西安昆仑中学高三数学(理)一轮讲义—第28课时 两角和与差的三角函数

课题：两角和与差的三角函数
教学目标：掌握两角和与差的三角函数公式，掌握二倍角公式；能运用这些公式进行三角化简，求值等有关运算问题．
教学重点：公式的灵活运用．
（一）主要知识：
两角和与差的三角函数公式；二倍角公式；
降次公式：，．
（二）主要方法：
寻求所求结论中的角与已知条件中的角的关系，把握式子的变形方向，准确运用公式；
三角变换主要体现在：函数名称的变换、角的变换、的变换、和积的变换、幂的变换等方面；
掌握基本技巧：切割化弦，异名化同名，异角化同角等；
应注意的几点:
熟悉公式的正用、逆用，还要熟练掌握公式的变形应用.
注意拆角、凑角技巧，如，等.
注意倍角的相对性，如是的倍角.
要时时注意角的范围的讨论.
（三）典例分析：
问题1．（江西文）若，，则等于
(重庆),,,则
问题2．（四川）已知，，，
(Ⅰ)求的值.（Ⅱ）求.
问题3．求值：；
（江苏）
问题4．已知为三角形的内角，求的取值范围．
问题5．已知，，求值：
；
（四）巩固练习：
（重庆文）
（江西文）已知，则
已知，，则
若为锐角，且,则
（江苏），则
（南通九校联考）已知，，且为锐角，则的值是
计算：
（五）课后作业：
（届西安地区高三八校联考）设，，
则下列各式正确的是
计算：
（六）走向高考：
（陕西）已知，则的值为
（江苏）若，，则
（浙江）已知，且，则的值是（福建）已知则
(湖北)已知，，则
（重庆文）若，,，则
（陕西）
在中，，则
已知，则
（安徽文）已知求值：；（天津文）已知求和的值。

1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β (C (α－β)) cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β (C (α＋β)) sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β (S (α－β)) sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β (S (α＋β)) tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β(T (α－β))tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β(T (α＋β))2．二倍角公式 sin 2α＝2sin αcos α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3．公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)； (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2；(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin ⎪⎭⎫⎝⎛±4πα. 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( ) (2)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小不确定．( )(3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( )(4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( )(5)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．( )1．化简cos 40°cos 25°1－sin 40°＝ .2．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α＝ .3．(2015·重庆改编)若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β＝ .4．(教材改编)sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝ .5．设α为锐角，若cos(α＋π6)＝45，则sin(2α＋π12)的值为 ．题型一 三角函数公式的基本应用例1 (1)已知sin α＝35，α∈(π2，π)，则cos 2α2sin (α＋π4)＝ .(2)设sin 2α＝－sin α，α∈⎪⎭⎫⎝⎛ππ,2，则tan 2α的值是 ．思维升华 (1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．(1)若α∈(π2，π)，tan(α＋π4)＝17，则sin α＝ .(2)已知cos(x －π6)＝－33，则cos x ＋cos(x －π3)的值是 ．题型二 三角函数公式的灵活应用例2 (1)sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )·cos(110°－x )的值为 ． (2)求值：cos 15°＋sin 15°cos 15°－sin 15°＝ .思维升华 运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力．(1)在斜三角形ABC 中，sin A ＝－2cos B ·cos C ，且tan B ·tan C ＝1－2，则角A 的值为 ．(2)函数f (x )＝2sin 2(π4＋x )－3cos 2x 的最大值为 ．题型三 角的变换问题例3 (1)设α、β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β＝ .(2)已知cos(α－π6)＋sin α＝453，则sin(α＋7π6)的值是 ．思维升华 (1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．(2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝(α＋β2)－(α2＋β)等．