2015高考数学(理)(新课标)二轮复习配套试题：第二章 函数的概念与基本初等函数I 函数的值域与最值

2015年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标II）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）3．（5分）根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）∴=35．（5分）设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=（），=12×=66．（5分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）B正方体切掉部分的体积为1==．7．（5分）过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7）的圆交y轴于M，N两点，则|MN|= 2，则2．8．（5分）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a=（）9．（5分）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥=10．（5分）如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x．将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则y=f （x）的图象大致为（）B时，AP==，+tanx≤≤≤≠时，PA+PB=2≤﹣x=对称，）＞）时的解析式是解决本11．（5分）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶B在双曲线﹣，a在双曲线=1﹣=1，==．12．（5分）设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′=，则=====0或，二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设向量，不平行，向量λ+与+2平行，则实数λ=．λ+与+2，不平行，向量λ+与+2λ++2），解得；故答案为：．，使得14．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．）；故答案为：．15．（5分）（a+x）（1+x）4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a=3．16．（5分）设S n是数列{a n}的前n项和，且a1=﹣1，a n+1=S n S n+1，则S n=﹣．{∴﹣=，即={∴，．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．（1）求；（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．B=C=从而得解∵=2=，∴B==，∴C=；∴=．×．∴=2由余弦定理可得：=的长为18．（12分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79（1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的频率，求C的概率．，发生的频率为，，，，，=，=×+×=0.4819．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；（2）求直线AF与平面α所成角的正弦值．，根据即可求出法向量，坐标可以求出，可设直线即可求得直线∴∴，则=所成角的正弦值为20．（12分）已知椭圆C：9x2+y2=m2（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（2）若l过点（，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．==+b==过点（，即，b=，=2×，﹣，或时，四边形21．（12分）设函数f（x）=e mx+x2﹣mx．（1）证明：f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；（2）若对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1，求m的取值范围．四、选做题.选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．（1）证明：EF∥BC；（2）若AG等于⊙O的半径，且AE=MN=2，求四边形EBCF的面积．DM=MN=，∴AB=的面积为×××=选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2cosθ．（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．cos=2．可得直角坐标方程：，，．：（B选修4-5：不等式选讲24．设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明：（1）若ab＞cd，则+＞+；（2）+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．++++）由于（）=a+b+2+=c+d+2＞+）+++若＞+，则（）＞（）a+b+2c+d+2，+）+综上可得，++。

精品题库试题理数1. (2014四川,9,5分)已知f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),x∈(-1,1).现有下列命题:①f(-x)=-f(x);②f=2f(x);③|f(x)|≥2|x|.其中的所有正确命题的序号是()A.①②③B.②③C.①③D.①②1.A1.f(-x)=ln(1-x)-ln(1+x)=-=-f(x),①正确.f=ln-ln=ln-ln,∵x∈(-1,1),∴f=2ln(1+ x)-2ln(1-x)=2=2f(x),②正确.当x∈ 2.B2.由题图可知y=log a x过点(3,1),∴log a3=1,即a=3.A项,y=在R上为减函数,错误;B项,y=x3符合;C项,y=-x3在R上为减函数,错误;D项,y=log3(-x)在(-∞,0)上为减函数,错误.3. (2014江西,3,5分)已知函数f(x)=5|x|,g(x)=ax2-x(a∈R).若f=1,则a=()A.1B.2C.3D.-13.A3.由已知条件可知: f=f(a-1)=5|a-1|=1,∴|a-1|=0,得a=1.故选A.4. (2014江西,2,5分)函数f(x)=ln(x2-x)的定义域为()A.(0,1)B.C.(-∞,0)∪(1,+∞)D.(-∞,0]∪4.C4.要使函数有意义,需满足x2-x>0,解得x<0或x>1,故选C.5. (2014湖南,10,5分)已知函数f(x)=x2+e x-(x<0)与g(x)=x2+ln(x+a)的图象上存在关于y 轴对称的点,则a的取值范围是()A. B.(-∞,) C. D.5.B5.设函数f(x)图象上一点A(x0,y0)(x0<0)关于y轴的对称点B(-x0,y0)在函数g(x)的图象上,则即+-=+ln(a-x0),得a=+x0.令φ(x)=+x(x<0),则a=φ(x)在(-∞, 0)上有解.因为φ'(x)=·e x+1>0,故φ(x)在(-∞,0)上为增函数,则φ(x)<φ(0)=,从而有a<,故选B.6.(2014浙江,7,5分)在同一直角坐标系中,函数f(x)=x a(x>0),g(x)=log a x的图象可能是()6.D6.因为a>0,所以f(x)=x a在(0,+∞)上为增函数,故A错.在B中,由f(x)的图象知a>1,由g(x)的图象知0<a<1,矛盾,故B错.在C中,由f(x)的图象知0<a<1,由g(x)的图象知a>1,矛盾,故C错.在D中,由f(x)的图象知0<a<1,由g(x)的图象知0<a<1,相符,故选D.7.(2014辽宁,3,5分)已知a=,b=log2,c=lo,则()A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a7.C7.由指数函数及对数函数的单调性易知0<<1,log2<log21=0,lo>lo=1,故选C.8. (2014重庆杨家坪中学高三下学期第一次月考，9) 若, 则（）A．B．C．D．8. C8. 因为，所以，所以．9.（2014江西重点中学协作体高三第一次联考数学（理）试题，4）函数的单调减区间为（）A．B．C．D．9. D9. 由可得函数的定义域为或. 函数可看作由和复合而成，显然在（0，+）为减函数，根据同增异减可得函数的减区间为.10.（2014江西红色六校高三第二次联考理数试题，2）设全集U＝R，A＝{x｜＜2}，B ＝{x｜}，则右图中阴影部分表示的集合为( )A. {x｜1≤x＜2}B. {x｜x≥1}C. {x｜0＜x≤1}D. {x｜x≤1}10. A10. 集合，集合B，而阴影部分表示的集合为{x｜1≤x＜2}.11.(2014湖北八市高三下学期3月联考，3) 等比数列{a n}的各项均为正数，且，则log3 a1+log3a2+…+log3 a l0=( )A．12 B．10 C．8D．2+log3 511. B11.由题意可知，又得，而．12. (2014成都高中毕业班第一次诊断性检测，3) 计算所得的结果为（）(A) 1 (B) (C) (D) 412. A12. 原式.13. (2014兰州高三第一次诊断考试, 5) 设, 则（）A．B． C. D．13. C13. ，，，.14. (2014重庆,12,5分)函数f(x)=log2·lo(2x)的最小值为________.14.-14.显然x>0,∴f(x)=log2·lo(2x)=log2x·log2(4x2)=log2x·(log24+2log2x)=log2x+(log2x)2=-≥-.当且仅当x=时,有f(x)min=-.15. (2014陕西,11,5分)已知4a=2,lg x=a,则x=________.15.15.∵4a=2=,∴a=,∴lg x=,即x=.16.（2014山东潍坊高三3月模拟考试数学（理）试题，15）已知函数为奇函数，且对定义域内的任意x都有．当时，给出以下4个结论：①函数的图象关于点(k，0) (k Z) 成中心对称；②函数是以2为周期的周期函数；③当时，；④函数在(k，k+1) ( k Z) 上单调递增．其一中所有正确结论的序号为16. ①②③16. 由可得，即函数关于点（1,0）对称，又因为函数是奇函数，所以可得函数为以2为周期的周期函数；所以函数的图象关于点(k，0) (k Z) 成中心对称，故命题①、②正确；令，则，所以，又因为函数为最小正周期为2的周期函数，可得，又因为函数为奇函数，所以可得，故命题③正确；是偶函数，所以在(1，2) 及（－2, －1）的单调性相反，故命题④错误.17. (2014陕西宝鸡高三质量检测(一), 10) 定义函数，若存在常数，对任意，存在唯一的，使得，则称函数在上的均值为，已知，则函数在上的均值为（）A . B. C. D.17. A17. 根据定义，函数，若存在常数，对任意，存在唯一的，使得，则称函数在上的均值为. 令，当时，选定可得，.18. (2014江西七校高三上学期第一次联考, 18) 已知函数.（Ⅰ）当时，求函数在上的最大值和最小值；（Ⅱ）求函数的定义域，并求函数的值域. （用表示）18.查看解析18. 解析（Ⅰ）令，显然在上单调递减，故，故，即当时，，（在即时取得）（在即时取得）.（6分）（Ⅱ）由的定义域为，由题易得：，因为，故的开口向下，且对称轴，于是：当即时，的值域为（；当即时，的值域为（. （12分）19. (2014北京东城高三12月教学质量调研) 定义：如果数列的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称为“三角形” 数列. 对于“三角形” 数列，如果函数使得仍为一个“三角形” 数列，则称是数列的“保三角形函数” （）.（Ⅰ）已知是首项为2，公差为1的等差数列，若是数列的“保三角形函数” ，求的取值范围；（Ⅱ）已知数列的首项为2013，S n是数列的前n项和，且满足4，证明是“三角形” 数列；（Ⅲ）若是（Ⅱ）中数列的“保三角形函数” ，问数列最多有多少项？（解题中可用以下数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477，lg2013≈3.304）19.查看解析19.解：（Ⅰ）显然，对任意正整数都成立，即是三角形数列.因为，显然有< < < ……，由< < 得，解得< k< . 所以当k∈（1，）时，是数列的保三角形函数. （3分）（Ⅱ）由，得，，两式相减得，所以，（5分）经检验，此通项公式满足∴，显然，因为c n+1+c n+2=2013（）n+2013（）n+1=2013（）n-1> c n，所以{c n}是三角形数列.（8分）（Ⅲ），所以{g（c n）}单调递减.由题意知，①且②，由①得，解得n< 27.4，由②得，解得n< 26.4.即数列{c n}最多有26项.（14分）。

