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(课堂设计)2014-2015高中数学 1.1.7 柱、锥、台和球的体积(2)学案 新人教B版必修2

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1.1.7 柱、锥、台和球的体积(2)自主学习学习目标1．了解球的体积公式．2．会计算简单组合体的体积．3．培养学生的空间想象能力和思维能力．自学导引1．球的表面积 设球的半径为R ，则球的表面积S ＝________，即球的表面积等于它的大圆面积的______倍．2．球的体积 设球的半径为R ，则球的体积V ＝__________.对点讲练知识点一 球的体积和表面积的计算例1 (1)球的体积是32π3，则此球的表面积是( )A ．12πB ．16πC.16π3D.64π3(2)一个平面截一球得到直径为6 cm 的圆面，球心到这个平面的距离为4 cm ，则球的体积为( )A.100π3cm 3B.208π3cm 3C.500π3cm 3 D.41613π3cm 3点评 遇到球的表面积及体积的有关计算问题时，我们的分析方向就是要充分利用条件去确定球心的位置和半径，只要这两点确定了，那球的表面积及体积问题就会迎刃而解． 变式训练1 球的截面把垂直于截面的直径分成1∶3的两段，若截面圆半径为3，则球的体积为( )A ．16πB.16π3C.32π3D ．43π知识点二 有关几何体的外接球与内切球问题例2 在半球内有一个内接正方体，试求这个半球的体积与正方体的体积之比．点评解决与球有关的组合问题，可通过画过球心的截面来分析，并注意组合体中半径与相关几何体的关系：①长方体的8个顶点在同一个球面上，则长方体的体对角线是球的直径；球与正方体的六个面均相切，则球的直径等于正方体的棱长；球与正方体的12条棱均相切，则球的直径是正方体的面对角线．②球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径．③球与圆台的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆台的高．变式训练2 有三个球，第一个球内切于正方体六个面，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．知识点三综合应用例3有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r 的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．点评在处理与球有关的相接、相切问题时，一般要通过作一适当的截面，将立体几何问题转化为平面问题解决，而这类截面往往指的是圆锥的轴截面、球的大圆等．变式训练3 一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球，在圆锥内又有一个内切球．求：(1)圆锥的侧面积；(2)圆锥的内切球的体积．1．利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形，进行相关计算．2．解决球与其他几何体的切接问题，通常作截面，将球与几何体的各量体现在平面图形中，再进行相关计算.课时作业一、选择题1．直径为6的球的表面积和体积分别是( )A．144π，144πB．144π，36πC．36π，144πD．36π，36π2．如果两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为( )A．8∶27 B．2∶3C．4∶9 D．2∶93．三个球的半径之比为1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的( )A．1倍B．2倍 C.95倍 D.74倍4．四面体ABCD中，公共顶点A的三条棱两两相互垂直，且其长分别为1，6，3，若它的四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为( )A．3二、填空题5．若一个球的体积为43π，则它的表面积为______．6．一个底面直径是32 cm的圆柱形水桶装入一些水，将一个球放入桶内完全淹没，水面上升了9 cm，则这个球的表面积是________．7．有一棱长为a的正方体框架，其内放置一气球，使其充气且尽可能地膨胀(仍保持为球的形状)，则气球表面积的最大值为________．三、解答题8．如图所示，一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为8 cm的半球形的冰淇凌，请你设计一种这样的圆锥形杯子(杯口直径等于半球形的冰淇凌的直径，杯子壁厚忽略不计)，使冰淇凌融化后不会溢出杯子，怎样设计最省材料？9．某个几何体的三视图如图所示(单位：m)，(1)求该几何体的表面积(结果保留π)； (2)求该几何体的体积(结果保留π)．【答案解析】 自学导引1．4πR 24 2.43πR 3对点讲练例1 (1)B [设球的半径为R ， 则由已知得V ＝43πR 3＝32π3，R ＝2.∴球的表面积S ＝4πR 2＝16π.](2)C [由球的性质知，球的半径R ＝32＋42＝5，∴V 球＝4π3×53＝500π3(cm 3)．]