常微分方程与差分方程知识点

第六章 常微分方程与差分方程 一、基本盖帘 1.常微分方程含有自变量、自变量未知函数及未知函数的导数或微分的方程，称为微分方程，当未知函数是一元函数时，则称为常微分方程 2．微分方程的阶在微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶 3.微分方程的解若把某函数及其导数代入微分方程能使该方程称为恒等式，则称这个函数是该微分方程的一个解。

通常要求微分方程的解具有和该微分方程的阶数同样阶数的连续导数 4.微分方程的通解和特解含有与微分方程的阶数同样个数的独立任意常数的解，称为微分方程的通解，不含任意常数的解，称为微分方程的特解 5.微分方程的初始条件给定微分方程中未知函数及其导数在指定点的函数值的条件，称为微分方程的初始条件，初始条件的个数应与微分方程的阶数相同二、一阶微分方程一阶微分方程的基本类型是变量可分离的方程和一阶线性微分方程，而齐次微分方程可通过变量代换为变量可分离的方程 （一）变量可分离的方程 1.变量可分离方程的概念称为变量可分离的方程或dy y N x Q dx y M x P y g x f y )()()()()()('==2.变量可分离方程的特解⎰⎰⎰⎰+=+=≠≠方程的通解就是分别上述两个微分分，然后求积分，所得积端，把变量分离分别同除微分方程的两或时，用或用变量分离法：当,)()()()()()()()()(0)()(,0)(C dx x Q y P dy y M y N C dx x f y g dyy N x Q y g y N x Q y g（二）齐次微分方程1.齐次微分方程的标准形式)('xy f y =2.齐次微分方程的求解丢掉解，在求解过程中不要常数的解也是原微分方程的或注意：即可得到原方程的通解换回最后把可得通解于是有则首先作变量代换，令)()(0)(,0)(;0)(ln )()(','',u u f y M x Q y g xyu Cx C x dxu u f du u u f xu xu u y xyu -===+=+=--=+==⎰⎰(三)一阶线性微分方程1.一阶线性微分方程的标准形式性微分方程否则称为一阶非齐次线方程，称为一阶齐次线性微分即方程，当其中的自由项0)(',0)()()('=+≡=+y x p y x q x q y x p y 2.一阶线性微分方程的求解[]，即得通解公式两端积分后再同乘乘积的导数公式同乘方程的两端，根据，积分因子法，用方法：性微分方程的通解公式代入即得一阶非齐次线积分可求出满足微分方程，把它代入原来的非齐次解即设非齐次微分方程的该为函数把其中的常数的通解，性微分方程先求对应的一阶齐次线：常数变易法方法公式：公式法直接利用通解方法⎰⎰=+⎰=⎰+⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰+⎰=⎰+==⎰⎰=⎰==+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰+⎰=⎰⎰⎰-----dxx p dx x p dx x p dx x p dx x p dx x p dxx p dx x p dx x p dx x p dx x p dx x p dxx p dx x p dx x p e e x q y x p y e e x yp e y ye e e x q C e y e x q C x C x q e x C x C e x C y x C C Ce y y x p y e x q C e y )(-)()()()()()()()()()()()()()()()(')(''3)()()(),()(')()(),(0)('2)(1三、线性微分厂房解的性质与结构二阶线性方程的一般形式均为连续函数，其中)(),(),()()(')(''x f x q x p x f y x q y x p y =++ 否则称为非齐次方程称二阶线性齐次方程，当右端项0)(≡x f的特解是则的两个特解与分别是方程与，设解的性质（叠加原理）)()()(')('')()()()(')('')()(')('')()(.121212121x f x f y x q y x p y x y x y x f y x q y x p y x f y x q y x p y x y x y +=+++=++=++是非齐次方程的解则其的任意特解一阶、二阶为齐次方程的一个特解，一阶、二阶为非齐次方程若的特解一阶、二阶是对应齐次方程则其差的两个特解一阶、二阶为非齐次方程，若的解一阶、二阶仍为齐次方程则其线性组合的两个特解一阶、二阶为齐次方程，若)()()()()()()3()()(-)()()()()2()()()()()()()1(2121221121x