蝴蝶定理的证明及推广

摘要蝴蝶定理想象洵美，蕴理深刻，近两百年来，关于蝴蝶定理的研究成果不断，引起了许多中外数学家的兴趣。

到目前为止，关于蝴蝶定理的证明就有60多种，其中初等证法就有综合证法、面积证法、三角证法、解析证法等。

而基于蝴蝶定理的推广与演变，能得到很多有趣与漂亮的结果。

关键词：蝴蝶定理；证明；推广；一摘要[1]作者简介：陈富，祖籍江苏泰州，现就读于湖南工业大学机械工程学院机械系。

[2]指导老师简介：刘东南，祖籍湖南邵阳，现任湖南工业大学讲师。

在20世纪20年代时，蝴蝶定理作为一道几何题传到我国中学数学界，严济慈教授在《几何证题法》中有构思奇巧的证明。

如可将蝴蝶定理中的圆“压缩变换”为椭圆，甚至变为双曲线、抛物线、筝形、凸四边形、两直线，都依然成立。

另外，如果将蝴蝶定理中的条件一般化，即M 点不再是中点，能得到坎迪定理、若M 、N 点是AB 的三等分点，两次应用坎迪定理，能得到“三翅蝴蝶定理”。

二 蝴蝶定理的证明（一）运用简单的初中高中几何知识的巧妙证明蝴蝶定理经常在初中和高中的试卷中出现，于是涌现了很多利用中学简单几何方法完成蝴蝶定理的方法。

1 带有辅助线的常见蝴蝶定理证明在蝴蝶定理的证明中有各种奇妙的辅助线，同时诞生了各种美妙的思想，蝴蝶定理在这些辅助线的帮助下，翩翩起舞！证法1 如图2，作OU AD OV BC ⊥⊥，，则垂足U V ，分别为AD BC 、的中点，且由于EUO EMO 90∠=∠=︒ FVO FMO 90∠=∠=︒得M E U O 、、、共圆；M F V O 、、、共圆。

则AUM=EOM MOF MVC ∠∠∠=∠，又MAD MCB ，U V 、为AD BC 、的中点，从而M U A M V ∆∆，AUM MVC ∠=∠则 EOM MOF ∠=∠，于是ME=MF 。

[1]证法2 过D 作关于直线OM 的对称点D'，如图3所示，则FMD'EMD MD=MD'∠=∠， ○1联结D'M 交圆O 于C'，则C 与C'关于OM 对称，即PC'CQ =。

又111CFP=QB+PC =QB+CC'+CQ =BC'=BD'C'222∠∠（）（）故M F B D'、、、四点共圆，即MBF MD'F ∠=∠D而 M B F E D M ∠=∠ ○2 由○1、○2知，DME D'MF ∆≅∆，故ME=MF 。

证法3 如图4，设直线DA 与BC 交于点N 。

对NEF ∆及截线AMB ，NEF ∆及截线CMD 分别应用梅涅劳斯定理，有F M E A N B 1M E A N B F ⋅⋅=，FM ED NC1ME DN CF ⋅⋅= 由上述两式相乘，并注意到N A N D N C N B ⋅=⋅ 得22FM AN ND BF CF BF CFME AE ED BN CN AE ED⋅=⋅⋅⋅=⋅()()()()2222PM MF MQ MF PM MF PM ME MQ+ME PM ME-==-+--化简上式后得ME=MF 。

[2] 2 不使用辅助线的证明方法单纯的利用三角函数也可以完成蝴蝶定理的证明。

证法 4 （Steven 给出）如图5，并令DAB=DCB ADC=ABC DMP=CMQ AMP=BMQ PM MQ ME MF a x yαβγδ∠∠=∠∠=∠∠=∠∠=====， 由FCM AME EDM FMBFCM EDM FMB AMES S S S 1S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆⋅⋅⋅=，即 AM AE sin FM CM sin ED MD sin MF MB sin 1MC CF sin EM MD sin FB BM sin MA ME sin αγβδαγβδ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅化简得 ()()()()222222M F C F F BQ F F P M E A E E DP E E Q a y ay a y a x a x a x -+⋅⋅-====⋅⋅-+- 图 3图4D图 5D即 222222x y a y a x -=-，从而 ,ME MF x y ==。

证法 5 令PMD QMC QMB AMP αβ∠=∠=∠=∠=，，以点M 为视点，对MBC ∆和MAD ∆分别应用张角定理，有()()sin sin sin sin sin sin MF MC MB ME MD MAαβαββαβα++=+=+，上述两式相减，得()()(11sin sin sin MC MD MB MF ME MC MD MA MB βααβ⎛⎫+-=--- ⎪⋅⋅⎝⎭设G H 、分别为CD AB 、的中点，由OM PQ ⊥，有()()MB MA 2MH 2OM cos 902OM sin MD MC 2MG 2OM cos 902OM sin ββαα-==︒-=-==︒-=于是 ()11sin 0MF ME αβ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，而180αβ+≠︒，知()sin 0αβ+≠，故ME=MF 。

（二） 运用解析几何的知识完成蝴蝶定理的证明在数学中用函数的方法解决几何问题也是非常重要的方法，所以解析几何上夜出现了许多漂亮的证明蝴蝶定理的方法，以下列出几个例子以供参考。

证法 6 （单墫教授给出）如图6，建立直角坐标系，则圆的方程可设为()222x y a R ++=。

直线AB 的方程为1y k x =，直线CD 的方程为2y k x =。

由于圆和两相交直线组成了二次曲线系，其方程为()()()222120x y a R y k x y k x μλ⎡⎤++-+--=⎡⎤⎣⎦⎣⎦令0y =，知点E 和点F 的横坐标满足二次方程()()222120k k x a R μλμ++-=，由于x 的系数为0，则两根1x 和2x 之和为0，即12x x =-，故ME=MF 。

