2223用公式法解一元二次方程(1)

知识点1对求根公式的理解1. 利用求根公式解一元二次方程时 __________ ，首先要把方程化为的形式，确定 _______ ， _________ ， ________ 的值，当 _________ 时，可得方程的根为 ________________ .2.用公式法解一元二次方程 3x 2— 2x + 3= 0时，首先要确定a ,b ,c 的值，下列叙述正 确的是（）A . a = 3, b = 2, c = 3B . a =— 3, b = 2, c = 3C . a = 3, b = 2, c =— 3D . a = 3, b =— 2, c = 33.用公式法解方程(x + 2)2= 6x +8时，b 2 — 4ac 的值为()A . 52B . 32C . 20D . — 12 知识点2用公式法解一元二次方程 4. 解下列方程，最适合用公式法求解的是()2 2A . (x + 2) — 16= 0B . (x + 1) = 4 1 2 2C. 2x 2= 1D . x 2— 3x — 5= 05. 一元二次方程x 2+ 2 2x — 6 = 0的根是( )A . X 1= X 2= 2B . X 1= 0, X 2=— 2 2C . X 1= 2, X 2=— 3 2D . X 1=— 2, X 2=— 3 26. ___________________________________ 方程x 2 + x — 1 = 0的正根是 .7. _____________________________________________ 在一元二次方程 2x 2 + x = 6 中，b 2 — 4ac = ____________________ , X 1 =&用公式法解下列方程： (1) x 2 — 6x + 1 = 0;(2)4x 2— 12= 2x ; (3) x 2 — 2x + 2 = 0;(4)2x 2 + 8x — 7 = 0.9.以x = b - :+― (b 2 + 4c >0)为根的一元二次方程可能是( )22A . x + bx + c = 0B . x + bx — c = 022C . x — bx + c = 0D . x — bx — c = 010 .如图 22 — 2 — 2 所示，在？ABCD 中，AE 丄 BC 于点 E , AE = EB = EC = a ,且 a 是一 元二次方程x 2 + 2x — 3 = 0的根，则?ABCD 的周长为()A . 4 + 2 .2B . 12 + 6 2C . 2 + 2 .2D . 2 + ㊁或 12+ 6 2图 22 — 2— 211.若在实数范围内定义一种运算 “*，”使a*b = (a + 1)2— ab ,则方程(x + 2)*5 = 0的根为 ( ) A . x = — 2 B . X 1=— 2, X 2= 32223 公式法_______ , X 2 =,X2 =,X 2 =12 .若关于x 的一元二次方程 2x 2 — 3x + c = 0的一个根是1,则另一个根是 _____________ 13 .已知关于x 的一元二次方程 x 2 + mx + 6 = 0,若b 2— 4ac = 37,则m = ______________ .X 1 = X 1 =14. 方程(x + 4)(x — 5)= 1 的根为 ____________ .15. ________________________________________________________________ 若最简二次根式 商+ 3x 与J x + 15是同类二次根式，则x 的值是 ______________________________ .16. ［教材例6(4)变式］用公式法解下列方程： (1) 3y(y — 3)= 2(y + 1)(y — 1); (2) (3 x — 1)(x + 2)= 11x — 4.17. 当m 取何值时，方程(m + 1)xm 2 3+ 1+ (m — 3)x — 1 = 0是关于x 的一元二次方程？并 求出此方程的解.18. 设a , b , c 都是实数，且满足(2 — a)2+ _ a 2+ b + c + |c + 8|= 0，请你求出方程ax 2 + bx + c = 0 的根.19. 阅读下列材料,解答问题：为解方程(x 2— 1)2— 5(x 2— 1) + 4= 0,我们可以将x 2— 1视为一个整体，然后设x 2— 1 = y , 则(x 2— 1)2= y 2,原方程可化为y 2— 5y + 4= 0(4),解此方程得y 1= 1,y 2= 4.