第1讲 函数、基本初等函数的图象与性质考情解读 1．高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主，难度中等偏下. 2．函数图象和性质是历年高考的重要内容，也是热点内容，对图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题；对函数性质的考查，则主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合一起考查，既有具体函数也有抽象函数．常以选择、填空题的形式出现，且常与新定义问题相结合，难度较大．1．函数的三要素 定义域、值域及对应关系两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一函数，定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数． 2．函数的性质（1）单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则．（2）奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象关于y 轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性．（3）周期性：周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数在其定义域上满足f (a ＋x )＝f (x )(a 不等于0)，则其一个周期T ＝|a |. 3．函数的图象对于函数的图象要会作图、识图、用图．作函数图象有两种基本方法：一是描点法，二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换． 4．指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质（1）指数函数y ＝a x(a >0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)的图象和性质，分0<a <1，a >1两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质．（2）幂函数y ＝x α的图象和性质，分幂指数α>0，α<0两种情况.热点一 函数的性质及应用例1 （1）(2014·课标全国Ⅱ)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)单调递减，f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取值范围是________．（2）设奇函数y ＝f (x ) (x ∈R )，满足对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t )，且x ∈⎣⎡⎦⎤0，12时，f (x )＝－x 2，则f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫－32的值等于________．思维启迪 (1)利用数形结合，通过函数的性质解不等式；(2)利用f (x )的性质和x ∈[0，12]时的解析式探求f (3)和f (－32)的值．思维升华 函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．（1）(2013·重庆)已知函数f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4(a ，b ∈R )，f (lg(log 210))＝5，则f (lg(lg 2))等于( ) A ．－5 B ．－1 C ．3 D ．4（2）已知函数f (x )＝x 3＋x ，对任意的m ∈[－2,2]，f (mx －2)＋f (x )<0恒成立，则x 的取值范围为_________．热点二 函数的图象例2 （1）(2014·烟台质检)下列四个图象可能是函数y ＝10ln|x ＋1|x ＋1图象的是()（2）已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f (－12)，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c >a >bB ．c >b >aC ．a >c >bD ．b >a >c思维启迪 （1）可以利用函数的性质或特殊点，利用排除法确定图象．（2）考虑函数f (x )的单调性． 思维升华 （1）作图：常用描点法和图象变换法．图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换．尤其注意y ＝f (x )与y ＝f (－x )、y ＝－f (x )、y ＝－f (－x )、y ＝f (|x |)、y ＝|f (x )|及y ＝af (x )＋b 的相互关系．（2）识图：从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系．（3）用图：图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究．（1）函数f (x )＝1＋log 2x 与g (x )＝21－x 在同一直角坐标系中的图象大致是( )（2）(2013·课标全国Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0]热点三 基本初等函数的图象及性质例3 （1）若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12(－x )，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)（2）已知α，β∈[－π2，π2]且αsin α－βsin β>0，则下面结论正确的是( )A ．α>βB ．α＋β>0C ．α<βD ．α2>β2思维启迪 (1)可利用函数图象或分类讨论确定a 的范围；(2)构造函数f (x )＝x sin x ，利用f (x )的单调性． 思维升华 （1）指数函数、对数函数、幂函数和三角函数是中学阶段所学的基本初等函数，是高考的必考内容之一，重点考查图象、性质及其应用，同时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及其运算能力． （2）比较数式大小问题，往往利用函数图象或者函数的单调性．（1）设15<(15)b <(15)a <1，那么( )A ．a a <a b <b aB ．a b <a a <b aC ．a a <b a <a bD ．a b <b a <a a（2）已知函数f (x )＝2x －12x ，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x ≥0，f (－x )，x <0，则函数g (x )的最小值是________．1．判断函数单调性的常用方法（1）能画出图象的一般用数形结合法去观察．（2）由基本初等函数通过加、减运算或复合而成的函数，常转化为基本初等函数单调性的判断问题．（3）对于解析式较复杂的一般用导数法． （4）对于抽象函数一般用定义法． 2．函数奇偶性的应用函数的奇偶性反映了函数图象的对称性，是函数的整体特性．利用函数的奇偶性可以把研究整个函数具有的性质问题转化到只研究部分(一半)区间上，是简化问题的一种途径．尤其注意偶函数f (x )的性质：f (|x |)＝f (x )． 3．函数图象的对称性（1）若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，即f (x )＝f (2a －x )，则f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．提醒：函数y＝f (a ＋x )与y ＝f (a －x )的图象对称轴为x ＝0，并非直线x ＝a .（2）若f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称．（3）若函数y ＝f (x )满足f (x )＝2b －f (2a －x )，则该函数图象关于点(a ，b )成中心对称．4．二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，要深刻理解它们之间的相互关系，能用函数与方程、分类讨论、数形结合思想来研究与“三个二次”有关的问题，高考对“三个二次”知识的考查往往渗透在其他知识之中，并且大都出现在解答题中．5．指数函数、对数函数的图象和性质受底数a 的影响，解决与指、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数a 的范围．比较两个对数的大小或解对数不等式或解对数方程时，一般是构造同底的对数函数，若底数不同，可运用换底公式化为同底的对数，三数比较大小时，注意与0比较或与1比较．6．解决与本讲有关的问题应注意函数与方程、数形结合、分类讨论、化归与转化等思想的运用.真题感悟1．(2014·安徽)若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (1－x )，0≤x ≤1，sin πx ，1<x ≤2，则f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝________.2．(2014·福建)若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则所给函数图象正确的是()押题精练1．已知函数f (x )＝e |ln x |－⎪⎪⎪⎪x －1x ，则函数y ＝f (x ＋1)的大致图象为()2．已知函数f (x )＝|log 12x |，若m <n ，有f (m )＝f (n )，则m ＋3n 的取值范围是( )A ．[23，＋∞)B ．(23，＋∞)C ．[4，＋∞)D ．(4，＋∞)3．已知f (x )＝2x －1，g (x )＝1－x 2，规定：当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当|f (x )|<g (x )时，h (x )＝－g (x )，则h (x )( ) A ．有最小值－1，最大值1 B ．有最大值1，无最小值 C ．有最小值－1，无最大值 D ．有最大值－1，无最小值(推荐时间：40分钟)一、选择题1．下列函数f (x )中，满足“对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)时，均有(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0”的是( ) A ．f (x )＝12 B ．f (x )＝x 2－4x ＋4 C ．f (x )＝2x D ．f (x )＝log 12x2．(2014·浙江)在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x ≥0)，g (x )＝log a x 的图象可能是()3．已知函数y ＝f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝lg x ，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫1100的值等于( ) A.1lg 2 B ．－1lg 2 C ．lg 2 D ．－lg 2 4．若a >b ，则下列不等式成立的是( )A ．ln a >ln bB ．0.3a>0.3bC ．1122a b > D ．3a >3b5．设偶函数f (x )满足f (x )＝2x－4(x ≥0)，则{x |f (x －2)>0}等于( )A ．{x |x <－2或x >4}B ．{x |x <0或x >4}C ．{x |x <0或x >6}D ．{x |x <－2或x >2} 6．使log 2(－x )<x ＋1成立的x 的取值范围是( ) A ．(－1,0) B ．[－1,0) C ．(－2,0) D ．[－2,0)7．下列函数中，与函数f (x )＝2x －1－12x 1的奇偶性、单调性均相同的是()A ．y ＝e xB ．y ＝ln(x ＋x 2＋1)C ．y ＝x 2D ．y ＝tan x8．(2013·天津)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( )A ．[1,2]B ．⎝⎛⎦⎤0，12C ．⎣⎡⎦⎤12，2 D ．(0,2] 二、填空题9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧13e x (x ≥2)f (x ＋1)(x <2)，则f (ln 3)＝________.10．已知函数f (x )＝x |x －a |，若对任意的x 1，x 2∈[2，＋∞)，且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]>0恒成立，则实数a 的取值范围为________．11．设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32，则a ＋3b 的值为________．12．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足以下三个条件： ①对于任意的x ∈R ，都有f (x ＋4)＝f (x )；②对于任意的x 1，x 2∈R ，且0≤x 1＜x 2≤2，都有f (x 1)＜f (x 2)； ③函数y ＝f (x ＋2)的图象关于y 轴对称．则判断f (4.5)，f (6.5)，f (7)的大小关系为________．13．设函数f (x )＝1＋(－1)x 2(x ∈Z )，给出以下三个结论：①f (x )为偶函数；②f (x )为周期函数；③f (x ＋1)＋f (x )＝1，其中正确结论的序号是________．例1 (1)(－1,3) (2)－14 变式训练1 (1)C (2)⎝⎛⎭⎫－2，23 例2 答案 (1)C (2)D 变式训练2 (1)C (2)D 例3 (1)C (2)D 变式训练3 (1)B (2)0 1．516 2．B 1．A 2．D 3．CCDDDB ABC9．e 10．{a |a ≤2} 11．－10 12．f (4.5)＜f (7)＜f (6.5) 13．①②③。

