平面直角坐标系及伸缩变换

选修4-4 §1.2平面直角坐标系中的伸缩变换〖知识网络建构〗1．一般地，由⎩⎨⎧kx = x'，y = y'所确定的伸缩变换，是伸缩系数为k 向着y 轴的伸缩变换。

当k > 1时，表示伸长；当 k < 1时，表示压缩，即曲线上所有的点的纵坐标不变，横坐标变为原来的 k 倍。

这里P （x ，y)是变换前的点，P'(x'，y')是变换后的点。

2．同样由 ⎩⎨⎧x = x'，ky = y'所确定的伸缩变换是伸缩系数为k 向着x 轴的伸缩变换。

〖典例剖析〗【例1】：求下列点经过横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的3倍后的点的坐标： （1） （1，2）； （2） （-2，-1）. 【例1】解：（1）（2，6）；（2）（-4，-3）.【变式与拓展1】．点（2，-3）经过伸缩变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y y x x 31'21'后的点的坐标是 ；解：变式1．（1，-1）；【变式与拓展2】．点),(y x 经过伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧==yy x x 3'21'后的点的坐标是（-2，6），则=x ，=y ；解：变式2．2,4=-=y x【例2】：在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换⎩⎨⎧==yy xx 3'2'后的图形：（1）032=+y x ；（2）122=+y x .【例2】解：（1）0''=+y x ；（2）19'4'22=+y x 〖能力训练〗1．点)1,2(π经过伸缩变换⎩⎨⎧==yy xx 3'2'后的点的坐标是 )3,(π； ； 2．点),(y x 经过伸缩变换⎩⎨⎧==yy xx 2'3'后的点的坐标是)4,3(-π，则=x x π=，=y 2y =-.3．曲线364922=+y x 经过伸缩变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y y x x 31'21'后的曲线方程是 1''22=+y x .4．曲线C 经过伸缩变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y y x x 21'31'后的曲线方程是36'9'422=-y x ，则曲线C 的方程是1''22=-y x .5．将点（2，3）变成点（3，2）的伸缩变换是（B ）A.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y y x x 23'32' B.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y y x x 32'23' C.⎩⎨⎧==x y y x '' D.⎩⎨⎧-=+=1'1'y y x x6．将直线22=-y x 变成直线4''2=-y x 的伸缩变换是 ⎩⎨⎧==y y xx 4'' .7．在伸缩变换⎩⎨⎧==y y x x '2'与伸缩变换⎩⎨⎧==yy x x 2'2'的作用下，单位圆122=+y x 分别变成什么图形？解：在⎩⎨⎧==y y x x '2'的作用下，单位圆变成椭圆1'4'22=+y x ；在⎩⎨⎧==yy x x 2'2'的作用下，单位圆变成圆4''22=+y x ；8．为了得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图像，只需将函数R x x y ∈=,sin 2的图像上所有的点（C ）A.向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变） B.向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）C.向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） D.向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）9．曲线)6sin(π+=x y 经过伸缩变换⎩⎨⎧==y y x x 2'3'后的曲线方程是 )63'sin(2'π+=x y ；10．将曲线0222=+-x y x 变成曲线0'4'16'22=+-x y x 的伸缩变换是 ⎪⎩⎪⎨⎧==y y x x 21'2' .11.函数()f x 的图像是将函数2log (1)x +的图像上各点的横坐标变为原来的13，纵坐标变为原来的12而得到的，则与()f x 的图像关于原点对称的图像的解析式是 。

4.3.2 平面直角坐标系中的伸缩变换【教学目标】通过具体例子，了解在平面直角坐标系中图形在伸缩变换下平面图形的变化情况。

【教学重点】平面图形的伸缩变换及伸缩变换下的图形的变化规律。

【教学过程】一、问题情境圆 x 2 +y 2 = 100在水平方向将其拉长，得到的是表示怎样的一条曲线？函数y = sin(3x) 是由y = sin x 经过怎样的变换得到的？二、讲授新课伸缩变换1．一般地，由⎩⎨⎧kx = x'，y = y'所确定的伸缩变换，是伸缩系数为k 向着y 轴的伸缩变换。

