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3.2 Newton冷却(加热)定律及应用
• 但在实际生活中.该定律具有较广泛的应用.例如当我们把冰柜中的冻 肉拿出来化冻做菜时.可以把室温认为不变.根据做若干次温度测试得 的估算值.就可以计算大约有多长时间能使冻肉化冻为可用的温度.同 样夏天我们会把饮料放到冰箱中去降温.要多长时间才能使饮料降到 我们满意的温度呢?甚至在公安刑侦人员侦破谋杀案件时.往往需要很 快估算被害者死亡时间.从而可以缩小对作案者的调查范围.作为 Newton冷却(加热)定律的一个应用.
第3章微分方程建模方法
• 3.1微分方程建模原理和方法 • 3.2Newton冷却(加热)定律及应用 • 3.3车间空气清洁问题 • 3.4古物年代测定法 • 3.5掷铅球问题 • 3.6森林救火的数学模型 • 3.7肿瘤生长模型 • 3.8放射性废物的处理问题 • 3.9人口增长预测模型 • 3.10经济模型
C^14的衰减数为每克每分钟6. 68个.已知C^14的半衰期为T=5 568年. 由此推断刻有Hammurabi字样的木炭的年龄.
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3.5掷铅球问题
• 实际间题掷铅球问题是一个力学问题.它的历史背景为:运动员推铅球. • 一般是按铅球有效投掷距离的远近来计算成绩的.如何将铅球推得更
远.这是运动员所关心的.也是体育教练所关心的.生活经验告诉我们.在 掷铅球的过程中.投射角和初速度是两个重要因索.那么.在运动员的训 练过程中.教练员应该如何指导运动员尽快提高成绩呢? • 思想和启发该问题所涉及的背景知识和条件归纳起来有以下生点: • (1)运动员的活动区域是直径为2. 135 m的圆面.所谓有效投掷是指 运动员在活动区域内.单手推出铅球.铅球落在合法区域之中;
• 当然数学模型的建立方法不是一成不变的.在实际中要根据具体问 题采用不同的建模方法才会使建模过程更简洁.才会有新的创意.这也 正是建模的意义之所在.因此.我们在学习过程中要勇于探索.大胆创新. 灵活运用建模方法.以提高自己解决实际问题的能力.
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3.2 Newton冷却(加热)定律及应用
• 实际间题假设夏天在有空调的房间内用温度计测得室内温度为2 0℃ , 为了了解室外温度.把室内的一支读数为20℃的温度计放到室 外.10min后观察到读数变为25. 2 ℃ ,20 min后再观察读数变为28. 32℃.请问你能根据温度计的变化推算户外温度吗?是否可以建立一般 模型来求出户外温度?
• 思路与启发通常·我们可以从直觉上做出这样的推理:20℃的温度 计.70min后升温25. 2 ℃-20 ℃ = 5. 2 ℃.又过10 min后.升温为28. 32℃-2 5. 2 ℃ = 3. 12 ℃.是5. 2℃的0. 6倍.可以想象以后每隔10 min 后的升温是前一个升温的0. 6倍.于是得总升温为
• 综合上述分析.教练员在训练过程中.要提高运动员的投掷距离.应集 中精力增加运动员的投掷初速度.
• 掷铅球问题建立模型的基础实质是牛顿运动定律.通过对运行中铅 球的受力分析.进而刻了整个运动过程.通常状况下.反映物体机械运动 状况.往往以牛顿运动定律为出发点.结合运动和受力情况口1建立刻问 题的数学模型.
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3.1微分方程建模原理和方法
• 一般通过一定的模型假设近似模拟实际现象.将问题做某些规范化处 理后建立微分方程模型.然后分析.求解再与实际问题做比较.观察模型 是否能近似刻实际现象.近似模拟法建模思路是建立能够近似反映或 刻实际现象的数学模型.因此在建模过程中.经常做一些较合理的模型 假设使问题简化.然后通过简化建立近似反映实际问题的数学模型.
• 该解就是所求r时刻空气中含CO2的百分比,一般情况·.xo<A/ B·古则 牛同至气中含量只会增大.注意到当t→+∞时.e ^(-Bt) →0 (B>0).则
• 式(3.3.4)表明随着时间无限延长.鼓风机最大可能将车间空气中CO2含 量降到(km+ r)/ k%.