2015年普通高等学校招生全国统一考试（课标2理）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合21,01,2A =--｛，，｝，{}(1)(20B x x x =-+<,则A B = （ ） A. }{1,0- B.}{0,1 C.}{1,0,1- D .}{0,1,22.若a 为实数且(2)(2)4ai a i i +-=-，则a =（ ） A. 1- B. 0 C. 1 D . 23.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。

以下结论不正确的是( )A.逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B.2007年我国治理二氧化硫排放显现C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4.等比数列{}n a 满足1=3a ，135=21a a a ++ ，则357a a a ++= ( )A. 21B. 42C. 63D. 845.设函数211log (2),1,()2,1,x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩,2(2)(log 12)f f -+=( ) A. 3 B. 6 C. 9 D. 122004年 2005年 2006年 2007年 2008年 2009年 2010年 2011年 2012年 2013年6.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A.81 B.71 C.61 D.517.过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交y 轴于,M N 两点，则||MN =( )A.B. 8C.D . 108.右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入,a b 分别为14,18，则输出的a =( )A.B.2 C. 4 D . 149.已知,A B 是球O 的球面上两点，90AOB ∠=︒,C 为该球面上的动点，若三棱锥O ABC -体积的最大值为36，则球O 的表面积为( )A. 36πB. 64πC. 144π D . 256π10.如图，长方形ABCD 的边2AB =，1BC =，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记BOP x ∠=．将动P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则()y f x =的图像大致为（ ）11.已知,A B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，ABM ∆为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（ ）A.B. 2C.D.12．设函数'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）A.(,1)(0,1)-∞-B.(1,0)(1,)-+∞C.(,1)(1,0)-∞--D.(0,1)(1,)+∞ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