变式训练1 C [设直径被分成的两段为x,3x ；则球心O 到截面的距离为x ，球半径为2x ， 由勾股定理得：x 2＋(3)2＝(2x)2，x ＝1，球半径为2，所以V ＝43π·23＝323π.]例2解 方法一 作正方体对角面的截面，如图所示，设半球的半径为R ，正方体的棱长为a ，那么CC′＝a ，OC ＝2a 2. 在Rt△C′CO 中，由勾股定理，得CC′2＋OC 2＝OC′2， 即a 2＋(2a 2)2＝R 2，所以R ＝62a. 从而V 半球＝23πR 3＝23π(62a)3＝62πa 3，V 正方体＝a 3.因此V 半球∶V 正方体＝62πa 3∶a 3＝6π∶2. 方法二 将半球补成整个球，同时把原半球的内接正方体再补接一个同样的正方体，构成的长方体刚好是这个球的内接长方体，那么这个长方体的对角线便是它的外接球的直径．设原正方体棱长为a ，球的半径为R ，则根据长方体的对角线性质，得(2R)2＝a 2＋a 2＋(2a)2，即4R 2＝6a 2，所以R ＝62a. 从而V 半球＝23πR 3＝23π(62a)3＝62πa 3，V 正方体＝a 3.因此V 半球∶V 正方体＝62πa 3∶a 3＝6π∶2. 变式训练2 解 设正方体的棱长a.(1)正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面的中心，经过四个切点及球心作截面，如图(1)，所以有2r 1＝a ，r 1＝a 2，所以S 1＝4πr 21＝πa 2.(2)球与正方体各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，如图(2)， 2r 2＝2a ，r 2＝22a ，所以S 2＝4πr 22＝2πa 2.(3)正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，如图(3)，所以有2r 3＝3a ，r 3＝32a ， 所以S 3＝4πr 23＝3πa 2.综上知S 1∶S 2∶S 3＝1∶2∶3.例3 解 由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面． 根据切线性质知，当球在容器内时，水深为3r ，水面的半径为3r ，则容器内水的体积为V ＝V 圆锥－V 球＝13π·(3r)2·3r－43πr 3＝53πr 3，而将球取出后，设容器内水的深度为h ，则水面圆的半径为33h ，从而容器内水的体积是V′＝13π·(33h)2·h＝19πh 3， 由V ＝V′，得h ＝315r. 变式训练3 解(1)如图，作轴截面，则等腰三角形CAB 内接于⊙O，而⊙O 1内切于△ABC. 设⊙O 的半径为R ，由题意得 43πR 3＝972π. ∴R 3＝729，∴R＝9，∴CE＝18. 已知CD ＝16，∴ED＝2.连接AE ，∵CE 是直径，CA⊥AE，CA 2＝CD·CE＝16×18＝288，∴CA＝12 2.∵AB⊥CD，∴AD 2＝CD·DE＝16×2＝32， ∴AD＝42.∴S 圆锥侧＝π·42·122＝96π. (2)设内切球O 1的半径为r ，∵△ABC 的周长为2×(12 2＋42)＝322， ∴12r·322＝12×82×16，∴r＝4. ∴内切球O 1的体积V 球＝43πr 3＝2563π.课时作业1．D2．C [设这两个球的半径分别是r ，R ，则4π3r 34π3R 3＝827，所以r R ＝23，则这两个球的表面积之比为4πr 24πR 2＝(r R )2＝49.]3．C [设最小球的半径为r ，则另两个球的半径分别为2r 、3r ，所以各球的表面积分别为4πr 2、16πr 2、36πr 2.所以36πr 24πr 2＋16πr 2＝95.]4．D [此外接球的直径即为以1，6，3为长、宽、高的长方体的体对角线，即2R ＝1＋6＋9＝4.∴R＝2，S 球＝4πR 2＝16π.] 5．12π 解析 设球的半径为R ，则43πR 3＝43π，∴R＝ 3.∴S 球＝4πR 2＝12π.6．576π cm 2解析 球的体积等于以16 cm 为底面半径，高为9 cm 的圆柱的体积，设球的半径为R ，所以43πR 3＝π·162·9，解得R ＝12，所以S 球＝4πR 2＝576π(cm 2)．7．2πa 2解析 气球表面积最大时，气球的直径等于正方体侧面的对角线长2a ，则此时气球的半径r ＝22a ， 则表面积为4πr 2＝4π×(22a)2＝2πa 2. 8．解 要使冰淇凌融化后不会溢出杯子， 则必须V 圆锥≥V 半球，V 半球＝12×43πr 3＝12×43π×43，V 圆锥＝13Sh ＝13πr 2h ＝13π×42×h.依题意：13π×42×h≥12×43π×43，解得h≥8.即当圆锥形杯子杯口直径为8 cm ，高大于或等于8 cm 时，冰淇凌融化后不会溢出杯子． 又因为S 圆锥侧＝πrl ＝πr h 2＋r 2，当圆锥高取最小值8时，S 圆锥侧最小，所以高为8 cm 时， 制造的杯子最省材料． 9．解 由三视图可知：该几何体的下半部分是棱长为2 m 的正方体，上半部分是半径为1 m 的半球． (1)几何体的表面积为S ＝12×4π×12＋6×22－π×12＝24＋π(m 2)． (2)几何体的体积为V ＝23＋12×43×π×13＝8＋2π3(m 3)．。

