线性代数课件-23几种特殊矩阵

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特殊矩阵

x11 x12 ⋯ x1n a1 x11 a1 x12 ⋯ a1 x1n 证 x11 x 22 ⋯ x 2 n a 2 x11 a 2 x 22 ⋯ a 2 x 2 n 设 X = = ( a i x ij ) , 有AX = ⋯⋯ ⋯⋯ x a x n1 x n 2 ⋯ x nn n n1 a n x n 2 ⋯ a n x nn
性质：）性质：（1）A 是对称阵 ⇔ AT = A ⇔ AT = − A A是反对称阵是反对称阵 2）A,B是n阶对称阵（2）A,B是n阶对称阵 ⇒ A + B 是对称阵 A,B是n阶对称阵是阶对称阵是对称阵（例见P.71） ⇒ AB 是对称阵（例见）
但有：但有：（P.71例）例 A,B是n阶对称阵，则是阶对称阵阶对称阵，证 “⇐”
（四）三角矩阵
a11 0 ⋮ 0 a12 ⋯ a1n a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ 0 ⋯ a nn
a11 a 21 ⋮ a n1 0 0 0 a 22 0 0 ⋮ ⋱ 0 a n 2 ⋯ a nn
1 0 0 0 0 2 0 0 不是对角阵 0 0 3 0
阶对角阵，为常数性质（1）A,B为n阶对角阵，k为常数）为阶对角阵
仍为对角阵， ⇒ kA, A + B , AB , BA仍为对角阵，且 AB = BA.
因
a11 b11 a11b11 a22 b22 a22b22 AB = = ⋱ ⋱ ⋱ annbnn ann bnn
+B ) I
n −1

(人大版)线性代数PPT课件：2.3 几种特殊的矩阵

abn2
L L
ab1l
ab2l M
abnl
(二)数量矩阵
数量矩阵
a
A
a
O
a
数量矩阵的性质
以数量矩阵A左乘或右乘(如果可乘)一个矩阵B 其乘积
等于以数a乘矩阵B
提示
a 0 L
0 a L
M 0
M 0L
0 b11 b12 L
0 aM
b21 M
bn1
b22 M
bn2
L L
b1l abb1111 abb1122 LL ba1lb1l
(AB)TBTATBA AB 所以AB是对称的
反之如果AB是对称的即(AB)TAB 则有 AB(AB)TBTATBA
即A与B可交换
单位矩阵I在矩阵乘法中与数1在数的乘法中的性质类似
(四)三角形矩阵
上三角形矩阵
如果n阶矩阵A(aij)中元素满足条件 aij0 ij (i, j1, 2, , n)
则称A为n阶上三角形矩阵即
a11 a12 L a1n
A
a22 L O
aaM2nnn
(四)三角形矩阵
上三角形矩阵
a11 a12 L a1n
b1
a1 b1
a2 O
an
b2
O
bn
a2 b2 O
an
bn
(一)对角矩阵
对角矩阵
a11
A
a22 O
ann
对角矩阵的性质
如果A B为同阶对角矩阵则kA AB AB仍为同阶对角
矩阵
提示
a1
b1
a1b1
a2 O
an
b2 O
bn
a2b2 O

线性代数-特殊矩阵

例3 设 A2 A, E 是单位矩阵，证明：
( A E )m E (2m1 1) A
其中, m是正整数. 证 A,E相乘可以交换，由二项式定理有：
( A E )m
0 1 2 m 1 m Cm Am Cm Am 1 Cm Am 2 Cm A Cm E
2.2
几种特殊的矩阵
• 对角矩阵、数量矩阵和单位矩阵 • 上(下)三角形矩阵 • 对称矩阵和反对称矩阵 • 幂等矩阵，幂幺矩阵和幂零矩阵
一、对角矩阵、数量矩阵和单位矩阵
1.对角矩阵形如
a1 a2 的方阵称为对角矩阵． an nn
【注】 1o A ( aij )nn 为对角矩阵 aij=0(i≠j，i,j=1,2,…,n)
1 0 0 1 例2 设 A 0 0 0 , B 3 1 1 1 , 0 0 1 1
验证A,B都是幂等矩阵．解
1 0 0 1 0 0 1 2 A 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 B 2 3 1 1 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 B 1 0 0 0 0 A 0 1 1 1 1 3 1 1 1 1
0 a22 an 2 0 0 的方阵称为下三角矩阵． ann
2.下三角形矩阵
【注】A为上三角阵
aij=0, i＞j ( i, j=1,2,…,n)； A为下三角阵 aij=0, i＜j ( i, j=1,2,…,n)．
三、对称矩阵和反对称矩阵
0 1 2 m 1 m Cm A Cm A Cm A Cm A Cm E

