北京市海淀区2021届高三上期末数学试题

2021北京海淀高三（上）期末

数 学

2020.01

本试卷共8页，150分。考试时常120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，本试卷和答题纸一并交回。

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题共10 小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）抛物线x =2

y 的准线方程是

（A ）21-

=x （B ）4

1-=x （C ）2

1

y -

= （D ） 4

1y -

= （2）在复平面内，复数

i

i

+1对应的点位于 （A ）第一象限

（B ）第二象限

（C ）第三象限

（D ）第四象限

（3）在()5

2-x 的展开式中，4x 的系数为

（A ）5

（B ）5-

（C ）10

（D ）10

（4）已知直线02:=++ay x l ，点），（11A --和点）（2,2B ，若AB l //，则实数a 的值为 （A ）1

（B ）1-

（C ）2

（D ）2-

（5）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为

（A ）2

（B ）4 （C ）6

（D ）12

（6）已知向量a ，b 满足1=a ，），（12-=b ，且2=-b a ，则=⋅b a （A ）1-

（B ）0

（C ）1

（D ）2

（7）已知α，β是两个不同的平面，“αβ∥”的一个充分条件是

（A ）α内有无数直线平行于β （B ）存在平面γ，αγ⊥，βγ⊥ （C ）存在平面γ，m α

γ=，n βγ=且m n ∥

（D ）存在直线l ，l α⊥，l β⊥ （8）已知函数2

()12sin ()4

f x x π

=-+ 则

（A ）()f x 是偶函数 （B ）函数()f x 的最小正周期为2π （C ）曲线()y f x =关于π

4

x =-对称 （D ）(1)(2)f f >

（9）数列{}n a 的通项公式为2

3n a n n =-，n N ，前n 项和为n S ，给出

下列三个结论：

①存在正整数,()m n m n ≠，使得m n S S =；

②存在正整数,()m n m n ≠，使得m n a a += ③记，12(1,2,3,)n n T a a a =则数列{}n T 有最小项，其中所有正

确结论的序号是

（A ） （B ）③ （C ）③ （D ）②③

（10）如图所示，在圆锥内放入连个球1O ，2O ，它们都与圆锥相切（即与圆锥的每条母线相切），切点圆（图中粗线所示）分别为,⊙. 这两个球都与平面a 相切，切点分别为1F ，2F ，丹德林（G·

Dandelin ）利用这个模型证

明了平面a 与圆锥侧面的交线为椭圆，1F ，2F 为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为Dandelin 双球。若圆锥的母线与它的轴的夹角为，, ⊙的半径分别为1,4，点M 为⊙上的一个定点，点P 为椭圆上的一个动点，则从点P 沿圆锥表面到达M 的路线长与线段1PF 的长之和的最小值是

（A ）6 （B ）8 （C ）33 （D ）43

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

（11）在“互联网+”时代，国家积极推动信息化技术与传统教学方式的深度融合，实现线上、线下融合式教学模式变革.某校高一、高二和高三学生人数如图所示.采用分层抽样的方法调查融合式教学模式的实施情况，在抽取样本中，高一学生有16人，则该样本中的高三学生人数为 .

（12）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S .若1S -、2S 、3a 成等差数列，则数列{}n a 的公比为 .

（13）已知双曲线2

2

12

y x -=的左右焦点分别为12,F F ，点(3,4)M -，则双曲线的渐近线方程为 ；12MF MF -= ;

（14）已知函数()f x 是定义域R 的奇函数，且0x ≤时，()1x

f x ae =-，则a = ，()f x 的值域是 ；

（15）已知圆22

:(5)(2)2P x y -+-=，直线:l y ax =，点(5,22)M +，点(,)A s t .

给出下列4个结论：

①当0a =，直线l 与圆P 相离； ②若直线l 圆P 的一条对称轴，则25

a =

； ③若直线l 上存在点A ，圆P 上存在点N ，使得90MAN ∠=︒，则a 的最大值为20

21

；

④N 为圆P 上的一动点，若90MAN ∠=︒，则t 的最大值为528

+. 其中所有正确结论的序号是 .

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

（16）（本小题共15分）在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BCC B 为矩形，11AC BCC B ⊥平面,,D E 分别是棱

1AA ，1BB 的中点.

（Ⅰ）求证：11AE B C D ∥平面 （Ⅱ）求证:

1CC ABC ⊥平面

(Ⅲ)若12AC BC AA ===,求直线AB 与11B C D 平面所成角的正弦值.

（17）（本小题共14分）若存在ABC ∆同时满足条件①、条件②、条件③、条件④中的三个，请选择一组这样的三个条件并解答下列问题： （Ⅰ）求A ∠的大小；