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人教版高中必修2(B版)1.1.7柱、锥、台和球的体积课程设计

人教版高中必修2(B版)1.1.7柱、锥、台和球的体积课程设计

人教版高中必修2(B版)1.1.7柱、锥、台和球的体积课程设计一、课程目标1.了解柱、锥、台和球的定义及形态特征；2.掌握柱、锥、台和球的体积计算公式；3.能够运用已学知识，解决实际问题。

二、教学重点与难点教学重点：1.柱、锥、台和球的定义和形态特征；2.计算柱、锥、台和球的体积公式及应用。

教学难点：1.球的立体图形；2.提高学生运用公式计算的能力；3.引导学生探究柱、锥、台和球在实际生活中的应用。

三、教学内容与教学过程安排教学内容：1.柱、锥、台和球的定义及形态特征；2.柱、锥、台和球的体积计算公式及应用。

教学过程安排：教学环节具体安排教学时间教学环节具体安排教学时间导入介绍本节课的学习目标 5 min 学习1 讲解柱、锥、台和球的定义及形态特征20 min 练习1 针对柱、锥、台和球的形态，进行练习15 min 学习2 讲解柱、锥、台和球的体积计算公式30 min 练习2 进行柱、锥、台和球的体积计算练习20 min 拓展探究柱、锥、台和球在实际生活中的应用领域20 min 总结对本节课进行小结10 min四、教学方法和教学手段教学方法：1.演示教学法；2.引导式教学法；3.问题解决式教学法。