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3.4古物年代测定法
• 通过对上述例子的了解·下面介绍几种简单常用微分建模方法. • (1)按实验定律或规律建立的微分方程模型. • 此法建模充分依赖于各个学科领域中有关实验定律或规律以及某些
重要的已知定理.如本章将要介绍的冷却(加热)定律、牛顿运动定律以 及放射性物质的衰变规律等建立的微分方程模型.此法建模要求建模 者必须有宽阔的知识视野才能对某些具体问题采用某些熟知的实验定 律.经过实践检验过的某种规律和已知定理去从事建模工作.
• 用数学模型来表示则为
• 于是令△t→0.则有 • 其中.A=(km+r)/ V.月B= k/ V • 该问题的求解可用积分因子法.对式(3.3.2)两边同乘以e^Bt.可得: • 从0到t积分.并利用初始条件x(0) =x0.于是得式(3. 3. 2)的解为
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3.3车间空气清洁问题
• 注意到 • 溶液浓度=溶质质量/溶液体积 • 因此.容器中溶液浓度会随溶质质量和溶液体积变化而发生变化.不妨
设r时刻容器中溶质质量为s(t).初始值为s0, t时刻容器中溶液体积为 V(t).初始值为V0.则在时间段[t, t+ △t]内有
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3.1微分方程建模原理和方法
• 其中c1表示单位时间内注入溶液的浓度.c2表示单位时间内流出溶液 的浓度.当△t很小时.在[t, t+ △t]内
射初速度v0==11. 5 m/s.投射角0在38℃-25℃范围内变化.则由式(3. 53)可得到一组数据.见表3.2.
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3.5掷铅球问题
• 若取投射角0=41. 6℃.使初速度在11-12 m /s范围内变化.同样可得一 组数据.见表3.3.
• 从这组数据我们会发现当投射角确定时.投射初速度发生很小一点变 化(增加1 m/ s).可导致投掷距离发生较大的变化(2. 363 m).约增加 16.8%.
• 对式(3.1.1)两端同除以△t.令△→0.则有
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3.1微分方程建模原理和方法
• 此即问题的数学模型.它虽是钊对液体溶液变化建立的.但它对气体和 固体浓度变化同样适用.实际中.对许多的时变问题都可取微小时间段 △t去考察某些量与其他一些量之间的变化规律.从而建立问题的数学 模型.这是数学建模中微分建模常用手段之一.
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3.3车间空气清洁问题
• 设车间体积为v立方米.其中有一台机器每分钟能产生r立方米的二氧 化碳(CO2).为清洁车间里的空气.降低空气中CO2的含量.用一台风量 为k立方米/分钟的鼓风机通入含CO2为m%的新鲜空气来降低车间空 气的CO2含量.假定通入的新鲜空气能与原空气迅速均匀混合.并以相 同的风量排出车间.又设鼓风机开始工作时车间空气中含x0%的CO2. 问经过r时刻后.车间空气中CO2的百分含量为多少?最多能把车间空气 中CO2的百分比降到多少?
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3.2 Newton冷却(加热)定律及应用
• 5.2×(1十0.6十0.6^2十0.6^3十…)=5.2×[1/(1-0.6)] =13(℃) • 则可以得到户外温度是20℃十13 ℃=33 ℃. • 模型及求解下面我们来看这样的想法是否合理. • Newton冷却(加热)定律把温度为T的物体放人处于常温为m的介质
• 解式(3.2.3)易得m=33 ℃·即户外温度为3 3 ℃.由此可见.我们的直觉 推理与Newton冷却(加热)定律相吻合.事实上.Newton冷却(加热)定律 是我们直觉想象思想的理论化和一般化.同理由式(3. 2. 1)和已知数据 亦可得到户外温度为33℃.
• 模型应用推广需要注意的是Newton冷却(加热)定律实际是一种实 验定律.在一定范围内是正确的.