精品题库试题理数1. (2014湖南,10,5分)已知函数f(x)=x2+e x-(x<0)与g(x)=x2+ln(x+a)的图象上存在关于y 轴对称的点,则a的取值范围是()A. B.(-∞,) C. D.1.B1.设函数f(x)图象上一点A(x0,y0)(x0<0)关于y轴的对称点B(-x0,y0)在函数g(x)的图象上,则即+-=+ln(a-x0),得a=+x0.令φ(x)=+x(x<0),则a=φ(x)在(-∞,0)上有解.因为φ'(x)=·e x+1>0,故φ(x)在(-∞,0)上为增函数,则φ(x)<φ(0)=,从而有a<,故选B.2.(2012陕西,7,5分)设函数f(x)=xe x,则()A. x=1为f(x)的极大值点B. x=1为f(x)的极小值点C. x=-1为f(x)的极大值点D. x=-1为f(x)的极小值点2.D2.f '(x)=(x+1)e x,当x<-1时,f '(x)<0,当x>-1时f '(x)>0,所以x=-1为f(x)的极小值点,故选D.3.(2012重庆,8,5分)设函数f(x)在R上可导,其导函数为f '(x),且函数y=(1-x)f '(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是()A. 函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B. 函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)C. 函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)D. 函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)3. D3.①当x<-2时,1-x>0.∵(1-x)f '(x)>0,∴f '(x)>0,即f(x)在(-∞,-2)上是增函数.②当-2<x<1时,1-x>0.∵(1-x)f '(x)<0,∴f '(x)<0,即f(x)在(-2,1)上是减函数.③当1<x<2时,1-x<0. ∵(1-x)f '(x)>0,∴f '(x)<0,即f(x)在(1,2)上是减函数.④当x>2时,1-x<0. ∵(1-x)f '(x)<0,∴f '(x)>0,即f(x)在(2,+∞)上是增函数.综上:f(-2)为极大值, f(2)为极小值.4. (2013山东青岛高三三月质量检测，11,5分) 已知函数对定义域内的任意都有=，且当时其导函数满足若则()A．B．C．D．4.C4.由=可知关于直线对称，由可知，即当时，，函数是增函数；当时，，函数是减函数，由，可知，，故可知.5. (2014山西忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校高三第三次联考，15) 已知, 有且仅有一个零点时，则的取值范围是.5. 或5. 令，因为是定义域的减函数，而是定义域的增函数，所以当时为减函数，其值域为；，欲使函数只有一个零点，只需使函数的图像与函数的图像有一个交点即可，因此可得或.6.（2014江西红色六校高三第二次联考理数试题，21）已知实数，函数.（1）当时，求的最小值;（2）当时, 判断的单调性, 并说明理由；（3）求实数的范围，使得对于区间上的任意三个实数，都存在以为边长的三角形.6.查看解析6.易知的定义域为，且为偶函数.（1）时,时最小值为2. ----------------------------------3分（2）时,时， 递增； 时，递减； --------------------5分为偶函数. 所以只对时，说明递增.设，所以，得所以时，递增；------------8分（3），，从而原问题等价于求实数的范围，使得在区间上，恒有---10分①当时，在上单调递增，由得，从而；②当时，在上单调递减，在上单调递增，，由得，从而；③当时，在上单调递减，在上单调递增，，由得，从而；④当时，在上单调递减，由得，从而；综上，. ---------------------------------------14分7. (2014湖南株洲高三教学质量检测（一），19) 设某企业在两个相互独立的市场上出售同一种商品，两个市场的需求函数分别是, , 其中和分别表示该产品在两个市场上的价格（单位：万元/吨），和分别表示该产品在两个市场上的销售量（即需求量，单位：吨），并且该企业生产这种产品的总成本函数是，其中表示该产品在两个市场的销售总量，即（Ⅰ）试用和表示总利润，确定两个市场上该产品的销售量和价格，使该企业获得最大利润；(Ⅱ) 在两地价格差别满足的条件下，推算该企业可能获得的最大利润（取一位小数）7.查看解析7.（Ⅰ）设总利润为，那么利润函数将利润函数变形为，当，时，即（万元），（万元）企业获得最大利润52万元. （6分）(Ⅱ) 由得，令，，得，由实际意义知、、、都为正数得，又得即，化简得：，（8分）圆的圆心到的距离，所以，即，实际上取一位小数49.9(万元). （13分）(利用直线与椭圆相切同样可得分)8.(2014成都高中毕业班第一次诊断性检测，18) 某种特色水果每年的上式时间从4月1号开始仅能持续5个月的时间. 上式初期价格呈现上涨态势，中期价格开始下跌，后期价格在原价格基础上继续下跌. 现有三种价格变化的模拟函数可选择：①；②；③，其中均为常数且（注：表示上式时间，表示价格，记表示4月1号，表示5月1号，，依次类推，）.（Ⅰ）在上述三种价格模拟函数中，哪个更能体现该种水果的价格变动态势，请你选择，并简要说明理由；（Ⅱ）对（Ⅰ）所选的函数，若，，记，经过多年的统计发现，当函数取得最大值时，拓展外销市场的效果最为明显，请预测明年拓展外销市场的时间是几月1号？8.查看解析8. 解析（Ⅰ）根据题意，该种水果的价格变化趋势是先单调递增后一直单调递减，基本符合开口向下的二次函数的变化趋势，故应选择②，（4分）（Ⅱ）由，，代入得，解得，即，，（8分)，当且仅当即时取等号.故明年拓展外销的事件应为6月1号.(12分）9.(2012陕西,21,14分)设函数f n(x)=x n+bx+c(n∈N+,b,c∈R).(1)设n≥2,b=1,c=-1,证明:f n(x)在区间内存在唯一零点;(2)设n=2,若对任意x1,x2∈,有|f2(x1)-f2(x2)|≤4,求b的取值范围;(3)在(1)的条件下,设x n是f n(x)在内的零点,判断数列x2,x3,…,x n,…的增减性.9.(1)证明:b=1,c=-1,n≥2时,f n(x)=x n+x-1.∵f n·f n(1)=×1<0,∴f n(x)在内存在零点.又当x∈时,f n'(x)=nx n-1+1>0,∴f n(x)在上是单调递增的,∴f n(x)在内存在唯一零点.(2)当n=2时, f2(x)=x2+bx+c.对任意x1,x2∈都有|f2(x1)-f2(x2)|≤4等价于f2(x)在上的最大值与最小值之差M≤4. 据此分类讨论如下:(i)当>1,即|b|>2时,M=|f2(1)-f2(-1)|=2|b|>4,与题设矛盾.(ii)当-1≤-<0,即0<b≤2时,M=f2(1)-f2=≤4恒成立.(iii)当0≤-≤1,即-2≤b≤0时,M=f2(-1)-f2=≤4恒成立.综上可知,-2≤b≤2.注:(ii),(iii)也可合并证明如下:用max{a,b}表示a,b中的较大者.当-1≤-≤1,即-2≤b≤2时,M=max{f2(1), f2(-1)}-f2=+-f2=1+c+|b|-=≤4恒成立.(3)数列x2,x3,…,x n,…是增函数.理由如下:证法一:设x n是f n(x)在内的唯一零点(n≥2), f n (x n)=+x n-1=0, f n+1(x n+1)=+x n+1-1=0,x n+1∈.于是有f n(x n)=0=f n+1(x n+1)=+x n+1-1<+x n+1-1=f n(x n+1),又由(1)知f n(x)在上是递增的,故x n<x n+1(n≥2),所以,数列x2,x3,…,x n,…是增函数.证法二:设x n是f n(x)在内的唯一零点,f n+1(x n)f n+1(1)=(+x n-1)(1n+1+1-1)=+x n-1<+x n-1=0,则f n+1(x)的零点x n+1在(x n,1)内,故x n<x n+1(n≥2),所以,数列x2,x3,…,x n,…是增函数.9.10.