教学手段：1.黑板、彩笔；2.直观物品模型；3.PPT。

五、考核方式1.课堂练习；2.课后作业。

六、教学资源准备1.课本内容，PPT。

2.模型球、模型锥、模型台、模型柱。

七、教学反思与总结本节课是高中必修2(B版)中柱、锥、台和球的体积计算部分。

从初中到高中，体积是数学中让学生最难逃脱的一个主题。

因此，在本课程设计中，我们着重对柱、锥、台和球的定义及形态特征进行讲解，同时给出相应的计算公式及实例，引导学生练习运用公式解决问题。

在教学环节中引入了模型球、模型锥、模型台、模型柱等示范物体，试图通过直观的方式，提高学生对不同几何体的理解。

通过教学反思，认为本节课教学过程中，学生对于柱、锥、台和球的理解方面需要更进一步的引导和讲解。

高中数学第一章立体几何初步1.1.7柱、锥、台和球的体积教案新人教B新人教B高一数学教案

高中数学第一章立体几何初步1.1.7柱、锥、台和球的体积教案新人教B新人教B高一数学教案

1.1.7 柱锥台和球的体积【教学目标】知识与技能:理解祖暅原理，能使用祖暅原理和长方体体积公式推导出柱体、锥体、台体和球的体积公式，并可以使用体积公式求几何体的体积过程与方法:学生通过实例理解祖暅原理，借助长方体体积公式和祖暅原理推出柱的体积公式，学生通过小组探究、合作交流得到锥体的体积公式，运用化未知为已知的方法，接触到了立体几何中“割”“补”的思想方法.情感态度价值观:通过知识的发现过程，形成科学的研究价值观，收获研究成功的喜悦. 【重点】理解祖暅原理，能用祖暅原理推出柱、锥和球的体积公式【难点】用祖暅原理推出柱、锥和球的体积公式【教学过程】一. 知识回顾长方体的体积公式V abc Sh==圆柱的体积公式V Sh=圆锥的体积公式13V Sh =二. 新授课现在有1套3副扑克牌，整体摆放如图⑴，若有另1套3副扑克牌，经过变换，如图⑵，提问◇1:摆放图⑴的三幅扑克牌，你有办法求出体积吗？预设◇1:长方体，体积公式V abc=；提问◇2:摆放图⑵的三幅扑克牌，体积是多少呢？预设◇2:与摆放图⑴的三幅扑克牌的体积相同；提问◇3:对于图⑵的三幅扑克牌，你是怎么样得到体积的呢？预设◇3:两副扑克大小一样，每张牌都一样，张数一样，故体积相同.1.祖暅原理:幂势既同，则积不容异.原理说明:○1“幂”——截面面积（所有的截面）；②“势”——几何体的高；③等底面积、等高的柱体体积相同；④等底面积、等高的锥体体积相同；2.柱体体积公式V Sh=提问◇1:棱柱是如何产生的？预设◇1:看成一个多边形（包括图形围成的平面部分）上各点都沿着同一个方向移动相同的距离所形成的几何体.提问◇2:圆柱是如何产生的？预设◇2:a.矩形绕一边旋转得到的，追问:圆柱能否看成某平面图形移动相同的距离所形成；b. 圆柱可以看成一个圆（包括圆的内部）上各点都沿着同一个方向移动相同的距离所形成的几何体.提问◇3:现在有一个长方体、一个圆柱、一个棱锥，等底面积、等高，它们的体积有什么关系？请说明理由.预设◇3:体积相同.等底面积，说明用水平面截得的①截面面积相等，等高说明几何体②高相等，由祖暅原理，得“积不容异”.提问◇4:这些柱体体积怎么计算？预设◇4:柱体体积公式V Sh=.小结:通过祖暅原理和长方体体积公式，圆柱的体积公式V Sh=是完全正确的.学生活动：自由举手发言，说清楚想法和过程.设计意图:柱体体积公式的得到，只需要简单的使用祖暅原理即可，让学生在问题中不断认识到祖暅原理的使用方法.3.锥体体积公式13V Sh =提问◇1:对于学习过的锥体是你知道哪种锥体的体积公式？你是怎么得到的.预设◇1:圆锥13V Sh=，通过取等底面积，等高的圆柱和圆锥倒水试验的方法得到.提问◇2:等底面积，等高的圆锥和棱锥之间体积会怎么样呢？我们取最特殊的棱锥，正三棱锥.你有办法证明吗？预设◇2:学生自主思考，小组讨论后，表述讨论结果. 小结1.:等底面积、等高的锥体体积相同.提问◇3:等底面积、等高的柱体之间体积相同和锥体之间体积相同，对于柱体和锥体之间的体积关系我们还没有证明，你能用今天学习的知识证明：三棱锥的体积是等底面积、等高的三棱柱体积的关系吗？13V V =锥柱.学生活动：小组讨论，汇报讨论结果.预设◇3:将三棱柱切割成三个三棱锥，如图，现只需要说明三个三棱锥体积相同即可. ⑴ ''B'C'A ABC B A V V --=,等底面积，等高的锥体积相等； ⑵ ''''B'C'A B BC B A V V --=,等底面积，等高的锥体积相等； ⑶ 13V V =锥柱.小结2: 1133V V Sh ==锥柱设计意图:让学生体会割补的思想方法，能够使用祖暅原理解释数学问题.学生进一步体会祖暅原理的使用.可能出现换底的三棱锥体积问题，可以做适当的铺垫. 三. 课堂探究 4.球体体积公式343V R π=问题探究、如图，将半径为R 的半球和底面半径为R 、高为R 的圆柱放在同一水平面上，现在圆柱中挖去一个底面半径为R 、高为R 圆锥.若用任意一个平行于水平面的平面去截这两个几何体，通过计算比较两个截面面积的大小关系.你能从中发现什么数学结论？学生活动：学生自主解决问题，投影解决问题过程.预设：两个截面面积的大小相等，两个几何体的体积相等.球的体积公式343V R π=球. 小结: 343V R π=球. 设计意图:通过计算得到数学结论，让学生体会发现结论的过程. 四. 课堂练习例题、如图所示，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，用截面截下一个棱锥C-A'DD'，求棱锥C-A'DD'的体积与剩余C'A部分的体积之比.设计意图:割补长方体得到体积关系或者计算得到关系都可以，可以让学生体会割补的思想方法和计算的功能.巩固练习1、已知长方体形的铜块长、宽、高分别为2、4、8，将它铸成一个球形的铜块（不计损耗），求铸成的球形铜块的半径；2、某工厂将一块正方体铜块铸成了三个半径为1的球，求原正方体的棱长.设计意图:巩固练习，熟悉数学公式.五. 课外探究已知台体的上下底面面积分别为S’、S，台体的高为h，你可以借助今天学到的知识和方法推出台体的体积吗？设计意图:学生自主解决问题，体会补形的思想，熟悉锥体的体积公式.六. 课后作业学案卷课后作业【板书设计】。