当y = 1时，x 2—1=1 , - x =±‘...2 当 y = 4 时，x 2— 1= 4, ••• x =± 5,二原方程的解为 x 1 = 2, x 2=— 2, X 3= ：-5,沧=—5.(1)填空：在原方程得到方程 (*)的过程中，利用 _________ 法达到了降次的目的，体现了_______ 的数学思想；(2)解方程：(x 2 — x)2— 8(x 2—x) + 12= 0.20. 已知a 是一元二次方程 x 2— 4x + 1 = 0的两个实数根中较小的根. (1)求 a 2— 4a + 2019 的值； 1 — 2a + a 2 二」孑—2a + 1 1— 2 — _ a — 1 a — a a7. 49 号—2& 解：(1) •/ a = 1, b =— 6, c = 1, b 2— 4ac = (— 6)2— 4 x 1 x 1= 32>0,2 D3 C 4. D 5. C4 x 1 = 3 + 2 2, X 2= 3 — 2 2.⑵原方程可化为2x 2— x — 6 = 0,・ a = 2, b =— 1, c =— 6,・ b 2— 4ac = (— 1)2— 4 x 2 x (— 6) = 49>0,—(—1) ±49…x =2X 2'・ X 1 = 2, X 2= — |.(3) T a = 1, b = — 2, c = 2 ,(2)化简并求值: 2 1. ax + bx + c = 0 a bc b 2— 4ac > 0 x = —b ± b 2— 4ac 2a・・x =—(—6) 土. 32 2X 12 2• b —4ac= (—2) —4X 1 X 2=—4<0 , •原方程无解.⑷•/ a= 2 , b = 8 , c=—7 ,2 2•b2—4ac= 82—4X 2 X (—7) = 120>0 ,—…x=2 X 2 '—4+ 寸30—4—30 ,X2= ------ ：一• x 1 =故所求方程为 2x 2 + 4x — 8= 0,即 x 2+ 2x — 4= 0, /• x =- 1土. 5, 即 X ［ = — 1 + •；; 5, X ? = — 1 —打5. 19. : (1)换元转化(2)设 x 2 — x = y ,则原方程可化为 y 2— 8y + 12 = 0,解得 y 1 = 2, y 2= 6•当 y = 2 时，x 2 — x =2,解得 x =— 1 或 x = 2;当 y = 6 时，x 2— x = 6,解得 x =— 2 或 x = 3,•••原方程的解为 x 1 = — 1, x 2= 2, x 3=— 2, x 4= 3.20. ［全品导学号：15572071］解：(1)•/ a 是一元二次方程 x 2— 4x + 1 = 0的根，9. D 10. A 11. D12.13. ± ,61 1 +倔 1 —14.刘=— , X2= 2—15. 16. : • a = 1, b =— 9, c = 2,b 2— 4ac = (— 9)2— 4 X 1 X 2=73>0 , —(—9) ±73• y = -5(1)原方程可化为y 2- 9y + 2 = 0,2 9+V73 --y1 =2 ,(2)原方程可化为 9 — 73 y 2= 2~.3x 2— 6x + 2= 0,• a = 3 , b =— 6 , c = 2 ,• b 2— 4ac = (— 6)2— 4X 3X 2= 12>0 ,—(—6) ±12 • =2X 3,3 + V3 3-翻 ••X 1= 3 ，X2= 3 .17.解：由题意得m 2+ 1 = 2且m + 1丰0,解得m = 1,•■•原方程是 2x? — 2x — 1 = 0,解得x =号318. •/ (2 — a)2》0, . a 2+ b + c >0, |c + 8|>0, 而(2 — a)?+ ija ? + b + c + |c + 8| = 0 ,2 — a = 0 , a 2+ b + c = 0 , c + 8 = 0 , a = 2 ,解得 b = 4 ,c =— 8 ,2 2• a —4a + 1= 0, •a —4a=—1,•a2—4a + 2019=—1+ 2019 = 2019.(2)原方程的解是x= ^±2^^= 2 土. 3.•/ a是一元二次方程x2—4x+ 1 = 0的两个实数根中较小的根•- a = 2 —■■■./3,且a—1<0,.1 —2a+ a2”j a2—2a+ 1 1… — 2 — _a—1 a —a a(a—1) 2|a —1| 1 4 5a—1 a (a —1) a—(a—1)a (a —1)=a—1+1—a=a — 1.T a = 2 —冒3,•原式=2—3 —1 = 1 —\ ；*3.。