当k > 1时，表示伸长；当 k < 1时，表示压缩，即曲线上所有的点的纵坐标不变，横坐标变为原来的 k 倍。

这里P （x ，y)是变换前的点，P'(x'，y')是变换后的点。

2．同样由 ⎩⎨⎧x = x'，ky = y'所确定的伸缩变换是伸缩系数为k 向着x 轴的伸缩变换。

3．由⎩⎨⎧k 1x = x'，k 2y = y'所确定的伸缩变换的意义是什么？ 若伸缩变换的方向是任意的，按平面向量基本定理，可以将它们分解为向着 x 轴和向着 y 轴的伸缩变换。

三、例题选讲【例1】对下列曲线向着x轴进行伸缩变换，伸缩系数k = 1 4。

⑴2x +3y −6 = 0；⑵ x2 +y2 =16。

【例2】设M1是A1（x1，y1)与B1（x2，y2)的中点，经过伸缩变换后，它们分别是M2，A2，B2，求证：M2是A2B2的中点。

【例3】证明：直线经过伸缩系数k向着x轴（或y轴）的伸缩变换后，仍是直线。

【例4】将椭圆x2 + y24= 1 向着y 轴方向伸缩变换为圆，写出坐标变换公式；若向着x 轴方向伸缩变换为圆，写出坐标变换公式。

【例5】双曲线4x2−9y2 = 1经过伸缩变换为等轴双曲线x2−y2 = 1吗？若能，写出变换过程，若不能，请说明理由。

五、课堂小结：伸缩变换和三角函数y =Asin ωx的伸缩变换是统一的，要体会坐标的变换在平面图形的变换中的作用。

2023讲坐标系平面直角坐标系中的伸缩变换contents •引言•平面直角坐标系的基本概念•伸缩变换的基本原理•伸缩变换的应用实例•平面直角坐标系中的伸缩变换•结论与展望目录01引言伸缩变换是指对平面直角坐标系中的点进行有比例的放大或缩小，可以用一个矩阵来表示这种变换。