高中数学 1.1.7《柱、锥、台和球的体积》教案 新人教B版必修2

高中数学 1.1.7《柱、锥、台和球的体积》教案 新人教B版必修2

1.1.7柱、锥、台和球的体积一、教学目标1、理解祖暅原理的内容；2、了解柱、锥、台体的体积公式的推导；3、掌握柱、锥、台体和球的体积公式。

4、能运用公式求柱体，锥体，台体和球的体积重点：体积计算及公式的推导方法难点：祖暅原理的理解及体积公式的应用二、知识梳理对祖暅原理的理解：关键词：夹在，两个平行平面，任意平面所截，截面的面积总相等1、柱体的体积一般柱体的体积公式V =，其中S为底面面积，h为棱柱的高。

棱柱〔圆柱〕的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足〔垂线与底面的交点〕之间的距离。

2、锥体的体积圆锥的体积公式是V=〔S为底面面积，h为高〕，它是同底等高的圆柱的体积的13。

棱锥的体积也是同底等高的棱柱体积的13，即棱锥的体积V=〔S为底面面积，h为高〕。

棱锥与圆锥的体积公式类似，都是棱锥〔圆锥〕的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足〔垂线与底面的交点〕之间的距离。

3、台体的体积由于圆台〔棱台〕是由圆锥〔棱锥〕截成的，因此可以利用两个锥体的体积差，得到园台〔棱台〕的体积公式：V=，其中S'，S分别为上、下底面面积，h为圆台〔棱台〕的高。

圆台〔棱台〕的高是指两个底面之间的距离。

4、球的体积：设球的半径为R，那么它的体积为V=球，是以R为自变量的函数。

三、[例题解析]阅读课本例1与例2完成课后练习A第1，2，3题补充例题2、直棱柱底面是菱形，面积为S，过两不相邻侧棱的截面面积分别为m，n，求直棱柱的体积2、假设干毫升水倒入底面半径为2的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6，假设将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，那么水面的高度为3、过球面上三点A、B、C的截面到球心的距离等于球半径的一半、且AC＝BC＝AB＝6，求球的体积。

[限时训练]1、正方体的全面积是S,那么它的体积是( )()A()B()C()D2、假设圆柱和圆锥的底面直径,高都与球的直径相等,那么圆锥,球,圆柱的体积比是( )()A4:2:3()B1:2:3 ()C2:1:3 ()D8:32:243、台体中一个平行于底面的截面把台体分成上下两部分，假设台体的上底面面积，截面面积，下底面面积之比为1：4：9，那么截面把台体分成上下两部分的体积的比值为〔〕()A 827()B719()C513()D354、如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积为S，那么圆柱的体积等于〔〕〔A〔B〔C〔D5、圆柱的侧面展开图是边长为2和4的矩形，那么圆柱的体积是;6、三棱锥的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别为6，4，3，那么三棱锥的体积为;7、一个钢球的直径是5，那么它的体积是；假设球半径变为原来的2倍，体积变为原来的倍;8、棱长均相等的正四棱锥的全面积为)2361cm +，那么它的体积为； 9、一个正三棱台的上，下底面边长分别为3cm 和6cm ，高是32cm ，求三棱台的〔1〕侧棱长；〔2〕斜高；〔3〕体积.10、棱台的两个底面面积分别是245cm 2和80cm 2，截得这个棱台的棱锥的高为35cm ，求这个棱台的体积[课后作业]习题1-1A 第7，8，9题。