2.3 用公式法求解一元二次方程一．选择题（共14小题）1．（2020秋•市中区期中）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2−4ac=(2ax0+b)2其中正确的（）A．只有①②B．只有①②④C．①②③④D．只有①②③2．（2020•河北模拟）已知等腰△ABC的底边长为3，两腰长恰好是关于x的一元二次方程12kx2﹣（k+3）x+6＝0的两根，则△ABC的周长为（）A．6.5B．7C．6.5或7D．8 3．（2020•市中区校级一模）若关于x的方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞34B．k＞34且k≠1C．k＜34D．k＜34且k≠14．（2020•老城区校级二模）若关于x的方程x2−3√kx−1=0有实数根，则k的取值范围为（）A．k≥0B．k＞0C．k≥−49D．k＞−495．（2019春•丽水期中）关于x的方程m2x2﹣8mx+12＝0至少有一个正整数解，且m是整数，则满足条件的m的值的个数是（）A．5个B．4个C．3个D．2个6．（2019•包头）已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，则m的值是（）A．34B．30C．30或34D．30或367．（2020•福州模拟）关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根分别为x1=−b+√b2+42，x2=−b−√b2+42，下列判断一定正确的是（）A．a＝﹣1B．c＝1C．ac＝﹣1D．ca=18．（2019秋•晋安区期中）x=−5±√52+4×3×12×3是下列哪个一元二次方程的根（）A．3x2+5x+1＝0B．3x2﹣5x+1＝0C．3x2﹣5x﹣1＝0D．3x2+5x﹣1＝0 9．（2020秋•盐城期末）用公式法解一元二次方程3x2﹣4x＝8时，化方程为一般式，当中的a，b，c依次为（）A．3，﹣4，8B．3，﹣4，﹣8C．3，4，﹣8D．3，4，8 10．（2020秋•普宁市期末）用公式法解方程3x2+5x+1＝0，正确的是（）A．x=−5±√136B．x=−5±√133C．x=5±√136D．x=5±√13311．（2020秋•青山区期末）方程x（x﹣1）＝2的两根为（）A．x1＝0，x2＝1B．x1＝0，x2＝﹣1C．x1＝1，x2＝2D．x1＝﹣1，x2＝2 12．（2020秋•思明区校级期中）用求根公式计算方程x2﹣5x+3＝0的根时，公式中b的值为（）A．5B．﹣5C．3D．−5 313．（2020秋•河南月考）用公式法解一元二次方程2x2﹣3x＝1时，化方程为一般式当中的a、b、c依次为（）A．2，﹣3，﹣1B．2，3，1C．2，﹣3，1D．2，3，﹣114．（2020秋•南安市期中）x=−3±√32+4×2×12×2是下列哪个一元二次方程的根（）A．2x2+3x+1＝0B．2x2﹣3x+1＝0C．2x2+3x﹣1＝0D．2x2﹣3x﹣1＝0二．填空题（共5小题）15．（2020秋•朝阳县期末）已知关于x的一元二次方程mx2+x+1＝0有实数根，则m的取值范围是．16．（2019秋•义安区期末）如果关于x的一元二次方程（k+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，那么k的取值范围是．17．（2020•浙江自主招生）若关于x的方程x2﹣k|x|+4＝0有四个不同的解，则k的取值范围是．18．（2019•舟山）在x2++4＝0的括号中添加一个关于x的一次项，使方程有两个相等的实数根．19．（2019•枣庄）已知关于x的方程ax2+2x﹣3＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是．三．解答题（共25小题）20．（2019秋•黄冈期末）若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有两个实数根，求k的取值范围．21．（2019秋•秀屿区期中）求证：不论k为何值时，关于x的一元二次方程x2+（k﹣2）x+（k﹣4）＝0有两个不相等的实数根．22．（2019春•西湖区校级月考）已知关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+2kx+k+3＝0．（1）当k＝1时，求方程的实数根．（2）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围．23．（2019春•房山区期末）当a是什么整数时，关于x的一元二次方程x2﹣4ax+4a2﹣4a﹣5＝0与ax2﹣4x+4＝0的根都是整数．24．（2020秋•滨海新区期末）解方程：x2+4x+8＝2x+11．25．（2020秋•奉贤区期末）解方程：x2+1＝4x．26．（2020秋•天河区期末）解方程：6x2﹣2x﹣1＝2x2﹣2x．27．（2020秋•上海期末）解方程：x2﹣2√5x﹣4＝0．28．（2020秋•西宁期末）解方程：3x2﹣x﹣1＝0．29．（2020秋•市北区期末）解方程：4x2﹣6x﹣3＝0．30．（2021春•三水区校级月考）解方程：2x2﹣10x＝3．31．（2020秋•洛阳期末）关于x的方程x2﹣2x﹣（2m﹣1）＝0有实数根，且m为非正整数，求m的值及此时方程的根．32．（2020秋•常州期末）已知关于x的一元二次方程x2+2mx﹣n2+5＝0．（1）当m＝1时，该一元二次方程的一个根是1，求n的值；（2）若该一元二次方程有两个相等的实数根．①求m、n满足的关系式；②在x轴上取点H，使得OH＝|m|，过点H作x轴的垂线l，在垂线l上取点P，使得PH＝|n|，则点P到点（3，4）的距离最小值是．33．（2020秋•盐城期末）已知关于x的一元二次方程2mx2﹣（5m﹣1）x+3m﹣1＝0．（1）求证：无论m为任意实数，方程总有实数根．（2）如果这个方程的根的判别式的值等于1，求m的值．34．（2020秋•宝应县期末）已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若k为（1）中的最小整数，请求出此时方程的根．35．（2020秋•海东市期末）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的两个实数根，求m的取值范围．36．（2020秋•北京期末）已知关于x的方程mx2+nx﹣2＝0（m≠0）．（1）求证：当n＝m﹣2时，方程总有两个实数根；（2）若方程两个相等的实数根都是整数，写出一组满足条件的m，n的值，并求此时方程的根．37．（2020秋•光明区期末）已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）在1，2，4三个数中，取一个合适的m值代入方程，并解这个方程．38．（2020秋•青白江区期末）不解方程，判断下列关于x的方程根的情况：（1）2x2+x+1＝0；（2）2x2+kx﹣1＝0．39．（2020秋•秦淮区期末）已知关于x的方程x2+2mx+m2﹣1＝0．（1）求证：不论m为何值，该方程都有两个不相等的实数根；（2）若该方程的两个实数根在数轴上所对应的点关于原点对称，则m的值为．40．（2020秋•东城区期末）关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0．（1）若方程有两个相等的实数根，用含m的代数式表示n；（2）若方程有两个不相等的实数根，且m＝﹣4．①求n的取值范围；②写出一个满足条件的n的值，并求此时方程的根．41．（2020秋•呼和浩特期末）已知关于x的一元二次方程mx2﹣4x﹣5＝0．（1）求证：当m＞0时，方程一定有两个不相等的实数根；（2）已知x＝n是它的一个实数根，若mn2﹣4n+m＝3+m2，求m的值．42．（2020秋•长垣市期末）已知关于x的一元二次方程x2+x＝k．（1）若方程有两个不相等的实数根，求实数k的取值范围；（2）当k＝6时，求方程的实数根．43．（2020秋•泰兴市期末）已知关于x的方程kx2+（2k+3）x+k+1＝0．（1）若x＝1是该方程的根，求k的值；（2）若该方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围．44．（2020秋•临清市期末）关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣4x+2＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）如果符合条件的最大整数k是一元二次方程k2+mk+1＝0的根，求m的值．。