伸缩变换的主要特点是，原点保持不变，且每个轴上的单位长度发生了变化。

伸缩变换的定义伸缩变换在图像处理、计算机视觉和机器学习等领域具有广泛应用。

通过伸缩变换，可以将图像或数据集的大小调整为适合分析或处理的要求，从而提高算法的准确率和效率。

伸缩变换的重要性伸缩变换的应用场景图像缩放01在图像处理中，通过伸缩变换可以调整图像的大小，以满足不同应用的需求。

数据预处理02在机器学习中，为了提高算法的准确性，通常需要对数据进行预处理，其中包括对数据进行缩放。

通过伸缩变换，可以将数据调整为同一尺度，减少计算误差。

计算机视觉03在计算机视觉中，伸缩变换被广泛应用于目标检测、识别和跟踪等领域。

通过对图像进行伸缩变换，可以增强目标特征，提高检测准确率。

02平面直角坐标系的基本概念在平面直角坐标系中，每个点都可以由两个数值，即横坐标和纵坐标，来表示。

例如，点A的坐标为(3,4)。

点的坐标表示点的坐标平面直角坐标系的原点是(0,0)。

原点平面直角坐标系中有两条相互垂直的坐标轴，分别是x轴和y轴。

坐标轴点到点的距离在平面直角坐标系中，两点之间的距离可以通过欧几里得距离公式来计算。

例如，点A(3,4)到点B(1,2)的距离是[(3-1)^2 + (4-2)^2]^0.5 = 2.8284。

向量的模一个向量的模等于其终点与原点之间的距离。

例如，向量OA的模是[(3^2 + 4^2)^0.5] = 5。

距离与向量的计算平面几何的基本定理勾股定理在直角三角形中，勾股定理表述了两条直角边的平方和等于斜边的平方。

平行线之间的距离两条平行线之间的距离等于两直线上的对应点之间的距离。

课前案知识梳理：( 一 ) 、直角坐标系：1、直线上点的坐标：2、平面直角坐标系：右手系：左手系：3、空间直角坐标系：（二）、平面上的伸缩变换：1、定义：设 P(x,y) 是平面直角坐标系中随意一点，在变换x 'x(0):y'y(0)的作用下，点P(x,y) 对应 P’(x ’,y称’).为平面直角坐标系中的伸缩变换2、注（ 1）0,01xx'例 2、在同一平面直角坐标系中，曲线 C 经过伸缩变换3后的曲线方程是 4x'29 y'236 ，1y'y2求曲线 C 的方程。

x '3x例 3. （1）在同一平面直角坐标系中，曲线 C 经过伸缩变换后的曲线方程是y 'y29 y '2x '9，求曲线 C的方程。

（2）把图形当作点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换能够用坐标伸缩变换获得；（3）在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同向来角坐标系下进行伸缩变换。

（ 2）、在同一平面直角坐标系中，求直线x-2y=2 变为直线2 x' y ' 4 的伸缩变换课中案例 1、由已知伸缩变换、变换后图形的方程两个条件，求出原图形的方程：（ 1）、已知点（ x,y ）经过伸缩变换x'3x(3 , 4) ，则x=， y= .y'后的点的坐标是2y1 xx'例 4. 曲线 C经过伸缩变换3后的曲线方程是4x'29y'236 ，求曲线C的方程。

1 y1y'（ 2）、已知点 (x,y) 经过伸缩变换x'x后的点的坐标是（-2 ， 6），则 x=， y=；2 2y'3y课后案1．将点（ 2， 3）变为点（ 3， 2）的伸缩变换是（）x'2x'3x xx'y x'x1A.3B.2C.D.y' 3 y y' 2 y y'x y'y1 232.将点P ( x , y )的横坐标伸长到本来的 2 倍，纵坐标压缩为本来的 1 ，获得点P的坐标为3x, 3y)y y x（） A.(2 B. (2x,3)C. (3x,2)D. (3, 2y)x xlog2 (x 2)3.曲线C经过伸缩变换y 1 y后获得曲线C的方程为 y,则曲线C的3y1( x2)y 3 log 2 ( x2)方程为（） A.3 log 2 B.C. y1D. y log2 (3x2) log 2 (3x2 )4. 把函数y sin 2x 的图像作如何的变换能获得y sin(2 x) 的图像（）3A．向左平移B．向右平移C．向左平移3D．向右平移663 5. 将y f ( x) 的图像横坐标伸长到本来的 3 倍，纵坐标缩短到本来的1，则所得函数的分析式为3（）A．y 3 f (3x) B.y 1f (3 x) C.y 3 f (1x) D.y1f (1x) 3333x'1x后的点的坐标是（-2， 6），则x， y6．点(x, y)经过伸缩变换2；y'3y7．将直线x 2 y 2 变为直线 2x'y' 4 的伸缩变换是.8．为了获得函数y x), x R 的图像，只要将函数y 2 sin x, x R 的图像上全部的点2sin(36A. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到本来的1倍（纵坐标不变）63B. 向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到本来的1倍（纵坐标不变）63C. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到本来的 3 倍（纵坐标不变）6D. 向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到本来的 3 倍（纵坐标不变）69. 曲线y sin(xx'3x) 经过伸缩变换后的曲线方程是；6y'2y10. 曲线x2y 22x0变为曲线 x'216 y' 24x' 0 的伸缩变换是.x' 1 x11. 曲线9x2 4 y236 经过伸缩变换2后的曲线方程是.y'1y312. 将直线x 2 y2变为直线 2x' y' 4 的伸缩变换是.13. 函数y1cos2 x3sin x cos x1, x R .22（ 1）当函数y获得最大值时，求自变量x 的会合；（ 2）该函数的图像可由y sin x( x R) 的图像经过如何的平移和伸缩变换获得?（）3．在伸缩变换x' 2 x x' 2 xy21 分别变为什么图形？y'与y' 的作用下，单位圆 x2y2y4. 函数 yxy1，经过如何的平移变换与伸缩变换才能获得函数？3x 1x1．点 ( x, y) 经过伸缩变换x' 3x 4) ，则 x， y .y' 后的点的坐标是 (3 ,2 y2．将直线 x 2y 2 变为直线 2x' y' 4 的伸缩变换是.3．为获得函数 y2 sin(x6), x R 的图像，需将 y2 sin x, x R 的图像上全部的点（）31倍（纵坐标不变）A. 向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到本来的63B. 向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到本来的1倍（纵坐标不变）63C. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到本来的 3 倍（纵坐标不变）6D. 向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到本来的 3 倍（纵坐标不变）64．曲线y sin( x) 经过伸缩变换 x' 3xy'后的曲线方程是；62 y5．将曲线 x 2 y 22x 0变为曲线 x'216 y'2 4x' 0的伸缩变换是.6. 函数 f ( x) 的图像是将函数 log 2 ( x 1) 的图像上各点的横坐标变为本来的1，纵坐标变为本来的 1而获得的，则与3f ( x) 的图像对于原点对称的图像的分析式是。