学案5：1.1.7 柱、锥、台和球的体积

学案5：1.1.7 柱、锥、台和球的体积

1.1.7柱、锥、台和球的体积【学习目标】1．了解柱、锥、台和球的体积计算公式，并学会运用这些公式解决一些简单问题．2．结合祖暅原理等内容的学习，了解我国古代数学家在数学发展上做出的杰出贡献，培养爱国主义思想，逐步培养热爱科学的态度．【学习重点】了解柱、锥、台和球的体积计算公式，并灵活应用【课前预习】1．长方体的体积：长方体的长、宽和高分别为a、b、c，长方体的体积V长方体＝________.2．棱柱和圆柱的体积：(1)柱体(棱柱、圆柱)的体积等于它的底面积S和高h的积，即V柱体＝_______.(2)底面半径是r，高是h的圆柱体的体积计算公式是V圆柱＝.3．棱锥和圆锥的体积：(1)如果一个锥体(棱锥、圆锥)的底面积为S，高是h，那么它的体积V锥体＝.(2)如果圆锥的底面半径是r，高是h，则它的体积是V圆锥＝.4．棱台和圆台的体积：(1)如果台体的上、下底面面积分别为S′、S，高是h，则它的体积是V台体＝.(2)如果圆台的上、下底面半径分别是r′、r，高是h，则它的体积是V圆台＝. 5．球的体积：如果球的半径为R，那么球的体积V球＝.6．祖暅原理：幂势既同，则积不容异．这就是说，夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．应用祖暅原理可说明：___________、________的两个柱体或锥体的体积相等．【例题解析】例1.将长为a，宽为b(a>b)的长方形以a为轴旋转一周，所得柱体的体积为V1，以b为轴旋转一周，所得柱体的体积为V2，则有()A．V1>V2B．V1<V2C．V1＝V2D．V1与V2的大小关系不确定[思路探索]对于平面图形沿某条不同直线旋转成几何体，然后比较各几何体体积的大小关系问题，首先找出对应关系，然后再计算出体积，最后比较大小．变式1 如图，某几何体的主视图是平行四边形，左视图和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为()A．6 3 B．9 3 C．12 3 D．183例2已知正四棱锥P－ABCD的底面边长为6，侧棱长为5，求四棱锥P－ABCD的体积和侧面积．[思路探索]求出写斜高与高变式2 某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积是()A．3 B．2 C. 3 D．1[思路探索]本题考查了三视图及体积计算公式等．由三视图找出垂直关系是关键．例3在球面上有四个点P、A、B、C，如果P A、PB、PC两两垂直且P A＝PB＝PC＝a，求这个球的体积．[思路探索] ∵P A 、PB 、PC 两两垂直，且P A ＝PB ＝PC ＝a ，∴以P A 、PB 、PC 为相邻的三条棱可以构造正方体．变式3 体积为8的一个正方体，其全面积与球O 的表面积相等，则球O 的体积等于______.【课堂总结】1．理解柱、锥、台和球的体积公式2．灵活应用体积公式【课堂作业】1．圆台上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是( ) A.233π B ．23π C.736π D.733π 2．圆柱的侧面展开图是长12 cm ，宽8 cm 的矩形，则这个圆柱的体积为( ) A.288π cm 3B.192π cm 3C.288π cm 3或192πcm 3 D ．192π cm 3 3．如图，某几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则该几何体的俯视图可以是( )4．一个水平放置的圆柱形储油桶，桶内有油部分所在圆弧占底面圆周长的14，则油桶直立时，油的高度与桶的高度的比值是( )A.14B.14－12πC.18D.12π－185．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．