.2.3 公式法一、复习引入用配方法解下列方程（1）6x 2-7x+1=0 （2）4x 2-3x=52解：移项，得：6x 2-7x=-1二次项系数化为1，得：x 2- x=配方，得：x 2- x+（ ）2= +（ ）2 （x- ）2=x- =± x 1=x 2=-（2）移项二次项系数化为1，得配方，得总结用配方法解一元二次方程的步骤．（1）移项；（2）化二次项系数为1；（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；（4）原方程变形为（x+m ）2=n 的形式；（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．二、探索新知如果这个一元二次方程是一般形式a x 2+bx+c=0（a ≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．问题：已知ax 2+bx+c=0（a ≠0）且b 2-4ac ≥0，试推导它的两个根x 1=2b a-+，x 2=2b a-- 分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a 、b 、c•也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．解：移项，得：a x 2+bx=-c二次项系数化为1，得x 2+ x=配方，得：x 2+x+（ ）2=- +（ ）2 即（x+ ）2=∵b 2-4ac ≥0且4a 2>0∴2244b ac a-≥0 直接开平方，得：x+2b a =± 即x=∴x 1= ，x 2=由上可知，一元二次方程a x 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此：（1） 解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b-4ac ≥0时，•将a 、b 、c 代入式子x=2b a-就得到方程的根． （2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．例1．用公式法解下列方程．（1）2x 2-4x-1=0 （2）5x+2=3x2 （3）（x-2）（3x-5）=0 （4）4x 2-3x+1=0分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可． 解：（1）a=2，b=-4，c=-1b 2-4ac= = >0x=∴x 1= ，x 2=（2）将方程化为一般形式x 2 x =0a= ，b= ，c=b 2-4ac= = >0x= =x 1= ，x 2=（3）将方程化为一般形式a= ，b= ，c=b 2-4ac=∴x= ∴x 1= ，x 2=（4）a=4，b=-3，c=1b 2-4ac=（-3）2-4×4×1=-7 0 因为在实数范围内，负数开平方，所以方程 实数根． 三、巩固练习（1）27180x x --= （2）22980x x -+=五、归纳小结本节课应掌握：（1）求根公式的概念及其推导过程；（2）公式法的概念；（3）应用公式法解一元二次方程；（4）初步了解一元二次方程根的情况．六、布置作业（1）22410x x --= （2）(2)(35)0x x --=。