2.2几种特殊矩阵

例2
已知Ann 满足例3
b c a b a d 已知 A c d a d c b
d c ,求 A b a
四、对称与反对称矩阵
• 定义6. T 设矩阵 An , 若 A A, 则称 An 为对称矩阵, 即
若A, B为同阶上（下）三角矩阵， k R，l Z ，则A B，kA，AB， A 均为上（下）三角矩阵。
l
二、对角矩阵
定义2. 主对角线以外元素全为0的方阵称为对角矩阵。
在 A (aij )nn 中, 若 aij 0 (i j ), 则称 An 为对角矩阵, 记
a11 0 0 a22 A diag(a11 , a22 ,, ann ) 0 0
三、单位矩阵
• 定义4. 主对角线上元素全为1，其他元素全为0的方阵称为单位矩阵。
Em Amn Amn En ( EA AE ) 若A aE , 有AB aEB aB aBE BA
• 定义5. 若AB=BA，则称A、B是可交换的。
2 1 4 1 1 2 1 4 1 1 5 8 0 2 5 8 0 2 1 1 1 3 7 33 34 1 1 3 7 34
ka11 ka22 kA kann
a11l Al
a22 l
l ann
a11b11 a b 22 22 AB ann bnn
定义3. 若对角矩阵中主对角线上元素都相等，则称之为数量矩阵。
性质. 对称、反对称矩阵的和、数乘仍为对称、反对称矩阵。
例4

矩阵的概念及几种特殊矩阵

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铃
3.数量矩阵
如下形式的 n 阶矩阵称为数量矩阵：
a 0 0 A 0 a 0 。
0 0 a
数量矩阵是特殊的对角矩阵：a11=a22==ann=a。
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4.单位矩阵
如下形式的 n 阶矩阵称为单位矩阵，记为 In 或或IE,n 或 E。
例如
3 4
1 2
与
5 6
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a b c d e f
当 a=3, b=-1, c=4, d=2,
e=-5, f=6 时, 它们相
等.
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三、几种特殊的矩阵
1 .零矩阵
若一个矩阵的所有元素都为零, 则称这个矩阵为
零矩阵, m n 零矩阵记为Ｏm n 在, 不会引起
1 0 0
0 1 0
I
。
0 0 1
单位矩阵是特殊的数量矩阵：a11=a22==ann=a=1。
单位矩阵的作用：类似于数字“1”的运算。
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5.对称矩阵
阵，即
如果 n 阶矩阵 A 满足 AT=A ，则称 A 为对称矩
a11 a12 a1n
A
a12 a22 a2n
§2.1 矩阵的概念几种特殊的矩阵
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铃
一、基本概念
定义由 m n 个数 aij (i= 1, 2,

几种特殊的矩阵

b 2Ob n
a 2 b 2Oa n b n
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(一)对角矩阵
对角矩阵
a 1 1
A a 2 2 O a n n
对角矩阵的性质
如果A B为同阶对角矩阵则kA AB AB仍为同阶对角矩阵
提示
a 1
b 1
a 1 b 1
a 2Oa n
b 2Ob n
a 2 b 2Oa n b n
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(一)对角矩阵
对角矩阵
a 1 1
A a 2 2 O a n n
对角矩阵的性质
如果A B为同阶对角矩阵则kA AB AB仍为同阶对角矩阵
对称矩阵
对称矩阵A的元素关于主对角线对称因此有ATA 对称矩阵的性质
数乘对称矩阵及同阶对称矩阵之和仍为对称矩阵但对称矩阵乘积未必对称
举例例如 1 1 0 1 1 1 0 2 0 2 1 1 2 3 1 均为对称矩阵
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(四)三角形矩阵
上三角形矩阵如果n阶矩阵A(aij)中元素满足条件 aij0 ij (i, j1, 2, , n)
则称A为n阶上三角形矩阵即
a 1 1 a 1 2 L a 1 n A a 2 2 L O a a M 2 n n n
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(二)数量矩阵
数量矩阵
a A a O a 数量矩阵的性质
以数量矩阵A左乘或右乘(如果可乘)一个矩阵B 其乘积
等于以数a乘矩阵B