y x y x y x y x y x y x y x y x y C x y C x y x y ++**为任意常数其中的通解为解，则二阶非齐次方程是二阶非齐次方程的特由二阶齐次方程的通解为个线性无关的特解，则为二阶非齐次方程的两，若为任意常数解，其中是一阶非齐次方程的通则个特解是一阶非齐次方程的一又的通解为特解，则一阶齐次方程是一阶齐次方程的非零设通解的结构212211*********,)()()()()()()()()2()()()(),()()1(.2C C x y x y C x y C y x y x y C x y C y x y x y C x y x Cy y x y x Cy y x y ****++=+=+==四、二阶常系数齐次线性微分方程（一）二阶常系数齐次线性微分方程的形式,0)(')(''2=++=++q p q p y x q y x p y λλ为常数，其特征方程为，其中分方程二阶常系数齐次线性微（二）二阶常系数齐次线性微分方程通解的形式 依据特征方程判别式的符号，其通解有三种形式为两个任意实数，其中，通解，特种方程有共轭复根，通解，特种方程有重根，通解，的实根，特种方程有两个相异212121*********),sin cos ()(04.3)()(04.2)(04.11121C C x C x C e x y i q p e x C C x y q p e C e C x y q p x xx x βββαλλλλλλλλ+=±-=∆+===-=∆+=-=∆五、二次常系数非齐次线性微分方程（一）二阶常系数非齐次微分方程的一般形式自由项已知函数，称为方程的的为一个不恒等于为常数，，其中微分方程二阶常系数非齐次线性0)(,)()(')(''x f q p x f y x q y x p y =++（二）二阶常系数非齐次微分方程的通解形式为待定系数次多项式，为系数待定的表中的B A n x R n ,)(六、含变限积分的方程对某些含变限积分的方程，可通过对方程求导的方法，转化为求解相应的微分方程的通解或微分方程初值问题的特解七、差分的概念及其性质 （一）差分的概念tt t t t t t t t t t t t t t t t t n t y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y t t f y +-=--=∆-∆=∆∆=∆-=∆∆-=++++++++1211212112102)(-)()(,...,,...,,,)(二阶差分分，记为的差分，也称为一阶差称为函数差个数列，则其值可以排列成一记其函数值为取所有的非负整数，并中的自变量设函数（二）差分的性质tt t t t t t t t t t t t t z y y z z y y z z y b a z b y a bz ay ∆+∆=∆+∆=⋅∆∆+∆=+∆++11)()2(,,)()1(为常数其中八、一阶常系数线性差分方程（一）一阶常系数线性差分方程的概念及一般形式0),(11=+≠=+++t t t t ay y a t f ay y 对应的齐次方程为其中常数式为线性差分方程的一般形分方程，一阶常系数及其差分方程，称为差自变量，自变量未知数同微分方程类似，含有（二）一阶常系数线性差分方程的通解与特解tt t t t t t t t t t t a C y y y t f ay y a C y C y C a C y ay y )()()(,)(010001-+==+-==-==+**++通解之和，与对应齐次方程的一个特解其通解也是非齐次方程对于非齐次方程即为满足该条件的特解则定初始条件是一个任意常数，若给，其中的通解齐次方程为下表总结了几种常见情形下非齐次方程特解所应具有的形式形式两种情况来设定特解的他们可以分别归结为前，而当，或当是两个待定系数和次多项式，是待定系数的上表特解中t m M t N t M M t N t M B A m t Q )1(sin cos ,sin cos 20)(-=+∏==+∏==ωωωωωωω九、常考题型及其解题方法与技巧题型一、变量可分离的方程与齐次微分方程的解法 题型二、一阶线性微分方程的解法题型三、有关线性微分方程解的性质及解的机构问题题型四、二阶常系数线性微分方程的解法题型五、含变限积分方程的求解题型六、由自变量与因变量增量间的关系给出的一阶方程题型七、综合题与证明题题型八、一阶常系数线性差分方程的解法题型九、微分方程的应用问题。