3 用公式法求解一元二次方程、教学目标1．知识与技能目标：1）理解判别公式，学会灵活运用判别公式；2）学会运用公式法求解简单的实际应用问题2．过程与方法目标：1）结合方案设计训练，让学生不断探究，寻找问题的突破口，从而学会用公式法解决简单应用问题的方法，增强解决实际问题的能力；2）强化数学分类思想．3．情感、态度与价值观目标：让学生体验到判别公式的实用性，并通过方案设计训练，让学生感受到数学的无穷魅力，从而增强对数学学科的喜爱之情．二、教学重点、难点1．重点：1）学会灵活运用根的判别公式；2）运用公式法，解决简单的实际应用问题．2．难点：根据实际问题，设计灵活多变的解决方案．3．关键：判别公式的应用．4．突破方法：让学生运用公式法解几类“特殊的”一元二次方程，并由此入手，尝试让学生运用分类讨论的方法解决问题．三、教法与学法导航1．教学方法：本着“以学生发展为本”的教育理念，同时也为了使学生都能积极地参与到课堂教学中，发挥学生的主观能动性，本节课主要采用了引导发现、讲练结合的教学方法，按照“实践——认识——实践”的认知规律设计，以增加学生参与教学过程的机会和体验获取知识过程的时间，从而有效地调动了学生学习数学的积极性.2.学习方法:学生充分发挥主观能动性，积极参加数学活动中去，在活动中发现问题，解决问题.四、教学准备1.教师准备:制作课件，布置预习，精选习题.2.学生准备:复习公式法解一元二次方程的方法，预习一元二次方程根的判别式及其应用.五、教学过程1.设置悬念，引发兴趣同学们，上一节课我们已经学会了运用万能公式解一元二次方程的方法, 对吗？既然是万能公式，就是不管什么样的一元二次方程都能用求根公式得出一元二次方程的根，对吗?是不是这样呢？实践是检验真理的唯一标准呢?【设计意图】这样设计，能马上激发学生的学习兴趣和求知欲，为后面发现结论创造一个最佳的心理状态.2•呈现问题，探索新知课件出示例题：用公式法解一元二次方程:2 2 2(1)x +3x+2=0 (2p x -6x+1=0 (3 )x -2x + 3 = 0分小组练习，并指名三名学生当堂板演.【设计意图】这样设计，使学生亲身感知一元二次方程根的情况，培养了学生的探索精神，变老师教”为自己钻”从而发挥了学生的主观能动性.学生练习后，教师带领学生分析三名学生板演中出现的问题后，提问：以上三个例题的根有什么规律?学生小结，得出结论:(1)当 b2 —4ac 〉0时，方程有两个不相等的实数根;利用b^4ac 的值的符号我们可以简单的判别一元二次方程根的 情况，因此，我们将『-4ac 称着一元二次方程根的判别式.根的判别式用字母△”表示，也就是说： 在一元二次方程ax 2+bx + c=0(aK0中，△= b 2-4ac ， 若4 0则方程有两个不相等的实数根；若30则方程有两个相等的实数根；若 △V 0则方程没有实数根.2【设计意图】(1)让学生进一步明白b-4ac 在解一元二次方程时重要的作 用，引出了根的判别式概念.(2)是为了培养学生从具体到抽象的观察、分析与 概括能力.(3)培养学生学会用数学语言来阐述发现的结论， 将感性认识上升到 理性认识，体验发现结论的成功乐趣.课件出示例题1:不解方程判别下列方程根的情况:(1) 2X 2+3X -4=0 ； (2) 16y2+9=24y ； (3) 5(X ^1)-7^0分析：要判别方程根的情况，就是要确定 △值的符号，因此，我们只要计算 下△的大小，根据其符号的情况就可以作出正确的判断了.解: (1)方程 a =2，b=3，c = —4，b 2-4ac = B 2-4冥 2冥(/) > 0，”•.方程有两个不相等的实数根;(2)将方程化成一般式，得 16y 2 -24y+9 =0，这里 a =16 , b = -24 , c = 9，寫b 2 -4ac =(-24)2-4勺6^9 =0 ,二方程有两个相等的实数根;(3)将方程化成一般式，得5X 2-7X +5 = 0，这里a = 5，b = -7 , c = 5，寫b 2 -4ac = (—7)2 -4咒5咒5 C 0，「•方程没有实数根.让学生小组合作对问题展开探讨、练习，各小组汇报练习情况后，教师及时总结，并课件出示例题2:⑵当b 2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根; ⑶当b 2-4ac ＜：0时，方程没有实数根.教师总结:m取什么值时，方程X2+(2m+1)x + m2一4 = 0有两个相等的实数解?分析：一元二次方程有相等的实数根，那么这个方程的根的判别式^=0，本题中的一元二次方程中含有字母系数，因而解题难度主要在于代入时容易出错, 解题时要特别注意字母符号.解：这里 a =1，b=2m + 1，c=m2-4，寫方程有两个相等的实数根,二g2 -4ac ( 2m +1)2 -4x152 _4)=4m + 17 = 0，17解这个方程，得m =-—.417即：当m=-—时，方程X2+(2m+ 1)x +m2-4=0有两个相等的实数解.本题教师可以指导学生尝试解题，对学生解题中出现的疑难问题给予解决，对学生练习中出现的错误及时指正. 最后，教师总结解题的一般思路以及解题中的技巧问题.