一、平面直角坐标系中的伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换的作用下，点P(x，y)对应到P'(x'，y')，称为平面直角坐标系中的伸缩变换。

在平面上取两条互相垂直并选定了方向的直线，一条称为x轴，一条称为y轴，交点O为原点。

再取一个单位长度，如此取定的两条互相垂直的且有方向的直线和长度单位构成平面上的一个直角坐标系，即为xOy。

数轴（直线坐标系）:在直线上取定一点O，取定一个方向，再取一个长度单位，点O，长度单位和选定的方向三者就构成了直线上的坐标系，简称数轴．如图，平面直角坐标系：在平面上取两条互相垂直并选定了方向的直线，一条称为x轴，一条称为y轴，交点O为原点。

再取一个单位长度，如此取定的两条互相垂直的且有方向的直线和长度单位构成平面上的一个直角坐标系，即为xOy。

如图：建立坐标系必须满足的条件:任意一点都有确定的坐标与它对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置．坐标系的作用：①坐标系是刻画点的位置与其变化的参照物；②可找到动点的轨迹方程，确定动点运动的轨迹（或范围）；③可通过数形结合，用代数的方法解决几何问题。

平面直角坐标系知识点（1）平面直角坐标系：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称直角坐标系。

（2）两条数轴分别置于水平位置与垂直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。

水平的数轴叫做x轴或横轴，垂直的数轴叫做y轴或纵轴，x轴y轴统称为坐标轴，它们的公共原点O称为直角坐标系的原点。

（3）x轴y轴将坐标平面分成了四个象限，右上方的部分叫做第一象限，其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限。

第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等;第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。

（4）坐标平面内的点与有序实数对一一对应。

有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对,记作(a,b)。

平面直角坐标系中的伸缩变换
【例1】 在同一平面直角坐标系中，求一个伸缩变换，使得圆
x 2＋y 2＝1变换为椭圆x 29＋y 24＝1.
【解】 设伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧
x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (μ>0)， 由题知λ2x 29＋μ2y 24＝1，
即⎝ ⎛⎭⎪⎫λ32x 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫μ22y 2＝1. 与x 2＋y 2＝1比较系数，
得⎩⎪⎨⎪⎧ ⎝ ⎛⎭⎪⎫λ32＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫μ22＝1，故⎩⎪⎨⎪⎧
λ＝3，μ＝2， 所以伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧
x ′＝3x ，y ′＝2y ，即先使圆x 2＋y 2＝1上的点的纵坐标不变，将圆上的点的横坐标伸长到原来的3倍，得到椭圆x 29＋y 2＝1，
再将该椭圆的点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到椭圆x 29＋y 24＝1.
若函数y ＝f (x )的图象在伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧
x ′＝2x ，y ′＝3y 的作用下得到曲线的方程为y ′＝3sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ′＋π6，求函数y ＝f (x )的最小正周期． 解：由题意，把变换公式代入曲线y ′＝3sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ′＋π6得3y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，整理得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x ＋π6.所以y ＝f (x )的最小正周期为2π2＝π.。