若0＜α＜π2，－π2＜β＜0，cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ4＝13，cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-24βπ＝33，则cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2βα＝ .5．三角函数求值忽视角的范围致误典例 (1)已知0＜β＜π2＜α＜π，且cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2βα＝－19，sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-βα2＝23，则cos(α＋β)的值为 ．(2)已知在△ABC 中，sin(A ＋B )＝23，cos B ＝－34，则cos A ＝ .易错分析 (1)角α2－β，α－β2的范围没有确定准确，导致开方时符号错误．(2)对三角形中角的范围挖掘不够，忽视隐含条件，B 为钝角．温馨提醒 在解决三角函数式的求值问题时，要注意题目中角的范围的限制，特别是进行开方运算时一定要注意所求三角函数值的符号．另外，对题目隐含条件的挖掘也是容易忽视的问题，解题时要加强对审题深度的要求与训练，以防出错．[方法与技巧] 1．巧用公式变形：和差角公式变形：tan x ±tan y ＝tan(x ±y )·(1∓tan x ·tan y )； 倍角公式变形：降幂公式cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2，配方变形：1±sin α＝22cos 2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛±αα，1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin 2α2.2．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形． [失误与防范]1．运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通．2．在三角函数求值时，一定不要忽视题中给出的或隐含的角的范围．A 组 专项基础训练(时间：40分钟)1．cos 85°＋sin 25°cos 30°cos 25°＝ .2．若θ∈[π4，π2]，sin 2θ＝378，则sin θ＝ .3．若tan θ＝3，则sin 2θ1＋cos 2θ＝ .4．已知cos α＝－55，tan β＝13，π<α<32π，0<β<π2，则α－β的值为 ．5．已知tan(α＋β)＝25，tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛-4πβ＝14，那么tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πα＝ .6.sin 250°1＋sin 10°＝ .7．已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝ .8．若tan θ＝12，θ∈(0，π4)，则sin(2θ＋π4)＝ .9．已知cos ⎪⎭⎫⎝⎛+απ6·cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ3＝－14，α∈⎪⎭⎫⎝⎛2,3ππ. (1)求sin 2α的值；(2)求tan α－1tan α的值．10．已知α∈⎪⎭⎫⎝⎛ππ,2，且sin α2＋cos α2＝62. (1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎪⎭⎫⎝⎛ππ,2，求cos β的值．B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)11．已知tan(α＋π4)＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin 2αcos (α－π4)＝ .12．已知α∈⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π，且sin 2α－sin αcos α－2cos 2α＝0，则tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ3＝ .13．已知cos 4α－sin 4α＝23，且α∈⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π，则cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πα＝ .14．设f (x )＝⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x 2sin 22cos 1π＋sin x ＋a 2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πx 的最大值为2＋3，则常数a ＝ .15．已知函数f (x )＝1－2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+8πx ·⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+8cos 8sin ππx x . (1)求函数f (x )的最小正周期； (2)当x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-122ππ，，求函数f ⎪⎭⎫ ⎝⎛+8πx 的值域．。

2025北师大版高中数学一轮复习课件（新高考新教材）
课时规范练29　两角和与差的三角函数、二倍角公式
基础　巩固练
B
D
D
AC　
B
6.(2024·广东茂名模拟)下列四个函数中,最小正周期T 与其余三个函数不同的是( )
A.f (x )=cos 2x+sin x cos
x
C
7.(2024·广东梅州模拟)在平面直角坐标系中,点A(2,1)绕着原点O顺时针旋转60°得到点B,点B的横坐标为 .