【设计意图】以上例题的设计，主要是为了给学生创造一个知识运用迁移及巩固的机会，同时也为了吸引和调动全班同学参与到积极动脑，各抒己见的活跃气氛中来，并培养学生分析问题，解决问题的能力.课件出示:方案设计题:在一块长16m，宽12m的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园面积为荒地面积的一半，你能给出设计方案吗？(1)小明的设计方案如图1所示，其中花园四周小路的宽度都相等，他通过解方程，得到了小路的宽为2m或12m .小明的计算结果对吗？为什么?八八八******（2）小亮的设计方案如图2所示，其中花园每个角上的扇形都相同.你能帮小亮求出图2中的x吗？7---- 16J11（3）你还有其他设计方案吗？找出来与同伴交流.小明的设计方案显然是不正确的，答案可以让学生来讨论发现.关键是要让学生明白，好多时候，数学问题必须拿到实际生活中来检验.小亮的设计方案中，要求出教师引导学生列出方程后，还要指导学生使用计算器.其他方案的设计让学生小组合作解决，小组拿出方案后，全班交流.【设计意图】结合方案设计训练，让学生不断探究，寻找问题的突破口，从而学会用公式法解决简单应用问题的方法，增强解决实际问题的能力.3•反馈训练，应用提高课件出示：要建一个面积为150m2的长方形养鸡场，为了节约材料，？鸡场的一边靠着原有的一堵墙，另三边用竹篱笆围成，如果篱笆的长为35m.求鸡场的长与宽各是多少?分析：问题（1）很容易解决，关键是确定长方形养鸡场的长与宽的长，如果设宽度为X，易得其长度为（35-2x），根据面积公式，可列方程.解：（1）设鸡场垂直于墙的宽度为x，则x(35 —2x) =150，解得X =7.5, x =10 ,当x=7.5时，鸡场的宽为7.5m，长为20m，当x=10时，鸡场宽为10m，长为15m.【设计意图】通过练习，巩固方案设计训练的效果，进一步掌握用公式法解决简单应用问题的方法.4 •小结教学，总结反思教师引导学生学生小结本节课学习了哪些内容， 掌握了哪些方法，教师作适应的补充与深化，概括本节课涉及的的知识点.学生总结：本节课学习的主要内容：(1) 一元二次方程的根的判别式及其 应用；(2)简单的一元二次方程的应用，解决一元二次方程的应用问题时要注意 检验.教师扩展：在一元二次方程解法的基础上，我们主要学习了根的判别式的应 用，它在整个中学数学中占有重要地位， 是中考命题的重要知识点，所以必须牢 固掌握好它；而对于一元二次方程的应用，我们在后面的学习中还会针对性来学 习.【设计意图】这样设计是为了使学生能及时巩固本节课所学知识, 自觉学习的习惯，同时对学有余力的学生留出自由的发展空间.六、板书展示3用公式法求解一元二次方程元二次方程根的判别式方法△> 0,方程有两个不相等的实数根;△=0，方程有两个相等的实数根;△< 0,则方程没有实数根.七、课堂作业1 .关于x 的方程m 2x2 +(2m +1)x +1 =0有两个不相等的实数根，则m _________________ .2.已知一个矩形的长比宽多 2cm ，其面积为8cm 2，则此长方形的周长为 3.已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长，且方程a(1 + x 2) + 2bx - c(1 -x 2) = 0的培养学生 旧知温习新知探究 总结反公式法在一元二次方程ax 2 + bx +c = 0(a H 0)中, 知识两根相等，？则△ABC 为( ).A .等腰三角形B .等边三角形C .直角三角形D .任意三角形4•不解方程，判断所给方程：①X 2+3X + 7=0 ；:③x^+x —1=0 A . O 个 B . 1个 C . 2个 D . 3个5.如果关于X 的一元二次方程k 2x 2-(2k+1)x + 1 =0有两个不相等的实数根,求k 的取值范围.6.某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2:1 .在温 室内，沿前侧内墙保留3m 宽的空地，其它三侧内墙各保留1m 宽的通道.当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是288m 2?八、教学反思一堂课的成败好坏，归根到底要看它的教学效果，其教学效果又总是从这样 两个方面来检验：①学生是不是越学越爱学，既是否在课堂中充分调动其学习积 极性、自觉性和求知欲；②学生是不是越学越会学，是否培养了他们的能力和习 惯，发展了他们的智力和素质.从提高教学效果的角度思考，本课还可以作些改 进工作:是可以 放”得更开些.让学生从解题中自己发现什么规律，找到方程 是 否有根”有怎样的根”究竟与什么有关，并通过学生独立思考、小组讨论、组 间交流，自主地发现、归纳出一元二次方程根的判别式的相关知识点. 这样的放” 有利于学生自主学习能力的真正提高.二是要改变作业环节教学，在学生试做练习后，增加组内练习题的纠错.三是在师生共同归纳时，要注意强调纠正学生解题过程中常见的错误.中，有实数根的方程有()•四是在归纳教学时增加学生的课内自我反思环节，让学生自己来理顺本课学习的正确思路.。

