(0, 0)，半径r =2√63， 圆心O 到直线l 的距离为d =√1+k 2，∴ d 2=(√1+k 2)2=n 21+k 2=3n 23(1+k 2)，②将①式带入②式得：d 2=8k 2+83(1+k )=83，∴ d =2√63=r ，∴ 直线l 与圆x 2+y 2=83相切．…3. 解（1）当x <1时，f′(x)=−3x 2+2ax +b ．因为函数f(x)在x =0，x =23处存在极值，所以{f′(0)=0f′(23)=0解得a =1，b =0．（2）由（1）得f(x)={−x 3+x 2，(x <1)c(ex−1−1)，(x ≥1)，根据条件知A ，B 的横坐标互为相反数，不妨设A(−t, t 3+t 2)，B （t, f(t)），(t >0)． 若t <1，则f(t)=−t 3+t 2，由∠AOB 是直角得，OA →⋅OB →=0，即−t 2+(t 3+t 2)(−t 3+t 2)=0，即t 4−t 2+1=0．此时无解；若t ≥1，则f(t)=c(e t−1−1)．由于AB 的中点在y 轴上，且∠AOB 是直角，所以B 点不可能在x 轴上，即t ≠1．由OA →⋅OB →=0，即−t 2+(t 3+t 2)⋅c(e t−1−1)=0，得c =1(t+1)(e t−1−1)．因为函数y =(t +1)(e t−1−1)在t >1上的值域是(0, +∞)， 所以实数c 的取值范围是(0, +∞)．（3）由方程f(x)=kx ，知kx ={−x 3+x 2，(x <1)e x −e ，(x ≥1)，可知0一定是方程的根，所以仅就x ≠0时进行研究：方程等价于k ={−x 2+x ，(x <1且x ≠0)e x −ex，(x ≥1)， 构造函数g(x)={−x 2+x ，(x <1且x ≠0)e x −ex，(x ≥1)， 对于x <1且x ≠0部分，函数g(x)=−x 2+x 的图象是开口向下的抛物线的一部分， 当x =12时取得最大值14，其值域是(−∞, 0)∪(0, 14)； 对于x ≥1部分，函数g(x)=e x −e x，由g′(x)=e x (x−1)+ex 2>0，知函数g(x)在(1, +∞)上单调递增．所以，①当k >14或k ≤0时，方程f(x)=kx 有两个实根； ②当k =14时，方程f(x)=kx 有三个实根；③当0<k <14时，方程f(x)=kx 有四个实根．4. 解：设事件A 为“方程x 2+2ax +b 2=0有实根”．当a >0，b >0时，方程x 2+2ax +b 2=0有实根的充要条件为a ≥b ． 基本事件共12个：(1, 2)，(1, 3)，(1, 4)，(2, 1)， (2, 3)，(2, 4)，(3, 1)，(3, 2)，(3, 4)，(4, 1)，(4, 2)，(4, 3)，其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 中包含6个基本事件：(2, 1)，(3, 1)，(3, 2)，(4, 1)，(4, 2)，(4, 3)， 事件A 发生的概率为P(A)=612=12；(II)先从袋中随机取一个球，放回后再从袋中随机取一个球，点P(m, n)的所有可能有： (1, 1)，(1, 2)，(1, 3)，(1, 4)，(2, 1)，(2, 2)，(2, 3)，(2, 4)，(3, 1)，(3, 2)，(3, 3)，(3, 4)，(4, 1)，(4, 2)，(4, 3)，(4, 4)，共16个，落在区域{x −y ≥0x +y −5<0内的有(1, 1)，(2, 1)，(2, 2)，(3, 1)共4个，所以点P 落在区域{x −y ≥0x +y −5<0内的概率为14．5. 解：（1）∵ 平面ABCD // 平面DEFG，平面ABCD∩平面ADEB=AB，平面DEFG∩平面ADEB=DE∴ AB // DE．∵ AB=DE，∴ ADEB为平行四边形，得BE // AD．∵ AD⊥平面DEFG，∴ BE⊥平面DEFG，∵ BE⊂平面BEF，∴ 平面BEF⊥平面DEFG．（2）取DG的中点为M，连接AM、FM，则∵ EF // DM，且EF=DM=1∴ 四边形DEFM是平行四边形，∴ DE // FM，DE=FM，又∵ DE // AB，DE=AB，∴ AB // FM，AB=FM，∴ 四边形ABFM是平行四边形，得BF // AM，∵ BF⊄平面ACGD，AM⊆平面ACGD，∴ BF // 平面ACGD．