综合　提升练
A
11.(2024·山东泰安高三期末)已知函数f(x)=2sin x+4cos x在x=φ处取得最大值,则cos φ=( )
A
C
1
创新　应用练
14.(2024·浙江镇海中学模拟)赵爽弦图是中国古代数学的重要发现,它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图).已知小正方形的面积为1,直角三角形中较小的锐角为θ,且tan ,则大正方形
的面积为( )
A.4
B.5
C.16
D.25
D
B
解析因为α,β∈(0,π2),sin(2α+β)=2sin β,所以sin[(α+β)+α]=2sin[(α+β)-α], sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α=2[sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α],即
0,tan β>0,
3cos(α+β)sin α=sin(α+β)cos α,所以tan(α+β)=3tan α,因为tan α>
本 课 结 束。

课题：数学归纳法考纲要求：1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.教材复习1.数学归纳法是证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行：()1（归纳奠基）证明当n 取时命题成立；()2(归纳递推)假设当n k =(*k N ∈，k ≥0n )时命题成立，证明当时命题也正确. 2.应用数学归纳法时要特别注意：()1数学归纳法证明的对象是与有关的命题；()2用数学归纳法证题时，两个基本步骤缺一不可递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉.3.证题时要注意两凑：一凑归纳假设，二凑目标.典例分析：考点一 用数学归纳法证明数学命题时原理及两个步骤的考查问题1．()1用数学归纳法证明3n ≥3(,n n N n ∈≥3）时，第一步应验证 .A 1n =.B 2n =.C 3n =.D 4n =()2用数学归纳法证明2122+++…12221n n +++=-()n N +∈的过程中，在验证1n =时，左端计算所得的项为 .A 1.B 12+.C 2122++.D 231222+++()3（2012某某中学月考）用数学归纳法证明不等式11124+++ (11127264)n -+>成立， 起始值至少应取为 .A 7.B 8.C 9.D 10()4用数学归纳法证明“11123+++ (121)n n +<-（1n >）”，由()1n k k =>不等式成立，推证1n k =+时，左边应增加的项的项数是考点二 用数学归纳法证明整除性问题问题2．求证：49161n n +-能被64整除（*n N ∈）.考点三 用数学归纳法证明恒等式问题3．n N +∈，求证：1111234-+-+…111121212n n n n +-=++-++…12n +.考点四 用数学归纳法证明不等式问题4．求证：11111223422n n --+++⋅⋅⋅+>（n ≥2，n N ∈）考点五 用数学归纳法证明几何问题问题5．求证：凸n 边形的对角线条数为()1()32f n n n =-（n N ∈，n ≥3).考点六 归纳—猜想—证明模式的考查问题6．在各项为正的数列{}n a 中，数列的前n 项和112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. ()1求1a ，2a ，3a ；()2由()1猜想数列{}n a 的通项公式，并且用数学归纳法证明你的猜想.课后作业：1.观察下列式子： ,474131211,3531211,23211222222<+++<++<+，则可以猜想的结论为：2.用数学归纳法证明“()()()()1221321n n n n n n ++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅⋅⋅-”，从“k 到1k +”左端需增乘的代数式为.A 21k +.B ()221k +.C 112++k k .D 132++k k3.（07某某市重点中学二联）如图，第n 个图形是由正2n +边形“扩展”而来（1n =，2，3，…），则第2n -个图形中共有个顶点.4.凸n 边形有()f n 条对角线，则凸1n +边形有对角线条数(1)f n +为.A ()1f n n ++.B ()f n n +.C ()1f n n +-.D ()2f n n +-5.平面内有n 条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，求证：这n 条直线把平面分成()21()22f n n n =++个区域.6.用数学归纳法证明：222111123n++⋅⋅⋅+<（其中n ≥2，且*n N ∈）.7.(2013海淀模拟)数列{}n a 满足2n n S n a =-()n N +∈. ()1计算1234,,,a a a a ，并由此猜想通项公式n a ； ()2用数学归纳法证明()1中的猜想.走向高考： 8.（07某某）设)(x f 是定义在正整数集上的函数，且)(x f 满足：“当2()f k k ≥成立时，总可推出(1)f k +≥2)1(+k 成立”．那么，下列命题总成立的是.A 若(3)9f ≥成立，则当1k ≥时，均有2()f k k ≥成立.B 若(5)25f ≥成立，则当5k ≤时，均有2()f k k ≥成立.C 若49)7(<f 成立，则当8k ≥时，均有2)(k k f <成立.D 若25)4(=f 成立，则当4k ≥时，均有2()f k k ≥成立9. (06某某）已知函数()sin f x x x =-,数列{n a }满足: 101a <<，1()n n a f a +=，1,2,3,n =求证:()1101n n a a +<<<;()23116n n a a +<.10.(2009某某) 已知数列{}n x 满足， *1111,21n n x x n N x ∈+＋’＝＝. ()I 猜想数列{}n x 的单调性，并证明你的结论；(Ⅱ)证明：1112|()65n n n x x -+-|≤.。