22.2.3用公式法解一元二次方程学习目标1、理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．2、复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+bx+c=0（a≠0）• 的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程．重点：求根公式的推导和公式法的应用．难点：一元二次方程求根公式法的推导．活动1 阅读教材第40页至第42页的部分，完成以下问题1、用配方法解下列方程（1）6x2－7x+1=0 （2）4x2－3x=52总结用配方法解一元二次方程的步骤：2、如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根？问题：已知ax2+bx+c=0（a≠0）试推导它的两个根x1x2分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a、b、c•也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．解：移项，得：，二次项系数化为1，得配方，得：即∵a≠0，∴4a2>0，式子b2－4ac的值有以下三种情况：（1） b 2－4ac ＞0，则2244b ac a -＞0直接开平方，得： 即x ∴x 1= ，x 2=（2） b 2－4ac =0，则2244b ac a -=0此时方程的根为 即一元二次程 ax 2+bx +c =0（a ≠0）有两个 的实根。

（3） b 2－4ac ＜0，则2244b ac a -＜0，此时（x +2b a）2 ＜0，而x 取任何实数都不 能使（x +2b a）2 ＜0，因此方程 实数根。

由上可知，一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx +c =0，当b 2－4ac ≥0时，将a 、b 、c 代入式子x b 2－4ac ＜0，方程没有实数根。

