复数
一、复数的概念
1． 虚数单位i:
（1）它的平方等于1-，即21i =-；
（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立． （3）i 与－1的关系:
i 就是1-的一个平方根，即方程21x =-的一个根，方程21x =-的另一个根是-i ． （4）i 的周期性：
41n i i +=， 421n i +=-， 43n i i +=-， 41n i =．
2． 数系的扩充：复数(0)i i(0)
i(0)i(0)a b a b b a a b b a b a =⎧⎪
+=⎧⎨+≠⎨⎪
+≠⎩⎩
实数纯虚数虚数非纯虚数 3． 复数的定义：
形如i()a b a b +∈R ，的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示 4． 复数的代数形式:
通常用字母z 表示，即()z a bi a b R =+∈，，把复数表示成a bi +的形式，叫做复数的代数形式． 5． 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：
对于复数()a bi a b R +∈，，当且仅当0b =时，复数()a bi a b R +∈，是实数a ；当0b ≠时，复数z a bi =+叫做虚数；当0a =且0b ≠时，z bi =叫做纯虚数；当且仅当0a b ==时，z 就是实数0
6． 复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C 苘苘
7． 两个复数相等的定义：
如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．这就是说，如果a ，a b d ，，，
c ，
d ∈R ，那么i i a b c d +=+⇔a c =，b d =
二、复数的几何意义
1． 复平面、实轴、虚轴：
复数i()z a b a b =+∈R ，与有序实数对()a b ，
是一一对应关系．建立一一对应的关系．点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数i()z a b a b =+∈R ，可用点()Z a b ，表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数．
2． ．对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为()00，
，它所确定的复数是00i 0z =+=表示是实数．
除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 3．
这就是复数的一种几何意义．也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法．
三、复数的四则运算
1． 复数1z 与2z 的和的定义：
12z z +=()()i i a b c d +++=()()i a c b d +++
2． 复数1z 与2z 的差的定义：
12z z -=()()i i a b c d +-+=()()i a c b d -+-
3． 复数的加法运算满足交换律:1221z z z z +=+
4． 复数的加法运算满足结合律:123123()()z z z z z z ++=++ 5． 乘法运算规则：
设1i z a b =+，2i z c d =+(a 、b 、c 、d ∈R )是任意两个复数， 那么它们的积()()()()12i i i z z a b c d ac bd bc ad =++=-++
其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把2i 换成1-，并且把实部与虚部分别合并．两个复数的积仍然是一个复数． 6． 乘法运算律：
（1）()()123123z z z z z z = （2）123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅ （3）()1231213z z z z z z z +=+ 7． 复数除法定义：
满足()()()i i i c d x y a b ++=+的复数x yi +(x 、y ∈R )叫复数a bi +除以复数c di +的商，记为：
()()a bi c di +÷+或者
a bi
c di
++
8． 除法运算规则：
设复数i a b + (a 、b ∈R )，除以i c d + (c ，d ∈R )，其商为i x y +（x 、y ∈R )， 即()(i)i i a b c d x y +÷+=+∵()()()()x yi c di cx dy dx cy i ++=-++ ∴()()i i cx dy dx cy a b -++=+
由复数相等定义可知cx dy a dx cy b -=⎧⎨+=⎩，解这个方程组，得2222ac bd x c d bc ad y c d +⎧=⎪⎪+⎨
-⎪=⎪+⎩
， 于是有: ()(i)i a b c d +÷+2222
ac bd bc ad
i c d c d +-=
+++
②利用()()22i i c d c d c d +-=+于是将
i
i
a b c d ++的分母有理化得： 原式22i (i)(i)[i (i)]()i
i (i)(i)a b a b c d ac b d bc ad c d c d c d c d ++-+⋅-+-=
==
++-+ 222222
()()i i ac bd bc ad ac bd bc ad
c d c d c d ++-+-=
=++++．
∴(()(i)i a b c d +÷+=
2222
i ac bd bc ad
c d c d
+-+++ 点评:①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数i c d +与复数i c d -
，它们之积为1是有理数，而()()22c di c di c d +-=+是正实数．所以可以分母实数化． 把这种方法叫做分母实数化法． 9． 共轭复数：
当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．
