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分式方程的解法

一、知识清单

1. 分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫分式方程.

2. 解分式方程的基本思想是：去分母，化为整式方程.

3. 解分式方程的一般步骤是：

去分母→去括号→移项→合并同类项→化系数为1→检验.

4. 分式方程增根：使最简公分母为0 的未知数的值叫做分式方程的增根.

二、基础夯实

1. 解下列分式方程：

（1）

4x

x 2

1

3

2 x

x 2

（2） 1

x 1 ( x 1)( x 2)

2. 当m 为何值时，分式方程

m 2

x 1 x 1

3

2

x

会产生增根？

1

三、经典例题

1 1

例1. 我们容易求得分式方程 2

x

x 2 的解为x 2或

1

x （口头检验一下）.

2

1 1

（1）方程 3

x

x 3

的解为；

1 1

（2）以x为未知数的方程 c

x

x c

的解为；

（3）解方程：

x

3x

4

2

3x

x

2

4

26

5

例2. 解方程

x

x

2

1

x

x

3

2

x

x

4

3

x

x

5

4

例

3.

解

方

程

1

x(x 1)

(x

1

1)( x 2)

...

( x

1

1998)( x 1999 )

1

1

x

.

4 ax

例4. 当a 为何值时，以x为未知数的方程

3

x 2

无

解？

1 1 5

ab 1

x y y z 6

a b 3

例5. 解方程组（1）

bc

b c

1

4

（2）

1 1

y z z x

7

12 ca 1

1 1 3 c

a 5

z x x y 4

四、方法归纳

1. 解分式方程常用的方法：去分母法、部分分式法、逐项通分或整体通分法、裂项相消法、

1 1

换元法、倒置变换法等，还可以巧妙应用“x c

x c ”型的解是x c或x

1

c

.

2. 利用增根的意义解题是一类重要题型，其方法为：（1）先将分式方程转化为整式方程；（2）从原分式方程中求出使分母为零的增根；（3）把增根代入所得到的整式方程中.

3. 方程无解与方程有增根不是一回事. 如例4 方程无解时 a 有2 个值，但方程有增根时 a 只

有1 个值.

五、考题演练

1. 解关于x的方程

1

1

x

a .

x 1

a 1

2. 解方程13

11

2x

2x

17

15

2x

2x

19

17

2x

2x

11

9

2x

2x

3. 解方程x

1 1

1

1

2 x x x x x x2 x

2 2

3 2 5 6 7

12

4

21

4. 当a为何值时，未知数为x 的方程

1 a 2(a 1)

x 1 2 x (x 1)( x 2)

无解？

xy yz

5. 已知1， 2

x y y z

zx

， 3

z x

，求

y 的值.

x y z

6. 解方程组

7 10 5

2x 3y 4z 128

4 2

a ma 1

2 a

7. 已知 4 1 0 ，求m的值.

a ，且 5

3 2

3a ma 3a