2π＋2 3B ．4π＋23C ．2π＋233D ．4π＋2336．圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的体积为 ．参考答案【课前预习】1．abc2．(1)Sh(2)πr 2h3．(1)13Sh (2)13πr 2h 4．(1)13h (S ＋SS ′＋S ′) (2)13πh (r 2＋rr ′＋r ′2) 5．43πR 3 6．等底面积等高【例题解析】例1 【解析】以a 为旋转轴时，所得几何体的体积V 1＝ab 2π，以b 为旋转轴时，所得几何体的体积V 2＝a 2b π.∴V 1－V 2＝ab π(b －a )，∵a >b ，∴V 1－V 2<0，∴V 1<V 2，故选B.【答案】B变式1【解析】由三视图知，该几何体为平行六面体，由图知高h ＝22－12＝ 3.底面积：S ＝3×3＝9，所以其体积V ＝9 3.【答案】B例2解：连接AC 、BD ，AC 与BD 的交点为O ，取BC 的中点E ，连接OE 、PE 、PO ， 则PO 为正四棱锥P －ABCD 的高，PE 为斜高．由已知得OE ＝3，OA ＝32，∴PO ＝P A 2－OA 2＝25－18＝7，PE ＝PO 2＋OE 2＝7＋9＝4.∴四棱锥P －ABCD 的体积V ＝13×12×6×6×7＝67. 四棱锥P －ABCD 的侧面积S ＝12×6×4×4＝48. 变式2【解析】由三视图可知，该几何体的体积V ＝13Sh ＝13×3×3＝1. 【答案】D例3解：∵P 、A 、B 、C 四点是球面上的四个点，∴球是正方体的外接球，正方体的对角线是球的直径，∴2R ＝3a ，∴R ＝32a ， ∴V ＝43πR 3＝43π⎝⎛⎭⎫32a 3＝32πa 3. 变式3【解析】设正方体棱长为a ，球半径为r .∵a 3＝8，∴a ＝2，又∵4πr 2＝6a 2，∴r ＝6π. ∴V 球＝43π⎝⎛⎭⎫6π3＝86ππ. 【答案】 86ππ【课堂作业】1． 【答案】D【解析】上底半径r ＝1，下底半径R ＝2，因为S 侧＝6π，设母线为l ，则π(1＋2)·l ＝6π.∴l ＝2.所以高h ＝l 2－（R －r ）2＝ 3. ∴V ＝13π·3×(1＋1×2＋2×2)＝733π. 2． 【答案】C【解析】若底面圆周长为12，则2πr ＝12，所以r ＝6π， 所以V ＝π·⎝⎛⎭⎫6π2·8＝288π(cm 3)．若底面圆周长为8，则2πr ＝8，所以r ＝4π， 所以V ＝π·⎝⎛⎭⎫4π2·12＝192π(cm 3)． 3． 【答案】C【解析】当俯视图为A 中正方形时，几何体为边长为1的正方体，体积为1；当俯视图为B中圆时，几何体为底面半径为12，高为1的圆柱，体积为π4；当俯视图为C 中三角形时，几何体为三棱柱，且底面为直角边长为1的等腰直角三角形，高为1，体积为12；当俯视图为D 中扇形时，几何体为圆柱的14，且体积为π4. 4． 【答案】B【解析】设圆柱桶的底面半径为R ，高为h ，油桶直立时油面的高度为x ，则⎝⎛⎭⎫14πR 2－12R 2h ＝πR 2x ，所以x h ＝14－12π. 5． 【答案】C【解析】该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成，圆柱的底面半径为1，高为2，体积为2π，四棱锥的底面边长为2，高为3，所以体积为13×(2)2×3＝233，所以该几何体的体积为2π＋233. 6．【答案】224π【解析】如图为圆台的轴截面，设圆台上、下底半径及圆台的高分别为x ,4x ,4x ，则在三角形ABC 中，AC ＝4x ，BC ＝4x －x ＝3x ，AB ＝10，由于AB 2＝AC 2＋BC 2，∴16x 2＋9x 2＝25x 2＝100，∴x ＝2，从而可知圆台的上、下底面半径及高分别为2,8,8.∴圆台的体积V ＝13(S ′＋S ′S ＋S )h ＝13(π×22＋π×22×π×82＋π×82)×8＝224π.。