线性代数课件第2章矩阵

（2）分配律：A(B C) AB AC, (B C)A BACA
（3）对任意数有 (AB) ( A)B A(B)
（4）设 A是 m n矩阵，则
Em Amn A，mn Amn En Amn
或简记为 EA AE A
即单位矩阵是矩阵乘法的单位元，作用类似
于乘法中的数1． 20
（2）列矩阵当 n 时1 ，即只有一列的矩阵
b1
B
b2
称为列矩阵或列向量． bm
3
（3）零矩阵所有元素全为零的矩阵称为零
矩阵，记为O．例如，m n的零矩阵可记为
0 0
0
Omn
0
0
0
0
0
0
（4）方阵行．数和列数都等于 n的矩阵，称为 n 阶矩阵或 n阶方阵，记为 A，n
记为
1 0
0
E
En
0
1
0
或
0
0
1
1
1
1
7
（7）n阶数量矩阵主对角元素等于同一个数
k 的 n阶对角阵，称为 n阶数量矩阵，记为
k 0
0
kE
0
k
0
或
0
0
k
k
k
．
k
8
2.2 矩阵的运算
9
2.2.1 矩阵的线性运算
1．矩阵的加法
定义2 两个 m n的同型矩阵 A (和aij ) B 的(bij )
A1n A2n Ann
称为矩阵的伴随矩阵.
31
定理1 设 A是 n阶方阵， A为* 的A 伴随矩阵，则
定理2 阶AA方*阵 A可* A逆 A E ，且
n
A A 0

第三章第二节几种特殊矩阵(用)

a
三,三角形矩阵定义3.8 如果阶矩阵主对角线下(或上)方元素都等于如果n阶矩阵主对角线下或上) 阶矩阵主对角线下( 定义
零,则称此矩阵为上(或下)三角形矩阵. 则称此矩阵为上(或下)三角形矩阵.
a11 0 A= 0 a12 a1n a 22 a 2 n 0 a nn
B m × n ,有
B ( aE n ) = a ( BE n ) = aB
( aE m ) B = a ( E m B ) = aB
B ( aE n ) = a ( BE n ) = aB ( aE m ) B = a ( E m B ) = aB
即数量矩阵 aE 左乘或右乘矩阵 Bm×n 相当于用数乘矩阵B 乘矩阵B
二,数量矩阵定义3.7 定义
如果n阶对角矩阵所有主对角线元素都相等, 如果阶对角矩阵所有主对角线元素都相等,则称阶对角矩阵所有主对角线元素都相等此矩阵为n阶数量矩阵. 此矩阵为阶数量矩阵. 阶数量矩阵设数量矩阵
An×n
a a = a
a=1时就是单位阵, 显然 A = aE n 当a=1时,A就是单位阵, 并且对任意矩阵
设
b11 b21 B= b n1
0 b22 bn 2
0 0 bnn
为上三角形矩阵; 为下三角形矩阵. 则 A为上三角形矩阵;B为下三角形矩阵. 为上三角形矩阵
如果A, 是同阶的上是同阶的上( 三角形矩阵, 如果 ,B是同阶的上(下)三角形矩阵,则A+B, AB仍为上(下)三角形矩阵;数 k与A 的乘积 kA 仍是仍为上( 仍为上三角形矩阵; 与上(下)三角形矩阵. 三角形矩阵.
设数量矩阵???????????????????aaannnn??a显然naea?当a1时a就是单位阵并且对任意矩阵nmb?有abbeaaebnn??abbeabaemm??即数量矩阵ae左乘或右乘矩阵nmb?相当于用数a乘矩阵babbeaaebnn??abbeabaemm??三三角形矩阵定义38如果n阶矩阵主对角线下或上方元素都等于零则称此矩阵为上或下三角形矩阵