微分方程差分方程摘要：一、引言二、微分方程的定义与基本概念1.微分方程的定义2.常见微分方程类型三、差分方程的定义与基本概念1.差分方程的定义2.常见差分方程类型四、微分方程与差分方程的关系1.微分方程与差分方程的相似性2.微分方程与差分方程的转换五、微分方程与差分方程的应用领域1.物理、工程领域的应用2.生物、经济领域的应用六、结论正文：一、引言微分方程和差分方程是数学领域中两个重要的概念，它们广泛应用于各个学科领域。

本文将首先介绍微分方程和差分方程的定义及基本概念，然后探讨它们之间的关系以及应用领域。

二、微分方程的定义与基本概念1.微分方程的定义微分方程是一种数学方程，其中包含未知函数及其导数。

它可以表示为：f(x, y") = 0，其中x 是自变量，y 是未知函数，y"表示y 关于x 的导数。

2.常见微分方程类型常见的微分方程类型包括：一阶微分方程、二阶微分方程、线性微分方程、非线性微分方程等。

三、差分方程的定义与基本概念1.差分方程的定义差分方程是一种数学方程，其中包含未知函数及其差分。

它可以表示为：f(x, y[n]) = 0，其中x 是自变量，y 是未知函数，y[n] 表示y 关于x 的n 阶差分。

2.常见差分方程类型常见的差分方程类型包括：一阶差分方程、二阶差分方程、线性差分方程、非线性差分方程等。

四、微分方程与差分方程的关系1.微分方程与差分方程的相似性微分方程和差分方程在形式上具有相似性，它们都包含未知函数及其导数（差分）。

这使得它们之间可以相互转换。

2.微分方程与差分方程的转换通过合适的差分方法，可以将微分方程转换为差分方程；反之，通过合适的积分方法，可以将差分方程转换为微分方程。

五、微分方程与差分方程的应用领域1.物理、工程领域的应用微分方程和差分方程在物理、工程领域具有广泛应用，如电路理论、力学、热力学、波动理论等。

2.生物、经济领域的应用微分方程和差分方程在生物、经济领域也具有重要应用，如生物种群模型、经济波动模型等。

常微分方程解法归纳1. 一阶微分方程部分① 可分离变量方程（分离变量法）如果一阶微分方程),(y x f dx dy=中的二元函数),(y x f 可表示为)()(),(y h x g y x f =的形式，我们称)()(y h x g dxdy=为可分离变量的方程。

对于这类方程的求解我们首先将其分离变量为dx x g y h dy)()(=的形式，再对此式两边积分得到C dx x g y h dy +=⎰⎰)()(从而解出)()(y h x g dxdy=的解，其中C 为任意常数。

具体例子可参考书本P10—P11的例题。

②一阶线性齐次、非齐次方程（常数变易法）如果一阶微分方程),(y x f dxdy=中的二元函数),(y x f 可表示为y x P x Q y x f )()(),(-=的形式，我们称由此形成的微分方程)()(x Q y x P dxdy=+为一阶线性微分方程，特别地，当0)(≡x Q 时我们称其为一阶线性齐次微分方程，否则为一阶线性非齐次微分方程。

对于这类方程的解法，我们首先考虑一阶线性齐次微分方程0)(=+y x P dxdy，这是可分离变量的方程，两边积分即可得到⎰=-dxx P Ce y )(，其中C 为任意常数。

这也是一阶线性非齐次微分方程的特殊情况，两者的解存在着对应关系，设)(x C 来替换C ，于是一阶线性非齐次微分方程存在着形如⎰=-dx x P e x C y )()(的解。

将其代入)()(x Q y x P dxdy =+我们就可得到)()()()()()()()()(x Q e x C x P e x C x P e x C dx x P dx x P dx x P =⎰+⎰-⎰'---这其实也就是⎰='dxx P e x Q x C )()()(，再对其两边积分得C dx e x Q x C dxx P +⎰=⎰)()()(，于是将其回代入⎰=-dx x P e x C y )()(即得一阶线性微分方程)()(x Q y x P dx dy=+的通解⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=⎰-C dx e x Q e y dx x P dx x P )()()(。