高三数学-高考复习讲义-两角和与差1．两角和与差的余弦公式()C cos cos cos sin sin αβαβαβαβ--=+∶()C cos cos cos sin sin αβαβαβαβ++=-∶推导：如图，在直角坐标系xOy 内作单位圆O ，并作出角α，β与β-，使角α的始边为Ox ，交O ⊙于点1P ，终边交O ⊙于点2P ；角β的始 边为2OP ，终边交O ⊙于点3P ，角β-的始边为1OP ，终边交O ⊙于点 4P ．则()110P ，，()2cos sin P αα，，()()()3cos sin P αβαβ++，， ()()()4cos sin P ββ--，．由1324PP P P =及两点间的距离公式，得()()22cos 1sin αβαβ+-++⎡⎤⎣⎦()()22cos cos sin sin βαβα=--+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦展开并整理，得()()22cos 22cos cos sin sin αβαβαβ-+=-- ∴()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-．于是()()()()cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ-=+-=---=+⎡⎤⎣⎦．2．两角和与差的正弦公式()S sin sin cos cos sin αβαβαβαβ--=-∶()S sin sin cos cos sin αβαβαβαβ++=+∶推导：()()ππsin cos cos 22αβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎛⎫+=-++=-+- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦ππcos cos sin sin 22αβαβ⎛⎫⎛⎫=-++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin cos cos sin αβαβ=+()()()()sin sin sin cos cos sin αβαβαβαβ-=+-=-+-⎡⎤⎣⎦sin cos cos sin αβαβ=-．3．两角和与差的正切公式()tan tan T tan 1tan tan αβαβαβαβ+++=-⋅∶． ()tan tan T tan 1tan tan αβαβαβαβ---=+⋅∶． 推导：()()()sin sin cos cos sin tan cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβ+++==+-把后面一个分式的分子、分母分别除以()cos cos cos cos 0,αβαβ≠得()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-把公式中的β换为β-，得()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+．4. 辅助角公式：() sin cos y a b αααϕ=++，其中tan baϕ=，ϕ所在的象限由a b ，的符号确定．对于求式子y αα=+的最大值，我们可以快速简便的化简成πsin 4y α⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为这是 一个特殊角．但是对于形如 sin cos y a b αα=+的式子，,a b 本身没有关系，无法直接化简．此时， 延续之前的思路，我们便构造出ϕ，逆用两角和与差的公式，把,αϕ两个角变成αϕ+一个角，就 方便处理了．具体方法是：y αα⎫=+⎪⎭，可令cos sin ϕϕ= 如右图所示，点P (),a b 满足要求，tan baϕ=，ϕ所在象限由点(),a b 决定.这是最一般的情况，但是我们使用起来并不方便，比如，如果,a b 都是负数，此时ϕ是第三象限角．而我们从三角函数诱导公式开始，就习惯于ϕ是第一象限角，所以对于辅助角公式，在运用时，我们会做小小的变形，尽量让ϕ是第一象限角． 观察以下两个例子：⑴15πsin sin πsin 233y αααα⎛⎫⎛⎫==+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；⑵1ππcos cos sin 236y αααα⎛⎫⎛⎫=+=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 由此可见，辅助角公式得到的结果并不唯一，只是我们通常选择化为自己熟悉的形式． 如果ϕ不是特殊角，如3sin 4cos y αα=+，我们也可以得利用辅助角公式得到：345sin cos 5sin()55y αααϕ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，其中344cos sin tan 553ϕϕϕ===，，．【知识梳理】1．两角和与差的三角函数βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±；βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±；tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=。