选修4-4 第一讲 坐标系2.平面直角坐标系中的伸缩变换学习目标1.回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法，体会坐标系的作用.2.通过具体例子，了解在平面直角坐标系中伸缩变换作用下平面图形的变化情况，掌握平面直角坐标系中的伸缩变换.教学重点：平面图形的伸缩变换及伸缩变换下的图形的变化规律。

教学难点：准确理解伸缩变换的意义并会用于解题.学习过程：一、问题情境1.圆 x 2 +y 2 = 100在水平方向将其拉长，得到的图形是表示怎样的一条曲线？2.函数y = sin3x 是由y = sin x 经过怎样的变换得到的？二、讲授新课1.思考探究(1)怎样由正弦曲线y=错误！未找到引用源。

得到曲线y=错误！未找到引用源。

(2)怎样由正弦曲线y=错误！未找到引用源。

得到曲线y=错误！未找到引用源。

（3怎样由正弦曲线y=错误！未找到引用源。

得到曲线y=错误！未找到引用源。

2.伸缩变换设点P （x,y ）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换错误！未找到引用源。

的作用下，点 P （x,y ） 对应到点),('''y x P ，称错误！未找到引用源。

为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.三、例题讲解：例1：求点)1,2(π经过伸缩变换⎩⎨⎧==y y x x 3'2'后的点的坐标.变式：已知点),(y x 经过伸缩变换⎩⎨⎧==yy x x 2'3'后的点的坐标是)4,3(-π，则=x ，=y .例2：求图形的伸缩变换：直线064=-+y x 变成直线23x y ''-=.变式：求图形的伸缩变换：曲线224936x y +=变成曲线221x y ''+=例3：在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换23x x y y '=⎧⎨'=⎩错误！未找到引用源。

后的图形.（1）2x+3y=0； (2)错误！未找到引用源。

平面直角坐标系中的伸缩变换【教学目标】平面直角坐标系中的坐标变换【教学重难点】重点；理解平面直角坐标中的坐标变换，伸缩变换。

难点；会用坐标变换，伸缩变换解决实际问题教学方法：启发，诱导发现教学【教学过程】一、阅读教材P4—P8思考1：怎样由正弦曲线siny x=？=得到曲线sin2y x思考：“保持纵坐标不变横坐标缩为原来的一半”的实质是什么？坐标压缩变换：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来1/2，得到点P’(x’,y’).坐标对应关系为：通常把上式叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换。

思考2：怎样由正弦曲线sin=？y x=得到曲线3siny x思考：“保持横坐标不变纵坐标缩为原来的3倍”的实质是什么？设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持横坐标x不变，将纵坐标y伸长为原来3倍，得到点P’(x’,y’).坐标对应关系为：通常把上式叫做平面直角坐标系中的一个伸长变换。

思考3：怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x? 写出其坐标变换。

二、新课讲解定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换的作用下，点P(x,y)对应P’(x’,y’).称为平面直角坐标系中的伸缩变换。

注 （1）（2）把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到；（3）在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一直角坐标系下进行伸缩变换。

【例题2】在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换''23x x y y⎧=⎨=⎩后的图形。

（1）2x+3y=0; (2) 221x y += （详细解答见课本第8页）三．当堂训练课本第8页第四题；回答第8页思考。

四．教学小结掌握平面直角坐标中的坐标变换，伸缩变换。

五．作业设计课本第8页； 5题，6题六．教学反思1、“坐标法”解析几何学习的始终，同学们在不断地体会“数形结合”的思想方法并自始至终强化这一思想方法。