第六章微分方程与差分方程一、知识网络图二、内容与要求1．了解常微分方程及其阶、解、通解、初始条件、特解等概念．2．能正确判断一阶微分方程的类型，熟练掌握可分离变量方程、齐次方程和一阶线性微分方程的解法．3．能用降阶法解特殊类型的高阶微分方程（包括，，的解法）．4．熟练掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，掌握高阶常系数齐次线性微分方程的解法．5．理解二阶线性方程的通解结构，掌握自由项形如的二阶常系数非齐次线微分性方程的解法．6．会对一些简单的经济、几何等问题建立微分方程模型并求解．7．了解差分与差分方程及其通解与特解等概念．8．掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法．9．会用微分方程和差分方程求解简单的经济应用问题．重点微分方程与差分方程的概念；可分离变量微分方程、一阶线性微分方程、二阶常系数线性微分方程的解法；一阶常系数线性差分方程的解法．难点二阶常系数非齐次线性微分方程的求解；一阶常系数非齐次线性差分方程的求解；微分方程与差分方程的应用．三、概念、定理的理解与典型错误分析1、基本概念（1）微分方程表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间关系的方程，称为微分方程．（2）微分方程的阶微分方程中未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶．（3）微分方程的解代入微分方程能使其成为恒等式的函数，称为微分方程的解．（4）微分方程的通解如果微分方程的解中含有任意常数，且相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相等，那么这样的解称为微分方程的通解．通解有两种：一种称显式通解，一种称隐式通解．（5）微分方程的特解微分方程的解如果是完全确定的（即不含有任何参数），称为微分方程的特解．微分方程的特解的图形是一条曲线，称为微分方程的积分曲线．（6）微分方程的初值问题求满足一定条件的微分方程的特解，这个问题称为微分方程的初值问题，这个条件称为微分方程的初始条件．（7）一阶差分对任何数列，称数列为原数列的一阶差分．（8）阶差分阶差分的差分称为数列的阶差分，记为．二阶及二阶以上的差分统称为高阶差分．（9）差分方程含有自变量，未知函数或求知函数的差分的方程称为差分方程．（10）差分方程的阶差分方程中所含未知函数差分的实际最高阶数或方程中未知函数的最大下标与最小下标的差数称为此差分方程的阶．（11）差分方程的解满足差分方程的函数，称为差分方程的解．（12）差分方程的通解若解中所含相互独立的任意常数个数与差分方程的阶数相同，则这个解称为此差分方程的通解．（13）差分方程的特解确定了任意常数的解，称为此差分方程的特解．（14）差分方程的初始条件用来确定通解中任意常数的附加条件称为初始条件．2、主要定理（1）对二阶常系数齐次线性微分方程①我们有定理1若和是方程①的两个解，则也是方程①的解，其中是任意常数．特别地，当线性无关时，则是方程①的通解．（2）对二阶常系数非齐次线性微分方程②我们有定理2若是方程②的一个特解，是其对应的齐次方程①的通解，则是方程②的通解，其中是任意常数．定理3设和分别是非齐次线性微分方程和的特解，则是方程的特解．3、微分方程和差分方程的类型及解法（1）一阶微分方程及其解法（i）可分离变量的微分方程形如的方程．解法分离变量（即把含有x的放在一边，把含有y的放在另一边），将方程变为，两边积分，得．这是方程的隐式通解，若化简方便，则化简为．（ii）齐次微分方程形如的方程．解法作变量代换, 令，代入方程得这是一个变量u关于变量x的可分离变量的方程，求出u的通解，再用代入，即得原方程的通解．