[5]证法 7 如图7程可写为()222x a y r -+=直线AB 、CD 的方程可写为1y k x =,2y k x =又设A B C 、、、的坐标(),,1,2,3,4i i x y i =，则14x x 、()()2222222212,x a k x r x a k x r -+=-+=根。

AD 在y 轴上的截距为()241114111112141k x k x x y y y x k x x x x x ---⋅=-=--。

同理，BC 在y 轴上的截距为()122332k k x xx x --方程()22221120kxa x a r +-+-=的两根()22222120k xax a r +-+-=的两根，所以34122212342x x x x ax x a r x x ++==-，从而易得 341212340x x x x x x x x +=--，即ME MF =。

证法 8 如图8，以M 为极点，MO 为极轴建立极坐标系。

因C F B 、、三点共线，令BMx CMx αβ∠=∠=，，则()C F F B C B sin sin sin 22ππρρβρραρρβα⎛⎫⎛⎫-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即 ()C B F B C sin cos cos ρρβαρραρβ-=- ○1图 8()A D E A D sin cos cos ρρβαρραρβ-=- ○2作OU CD ⊥于U ，作OV AB ⊥于V 。

注意到A B C D ρρρρ= ○3 由Rt OUM ∆与Rt OVM ∆可得D CB A cos cos ρρρραβ--=- ○4 将○3○4代入○1○2可得E F ρρ=，即ME=MF 。

二 蝴蝶定理的推广和猜想（一） 猜想 1 在蝴蝶定理中, P 、 Q 分别是 ED 、 CF 和AB 的交点.如果 P 、 Q 分别是 CE 、 DF 和AB 延长线的交点,我们猜想, 仍 可能会有 PM = QM .推论 1 过圆的弦 AB 的中点M 引任意两条弦 CD 与 EF, 连结 CE 、 DF 并延长交 AB 的延长线于 P 、 Q. 求证: PM = QM.证明;设AM =BM = a, PM = x,QM = y ;∠PM E = ∠QM F =α,∠PCM = ∠DFM =β ;∠CM E = ∠DM F =γ,∠QDM = ∠CEM =δ ;记 △PM E, △QM F,△PMC, △QMD 的面积分别为 S1 , S2 , S3 , S4.则由恒等式S2·S3·S4·S1= 1知M P·M Esin αMQ·M Fsin α · FQ·FM sin (π - β)CP ·CM sin β ··MCsin (α+γ)·MD sin (α+γ)· DQ·DM sin δEP·EM sin (π - δ )=·DQ·M P2·EP·MQ2 = 1,即 QF ·QD ·M P 2= PC·PE·MQ2. ②又由割线定理知PC·PE = PA·PB = ( x - a) ( x + a) = x2- a2,QF·QD = QB·QA = ( y - a) ( y + a) = y2- a2.代入 ②式, 得 ( y2- a2) x2= ( x2- a2) y2. 即 a2x2= a2y2.由于 a ≠0, x, y > 0,所以 x = y .即 PM = QM.[3]（二）猜想 2 在蝴蝶定理中, 显然 OM 是 AB 的垂线 (O 是圆心) , 那么, 我们可以猜想,如果在保持 OM ⊥AB 的前提下将圆 O 的弦 AB 移至圆外, 仍可能会有 PM =QM .推论 2 已知直线 AB 与 ⊙O 相离. OM ⊥AB, M 为垂足. 过 M 作 ⊙O 任意两条割线 MC, M E 分别交 ⊙O 于 C, D 和 E, F. 连结DE,FC 并延长分别交 AB 于 P, Q. 求证: PM = QM.证明：过 F作 FK∥AB, 交直线 OM于 N,交⊙O于 K .连结 M K交⊙O于 G. 连结 GQ, GC. 由于 ON ⊥FK,故有 FN = KN,从而M F =M K(因为M在 FK的垂直平分线上) .又由割线定理知M E·M F = MG·M K .因此 M E = MG. ③又由∠FMN = ∠KMN, OM ⊥AB,知∠EM P = ∠GMQ. ④从∠CQM = ∠CFK = ∠CGK知∠CGM +∠CQM= 180° , 从而 G,M, Q, C四点共圆. 所以∠MGQ =∠MCQ.又由于∠M EP = ∠DEF = ∠DCF = ∠MCQ, 知∠M EP = ∠MGQ. ⑤由③、④、⑤知△PM E ≌△QMG.所以 PM = QM.（三）猜想3既然蝴蝶定理对于双曲线是成立的, 而双曲线是两条不相交的曲线, 那么, 我们可以猜想,如果把两条不相交的曲线换成两条不相交的直线 (也即是两条平行线) , 仍可能会有 PM = QM .推论 3设点 A、 B分别在两条平行线 l 1、 l 2上,过AB的中点M任意作两条直线 CD和 EF分别交 l 1、 l 2于C、 D和 E、 F, 连结 ED、 CF交 AB于 P、Q. 求证: PM =QM.证明：由于 l 1 ∥ l 2 ,M 平分AB, 从而利用△MAC≌△MBD知M平分 CD, 利用△MAE≌△MBF知 M平分 EF.在四边形 CEDF中, 由对角线相互平分知 CEDF是平行四边形,从而 DE ∥CF. 又由于 M平分 EF,故利用△M EP ≌△M FQ知 PM = QM。