(2012江苏,17,14分)如图,建立平面直角坐标系xOy,x轴在地平面上,y轴垂直于地平面,单位长度为1千米. 某炮位于坐标原点. 已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx-(1+k2)x2(k>0)表示的曲线上,其中k与发射方向有关. 炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.(1)求炮的最大射程;(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为3. 2千米,试问它的横坐标a不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由.10.(1)令y=0,得kx-(1+k2)x2=0,由实际意义和题设条件知x>0,k>0,故x==≤=10,当且仅当k=1时取等号.所以炮的最大射程为10千米.(2)因为a>0,所以炮弹可击中目标⇔存在k>0,使3. 2=ka-(1+k2)a2成立⇔关于k的方程a2k2-20ak+a2+64=0有正根⇔判别式Δ=(-20a)2-4a2(a2+64)≥0⇔a≤6.所以当a不超过6(千米)时,可击中目标.10.11.(2012上海,21,14分)海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点,以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度),则救援船恰好在失事船正南方向12海里A处,如图. 现假设:①失事船的移动路径可视为抛物线y=x2;②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援;③救援船出发t小时后,失事船所在位置的横坐标为7t.(1)当t=0. 5时,写出失事船所在位置P的纵坐标. 若此时两船恰好会合,求救援船速度的大小和方向;(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?11.(1)t=0. 5时,P的横坐标x P=7t=,代入抛物线方程y=x2,得P的纵坐标y P=3. (2分)由|AP|=,得救援船速度的大小为海里/时. (4分)由tan∠OAP=,得∠OAP=arctan,故救援船速度的方向为北偏东arctan弧度. (6分)(2)设救援船的时速为v海里,经过t小时追上失事船,此时位置为(7t,12t2).由vt=,整理得v2=144+337. (10分)因为t2+≥2,当且仅当t=1时等号成立,所以v2≥144×2+337=252,即v≥25.因此,救援船的时速至少是25海里才能追上失事船. (14分)11.12.(2012河南鹤壁二模,17,12分)某食品公司为了解某种新品种食品的市场需求,进行了20天的测试,人为地调控每天产品的单价P(元/件):前10天每天单价呈直线下降趋势(第10天免费赠送品尝),后10天呈直线上升,其中4天的单价记录如下表:而这20天相应的销售量Q(百件/天)与时间x对应的点(x,Q)在如图所示的半圆上.(1)写出每天销售收入y(元)与时间x(天)的函数;(2)在这20天中哪一天销售收入最高?此时单价P定为多少元为好?(结果精确到1元)12.(1)P=(x∈N*),Q=,x∈,x∈N*,∴y=100QP=100,x∈,x∈N*.(2)∵(x-10)2≤=2 500,∴当且仅当(x-10)2=100-(x-10)2,即x=10±5时,y有最大值.∵x∈N*,∴当x=3或17时,y max=700≈4 999(元),此时,P=7(元).答:第3天或第17天销售收入最高,此时应将单价P定为7元为好.12.13.(2012北京,18,13分)已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx.(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求a,b的值;(2)当a2=4b时,求函数f(x)+g(x)的单调区间,并求其在区间(-∞,-1]上的最大值.13.(1)f '(x)=2ax,g'(x)=3x2+b.因为曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,所以f(1)=g(1),且f '(1)=g'(1).即a+1=1+b,且2a=3+b.解得a=3,b=3.(2)记h(x)=f(x)+g(x). 当b=a2时,h(x)=x3+ax2+a2x+1,h'(x)=3x2+2ax+a2.令h'(x)=0,得x1=-,x2=-.a>0时,h(x)与h'(x)的情况如下:-∞,--,--,--+∞+ -所以函数h(x)的单调递增区间为和;单调递减区间为.当-≥-1,即0<a≤2时,函数h(x)在区间(-∞,-1]上单调递增,h(x)在区间(-∞,-1]上的最大值为h(-1)=a-a2.当-<-1,且-≥-1,即2<a≤6时,函数h(x)在区间内单调递增,在区间上单调递减,h(x)在区间(-∞,-1]上的最大值为h=1.当-<-1,即a>6时,函数h(x)在区间内单调递增,在区间内单调递减,在区间上单调递增.又因h-h(-1)=1-a+a2=(a-2)2>0,所以h(x)在区间(-∞,-1]上的最大值为h=1.13.14.(2012安徽,19,13分)设函数f(x)=ae x++b(a>0).(1)求f(x)在14.(1)f '(x)=ae x-,当f '(x)>0,即x>-ln a时, f(x)在(-ln a,+∞)上递增;当f '(x)<0,即x<-ln a时, f(x)在(-∞,-ln a)上递减.(i)当0<a<1时,-ln a>0, f(x)在(0,-ln a)上递减,在(-ln a,+∞)上递增,从而f(x)在15.设温室的左侧边长为x m,则后侧边长为m.∴蔬菜种植面积y=(x-4)=808-2(4<X<400). span <>∵x+≥2=80,∴y≤808-2×80=648(m2).当且仅当x=,即x=40时,y有最大值.此时=20,y最大=648 m2.∴当矩形温室的左侧边长为40 m,后侧边长为20 m时,蔬菜的种植面积最大,为648 m2.15.16. (2012北京海淀区高三11月月考，18,13分）如图所示，已知边长为米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中米，米．为了合理利用这块钢板，将在五边形内截取一个矩形块，使点在边上．（Ⅰ）设米，米，将表示成的函数，求该函数的解析式及定义域；（Ⅱ）求矩形面积的最大值．16.（I）如图所示，作于，则.所以，………………2分在中，有，所以，………………4分整理得，定义域为. ………………6分(II) 设矩形的面积为，则有，………………9分所以当，函数是增函数，………………11分所以当米时，矩形面积取得最大值平方米. ………………13分16.17.（2013福建厦门高三一月质量检查,20,14分）某新兴城市拟建设污水处理厂，现有两个方案：方案一：建设两个日处理污水量分别为x l和x2（单位：万m3/d）的污水厂，且3≤x l≤5，3≤x2≤5．方案二：建设一个日处理污水量为x l+x2（单位：万m3/d）的污水厂．经调研知：（1）污水处理厂的建设费用P（单位：万元）与日处理污水量x（单位：万m3/d）的关系为P =40x2；（2）每处理1m3的污水所需运行费用Q（单位：元）与日处理污水量x（单位：万m3/d）的关系为：（I）如果仅考虑建设费用，哪个方案更经济？（Ⅱ）若x l +x2 =8，问：只需运行多少年，方案二的总费用就不超过方案一的总费用？注：一年以250个工作日计算；总费用=建设费用+运行费用17.（I）方案一的建设费用，方案二的建设费用，∵，∴，∴如果仅考虑建设费用，方案一更经济.………………………… 5分（Ⅱ）由题意得，运行年后，方案一的总费用为，方案二的总费用为，当方案二的总费用就不超过方案一的总费用时，,∴,整理得，又x l +x2 =8，∴，∴，，又，∴，∴当或5时，，即经过3年，方案二的总费用等于方案一的总费用，当时，，即只需经过4年，方案二的总费用就小于方案一的总费用.…………… 14分17.。