（3）∵ 平面ABC // 平面DEFG，AD⊥平面DEFG，∴ F到面ABC的距离为AD由此可得三棱锥A−BCF的体积为V A−BCF=V F−ABC=13⋅S△ABC⋅AD=13×(12×1×2)×2=23．6. ∵ F(x)＝f(x)−g(x)＝e x+sinx−ax．∴ F′(x)＝e x+cosx−a．因为x＝0是F(x)的极值点，所以F′(0)＝e0+cos0−a＝0，所以a＝2．当x<0时，F′(x)＝e x+cosx−a<1+1−2＝0；当x≥0时，则φ(x)＝e x+cosx−a，φ′(x)＝e x−sinx≥1−1＝0；所以函数Fx)在[0, +∞)上递增，从而F′(x)≥F′(0)＝1+1−a＝2−2＝0．于是x＝0是函数F(x)的极小值点．∴ a＝2符合题意．因为a=13，由f(x1)＝g(x2)得x2＝3(e x+sinx1)，∴ x2−x1＝3（(e x+sinx1−13x1)，所以求x2−x1的最小值即求a=13时函数3F(x)在[0, +∞）上的最小值，由（1）得F′(x)＝e x+cosx−a在[0, +∞)上递增，从而F′(x)≥F′(0)＝1+1−a＝2−13>0，所以F(x)在[0, +∞)上递增，所以3F(x)≥3F(0)≥3．∴ x 2−x 1得最小值为3．令ℎ(x)＝F(x)−F(−x)＝e x −e −x +2sinx −2ax ， 则ℎ′(x)＝e x +e −x +2cosx −2a ．令t(x)＝ℎ′(x)，t′(x)＝e x −e −x −2sinx ， 令s(x)＝t′(x)，s′(x)＝e x +e −x −2cosx ． ∵ s′(x)＝e x +e −x −2cosx ≥2−2＝0，∴ t′(x)在[0, +∞)递增，从而t′(x)≥t′(0)＝0，∴ ℎ′(x)在[0, +∞)递增，从而ℎ′(x)≥ℎ′(0)＝4−2a ．当a ≤2时，ℎ′(x)≥0，∴ ℎ(x)在[0, +∞)递增，即ℎ(x)≥ℎ(0)＝0 ∴ 当a ≤2时，F(x)−F(−x)≥0对x ∈[0, +∞)时恒成立； 当a >2时，ℎ′(x)<0， 又∵ ℎ′(x)在[0, +∞)递增，所以总存在x 0∈(0, +∞)使得在区间[0, x 0)上ℎ′(x)<0， 导致ℎ(x)在[0, x 0)上递减，而ℎ(0)＝0， ∴ 当x ∈(0, x 0)时，ℎ(x)<0这与F(x)−F(−x)≥0对x ∈[0, +∞)时恒成立不符， 所以a >2不合题意．综上：a 的取值范围：(−∞, 2] 7. 解：（1）函数f(x)=4x 是“(a, b)型函数”．因为由f(a +x)⋅f(a −x)=b ，得4a+x ⋅4a−x =16a =b ，所以存在这样的实数对，如a =1，b =16．（2）由题意得，g(1+x)g(1−x)=4，所以当x ∈[1, 2]时，g(x)=4g(2−x)，其中2−x ∈[0, 1]，而x ∈[0, 1]时，g(x)=x 2+m(1−x)+1=x 2−mx +m +1>0，且其对称轴方程为x =m2，①当m 2>1，即m >2时，g(x)在[0, 1]上的值域为[g(1), g(0)]，即[2, m +1]， 则g(x)在[0, 2]上的值域为[2,m +1]∪[4m+1，2]=[4m+1,m +1]， 由题意得{m +1≤34m+1≥1，此时无解． ②当12≤m 2≤1，即1≤m ≤2时，g(x)的值域为[g(m2)，g(0)]，即[m +1−m 24，m +1]，所以则g(x)在[0, 2]上的值域为[m +1−m 24，m +1]∪[4m+1,4m+1−m 24]，则由题意得{4m+1−m 24≤3m +1≤3且{m +1−m 24≥14m+1≥1，解得1≤m ≤2． ③当0<m 2≤12，即0<m ≤1时，g(x)的值域为[g(m2)，g(1)]，即[m +1−m 24，2]，则g(x)在[0, 2]上的值域为[m +1−m 24，2]∪[2,4m+1−m 24]，=[m +1−m 24，4m+1−m 24]，则{m +1−m 24≥14m+1−m 24≤3，解得：2−2√63≤m ≤1．综上所述，所求m 的取值范围是2−2√63≤m ≤2．8. D 9.x (2n −1)x+2n10. 2 11. 3。