线性代数-课件ppt

a11
A
A
a21
a12
a22
a1n
a2n
.
am1 am1 amn
2、数乘矩阵的运算规律
（设 A、B为 m n 矩阵， ,为数）
1 A A; 2 A A A;
3 A B A B.
矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算.
3 2 7 5
例1：已知
A
1 6
线性代数
• 矩阵的概念 • 矩阵的基本运算 • 矩阵的初等变换与矩阵的秩 • 逆矩阵 • 线性方程组解的判定
矩阵的概念
• 一、矩阵概念的引入 • 二、矩阵的定义 • 三、几种特殊的矩阵 • 四、同型矩阵和矩阵相等
一、矩阵概念的引入
B
某航空公司在A,B,C,D四城市之间
开辟了若干航线 ,如图所示表示了四城市间的航班图,如果从A到B有
13 6 19 7
7 10
2 28
2 2
21 24
三、矩阵的乘法
引例：某校明后两年计划建筑教学楼和宿舍楼。建筑面积及材料耗用量如表：
建筑面积（单位：100平方米）
教学楼宿舍楼
材料（每100平方米耗用量，单位：吨）
钢材水泥铝材
明年 20
10
教学楼
2
18
0.4
后年 30
20
宿舍楼 1.5
1 2 3 4
解：设A
4 3 2
1 4 3
2 1 4
123 ,
x1
X
x x x
2 3 4
,
1
B
2 2 1
,
所以方程组可表示为：
1 2 3 4 x1 1

2-3几种特殊结构的矩阵

16
例 1 0 设 A 是 n 阶对称矩阵， B 是 n 阶反对称矩阵。证明： A B 是反对称矩阵的充分必要条件是 A B B A
证明已知A是n阶对称矩阵，B是n阶反对称矩阵，则AT A，BT B
因为AB是反对称矩阵，所以（AB） T AB
中南财经政法大学信息学院信息系 2020/5/17
6
三、三角形矩阵
定义3.10 如果n阶矩阵主对角线下方的元素都等于零，则称此矩阵为上三角矩阵.
如果n阶矩阵主对角线上方的元素都等于零，则称此矩阵为下三角矩阵.
a11a12a1n A0 0a022 aa n2nn
b110 0 B b bn 211Βιβλιοθήκη b2 n 22 b0nn10
性质（1）对称矩阵A与B的和也是对称矩阵
证明因为AT A，BT B，所以（AB） T AT BT AB 即AB是对称阵
（2）数k与对称矩阵A的乘积kA仍为对称矩阵.
证明因为 A TA ，所以（ kA ） TkA TkA 即 kA 是对称阵
中南财经政法大学信息学院信息系 2020/5/17
(2)数k与对角矩阵的乘积仍为对角矩阵 (3)两个同阶对角矩阵的乘积仍是对角矩阵,并且他们是可交换的
中南财经政法大学信息学院信息系 2020/5/17
3
设
a
1
A=
O
0
b1
B= O
0
0
a
n
0
bn
则
AB
BA
a1b1
O
0
0
a
nbn
中南财经政法大学信息学院信息系 2020/5/17

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a11
A

0 0
a12 a22 0
a1n

a2n
ann

b11
B

b21

bn1
0 b22 bn2
0
0
bnn

三角矩阵的性质：（1）同阶上（下）三角矩阵的和、差、积仍为上（下）三角矩阵。（2）数与上（下）三角矩阵的乘积仍为上（下）三角矩阵。（3）上（下）三角矩阵的转置为下（上）三角矩阵

b1n
b2n
b3n

0

• 例如 1 2 A1 2 0 ,
1 1 2 A2 1 0 1
2 1 3
0 2 B1 2 0 ,
0 1 2

A2 1 0 1
2 1 0
a12 a22 a23 a2n
A

a13
a23
a33
a3n

a1n
a2n
a3n
ann

0
b12
b13 b1n
b12 0
b23 b2n
B

b13
b23
0

b3n

四、对称矩阵与反对称矩阵
定义2·13 若n阶方阵A 中的元素满足 aij a ji (i,j=1,2, …n),则称A为n阶对称矩阵。
若n阶方阵B 中的元素满足bij b ji (i,j=1,2, …n),则称B为n阶反对称矩阵。
即 n阶对称矩阵
n阶反对称矩阵
a11 a12 a13 a1n
0
0
bnn