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3.4古物年代测定法
• 由此可以确定入=ln 2 /T • 如果能测出样品目前C^14的蜕变率R (t);并注意R (t0)等于新鲜木
炭中C^14的蜕变率.我们就能够测定木炭样品的年龄. • 例如.1950年在巴比伦挖掘出一根刻有Hammurabi字样的木炭.经
测定. • 样品中C^14的衰减数是每克每分钟2. 09个.而新砍伐烧成的木炭中
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3.1微分方程建模原理和方法
• (2)分析微元变化规律建立的微分方程模型. • 求解某些实际问题时.寻求一些微元之间的关系可以建立问题的数
学模型.如上述问题中考察时间微元△t.从而建立的反映溶液浓度随时 间变化的模型(3. 1. 3).此建模方法的出发点是考察某一变量的微小变 化.即微元分析.找出其他一些变量与该微元间的关系式.从微分定义出 发建立问题的数学模型. • (3)近似模拟法. • 在许多的实际问题中.有些现象的规律性并非一目了然.或有所了解 亦是很复杂的.这类问题常用近似模拟的方法来建立问题的数学模型.
• 利用放射性元索C^14可以测定部分考古文物的年代.这是W. Libby发 明的C^14年龄测定法.该方法测定精度很高.
• 3. 4. 1模型机理 • 地球周围的大气层不断受到宁宙射线的轰击.宁宙射线使大气层产
生中子.这些中子同氮发生作用产生C^14.由于C^14会发生放射性蜕 变.故常称为放射性碳.放射性碳在大气中又结合成CO2 . CO2在大气 中运动而被植物吸收.动物吃了植物随之把C’l带人动物机体组织中.在 活的机体组织中摄取C^14的速率与C^14的蜕变速率相互平衡.然而且 机体组织死亡后.则停止摄取C’1.因此.C^14的浓度会随C^14的蜕变 而减少.
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3.4古物年代测定法
• 3. 4. 2基本物理假设 • 地球周围的大气被宁宙射线轰击速率始终恒定不变.该假设可使我
们确定木炭样品的年龄.即利用木炭初始的蜕变速率等于现在对新鲜 木炭测出来的蜕变速率来确定木炭样品的年龄. • 3. 4. 3建立模型 • 设N(t)表t时刻样品中存在的C^14数量.N (t0)表T样品形成时刻所含 C^14的数量,λ表示C^14的衰变常数.则有
• 设t时刻(单位为分钟)车间每立方米空气中含CO2的百分比为x(t) %.考 察时间段[t, t+ △t].并利用质量守恒定律:[t, t+ △t]内车间空气含CO2 量的“增量”等于该时间内进入的新鲜空气中含CO2的量加上机器产 生的CO2的量减去排出空气中CO2的量.
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3.3车间空气清洁问题
离地面高度为h.铅球离手的时间为r.则整个投掷过程可用如下模型来 描述
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3.5掷铅球问题
• 其中.x.y分别表示水平距离和垂直高度.g为重力加速度. • 式(3.5.1)中消去时间1.可得 • 若令y=0.则可得到水平距离x与投射角0及初速度v0之间的关系式.即
• 模型分析 下面我们来分析投掷效果·如果取h=1. 8 m, g=9 .8m /s,投
中.T的变化速率正比于物体温度T与周围介质温度m的差. • 定律的表达形式有连续型和离散型两种.分别如下:
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3.2 Newton冷却(加热)定律及应用
• 其中.k为比例系数.
• 对上述问题利用冷却(加热)定律由式(3.2.2)得
•
2 5.2-20= k(20-m)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
•
28.32-25.2=k(25.2-m) (3 .2.3)
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3.5掷铅球问题
• (2)为了加快推出时的速度.人体需要在圆面内转体; • (3)铅球投射的投射角与初速度是否有关? • (生)铅球在运动过程中.受到空气阻力如何? • 模型假设为了使建模方便.钊对上述生点.我们可忽略一些次要因索.
作如下几点假设: • (1)铅球投射的投射角与投射初速度无关; • (2)运动员的转体对铅球远近影响可以忽略; • (3)铅球在运行过程中.空气阻力忽略不计. • 模型建立及求解若令铅球投射角为0.投射初速度为v0.运动员的手
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3.1微分方程建模原理和方法
• 一般来说.任何时变问题中随时间发生变化的量与其他一些量之间的 关系经常以微分方程的形式来表现.因此.对该类问题可用微分方程模 型来描述.先来看这样一个问题:有一容器装有某种浓度的溶液.以流量 v1注入该容器浓度为c1的同样溶液.假定溶液立即被搅拌均匀.并以、 少:的流量流出混合后的溶液.试建立反映容器内浓度变化的数学模型.