精品题库试题理数1.(2014山东,8,5分)已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx.若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是()A. B. C.(1,2) D.(2,+∞)1.B1.f(x)=如图,作出y=f(x)的图象,其中A(2,1),则k OA=.要使方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则函数f(x)与g(x)的图象有两个不同的交点,由图可知,<k<1.2.(2014课表全国Ⅰ，11，5分)已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,则a的取值范围是()A.(2,+∞)B.(1,+∞)C.(-∞,-2)D.(-∞,-1)2.C2.(1)当a=0时,显然f(x)有两个零点,不符合题意.(2)当a≠0时, f '(x)=3ax2-6x,令f '(x)=0,解得x1=0,x2=.当a>0时,>0,所以函数f(x)=ax3-3x2+1在(-∞,0)与上为增函数,在上为减函数,因为f(x)存在唯一零点x0,且x0>0,则f(0)<0,即1<0,不成立.当a<0时,<0,所以函数f(x)=ax3-3x2+1在和(0,+∞)上为减函数,在上为增函数,因为f(x)存在唯一零点x0,且x0>0,则f>0,即a·-3·+1>0,解得a>2或a<-2,又因为a<0,故a的取值范围为(-∞,-2).选C.3.（2014重庆一中高三下学期第一次月考，7）已知函数的图像与轴恰好有三个不同的公共点，则实数的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）3. C3. , 当或时, 可得; 当时,, 所以函数的极小值为, 极大值为, 由题意可得, 解得.4. (2014山西太原高三模拟考试（一），12) 已知方程在（0，+∞）上有两个不同的解，（＜），则下面结论正确的是( )4. C4. 由题意可得上有两个不同的解，（＜），结合数形结合可得直线与曲线相切于点，且，则根据导数的几何意义可得切线的斜率为，根据两点间的斜率公式可得，由此可得，即，两边同除可得2故选C.5. (2014福州高中毕业班质量检测, 9) 若定义在上的函数满足,, 且当时, 其图象是四分之一圆(如图所示), 则函数在区间上的零点个数为( )A. 5B. 4C. 3D. 25. B5. 因为定义在上的函数满足, ,所以函数是偶函数，且关于对称，又因为函数的定义域是, 所以，令得，由表中数据可知的单调减区间为，单调增区间为，当时，函数的极小值为，所以在时取得极大值，且函数在上是增函数，所以当时由3个交点；时只有一个交点，故函数在区间上的零点个数为4.6. (2014河北石家庄高中毕业班复习教学质量检测（二），11) 已知函数其中为自然对数的底数，若关于的方程有且只有一个实数解，则实数的取值范围为( )A. B. C. D.6. B6. 先令，则，所以，从而方程只有一个解，即的图像与的图像只有一个交点. 由数形结合可知：当时，应满足；当时交点有且只有一个；综上所述，实数的取值范围为.选B.7. (2014贵州贵阳高三适应性监测考试, 8) 下列命题中假命题的是（）A. ∃，，使B. ，函数都不是偶函数C. ∃，使D. ∃＞0, 函数有零点7.B7.当时，为偶函数，所以是假命题. , , 显然为真.8. (2014山东实验中学高三第一次模拟考试，8) 已知函数的零点分别为的大小关系是（）A. B. C. D.8.A8. 由已知分别是，，的根, 作出，，，的图像，如图所示，由图像可得.9. (2014广东广州高三调研测试，8) 对于实数和，定义运算“*” ：*设*，且关于的方程为恰有三个互不相等的实数根，，，则的取值范围是（）A.B.C.D.9.A9. 由已知可得，作出的图像，不妨设，由图像可得，且，由重要不等式。