四、对称矩阵与反对称矩阵
定义2·13 若n阶方阵A 中的元素满足 aij a ji (i,j=1,2, …n),则称A为n阶对称矩阵。
若n阶方阵B 中的元素满足bij b ji (i,j=1,2, …n),则称B为n阶反对称矩阵。
即 n阶对称矩阵
n阶反对称矩阵
二、数量矩阵
A

0
a

0

aE
0 0 a
三、三角矩阵上三角矩阵
下三角矩阵
a11
A

0 0
a12 a22 0
a1n
a2n
ann

b11
B

b21

bn1
0 b22 bn2
a22 0
0
ann

对角矩阵
• 对角矩阵的性质： 1. 同阶对角矩阵的和、差、积仍为对角矩阵 2. 数t与对角矩阵的乘积仍为对角矩阵 3. 对角矩阵的转置仍为对角矩阵且与原矩阵
相同
二、数量矩阵定义2·11 若对角矩阵A中的对角线元素满足
aii a (i 1,2, , n),
对称矩阵反对称矩阵
对称矩阵与反对称矩阵的性质：
（1）同阶对称矩阵（反对称Байду номын сангаас阵）的和、差仍为对称矩阵（反对称矩阵）
（2）数与对称矩阵（反对称矩阵）的乘积仍为对称矩阵（反对称矩阵）
（3）n阶方阵A为对称矩阵的充要条件是 A A
0

b3n

b1n
b2n
b3n

0

§2·3 几种特殊的矩阵
一、对角矩阵
定义2·10 若n阶方阵A中的元素满足
aij 0 (i j,i, j 1,2, , n),
则称A为对角矩阵。
a11 0 0
即
A

0 0
a11 a12 a13 a1n
a12 a22 a23 a2n
A

a13
a23
a33
a3n

a1n
a2n
a3n
ann

0
b12
b13 b1n
b12 0
b23 b2n
B

b13
b23
则称A为数量矩阵。
a 0 0
即 aE A

0
a

0

0 0 a
数量矩阵
性质：用数量矩阵左乘或右乘（如果可乘）一
个矩阵的结果，等于用一个数乘于该矩阵
即若 A aEn为一数量矩阵，B为m×n矩阵
则 BA=BaE aBE aB
上堂课主要内容：
1、矩阵的乘法：设矩阵，， A (aij )ms B (bij )sn
由元素
cij ai1b1 j ai2b2 j ais bsj
构成的矩阵 C (cij )mn 称为矩阵A与矩阵B的乘积。
记为 C=AB
注意：
（1）只有当A的列数=B的行数时，AB才有意义
（2）矩阵乘法不满足交换率。即AB≠BA
（3）矩阵乘法不满足消去率即：由AB=AC,且A ≠O,不能得出B=C
（4）由AB=O不能推出A=O或B=O
2、方阵的幂 Ak AAA
k
注意（：1）只有当A为n阶方阵时，才有方幂的概念。
（2）（AB)k≠ Ak Bk
3、矩阵的转置将矩阵A的行列互换得到的矩阵，称为矩阵A的转置矩阵，简称转置。
2. 只有当A、B是同阶方阵时A，B A B才成立 3. 当A、B是同阶方阵时，A有B BA
4. tA t A ； A B A B
§2·3 几种特殊的矩阵
a11 0 0
一、对角矩阵 A

0 0
a22 0
0
ann

a 0 0
三、三角矩阵
定义2·12 若n阶方阵A aij 中的元素满足
aij 0, i＞ j(i, j 1,2,则,称n)A为上三角矩阵。
若n阶方阵 B 中bij的元素满足
bij 0, i＜j
(i, j 1,2, , n) ，则称B为下三角矩阵.
即上三角矩阵
下三角矩阵
注意：（1）当A为m×n矩阵时，当A 为n×m矩阵时
(2)A 中第i行第j列的元素=A中第j行第i列的元素 a ji
（3）一般情况下 (AB) AB
4、方阵的行列式由n阶方阵A的元素按原来的顺序构成的行列式，称为方阵A的行列式。记为 A
• 注意： 1. 只有当A是方阵时，才有A的行列式