课题：数学归纳法考纲要求：1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 教材复习1.数学归纳法是证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行：()1（归纳奠基）证明当n 取 时命题成立；()2(归纳递推)假设当n k =(*k N ∈，k ≥0n )时命题成立，证明当 时命题也正确. 2.应用数学归纳法时要特别注意：()1数学归纳法证明的对象是与 有关的命题；()2用数学归纳法证题时，两个基本步骤缺一不可递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉.3.证题时要注意两凑：一凑归纳假设，二凑目标.典例分析：考点一 用数学归纳法证明数学命题时原理及两个步骤的考查问题1．()1用数学归纳法证明3n≥3(,n n N n ∈≥3）时，第一步应验证 .A 1n = .B 2n = .C 3n = .D 4n =()2用数学归纳法证明2122+++…12221n n +++=-()n N +∈的过程中，在验证1n =时，左端计算所得的项为 .A 1 .B 12+ .C 2122++ .D 231222+++()3（2012渭南中学月考）用数学归纳法证明不等式11124+++ (11127264)n -+>成立， 起始值至少应取为 .A 7 .B 8 .C 9 .D 10()4用数学归纳法证明“11123+++ (1)21n n +<-（1n >）”，由()1n k k =>不等式成立，推证1n k =+时，左边应增加的项的项数是考点二 用数学归纳法证明整除性问题问题2．求证：49161n n +-能被64整除（*n N ∈）.考点三 用数学归纳法证明恒等式问题3．n N +∈，求证：1111234-+-+…111121212n n n n +-=++-++…12n +.考点四 用数学归纳法证明不等式问题4．求证：11111223422n n --+++⋅⋅⋅+>（n ≥2，n N ∈）考点五 用数学归纳法证明几何问题问题5．求证：凸n 边形的对角线条数为()1()32f n n n =-（n N ∈，n ≥3).考点六 归纳—猜想—证明模式的考查 问题6．在各项为正的数列{}n a 中，数列的前n 项和112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. ()1求1a ，2a ，3a ；()2由()1猜想数列{}n a 的通项公式，并且用数学归纳法证明你的猜想.课后作业：1.观察下列式子： ,474131211,3531211,23211222222<+++<++<+，则可以猜想的结论为：2.用数学归纳法证明“()()()()1221321n n n n n n ++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅⋅⋅-”，从“k 到1k +”左端需增乘的代数式为.A 21k + .B ()221k + .C 112++k k .D 132++k k3.（07重庆市重点中学二联）如图，第n 个图形是由正2n +边形“扩展”而来（1n =，2，3，…），则第2n -个图形中共有 个顶点.4.凸n 边形有()f n 条对角线，则凸1n +边形有对角线条数(1)f n +为.A ()1f n n ++ .B ()f n n + .C ()1f n n +- .D ()2f n n +-5.平面内有n 条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，求证：这n 条直线把平面分成()21()22f n n n =++个区域.6.用数学归纳法证明：222111123n++⋅⋅⋅+<（其中n ≥2，且*n N ∈）.7.(2013北京海淀模拟)数列{}n a 满足2n n S n a =-()n N +∈. ()1计算1234,,,a a a a ，并由此猜想通项公式n a ；()2用数学归纳法证明()1中的猜想.走向高考： 8.（07上海）设)(x f 是定义在正整数集上的函数，且)(x f 满足：“当2()f k k ≥成立时，总可推出(1)f k +≥2)1(+k 成立”．那么，下列命题总成立的是 .A 若(3)9f ≥成立，则当1k ≥时，均有2()f k k ≥成立 .B 若(5)25f ≥成立，则当5k ≤时，均有2()f k k ≥成立 .C 若49)7(<f 成立，则当8k ≥时，均有2)(k k f <成立 .D 若25)4(=f 成立，则当4k ≥时，均有2()f k k ≥成立9. (06湖南）已知函数()sin f x x x =-,数列{n a }满足: 101a <<，1()n n a f a +=，1,2,3,n =求证:()1 101n n a a +<<<;()23116n n a a +<.10.(2009陕西) 已知数列{}n x 满足， *1111,21n nx x n N x ∈+＋’＝＝. ()I 猜想数列{}n x 的单调性，并证明你的结论；(Ⅱ)证明：1112|()65n n n x x -+-|≤.。