精品题库试题理数1. (2014大纲全国,12,5分)函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象关于直线x+y=0对称,则y=f(x)的反函数是()A.y=g(x)B.y=g(-x)C.y=-g(x)D.y=-g(-x)1.D1.∵y=g(x)关于x+y=0对称的函数为-x=g(-y),即y=-g-1(-x),∴y=f(x)=-g-1(-x),对换x,y位置关系得:x=-y-1(-y),反解该函数得y=-g(-x),所以y=f(x)的反函数为y=-g(-x).2. (2014四川,9,5分)已知f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),x∈(-1,1).现有下列命题:①f(-x)=-f(x);②f=2f(x);③|f(x)|≥2|x|.其中的所有正确命题的序号是()A.①②③B.②③C.①③D.①②2.A2.f (-x)=ln(1-x)-ln(1+x)=-=-f(x),①正确.f=ln-ln=ln-ln,∵x∈(-1,1),∴f=2ln(1+x)-2ln(1-x)=2=2f(x),②正确.当x∈ 3.D3.作出f(x)的图象如图所示,可排除A,B,C,故D正确.4.(2014山东,3,5分)函数f(x)=的定义域为()A. B.(2,+∞) C.∪(2,+∞) D.∪4.C4.要使函数f(x)有意义,需使(log2x)2-1>0,即(log2x)2>1,∴log2x>1或log2x<-1.解之得x>2或0<x<.故f(x)的定义域为∪(2,+∞).5. (2014山西太原高三模拟考试（一），1) 已知U={y|}, P={y|}, 则C U P=( )5. A5. U={y|}=, P={y|}=, 所以6.(2014安徽合肥高三第二次质量检测，5) 为了得到函数的图像，可将函数的图像（）A. 向左平移B. 向右平移C. 向左平移D. 向右平移6. C6.因为，把其图象平移个单位长得函数图象，所以，解得，故可将函数的图像向左平移得函数的图像.7. (2014河北石家庄高中毕业班复习教学质量检测（二），11) 已知函数其中为自然对数的底数，若关于的方程有且只有一个实数解，则实数的取值范围为( )A. B. C. D.7. B7. 先令，则，所以，从而方程只有一个解，即的图像与的图像只有一个交点. 由数形结合可知：当时，应满足；当时交点有且只有一个；综上所述，实数的取值范围为.选B.8. (2014广东广州高三调研测试，8) 对于实数和，定义运算“*” ：*设*，且关于的方程为恰有三个互不相等的实数根，，，则的取值范围是（）A.B.C.D.8.A8. 由已知可得，作出的图像，不妨设，由图像可得，且，由重要不等式。