（2）x =2b a-±ax 2+bx +c =0（a ≠0）的求根公式． （3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有 实数根，也可能有 实根或者 实根。

公式法解一元二次方程一元二次方程是数学领域中常见且重要的方程形式。

这种方程可以表示为 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b和 c 分别表示常数，而 x表示未知数。

解一元二次方程的方法有很多种，例如因式分解法、配方法等。

本文将重点介绍一种常用的解法，即公式法。

公式法是通过使用一元二次方程的求根公式，来求解该方程的根。

求根公式有两个，分别是负根公式和正根公式。

下面将详细介绍这两个公式以及如何使用它们解一元二次方程。

对于一元二次方程 ax^2 + bx + c = 0，首先需要计算出判别式Δ，Δ 的计算公式为Δ = b^2 - 4ac。

根据Δ 的值可以得出方程的根的情况：1. 如果Δ > 0，即判别式大于零，方程有两个不相等的实数根。

此时，可以使用正根公式和负根公式进行求解。

正根公式的计算公式为 x_1 = (-b + √Δ) / (2a)；负根公式的计算公式为 x_2 = (-b - √Δ) / (2a)。

通过带入这两个公式，可以得到方程的两个根。

2. 如果Δ = 0，即判别式等于零，方程有两个相等的实数根。

此时只需要使用一种求根公式。

求根公式的计算公式为 x = -b / (2a)。

带入这个公式，可以得到方程的根。

3. 如果Δ < 0，即判别式小于零，方程没有实数根，而是有两个共轭复数根。

此时只需要使用虚数单位 i，其定义为√(-1)。

求根的计算公式为 x_1 = (-b + i√|Δ|) / (2a)；x_2 = (-b - i√|Δ|) / (2a)。

通过带入这两个公式，可以得到方程的根。

下面通过一些实例来说明公式法的应用：例1：求解方程 2x^2 - 3x - 2 = 0。

首先计算判别式Δ = (-3)^2 - 4(2)(-2) = 9 + 16 = 25。

由于Δ > 0，所以方程有两个实数根。

然后，根据正根公式和负根公式计算根：x_1 = (-(-3) + √25) / (2(2)) = (3 + 5) / 4 = 8 / 4 = 2；x_2 = (-(-3) - √25) / (2(2)) = (3 - 5) / 4 = -2 / 4 = -0.5。

初中公式法解一元二次方程一元二次方程是形如ax²+bx+c=0的方程，其中a、b、c是实数，且a≠0。

一般我们先用公式法解一元二次方程。

公式法根据方程的a、b、c代入求解，这种方法也被称为“根的求解公式”。

解一元二次方程的公式为：x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)下面我将详细介绍使用公式法解一元二次方程的步骤。

步骤一：将方程改写为标准形式将方程进行整理，将代数式重新排列为ax²+bx+c=0的形式，确保方程左边等于零。

步骤二：根据公式找出a、b、c的值根据方程的标准形式，我们可以确定a、b、c的值。

系数a为二次项系数，系数b为一次项系数，c为常数项。

步骤三：计算b²-4ac的值将a、b、c的值代入公式b²-4ac中进行计算。

步骤四：计算平方根计算√(b²-4ac)的值。

步骤五：计算两个根的值将步骤四中计算得到的值代入公式x = (-b ± √(b²-4ac)) / (2a)中分别计算出两个根的值。

当计算平方根时，根据b²-4ac的值可以分成三种情况：1. 当b²-4ac>0时，方程有两个不相等的实根，公式法可以得到两个不同的解。

2. 当b²-4ac=0时，方程有两个相等的实根，公式法可以得到相同的解。

3. 当b²-4ac<0时，方程没有实根，公式法不能得到实数解。

在这种情况下，方程有两个共轭复数解。

复数解的形式为x = (-b ± √(4ac-b²)i) / (2a)，其中i为虚数单位。

在实际应用中，我们经常需要使用一元二次方程来解决问题。

例如，通过解一元二次方程可以求得平面上抛物线的顶点、求得一个自由下落物体的落地时间、求得汽车的行程时间等。

因此，掌握解一元二次方程的方法对于我们解决实际问题是非常有帮助的。

公式法解一元二次方程是一种常用且简便的方法，但我们也可以使用其他方法来解方程，例如因式分解法、配方法、完全平方公式和图像法等。