（iii）一阶齐次线性微分方程形如的方程．解法分离变量法．（iv）一阶非齐次线性微分方程形如的方程．解法常数变易法或公式法．常数变易法先解对应齐次方程的通解，然后将通解中的常数C变易为待定函数，即令代入原方程求出待定函数，便得方程的通解．通解公式法（v）贝努利方程形如（n ≠ 0, 1）的方程．解法作变量代换, 令代入方程得这是一个变量 z关于x的一阶线性微分方程．求出通解，再用代入即得原微分方程的通解．（2）高阶微分方程及其解法（i）可降阶的高阶微分方程型解法经过n 次积分，就可得方程的通解．型（不显含）解法设，，代入方程得，这是一个p关于x的一阶微分方程，求出通解，再积分就可得原方程的通解．型（不显含）解法设，，代入方程得，这是一个p关于y的一阶微分方程，求出通解，再分离变量，积分就可得原方程的通解．（ii）二阶常系数齐次线性微分方程形如的方程（其中p ,q 为常数）解法第一步：写出特征方程；第二步：计算特征根；第三步：根据的不同情况，按下表写出方程的通解．（iii）二阶常系数非齐次线性微分方程形如的方程（p ,q 为常数）．解法先求出对应齐次微分方程的通解，再求出原方程的一个特解，则原方程的通解为．下面以表格形式列出的两种不同类型时，特解的形式．然后代入方程用待定系数法求出特解．（3）一阶常系数线性差分方程的解法（i）一阶常系数齐次线性差分方程形如的方程解法写出特征方程，得特征根，则差分方程的通解为．其中为任意常数．（ii）一阶常系数非齐次线性差分方程形如的方程解法先求出对应齐次差分方程的通解，再求出原方程的一个特解，则原方程的通解为．设其中是已知的次多项式，则方程的特解形式为4、典型错误分析（1）注意方程有漏解的情形在求解方程过程中，有时会出现漏解，特别是有分式运算时，要注意分母为零的情形．例如求的通解．解分离变量得．两边积分，得通解．此外也是方程的解，这不能由确定，此解易被漏掉．（2）作变量替换后，注意代回原来变量例如求的通解．解这是伯努利方程，，令，，代入原方程得．由一阶线性方程求解公式，得通解．本题到此并未解答完毕，最后应代回原变量，得．（3）求通解时，注意任意常数在求一阶微分方程通解时，其任意常数是必须有的，且出现在适当的运算位置上，不能随意添加或删去，否则会出错．例如求方程的通解．解两边积分，得通解或．上述是解，但不是通解；而随意加任意常数，不是方程的通解．本题正确的解法是，由得，得通解．（4）对二阶线性微分方程通解的理解错误例如给出二阶线性微分方程的两个解，则该方程的通解为解上述结论是错误的，因为a. 没有明确所给方程是“齐次”还是非齐次；b. 没有明确所给的两个解是“线性相关”还是“线性无关”．如果把问题改为给出二阶线性齐次方程的两个线性无关的特解，则该方程的通解为（其中为任意常数）成立．（5）对二阶线性非齐次微分方程叠加原理（定理1）的理解错误例如容易验证和都是微分方程和的解，则两个解的叠加（其中为任意常数）都满足上述两个方程．解上述结论是错误的，可以验证只满足前一个方程而不能满足后一个方程，其原因在于：上述两个微分方程在本质上有差异，前一个方程是线性齐次微分方程，后一个方程是非线性微分方程．我们知道解的叠加原理（定理1）只适用于线性齐次方程，而非线性方程不具有此性质，因此两个解的叠加只满足第一个方程，而不满足第二个方程．（6）在解含有变上限积分的方程中的时，遗漏定解条件例如设为一连续函数，且满足方程，求．解这是一个含有变上限的积分方程，可改写为．两边对求导，得，两边对再求导，得，即，这是一个二阶线性非齐次方程，其通解为．这时题目还未解完，因为用可得，由可得，因此据上述初始条件得，因而所求的函数．（7）在确定差分方程的阶时出错．例如确定差分方程的阶.解一般会认为该方程的阶数为3．但事实上，上述差分方程可改写为下面的二阶差分方程形式：。