【高考解码】（新课标）2015届高考数学二轮复习 函数与导数综合题1函数是中学最重要的内容，贯穿高中数学的始终．函数的思想和方法是解决许多数学问题的根本指导思想，加上导数知识后，函数在处理问题上的灵活性进一步得到提高．导数是研究函数性质的强有力工具，利用导数解决函数问题不但避开了初等函数变形技巧性强的难点，而且使解法程序化，变“技巧”为“通法”．因此在求与函数有关的问题(比如函数图象的切线、函数的极值、函数的最值、函数的单调性等)及与不等式有关的问题时，要充分发挥导数的工具性作用，优化解题策略，简化运算过程．函数与导数问题能够考查学生的运算能力、分析能力、化归能力、逻辑思维能力等多种综合能力，是培养学生数学素养的最重要的内容．《考试大纲》对此的要求就不再重述了，下面简述一下此处命制解答题的必然性，首先，函数、导数、不等式是“天生”的密友，它们长期“合作”产生过很多非常优秀的试题，给很多参加过高考的人都留下了深刻的印象；其次，函数的抽象性、不等式的灵活性，也是产生难题的“乐土”；最后，从三者占教材内容的比例上也可以看出在此处命制一道解答题是必然的．例2 (2014·某某某某模拟)(13分)设函数f (x )＝ax ＋2，g (x )＝a 2x 2－ln x ＋2，其中a∈R ，x >0.(1)若a ＝2，求曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程；(2)是否存在负数a ，使f (x )≤g (x )对一切正数x 都成立？若存在，求出a 的取值X 围；若不存在，请说明理由．[解题流程][规X 解答](1)由题意可知当a ＝2时，g (x )＝4x 2－ln x ＋2，则g ′(x )＝8x －1x，(2分) 曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线斜率k ＝g ′(1)＝7，又g (1)＝6，∴曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线的方程为y －6＝7(x －1)，即y ＝7x －1.(5分)(2)设函数h (x )＝f (x )－g (x )＝ax ＋ln x －a 2x 2(x >0)．假设存在负数a ，使得f (x )≤g (x )对一切正数x 都成立，即当x >0时，h (x )的最大值小于等于零．h ′(x )＝a ＋1x －2a 2x ＝－2a 2x 2＋ax ＋1x(x >0)． 令h ′(x )＝0，可得x 1＝－12a ，x 2＝1a(舍)．(8分) 当0<x <－12a 时，h ′(x )>0，h (x )单调递增；当x >－12a时，h ′(x )<0，h (x )单调递减． ∴h (x )在x ＝－12a处有极大值，也是最大值．(10分)∴h (x )max ＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ≤0，解得a ≤－12e －34， ∴负数a 存在，它的取值X 围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12e －34.(13分) [解题模板]第1步：将问题转化为形如不等式f (x )≥a (或f (x )≤a )恒成立的问题；第2步：求函数f (x )的最大值f (x )max (或f (x )的最小值f (x )min )；第3步：解不等式f (x )max ≤a (或f (x )min ≥a )；第4步：明确规X 地表述结论．[反思领悟]1．查看关键点、易错点及解题规X ，如本题重点反思每一步转化的目标及合理性，最大值或最小值是否正确．2．学会“跳步解答”解题过程中卡在某一过渡环节上是常见的，这时，我们可以先承认中间结论，往后推，看能否得到结论．若题目有两问，第(1)问想不出来，可把第(1)问当作“已知”，先做第(2)问，跳一步解答．3．学会“逆向解答”对一个问题正面思考发生思维受阻时，用逆向思维的方法去探求新的解题途径，往往能得到突破性的进展．顺向推有困难就逆推，直接证有困难就反证．解答本题第(2)问利用了逆向解答，把不等式f (x )≤g (x )巧妙地转化为h (x )＝f (x )－g (x )＝ax ＋ln x －a 2x 2，从而只需说明h (x )max ≤0时就可求a 的取值X 围．[变题]2．(文)(2014·全国新课标Ⅱ高考)已知函数f (x )＝x 3－3x 2＋ax ＋2，曲线y ＝f (x )在点(0,2)处的切线与x 轴交点的横坐标为－2.(1)求a ；(2)证明：当k ＜1时，曲线y ＝f (x )与直线y ＝kx －2只有一个交点．【解】 (1)f ′(x )＝3x 2－6x ＋a ，f ′(0)＝a .曲线y ＝f (x )在点(0,2)处的切线方程为y ＝ax ＋2.由题设得－2a＝－2，所以a ＝1. (2)证明 由(1)知，f (x )＝x 3－3x 2＋x ＋2.设g (x )＝f (x )－kx ＋2＝x 3－3x 2＋(1－k )x ＋4.由题设知1－k ＞0.当x ≤0时，g ′(x )＝3x 2－6x ＋1－k ＞0，g (x )单调递增，g (－1)＝k －1＜0，g (0)＝4，所以g (x )＝0在(－∞，0]有唯一实根．当x ＞0时，令h (x )＝x 3－3x 2＋4，则g (x )＝h (x )＋(1－k )x ＞h (x )．h ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，h (x )在(0,2)单调递减，在(2，＋∞)单调递增，所以g (x )＞h (x )≥h (2)＝0.所以g (x )＝0在(0，＋∞)没有实根．综上，g (x )＝0在R 有唯一实根，即曲线y ＝f (x )与直线y ＝kx －2只有一个交点． (理)(2014·全国大纲高考)函数f (x )＝ln (x ＋1)－ax x ＋a(a >1)． (Ⅰ)讨论f (x )的单调性；(Ⅱ)设a 1＝1，a n ＋1＝ln (a n ＋1)，证明：2n ＋2<a n ≤3n ＋2. (Ⅰ)【解】 f (x )的定义域为(－1，＋∞)，f ′(x )＝x [x －a 2－2a ]x ＋1x ＋a 2. (ⅰ)当1<a <2时，若x ∈(－1，a 2－2a )，则f ′(x )>0，f (x )在(－1，a 2－2a )是增函数；若x ∈(a 2－2a,0)，则f ′(x )<0，f (x )在(a 2－2a,0)是减函数；若x ∈(0，＋∞)，则f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)是增函数．(ⅱ)当a ＝2时，f ′(x )≥0，f ′(x )＝0成立当且仅当x ＝0，f (x )在(－1，＋∞)是增函数．(ⅲ)当a >2时，若x ∈(－1,0)，则f ′(x )>0，f (x )在(－1，0)是增函数；若x ∈(0，a 2－2a )，则f ′(x )<0，f (x )在(0，a 2－2a )是减函数；若x ∈(a 2－2a ，＋∞)，则f ′(x )>0，f (x )在(a 2－2a ，＋∞)是增函数．(Ⅱ)证明 由(Ⅰ)知，当a ＝2时，f (x )在(－1，＋∞)是增函数．当x ∈(0，＋∞)时，f (x )>f (0)＝0，即ln (x ＋1)>2x x ＋2(x >0)． 又由(Ⅰ)知，当a ＝3时，f (x )在[0,3)是减函数．当x ∈(0,3)时，f (x )<f (0)＝0，即ln (x ＋1)<3x x ＋3(0<x <3)． 下面用数学归纳法证明2n ＋2<a n ≤3n ＋2. (ⅰ)当n ＝1时，由已知23<a 1＝1，故结论成立； (ⅱ)设当n ＝k 时结论成立，即2k ＋2<a k ≤3k ＋2. 当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝ln (a k ＋1)>ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋2＋1>2×2k ＋22k ＋2＋2＝2k ＋3， a k ＋1＝ln (a k ＋1)≤ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k ＋2＋1<3×3k ＋23k ＋2＋3＝3k ＋3， 即当n ＝k ＋1时有2k ＋3<a k ＋1≤3k ＋3，结论成立． 根据(ⅰ)、(ⅱ)知对任何n ∈N *结论都成立．。

第3讲导数的概念及其简单应用导数的几何意义及导数的运算1.(2015洛阳统考)已知直线m:x+2y-3=0,函数y=3x+cos x的图象与直线l相切于Ρ点,若l ⊥m,则Ρ点的坐标可能是( B )(A)（-错误!未找到引用源。

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） (B)（错误!未找到引用源。

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）(C)（错误!未找到引用源。

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）(D)（-错误!未找到引用源。

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）解析:由l⊥m可得直线l的斜率为2,函数y=3x+cos x的图象与直线l相切于Ρ点,也就是函数在P点的导数值为2,而y ′=3-sin x=2,解得sin x=1,只有B,D符合要求,而D中的点不在函数图象上,因此选B.2.(2014广东卷)曲线y=e-5x+2在点(0,3)处的切线方程为.解析:由题意知点(0,3)是切点.y′=-5e-5x,令x=0,得所求切线斜率为-5.从而所求方程为5x+y-3=0.答案:5x+y-3=0利用导数研究函数的单调性3.(2015辽宁沈阳市质检)若定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f′(x)>1,f(0)=4,则不等式f(x)>错误!未找到引用源。

+1(e为自然对数的底数)的解集为( A )(A)(0,+∞) (B)(-∞,0)∪(3,+∞)(C)(-∞,0)∪(0,+∞) (D)(3,+∞)解析:不等式f(x)>错误!未找到引用源。

+1可以转化为e x f(x)-e x-3>0令g(x)=e x f(x)-e x-3,所以g′(x)=e x(f(x)+f′(x))-e x=e x(f(x)+f′(x)-1)>0,所以g(x)在R上单调递增,又因为g(0)=f(0)-4=0,所以g(x)>0⇒x>0,即不等式的解集是(0,+∞).故选A.4.(2014辽宁卷)当x∈[-2,1]时,不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立,则实数a的取值范围是( C )(A)[-5,-3] (B)[-6,-错误!未找到引用源。